吉林省吉林市实验中学2026届高三下学期模拟预测数学试题（含答案）

高三数学
一、单选题
1. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,则椭圆 的离心率为( )
A. B. C. D.
4. 若 满足限制条件 ,则目标函数 的最大值为 ( )
A. 25 B. 20 C. 12 D. 18
5. 已知函数 有最小值，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 设 为两个相互独立的随机事件,且 . 已知在 至少一个发生的条件下, 恰有一个发生的概率是 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 三角形的重心是指三角形三条中线的交点, 垂心是指三条高的交点, 且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上, 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”. 在平面直角坐标系中作 ,点 ,点 ,且其“欧拉线”与圆 相切,则圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ( ).
A. B. C. D.
8. 若关于 的方程 有 2 个不同实根,设 ,则()
A. B.
C. D.
二、多选题
9. (多选题) 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是 ( )
A. 棱台的侧面一定不会是平行四边形 B. 棱锥的侧面只能是三角形
C. 由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥D. 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
10. 已知圆锥曲线 的焦点为 ,若此曲线上存在点 ,满足 (其中 为坐标原点),则这个曲线可能是( )
A. 离心率为 的椭圆 B. 离心率为 的椭圆
C. 离心率为 2 的双曲线 D. 离心率为 的双曲线
11. 将函数 的图象按照以下顺序进行变换:
①向左平移 个单位长度；②横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 倍；③向下平移 个单位长度,可得到函数 的图象. 则下列结论正确的是( )
A. 若 ，则 的取值范围为
B. 若函数 在 上的图象与直线 有且只有一个交点,在 上单调递减,则
C. 若函数 在区间 上的最值分别为 ,则 的取值范围是
D. 若方程 在 内恰有两个根 ,则
三、填空题
12. 函数 是偶函数，则 _____.
13. 已知数列 满足 ，则 _____.
14. 已知 ，则三元有序集合对 的个数为_____个.
四、解答题
15. 已知正项数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 的图象过点 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)当 ，且 时，证明: .
17. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求
(2)若 ，求数列 的前 项和.
18. 已知 分别为椭圆 的左、右顶点，且 ， 的离心率为 .
(1)求 的方程；
( 2 )若倾斜角为 的直线与 交于 ， 两点，求 的中点的轨迹方程；
(3)若直线 与 交于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ,且 ,求 .
19. 已知椭圆 的长轴长为 4,直线 与椭圆 交于 两点 (点 在第一象限). 当 时, 在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.
(1)求 的标准方程；
(2)若 轴于点 ，连接 并延长交 于点 ，记直线 的斜率为 .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 设 ,求 的最小值.
1. B
因为 ,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,位于第二象限.
2. A
充分性分析: , ,故充分性成立;
必要性分析: ,
,
,故必要性不成立.
故“ ”是“ ”的充分不必要条件
3. C
设椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,
由于椭圆 的长轴长是短轴长的 倍,故 ,即 ,
故椭圆 的离心率为 .
4. B
由题知可行域为图中阴影区域,由 ,解得 ,所以 ,
由 ,解得 ,所以 ,
由 ,解得 ,所以 ,
因为 可看成可行域内的点 到点 的距离的平方,
又 ,
所以 的最大值为 20,
故选: B.
5. A
当 时,令 ,则 ,则 无最小值,不符合题意;
当 时, ,而当 时, ,当 时,
,故 的值域为 ,无最小值,不符合题意;
当 时,令 ,则 ,令 ,则 ,故 必存在最小值, 符合题意.
综上, 的取值范围是 .
故选: A.
6. A
设 ,
由题意,在 至少一个发生的条件下, 恰有一个发生的概率是 ,
则 即 ,解得 ,即 .
7. D
因为在 中， ，所以 边上的高线和中线合一，则其“欧拉线” 为 边 的垂直平分线 ，
因为点 ,点 ,
因为直线 的斜率为 ,所以 的垂直平分线的斜率为 1,
所以 的垂直平分线方程为 ,即 ,
因为“欧拉线”与圆 相切,所以圆心 到“欧拉线”的距离为 ,即 ,
圆心 到直线 的距离为 ,
由圆的对称性可知,圆 上的点到直线 的距离的最小值为 .
8. C
由原方程 ,可得 ,并将方程转化成 或 ,即 或 .
设 ,
因为 ,因为 ,所以 在 单调递增.
当 ,当 ,
又因为 在 上是连续的函数,
所以根据零点存在定理, 有唯一根 ,即 ,
两边取对数得 ,化简得 ,整理得 ,
因为 在 严格递增,故 . 所以 在 单调递增,
在 单调递减,故函数 在 取得最小值
,
同理函数 在 取得最小值 ,
因为 .
因为当 和 时 与 均趋近于正无穷,从而当两个函数的最小值一正一负时,方程有且仅有 2 个实根,即 且 ,即 整理得 即 所以 ,即 的取值范围为
9. ABC
选项 A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A 正确；
选项 B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B 正确；
选项 C，四个平面围成的封闭多面体，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥 (四面体) 的定义, C 正确;
选项 D, 如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥, D 错误.
10. ABD
当 且 时,曲线 表示椭圆,
不妨令 ,设焦点为 ,且 ,
由椭圆的定义可知 ,
由余弦定理 ,
又 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,所以 ,
又椭圆上 的最大值为 ，显然 恒成立，
故所有椭圆上均存在点 满足 ,
又椭圆的离心率 ,故 A、B 正确;
当 时,曲线 表示双曲线,
不妨令 ,设焦点为 ,且 ,
由双曲线的定义可知 ,
由余弦定理 ,
又 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,所以 ,
又双曲线的离心率 且 ,所以 ,
又 ,
所以该双曲线可以是离心率为 的双曲线,不能是离心率为 2 的双曲线,故 错误, 正确.
11. ABD
由题意得将 的图象向左平移 个单位长度,
则 ,
而横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标变为原来的 倍,
得到 ,
而向下平移 个单位长度,
可得 ,
则 ,即 .
对于 ,由 ,得 ,
由三角函数的图象可得 ,
可得 的取值范围为 ,故 正确;
对于 ,由题意得 ,
令 ,可得 ,
而 ,则 ,
若 在 上的图象与直线 有且只有一个交点,
则 在 上有且只有一个解,
可得 ,解得 .
若 在 上单调递减,则 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,
令 ,由正弦函数性质得 在 上单调递增,
可得 ,解得 ,
综上可得, ,故 正确;
对于 ,由题意得 ,
不妨设函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为 ,
令 ,则区间变为 ,可得 ,
则 ,即 ,
此时 ,
即 的取值范围是 不成立,故 错误;
对于 ,令 ,则 ,
若方程 在 内恰有两个根 ,
则 ，即 在 内恰有两个根 ，
则 ,且 ,得到 ,
故 ,故 D 正确.
故选: ABD
12.
由偶函数的定义知 ,则 ,定义域为
此时 ,满足题设,所以 .
13. 13
,
,
.
14.
如图所示, 恰好分成 , 互不相交的 7 个部分,
而 可以放在这 7 个部分中的任意一部分 ,故共有 个.
故答案为:
15. (1)
(2)
(1)由 ，当 时， ，
则 ,即 ,
所以 ,即 ,
由数列 为正项数列,所以 ,从而有 ,
所以数列 是以 为首项,1为公差的等差数列,
所以 .
(2)由(1)知 ，所以 ，
,则 ,
从而 ,
即
所以 .
16. (1)将点 代入函数解析式，得 ，即 ，
则有 ,解得 ,
因为 ,令 ,则 ,所以 ,
由 ,解得 ,
故 的单调递增区间为 .
(2)由(1)知 ，
则 ,
依题意,有 ,即 ,
因为 ,即 ,
代入 得 ，
所以 ,即 ,
则有 ,得证.
17.
(1)因为 ,且 ,
可知数列 是以首项为 ,公差为 的等差数列,
则 ,所以 .
(2)由(1)可知: ，
当 时,则 ,
且 符合上式,所以 ,
可得 ,
设数列 的前 项和为 ,
则 ,
所以数列 的前 项和为 .
18.
(2)
(3)
(1)由题意可得: ，即 ，
由离心率 ,所以 .
故椭圆方程为: .
(2)倾斜角为 ,可得斜率 .
设直线方程为: ,与椭圆联立:
代入得: ,
满足 ,即 .
则 .
设 ,
则中点横坐标: ,纵坐标: .
消去参数 得: ,
所以中点轨迹方程为: .
(3)
由题意可知直线 与椭圆交于 ,
设 ,
与椭圆联立方程: ,消去 可得 .
则 ,
根据 ,可得 ,即 ,
整理得: ,即 ,
可得: ,
因为 为常数,则 不恒成立.,则 ,得: .
19.(1) 由题意有 ,所以 .
设椭圆焦距为 ,易知椭圆过点 ,所以 .
又 ,所以 .
所以 ,即 ,解得 .
所以 ,故 的标准方程为 .
(2)(i)设 ， ， ，则 ，由题意有
直线 的斜率即 的斜率为 ,所以直线 的方程 . 所以 ,又 在椭圆上,
,
.
(ii) ,
而 ,
由 (i) 知 ,
,又 ,
,
.
当且仅当 ,即 时等号成立.
所以 . 的最小值为 .