甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026年高三下学期二诊摸底考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 甘肃陇南市宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学2025-2026年高三下学期二诊摸底考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026 年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学高三二 诊 摸底考试
数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. {1} C. {5} D.
2. 如图,设 ,线段 与 交于点 ,且 ,则 ( )
A. 4 B. 3
C. D. 5
3. 已知 为等差数列 的前 项和, 为其公差,且 ,给出以下命题:
① ；② ；③使得 取得最小值时的 为 6；④满足 成立的最小 值为 13. 其中正确命题有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知 直线 与直线 平行，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知一道解答题共有两小问, 某班 50 个人中有 30 个人能够解答出第一问. 在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1 ，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7 , 则解答出第二问的概率为 ( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
7. 点 到直线 的最大距离是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
8. 已知函数 若关于 的方程 有 4 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 为复数,则下列选项一定正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在 秒时相对于平衡位置的高度 (单位: ) 由关系式 确定,以 为横坐标, 为纵坐标,下列选项中正确的是 ( )
A. 小球在开始振动 时的位置离平衡位置的距离为
B. 当 时小球达到最高点
C. 小球往复运动一次经过的时间为 秒
D. 当 时,小球向下运动
11. 已知正方体 ,点 是侧面 内的动点 (不含边界),下列结论正确的是( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ,使得 平面
C. 若正方体棱长为 为侧面 的中心,则四棱锥 的外接球体积为
D. 若正方体棱长为 2, 为线段 的中点, 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一批电阻的阻值 (单位: ) 服从正态分布 ,现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为 和 ,可以认为_____. (填写①②③④ 中, 正确结论的序号)
①甲、乙两箱电阻均可出厂;
②甲、乙两箱电阻均不可出厂;
③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；
④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.
13. 过直线 上一点 作圆 的两条切线,切点分别为 ，则线段 的长度的范围是_____.
14. 已知数列 ,将 中的项按从小到大的顺序插入 中,且在任意的 之间插入 项，从而构成一个新数列 ,设 的前 项和为 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平面四边形 中, .
(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)若 ，求 .
16. 在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，侧面 是正三角形且垂直于底面 是 的中点， 为 的中点，求:
(1)异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)点 到平面 的距离；
(3)二面角 的余弦值.
17. 已知椭圆 的离心率为 分别是 的上、下顶点,且 .
(1)求 的方程.
(2)已知 是 上异于 的两个不同的点.
(i) 若 关于 轴对称,证明: 直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 若直线 经过点 ,证明: 直线 与 的交点在定直线上.
18. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)若曲线 在 处的切线垂直于直线 ,对任意 ， 恒成立,求实数 的最大值;
(3)若 为函数 的极值点,求证: .
19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 ，分裂成两个新细胞的概率为 ; 新细胞在下一个周期 内可以继续分裂,每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞,在第一个周期 内开始分裂,记 个周期结束后,细胞的数量为 ,其中 .
(1)若 ，求 的分布列和数学期望；
(2)求 ；
(3)求证: .
1. C
,则 .
故选: C.
2. D
,
又 ,故 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 三点共线,所以 ,
故 .
故选: D
3. D
对于①:因为 ,所以 ,
所以 ,故①正确；
对于②:因为 ，所以 ，
所以 ,故②正确；
对于③:因为 ，所以 为单调递增数列，
所以等差数列 中前 6 项均小于 0,则使得 取得最小值时的 为 6,故③正确；
对于④: 因为 ,且 为单调递增数列,且 ,
所以 ,且满足 成立的最小 值为 13 . 故④正确.
故选: D
4. A
因为直线 与直线 平行,
所以 ,即 ,解得 或 .
当 时, ,满足平行条件.
当 时, ,满足平行条件.
所以,两直线平行时 或 .
因此 是 的充分不必要条件.
5. D
由函数 在 上单调递减,
则函数 在 上单调递减,
且 在 上恒成立,
则有 ,解得 ,
故实数 的取值范围为 .
故选: D.
6.
设“解出第一问”为事件 ，“解出第二问”为事件 ，
由题意可得: ,
则 ,
所以 .
故选: B.
7. B
把直线 的方程重新整理得: ,
因为该等式对任意 都成立,所以 ,解得 ,
即直线 恒过定点 .
当直线 绕点 旋转时,点 到直线的距离会发生变化,
而当 时，距离达到最大值，即点 到直线 的最大距离，就是点 到定点 的距离,
此时 .
8. A
:
当 时, 在 上为减函数,且 ,
当 时, 在 上为增函数,且 ,
当 时, 在 上为增函数,且 ,
作出函数 的图象如图所示:
设 ,
当 时,方程 有 1 个解,
当 时,方程 有 2 个解,
当 时,方程 有 3 个解,
当 时,方程 有 2 个解,
当 时,方程 有 1 个解,
当 时,方程 有 0 个解,
方程 等价为 ,解得 ,
要使关于 的方程 恰有 4 个不相等的实数根,方程 有 1 个解,
所以 时,方程 有 3 个解,所以 ,即得 .
故选: A.
9. AC
对于 ,设 ,
则 ;
正确;
对于 ,若 ,则 ,则 错误;
对于 ,设 ,则 ,
正确;
对于 ,若 ,则 ,
, D 错误.
故选: AC.
10. ACD
对 A: 因为 ,所以小球在开始振动 时的位置离平衡位置的距离为 ,故 A 正确;
对 B: 因为 ,所以当 时小球位于平衡位置,故 B 错误;
对 : 因为 ,所以小球往复运动一次经过的时间为 秒,故 正确;
对 D: 因为 ,所以 ,因为正弦函数 在 上单调递减, 所以当 时,小球向下运动,故 正确.
故选: ACD
11. AC
对于选项 : 因为平面 平面 , 可知点 到平面 的距离为正方体棱长,设为 ,
所以三棱锥 的体积为 ,故 A 正确;
对于选项 B:因为 为正方形，则 ，
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ,可得 平面 ,
由 平面 可得 ,
同理可得: ,
且 平面 ,可得 平面 ,
但点 是侧面 内,即点 不与点 重合,
所以不存在点 ,使得 平面 ,故 错误;
对于选项 : 因为 为侧面 的中心,则 ,
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ,可得 ,
取 的中点 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,即 ,
可知三棱锥 的外接球的球心为 ,半径 ,
所以三棱锥 的外接球体积为 ，故 C 正确；
对于选项 D: 取 的中点 ,连接 ,
可知 ,且 ,
因为 平面 ,则 平面 ,
可知 与平面 所成角为 ,则 ,
可知点 在平面 内的轨迹为圆 (虚线所示),
点 在侧面 内的轨迹为四段圆弧 (实线线所示),
取 的中点 ,则 ,
即 ,则 ,
结合对称性可知: 点 的轨迹长度为 ,故 错误;
故选: AC.
12. ③
依题意 ,
所以甲箱电阻可出厂, 乙箱电阻不可出厂.
故答案为:③
13.
由题意知, ,
则圆心 ,半径 ,
如图,过点 作圆 的两条切线 ,切点分别为 ,
连接 ,则 ,易知 ,
所以 ,有 ,
所以 ,得 ,
当 最小时, 取得最大值,即点 到直线 的距离为
，此时 ，所以 ；
又 三点不共线， 为圆 的一条弦，所以 ，
所以 ,即线段 的长度的取值范围为 .
故答案为:
14. 2803
由题意可得 中间插入 2 项 中间插入 4 项 ,
中间插入 6 项 中间插入 8 项 ,
中间插入 10 项 中间插入 12 项 ,
所以 的前 40 项中 有 6 项, 有 34 项,
所以
.
故答案为:2803.
15.
(2)
(1)在 中, ,
,可得 ,
在 中,由余弦定理得 ,
.
(2)设 ，则 ，
在 中， ，易知: ，
在 中,由正弦定理得 ,即 ,
,可得 ,即 .
16.
(2)
(3)
(1)以 为原点，如图建立空间直角坐标系，因为 ，
则 .
所以 .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
(2)因为 ，设平面 的法向量为 .
则 ,两式相减得 .
令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以点 到平面 的距离为
(3)因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， 由于平面 的法向量为 .
所以二面角 的余弦值为 .
17.( 1 ) ,解得 ,
离心率 ,解得 ,
;
(2)(i)证明:设 ，则 ， ，
即 ,又 ,
,
故直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 证明: 由题可知直线 斜率存在,
设直线方程为 ,
直线 的方程为 ①,
则直线 的方程为 ②,
由①②两式解得
,
所以直线 与 的交点在定直线 上.
18.(1) ,定义域为 ,
所以 ,
当 时, ,故 在 上单调递增,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
综上: 当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)因为 ，曲线 在 处的切线垂直于直线 ，
则 在 处的切线的斜率为 ,即 ,解得: ,
则 .
对任意 恒成立,即对任意 , 即对任意 ， 恒成立，
令 ,
,令 ,得 ,
当 时， ， 为减函数；
当 时, 为增函数;
,则实数 的最大值 .
(3)函数 ， ， 因为 为函数 的极值点,所以 ,所以 , 要证明不等式: 成立,只需证 , 令 ,
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ,即 ,所以 ,
当 时,因为 ,所以 .
当 时,因为 ,所以 ,所以 ,
要证 成立,只需证 ,
即证 对 成立.
令 ,因为 ,
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ,即 时, 成立.
综上所述, 原不等式成立.
19. (1) 的可能取值为1,2,3,4,
其中 ,
所以 分布列为
1 2 3 4
4 9
(2) 个周期结束后共有 2 个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个细胞.
不妨设细胞在第 个周期时分裂为 2 个细胞，之后一直有 2 个细胞，
此事件概率 ,
所以
(3) 个周期结束后共有 3 个细胞，设细胞在第 个周期时分裂为 2 个新的细胞， 这两个细胞在剩下的 个周期中，其中一个分裂为 2 个细胞，
另一个一直保持分裂为 1 个细胞, 此事件的概率
得 ,
其中 .
令 ,
记 ,令 ,得 .
当 单调递增;
当 单调递减,
故 ,
即 .
数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. {1} C. {5} D.
2. 如图,设 ,线段 与 交于点 ,且 ,则 ( )
A. 4 B. 3
C. D. 5
3. 已知 为等差数列 的前 项和, 为其公差,且 ,给出以下命题:
① ；② ；③使得 取得最小值时的 为 6；④满足 成立的最小 值为 13. 其中正确命题有( )个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知 直线 与直线 平行，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知一道解答题共有两小问, 某班 50 个人中有 30 个人能够解答出第一问. 在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1 ，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7 , 则解答出第二问的概率为 ( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
7. 点 到直线 的最大距离是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
8. 已知函数 若关于 的方程 有 4 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 为复数,则下列选项一定正确的是 ( )
A. B.
C. D.
10. 如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在 秒时相对于平衡位置的高度 (单位: ) 由关系式 确定,以 为横坐标, 为纵坐标,下列选项中正确的是 ( )
A. 小球在开始振动 时的位置离平衡位置的距离为
B. 当 时小球达到最高点
C. 小球往复运动一次经过的时间为 秒
D. 当 时,小球向下运动
11. 已知正方体 ,点 是侧面 内的动点 (不含边界),下列结论正确的是( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ,使得 平面
C. 若正方体棱长为 为侧面 的中心,则四棱锥 的外接球体积为
D. 若正方体棱长为 2, 为线段 的中点, 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一批电阻的阻值 (单位: ) 服从正态分布 ,现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为 和 ,可以认为_____. (填写①②③④ 中, 正确结论的序号)
①甲、乙两箱电阻均可出厂;
②甲、乙两箱电阻均不可出厂;
③甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；
④甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.
13. 过直线 上一点 作圆 的两条切线,切点分别为 ，则线段 的长度的范围是_____.
14. 已知数列 ,将 中的项按从小到大的顺序插入 中,且在任意的 之间插入 项，从而构成一个新数列 ,设 的前 项和为 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平面四边形 中, .
(1)若 的面积为 ，求 ；
(2)若 ，求 .
16. 在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，侧面 是正三角形且垂直于底面 是 的中点， 为 的中点，求:
(1)异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)点 到平面 的距离；
(3)二面角 的余弦值.
17. 已知椭圆 的离心率为 分别是 的上、下顶点,且 .
(1)求 的方程.
(2)已知 是 上异于 的两个不同的点.
(i) 若 关于 轴对称,证明: 直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 若直线 经过点 ,证明: 直线 与 的交点在定直线上.
18. 已知函数 .
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)若曲线 在 处的切线垂直于直线 ,对任意 ， 恒成立,求实数 的最大值;
(3)若 为函数 的极值点,求证: .
19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 ，分裂成两个新细胞的概率为 ; 新细胞在下一个周期 内可以继续分裂,每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞,在第一个周期 内开始分裂,记 个周期结束后,细胞的数量为 ,其中 .
(1)若 ，求 的分布列和数学期望；
(2)求 ；
(3)求证: .
1. C
,则 .
故选: C.
2. D
,
又 ,故 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 三点共线,所以 ,
故 .
故选: D
3. D
对于①:因为 ,所以 ,
所以 ,故①正确；
对于②:因为 ，所以 ，
所以 ,故②正确；
对于③:因为 ，所以 为单调递增数列，
所以等差数列 中前 6 项均小于 0,则使得 取得最小值时的 为 6,故③正确；
对于④: 因为 ,且 为单调递增数列,且 ,
所以 ,且满足 成立的最小 值为 13 . 故④正确.
故选: D
4. A
因为直线 与直线 平行,
所以 ,即 ,解得 或 .
当 时, ,满足平行条件.
当 时, ,满足平行条件.
所以,两直线平行时 或 .
因此 是 的充分不必要条件.
5. D
由函数 在 上单调递减,
则函数 在 上单调递减,
且 在 上恒成立,
则有 ,解得 ,
故实数 的取值范围为 .
故选: D.
6.
设“解出第一问”为事件 ，“解出第二问”为事件 ，
由题意可得: ,
则 ,
所以 .
故选: B.
7. B
把直线 的方程重新整理得: ,
因为该等式对任意 都成立,所以 ,解得 ,
即直线 恒过定点 .
当直线 绕点 旋转时,点 到直线的距离会发生变化,
而当 时，距离达到最大值，即点 到直线 的最大距离，就是点 到定点 的距离,
此时 .
8. A
:
当 时, 在 上为减函数,且 ,
当 时, 在 上为增函数,且 ,
当 时, 在 上为增函数,且 ,
作出函数 的图象如图所示:
设 ,
当 时,方程 有 1 个解,
当 时,方程 有 2 个解,
当 时,方程 有 3 个解,
当 时,方程 有 2 个解,
当 时,方程 有 1 个解,
当 时,方程 有 0 个解,
方程 等价为 ,解得 ,
要使关于 的方程 恰有 4 个不相等的实数根,方程 有 1 个解,
所以 时,方程 有 3 个解,所以 ,即得 .
故选: A.
9. AC
对于 ,设 ,
则 ;
正确;
对于 ,若 ,则 ,则 错误;
对于 ,设 ,则 ,
正确;
对于 ,若 ,则 ,
, D 错误.
故选: AC.
10. ACD
对 A: 因为 ,所以小球在开始振动 时的位置离平衡位置的距离为 ,故 A 正确;
对 B: 因为 ,所以当 时小球位于平衡位置,故 B 错误;
对 : 因为 ,所以小球往复运动一次经过的时间为 秒,故 正确;
对 D: 因为 ,所以 ,因为正弦函数 在 上单调递减, 所以当 时,小球向下运动,故 正确.
故选: ACD
11. AC
对于选项 : 因为平面 平面 , 可知点 到平面 的距离为正方体棱长,设为 ,
所以三棱锥 的体积为 ,故 A 正确;
对于选项 B:因为 为正方形，则 ，
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ,可得 平面 ,
由 平面 可得 ,
同理可得: ,
且 平面 ,可得 平面 ,
但点 是侧面 内,即点 不与点 重合,
所以不存在点 ,使得 平面 ,故 错误;
对于选项 : 因为 为侧面 的中心,则 ,
又因为 平面 平面 ,则 ,
且 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ,可得 ,
取 的中点 ,可得 ,
又因为 ,可得 ,即 ,
可知三棱锥 的外接球的球心为 ,半径 ,
所以三棱锥 的外接球体积为 ，故 C 正确；
对于选项 D: 取 的中点 ,连接 ,
可知 ,且 ,
因为 平面 ,则 平面 ,
可知 与平面 所成角为 ,则 ,
可知点 在平面 内的轨迹为圆 (虚线所示),
点 在侧面 内的轨迹为四段圆弧 (实线线所示),
取 的中点 ,则 ,
即 ,则 ,
结合对称性可知: 点 的轨迹长度为 ,故 错误;
故选: AC.
12. ③
依题意 ,
所以甲箱电阻可出厂, 乙箱电阻不可出厂.
故答案为:③
13.
由题意知, ,
则圆心 ,半径 ,
如图,过点 作圆 的两条切线 ,切点分别为 ,
连接 ,则 ,易知 ,
所以 ,有 ,
所以 ,得 ,
当 最小时, 取得最大值,即点 到直线 的距离为
，此时 ，所以 ；
又 三点不共线， 为圆 的一条弦，所以 ，
所以 ,即线段 的长度的取值范围为 .
故答案为:
14. 2803
由题意可得 中间插入 2 项 中间插入 4 项 ,
中间插入 6 项 中间插入 8 项 ,
中间插入 10 项 中间插入 12 项 ,
所以 的前 40 项中 有 6 项, 有 34 项,
所以
.
故答案为:2803.
15.
(2)
(1)在 中, ,
,可得 ,
在 中,由余弦定理得 ,
.
(2)设 ，则 ，
在 中， ，易知: ，
在 中,由正弦定理得 ,即 ,
,可得 ,即 .
16.
(2)
(3)
(1)以 为原点，如图建立空间直角坐标系，因为 ，
则 .
所以 .
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
(2)因为 ，设平面 的法向量为 .
则 ,两式相减得 .
令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以点 到平面 的距离为
(3)因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， 由于平面 的法向量为 .
所以二面角 的余弦值为 .
17.( 1 ) ,解得 ,
离心率 ,解得 ,
;
(2)(i)证明:设 ，则 ， ，
即 ,又 ,
,
故直线 与 的斜率之积为定值;
(ii) 证明: 由题可知直线 斜率存在,
设直线方程为 ,
直线 的方程为 ①,
则直线 的方程为 ②,
由①②两式解得
,
所以直线 与 的交点在定直线 上.
18.(1) ,定义域为 ,
所以 ,
当 时, ,故 在 上单调递增,
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ,
故 在 上单调递增,在 上单调递减,
综上: 当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)因为 ，曲线 在 处的切线垂直于直线 ，
则 在 处的切线的斜率为 ,即 ,解得: ,
则 .
对任意 恒成立,即对任意 , 即对任意 ， 恒成立，
令 ,
,令 ,得 ,
当 时， ， 为减函数；
当 时, 为增函数;
,则实数 的最大值 .
(3)函数 ， ， 因为 为函数 的极值点,所以 ,所以 , 要证明不等式: 成立,只需证 , 令 ,
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ,即 ,所以 ,
当 时,因为 ,所以 .
当 时,因为 ,所以 ,所以 ,
要证 成立,只需证 ,
即证 对 成立.
令 ,因为 ,
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，
所以 ,即 时, 成立.
综上所述, 原不等式成立.
19. (1) 的可能取值为1,2,3,4,
其中 ,
所以 分布列为
1 2 3 4
4 9
(2) 个周期结束后共有 2 个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个细胞.
不妨设细胞在第 个周期时分裂为 2 个细胞，之后一直有 2 个细胞，
此事件概率 ,
所以
(3) 个周期结束后共有 3 个细胞，设细胞在第 个周期时分裂为 2 个新的细胞， 这两个细胞在剩下的 个周期中，其中一个分裂为 2 个细胞，
另一个一直保持分裂为 1 个细胞, 此事件的概率
得 ,
其中 .
令 ,
记 ,令 ,得 .
当 单调递增;
当 单调递减,
故 ,
即 .
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