贵州省六盘水市钟山区2026届高三下学期高考第二次适应性考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 贵州省六盘水市钟山区2026届高三下学期高考第二次适应性考试数学试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 150.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 届高三下学期第二次适应性考试 数学试题
一、单项选择题(本题 8 共小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题只有一个选项 符合题目要求)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 均为整数是 为整数的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 ，则 ( )
A. 0 B. 1 C. D.
4. 的二项展开式的第 6 项系数是( )
A. B. C. D.
5. 一艘轮船从 处出发，沿着正东方向行驶到 处，再从 处向北偏西 方向行驶 千米到达 处,此时, 处在 处的东北方向,则 两处之间的距离是 ( )
A. 30 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的图象过点 ,且无限接近直线 ,但又不与该直线相交,则 的值为 ( )
A. -4 B. 4 C. -4 或 -1 D. -1
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 为椭圆上关于原点对称的两点, 点在第一象限,若 ,则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则( )
A. 是偶函数
B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球, 其中甲袋子里有 2 个红球, 乙袋子里有 3 个红球和 2 个白球. 现从乙袋子里随机取出 2 个球放入甲袋子里, 再从甲袋子里随机取出 1 个球. 记从甲袋子里取出红球的个数为 ,则()
A. B.
C. D.
11. 正四棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ， ， ，过 的中点 作球 的截面 ，则( )
A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 平面 与平面 夹角的余弦值是
C.
D. 截面 的面积的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角的余弦值为_____.
13. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为_____.
14. 已知在三棱锥 中, 底面 . 半径为 的球 与三棱锥的四个面都相切,则 _____；若半径为 的球 与面 ，面 ,面 及球 都相切,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知数列 .
(1)若 是等差数列，求 的通项公式；
(2)设 ,证明: 数列 是等比数列.
16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们到气象局和医院抄录了 1~7 月份每月 5 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:
日期 1月 5 日 2 月 5 日 3 月 5 日 4月5日 5 月 5 日 6月5日 7月5日
昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6
感冒人数 23 25 29 26 16 13 9
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这 7 组数据中选取 2 组，用剩下的 5 组数据求经验回归方程, 再用被选取的 2 组数据进行检验.
(1)求选取的 2 组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据剩下 5 个月份的数据:
① 求出 关于 的经验回归方程 ；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的经验回归方程是理想的, 问: 该小组所得经验回归方程是否理想 说明理由.
附: .
17. 如图,平行六面体 的底面 是正方形, ,且 分别是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2) 求 与平面 所成角的余弦值.
18. 已知中心在原点的椭圆 的一个焦点为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 在 上,
①若 是 与 轴的一个交点， 是 与 轴的一个交点，求 的面积的最大值；
② 记线段 中点为 ，记 的面积为 ，判断 是否为定值， 并说明理由.
19. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 分别为左、右焦点, 为右顶点, 为 左支上的两个动点 (不包括顶点).
(1)求 的离心率；
(2)是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由;
(3)若 为定值，直线 经过 ，求 的最小值.
1. B
根据题意, ,
所以 .
2. A
若 为整数,则 为整数,故充分性成立;
若 ,则 为整数,但 不为整数,故必要性不成立,
故 均为整数是 为整数的充分不必要条件.
3. D
由 , 则 .
4. C
的二项展开式的第 6 项为 , 所以第 6 项系数是 .
5. B
如图,由题意可知 千米, , 则由正弦定理知 千米.
6. B
由题意可得 ,
令 ,得 ,此时 ,
所以 图象的对称中心是 .
7. A
由题知, ,即 ,
又 ,则 ,解得 ,
由对数函数性质, 无限接近 ,
则 时, ,即 ,
故 ,解得 ,则
8. C
因为点 为椭圆上关于原点对称的两点, 点在第一象限, 则 为 的中点,结合 ,所以四边形 为矩形,
所以 ,而 ,
则 ,整理得 ,
所以 ,结合 在第一象限,可知 ,
所以 ,
由椭圆的对称性可知 ,由 可得 ,
即 ,所以 ,整理得 ,
所以 ,即椭圆 的离心率的取值范围为 .
9. BCD
函数 可化为 ,据此分析各选项:
A: 取 ,则: ,
由于 ,因此 不是偶函数, 选项错误;
B: 正弦型函数的最小正周期为 选项正确;
C: 当 时,令 ,
由于 在 上单调递增,
且 在 上单调递增,故 选项正确;
D: 令 ,解得 ,
当 时, ,即 的一个对称中心为 ,故 选项正确.
10.
设从乙袋子中取出 2 个红球为事件 ,则 ,
从乙袋子中取出 2 个白球为事件 ,则 ,
从乙袋子中取出 1 个红球和 1 个白球为事件 ,则 ,
由题意, 的可能取值为 0 和 1,
则
,故 A 错误, 正确;
所以 ,故 正确, 错误.
11. ACD
如图,作 平面 ,则 为线段 的中点,
是直线 与平面 所成的角.
因为 ,所以 ,
所以 正确.
取棱 的中点 ,连接 .
由正棱锥的性质知点 在线段 上， ，
则 .
由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面 的夹角或其补角,
则平面 与平面 夹角的余弦值是 错误.
因为 ,所以 在正四棱锥 外部,连接 ,
则 ,解得 正确.
连接 ,当截面 垂直于 时,截面 的面积最小.
因为 ,
所以截面 的面积的最小值为 , D 正确.
12.
由 可得 ,
因为 为单位向量,故 ,
故 ,
故答案为:
13.
由余弦定理可得, ,
因为 ,所以 ,
故 的面积为 .
14.
因为 ，
所以 ,
所以三棱锥 的体积 .
又 底面 ,所以 ,
在 中,由余弦定理得 ,
所以 ,
所以 ,
所以三棱锥 的表面积为 ，
所以 ,所以 .
如图,建立空间直角坐标系,则 ,
所以 ,
因为两球相切,且 ,
所以两球外切,即 ,
由题意知球 与四个面均相切,是三棱锥 的内切球,
球 与面 ,面 ,面 这三个面相切,
所以球心 比 靠近点 ,即 ,
所以 ,解得 .
15. (1)由题意 .
因为 是等差数列,所以公差 .
所以 .
满足 ,符合题设条件,
所以 的通项公式为 .
(2)因为 ，
所以 ,
由 及 可知 ,则 ,所以 ,
所以 是等比数列.
16.(1)记事件 为“选取的 2 组数据是不相邻的两个月”，
则 .
(2)①由题意， ， .
1 3 2 -2 -4
4 8 5 -5 -12
则 ,
即 ,
所以 关于 的经验回归方程为 .
② 当 时， ， ；
当 时, .
所以该小组所得经验回归方程是理想的.
17.(1)因为 分别是 的中点,所以 是 的中位线，得 , 又因为 分别是 的中点,所以 ,
在平行六面体中, ,因此 ,
平面 平面 ,故 平面 ;
由 是 中点, 是 的中点,
结合平行六面体的性质可得 ,且 ,
所以四边形 是平行四边形,得 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ,且 平面 ,因此平面 平面 ;
(2)
如图以 为原点建立空间直角坐标系,不妨设 ,
根据题设条件得各点坐标 ,
设 ,则由 ,且 ,
可得 都是等边三角形,即 ,
则 ,解得 ,即 ,所以 ,
取平面 中向量: ,
设平面 的法向量 ,
则 ,不妨令 ,则 ,
即平面 的法向量 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因为 为锐角,所以 ,
即 与平面 所成角的余弦值为 .
18. (1)因为椭圆 的一个焦点为 ，所以 ，所以 ， 所以可设椭圆的标准方程为 ,
又因为椭圆 过点 ,所以 ,
解方程可得 或 (舍去).
所以椭圆 的标准方程为 ;
(2)①由椭圆的对称性，不妨取 ，
则直线 的方程为 ,即 ,
设 ,则 到直线 的距离
所以当 时, ,又 ,
所以 的面积的最大值为 ；
② 为定值，且定值为 ，理由如下:
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,
整理得 ,所以 ,
因为线段 中点为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又 在 上,所以 ,
整理得 ,所以 ,
又
又点 到直线 的距离 ,
所以 .
又因为线段 中点为 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,
所以 是否为定值,定值为 ;
当直线 的斜率不存在时,线段 的中点 在 轴上,
由对称性不妨取 ,此时 ,此时 ;
综上所述: 为定值,且定值为 .
19.(1) 由题意 ,所以 , 所以 的离心率 .
(2)① 当 时， ， ， 此时 ,有 .
② 当 时,可得 的斜率都存在,设 ,
则 ,
因为 ,
即 ,其中 为锐角,
即 ,
所以 ,即 .
所以存在常数 ,使得 总成立.
(3)由对称性，设直线 的方程为 ，代入 ， 得 ,即 ,
所以 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 单调递增,所以 的最小值为 ,
所以 ,当且仅当 “ ” 时,取等号.
由(2)可知 ，
所以 .
所以
当且仅当 “ 且 ” 时,取等号.
所以 的最小值为 .
一、单项选择题(本题 8 共小题，每小题 5 分，共 40 分. 每小题只有一个选项 符合题目要求)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 均为整数是 为整数的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 ，则 ( )
A. 0 B. 1 C. D.
4. 的二项展开式的第 6 项系数是( )
A. B. C. D.
5. 一艘轮船从 处出发，沿着正东方向行驶到 处，再从 处向北偏西 方向行驶 千米到达 处,此时, 处在 处的东北方向,则 两处之间的距离是 ( )
A. 30 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的对称中心的坐标是( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的图象过点 ,且无限接近直线 ,但又不与该直线相交,则 的值为 ( )
A. -4 B. 4 C. -4 或 -1 D. -1
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 为椭圆上关于原点对称的两点, 点在第一象限,若 ,则椭圆 的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则( )
A. 是偶函数
B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象关于点 对称
10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球, 其中甲袋子里有 2 个红球, 乙袋子里有 3 个红球和 2 个白球. 现从乙袋子里随机取出 2 个球放入甲袋子里, 再从甲袋子里随机取出 1 个球. 记从甲袋子里取出红球的个数为 ,则()
A. B.
C. D.
11. 正四棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ， ， ，过 的中点 作球 的截面 ，则( )
A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 平面 与平面 夹角的余弦值是
C.
D. 截面 的面积的最小值是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角的余弦值为_____.
13. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为_____.
14. 已知在三棱锥 中, 底面 . 半径为 的球 与三棱锥的四个面都相切,则 _____；若半径为 的球 与面 ，面 ,面 及球 都相切,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知数列 .
(1)若 是等差数列，求 的通项公式；
(2)设 ,证明: 数列 是等比数列.
16. 某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们到气象局和医院抄录了 1~7 月份每月 5 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料:
日期 1月 5 日 2 月 5 日 3 月 5 日 4月5日 5 月 5 日 6月5日 7月5日
昼夜温差 10 11 13 12 8 7 6
感冒人数 23 25 29 26 16 13 9
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这 7 组数据中选取 2 组，用剩下的 5 组数据求经验回归方程, 再用被选取的 2 组数据进行检验.
(1)求选取的 2 组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据剩下 5 个月份的数据:
① 求出 关于 的经验回归方程 ；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的经验回归方程是理想的, 问: 该小组所得经验回归方程是否理想 说明理由.
附: .
17. 如图,平行六面体 的底面 是正方形, ,且 分别是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2) 求 与平面 所成角的余弦值.
18. 已知中心在原点的椭圆 的一个焦点为 ,且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 在 上,
①若 是 与 轴的一个交点， 是 与 轴的一个交点，求 的面积的最大值；
② 记线段 中点为 ，记 的面积为 ，判断 是否为定值， 并说明理由.
19. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 分别为左、右焦点, 为右顶点, 为 左支上的两个动点 (不包括顶点).
(1)求 的离心率；
(2)是否存在常数 ，使得 总成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由;
(3)若 为定值，直线 经过 ，求 的最小值.
1. B
根据题意, ,
所以 .
2. A
若 为整数,则 为整数,故充分性成立;
若 ,则 为整数,但 不为整数,故必要性不成立,
故 均为整数是 为整数的充分不必要条件.
3. D
由 , 则 .
4. C
的二项展开式的第 6 项为 , 所以第 6 项系数是 .
5. B
如图,由题意可知 千米, , 则由正弦定理知 千米.
6. B
由题意可得 ,
令 ,得 ,此时 ,
所以 图象的对称中心是 .
7. A
由题知, ,即 ,
又 ,则 ,解得 ,
由对数函数性质, 无限接近 ,
则 时, ,即 ,
故 ,解得 ,则
8. C
因为点 为椭圆上关于原点对称的两点, 点在第一象限, 则 为 的中点,结合 ,所以四边形 为矩形,
所以 ,而 ,
则 ,整理得 ,
所以 ,结合 在第一象限,可知 ,
所以 ,
由椭圆的对称性可知 ,由 可得 ,
即 ,所以 ,整理得 ,
所以 ,即椭圆 的离心率的取值范围为 .
9. BCD
函数 可化为 ,据此分析各选项:
A: 取 ,则: ,
由于 ,因此 不是偶函数, 选项错误;
B: 正弦型函数的最小正周期为 选项正确;
C: 当 时,令 ,
由于 在 上单调递增,
且 在 上单调递增,故 选项正确;
D: 令 ,解得 ,
当 时, ,即 的一个对称中心为 ,故 选项正确.
10.
设从乙袋子中取出 2 个红球为事件 ,则 ,
从乙袋子中取出 2 个白球为事件 ,则 ,
从乙袋子中取出 1 个红球和 1 个白球为事件 ,则 ,
由题意, 的可能取值为 0 和 1,
则
,故 A 错误, 正确;
所以 ,故 正确, 错误.
11. ACD
如图,作 平面 ,则 为线段 的中点,
是直线 与平面 所成的角.
因为 ,所以 ,
所以 正确.
取棱 的中点 ,连接 .
由正棱锥的性质知点 在线段 上， ，
则 .
由正四棱锥的性质易证 是平面 与平面 的夹角或其补角,
则平面 与平面 夹角的余弦值是 错误.
因为 ,所以 在正四棱锥 外部,连接 ,
则 ,解得 正确.
连接 ,当截面 垂直于 时,截面 的面积最小.
因为 ,
所以截面 的面积的最小值为 , D 正确.
12.
由 可得 ,
因为 为单位向量,故 ,
故 ,
故答案为:
13.
由余弦定理可得, ,
因为 ,所以 ,
故 的面积为 .
14.
因为 ，
所以 ,
所以三棱锥 的体积 .
又 底面 ,所以 ,
在 中,由余弦定理得 ,
所以 ,
所以 ,
所以三棱锥 的表面积为 ，
所以 ,所以 .
如图,建立空间直角坐标系,则 ,
所以 ,
因为两球相切,且 ,
所以两球外切,即 ,
由题意知球 与四个面均相切,是三棱锥 的内切球,
球 与面 ,面 ,面 这三个面相切,
所以球心 比 靠近点 ,即 ,
所以 ,解得 .
15. (1)由题意 .
因为 是等差数列,所以公差 .
所以 .
满足 ,符合题设条件,
所以 的通项公式为 .
(2)因为 ，
所以 ,
由 及 可知 ,则 ,所以 ,
所以 是等比数列.
16.(1)记事件 为“选取的 2 组数据是不相邻的两个月”，
则 .
(2)①由题意， ， .
1 3 2 -2 -4
4 8 5 -5 -12
则 ,
即 ,
所以 关于 的经验回归方程为 .
② 当 时， ， ；
当 时, .
所以该小组所得经验回归方程是理想的.
17.(1)因为 分别是 的中点,所以 是 的中位线，得 , 又因为 分别是 的中点,所以 ,
在平行六面体中, ,因此 ,
平面 平面 ,故 平面 ;
由 是 中点, 是 的中点,
结合平行六面体的性质可得 ,且 ,
所以四边形 是平行四边形,得 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ,且 平面 ,因此平面 平面 ;
(2)
如图以 为原点建立空间直角坐标系,不妨设 ,
根据题设条件得各点坐标 ,
设 ,则由 ,且 ,
可得 都是等边三角形,即 ,
则 ,解得 ,即 ,所以 ,
取平面 中向量: ,
设平面 的法向量 ,
则 ,不妨令 ,则 ,
即平面 的法向量 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
因为 为锐角,所以 ,
即 与平面 所成角的余弦值为 .
18. (1)因为椭圆 的一个焦点为 ，所以 ，所以 ， 所以可设椭圆的标准方程为 ,
又因为椭圆 过点 ,所以 ,
解方程可得 或 (舍去).
所以椭圆 的标准方程为 ;
(2)①由椭圆的对称性，不妨取 ，
则直线 的方程为 ,即 ,
设 ,则 到直线 的距离
所以当 时, ,又 ,
所以 的面积的最大值为 ；
② 为定值，且定值为 ，理由如下:
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
联立 ,得 ,
整理得 ,所以 ,
因为线段 中点为 ,所以 ,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
又 在 上,所以 ,
整理得 ,所以 ,
又
又点 到直线 的距离 ,
所以 .
又因为线段 中点为 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,
所以 是否为定值,定值为 ;
当直线 的斜率不存在时,线段 的中点 在 轴上,
由对称性不妨取 ,此时 ,此时 ;
综上所述: 为定值,且定值为 .
19.(1) 由题意 ,所以 , 所以 的离心率 .
(2)① 当 时， ， ， 此时 ,有 .
② 当 时,可得 的斜率都存在,设 ,
则 ,
因为 ,
即 ,其中 为锐角,
即 ,
所以 ,即 .
所以存在常数 ,使得 总成立.
(3)由对称性，设直线 的方程为 ，代入 ， 得 ,即 ,
所以 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 单调递增,所以 的最小值为 ,
所以 ,当且仅当 “ ” 时,取等号.
由(2)可知 ，
所以 .
所以
当且仅当 “ 且 ” 时,取等号.
所以 的最小值为 .
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