天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 66.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
和平区 2025-2026 学年度第二学期高三年级第一次质量调查 数学学科试卷
第 I 卷 (选择题共 45 分)
监测注意事项:
1. 答第 I 卷前, 务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上.
2. 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦净后, 再选涂其他答案标号.
3. 本卷共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分.
参考公式:
锥体的体积公式 ,其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高.
柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.
如果事件 互斥,则 .
如果事件 相互独立,则 .
任意两个事件 与 ,若 ,则 .
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. “ ”是“函数 在区间 上为减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 是偶函数，则实数 ( )
A. -1 B. C. 1 D. 2
4. 已知下列三个命题:其中真命题的序号是( )
①数据 的第 60 百分位数为 3 ；
② 若随机变量 服从二项分布 ，则 ；
③若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
5. 若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 在正三棱柱 中， 为 的中点，则以下结论错误的是( )
A. 面 B.
C. 面 D. 平面
7. 已知双曲线 的上，下焦点分别为 ，抛物线 的准线 过点 ，且 与 的一条渐近线交于点 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的方程为()
A. B.
C. D.
8. 已知 ,各项均为正数的数列 的前 项和为 ,数列 的前 项积为 ,且 成立,则 ( )
A. B. C. D.
9. 已知函数 的导函数 的部分图象如下图,记 ,则函数 在区间 上的值域为( )
A. B.
C. D.
第 II 卷 (非选择题共 105 分)
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 试题中包含两个空的， 答对 1 个的给 3 分, 全部答对的给 5 分)
10. 为虚数单位，复数 的共轭复数为_____.
11. 在 的展开式中， 的系数为_____. (用数字作答)
12. 已知圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 4 个，则实数 的取值范围为_____.
13. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 ,且各人正确与否相互之间没有影响. 用 表示甲队的总得分，则随机变量 的数学期望为_____；用 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3 ”这一事件，用 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则 _____.
14. 已知梯形 面积为 为 上靠近点 的四等分点, 为线段 上一点,且满足 ,则 _____. 的最小值为_____.
15. 已知 . 若存在实数 ,满足有且仅有三个不同的实数 使得下列关于 的方程 在 等于 时均无解. 则 的取值范围是_____.
三、解答题(本大题共 5 小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤)
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的值；
(2)已知 .
(i) 若 的外接圆半径为 ,求 的值;
(ii) 求 的值.
17. 在直四棱柱 中,底面 是平行四边形,且 , ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积
18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 4
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆交于 两点，若点 ，且点 关于 轴的对称点在直线 上,求直线 的方程.
19. 已知 ,等比数列 的前 项和为 ,正项等差数列 的首项为 5, 且 成等比数列.
(1)求数列 与数列 的通项公式:
(2)设 ， . 求证:若 ， 满足 ,且有序实数对 ,则 .
(3)设 ,求集合 的所有元素之和 .
20. 已知函数
( 1 )若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知实数 ,且 .
(i) 证明: ;
(ii) 若 与 是函数 的两个极值点,证明: .
1. B
2. A
3. C
4. A
5. B
6. D
7. D
8. C
9. B
10.
11.
12.
13. 2
14.
15.
16. (1)
(2) (i) ; (ii)
解: (I) 由 整理得 ,由余弦定理 ,故 .
(II) 由正弦定理 ,已知 可变形为 ,即 ,所以 .
(i) 由 ,故 ,由 的外接圆半径为 , 由正弦定理 ,故 ,故 .
(ii) 由 可知 ,故 , 由 ,
所以, .
17.
(2)
(3)1
解: 由 ,直四棱柱 ,有 平面 ,故以点 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如下图所示的空间直角坐标系. 易知 ,
由 分别为 的中点,故 .
(I) 易知
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(II) 设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
(III) 设点 到平面 的距离为 .
由 ,有 ,故 .
18. .
(2) 或 .
解: (I) 依题意 又 ,
解得
故椭圆方程为 .
(II) 直线 斜率不存在时,直线 的方程为 ,满足题意.
直线 斜率存在时,设直线 的方程为 ,点 ,点 ,
联立
整理得
直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
由题意有 ,
即 ,即 ,
整理得 ,
故 ,
解得 ,直线 的方程为 .
综上,直线 的方程为 或 .
19. 解: (I) 设等比数列公比为 ,故 .
设等差数列公差为 ,
由已知有 ,
解得 ,即 ,
则 或 (舍),
则
(II) 证明: 不妨先设 ,
可知 时也成立,
假设 ,即 成立,
若 ,不妨设 ,则 等价于 ,
因等式左侧不是 3 的倍数, 等式右侧为 3 的倍数, 所以左式与右式不相等, 与假设矛盾,
所以假设不成立,此时 . 同理 时, ;
若 ,则 ,不妨设 ,
因为 ,
故
. 同理 时, .
综上当 时, .
(III) 先证取不同的 的值各不相同,不妨设 ,
所以 ,
而 ,
所以 ,
由 (II) 可知,对不同的 取值, 均不相同.
故 .
考虑 中含有 个 个 个 ,
因此 .
法(一)
两式做差有
,
所以, .
法(二)
设 ,
,两式作差,
,
所以, ,又 ,
所以,
20.解: (I) ,
由 为增函数,有 ,整理有 对任意 成立.
设 ,则 ,
令 ,解得 ;
令 ,解得 ,则有 在 上单调递增,在 上单调递减, 故 ,所以 的取值范围为 .
(II) (i) 要证 成立,
即证 成立.
由 (I) 有 时, 单调递增,
因为 ,则 ,
即 ,整理 ,
即证 成立.
构建 ,则 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,当且仅当 时等号成立,
令 ,可得 ,故 成立,所以原不等式成立.
(ii) 由已知可得 有两不同实根为 ,
即 ,
一方面: 由 (I) 可知 ,有 ;
同理可得 ,构建 ,则 ,
当 时， ，当 时， ，且 ，
故 对任意 恒成立,故 在 上单调递减,
由 ,则 ,
即 ,且 ,
则 ,故 ,可得 ;
另一方面: 又因为 ,由 (i) 可得 ,即 ,
则 ,且 ,可得 ;
综上, ,可得 ,
则 得证.
第 I 卷 (选择题共 45 分)
监测注意事项:
1. 答第 I 卷前, 务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上.
2. 每小题选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦净后, 再选涂其他答案标号.
3. 本卷共 9 小题, 每小题 5 分, 共 45 分.
参考公式:
锥体的体积公式 ,其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高.
柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.
如果事件 互斥,则 .
如果事件 相互独立,则 .
任意两个事件 与 ,若 ,则 .
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. “ ”是“函数 在区间 上为减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 是偶函数，则实数 ( )
A. -1 B. C. 1 D. 2
4. 已知下列三个命题:其中真命题的序号是( )
①数据 的第 60 百分位数为 3 ；
② 若随机变量 服从二项分布 ，则 ；
③若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ；
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
5. 若 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 在正三棱柱 中， 为 的中点，则以下结论错误的是( )
A. 面 B.
C. 面 D. 平面
7. 已知双曲线 的上，下焦点分别为 ，抛物线 的准线 过点 ，且 与 的一条渐近线交于点 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线 的方程为()
A. B.
C. D.
8. 已知 ,各项均为正数的数列 的前 项和为 ,数列 的前 项积为 ,且 成立,则 ( )
A. B. C. D.
9. 已知函数 的导函数 的部分图象如下图,记 ,则函数 在区间 上的值域为( )
A. B.
C. D.
第 II 卷 (非选择题共 105 分)
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 试题中包含两个空的， 答对 1 个的给 3 分, 全部答对的给 5 分)
10. 为虚数单位，复数 的共轭复数为_____.
11. 在 的展开式中， 的系数为_____. (用数字作答)
12. 已知圆 上到直线 的距离为 的点有且仅有 4 个，则实数 的取值范围为_____.
13. 甲、乙两队参加知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 ,且各人正确与否相互之间没有影响. 用 表示甲队的总得分，则随机变量 的数学期望为_____；用 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3 ”这一事件，用 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，则 _____.
14. 已知梯形 面积为 为 上靠近点 的四等分点, 为线段 上一点,且满足 ,则 _____. 的最小值为_____.
15. 已知 . 若存在实数 ,满足有且仅有三个不同的实数 使得下列关于 的方程 在 等于 时均无解. 则 的取值范围是_____.
三、解答题(本大题共 5 小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤)
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的值；
(2)已知 .
(i) 若 的外接圆半径为 ,求 的值;
(ii) 求 的值.
17. 在直四棱柱 中,底面 是平行四边形,且 , ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积
18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 4
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆交于 两点，若点 ，且点 关于 轴的对称点在直线 上,求直线 的方程.
19. 已知 ,等比数列 的前 项和为 ,正项等差数列 的首项为 5, 且 成等比数列.
(1)求数列 与数列 的通项公式:
(2)设 ， . 求证:若 ， 满足 ,且有序实数对 ,则 .
(3)设 ,求集合 的所有元素之和 .
20. 已知函数
( 1 )若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知实数 ,且 .
(i) 证明: ;
(ii) 若 与 是函数 的两个极值点,证明: .
1. B
2. A
3. C
4. A
5. B
6. D
7. D
8. C
9. B
10.
11.
12.
13. 2
14.
15.
16. (1)
(2) (i) ; (ii)
解: (I) 由 整理得 ,由余弦定理 ,故 .
(II) 由正弦定理 ,已知 可变形为 ,即 ,所以 .
(i) 由 ,故 ,由 的外接圆半径为 , 由正弦定理 ,故 ,故 .
(ii) 由 可知 ,故 , 由 ,
所以, .
17.
(2)
(3)1
解: 由 ,直四棱柱 ,有 平面 ,故以点 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如下图所示的空间直角坐标系. 易知 ,
由 分别为 的中点,故 .
(I) 易知
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(II) 设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
(III) 设点 到平面 的距离为 .
由 ,有 ,故 .
18. .
(2) 或 .
解: (I) 依题意 又 ,
解得
故椭圆方程为 .
(II) 直线 斜率不存在时,直线 的方程为 ,满足题意.
直线 斜率存在时,设直线 的方程为 ,点 ,点 ,
联立
整理得
直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,
由题意有 ,
即 ,即 ,
整理得 ,
故 ,
解得 ,直线 的方程为 .
综上,直线 的方程为 或 .
19. 解: (I) 设等比数列公比为 ,故 .
设等差数列公差为 ,
由已知有 ,
解得 ,即 ,
则 或 (舍),
则
(II) 证明: 不妨先设 ,
可知 时也成立,
假设 ,即 成立,
若 ,不妨设 ,则 等价于 ,
因等式左侧不是 3 的倍数, 等式右侧为 3 的倍数, 所以左式与右式不相等, 与假设矛盾,
所以假设不成立,此时 . 同理 时, ;
若 ,则 ,不妨设 ,
因为 ,
故
. 同理 时, .
综上当 时, .
(III) 先证取不同的 的值各不相同,不妨设 ,
所以 ,
而 ,
所以 ,
由 (II) 可知,对不同的 取值, 均不相同.
故 .
考虑 中含有 个 个 个 ,
因此 .
法(一)
两式做差有
,
所以, .
法(二)
设 ,
,两式作差,
,
所以, ,又 ,
所以,
20.解: (I) ,
由 为增函数,有 ,整理有 对任意 成立.
设 ,则 ,
令 ,解得 ;
令 ,解得 ,则有 在 上单调递增,在 上单调递减, 故 ,所以 的取值范围为 .
(II) (i) 要证 成立,
即证 成立.
由 (I) 有 时, 单调递增,
因为 ,则 ,
即 ,整理 ,
即证 成立.
构建 ,则 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,当且仅当 时等号成立,
令 ,可得 ,故 成立,所以原不等式成立.
(ii) 由已知可得 有两不同实根为 ,
即 ,
一方面: 由 (I) 可知 ,有 ;
同理可得 ,构建 ,则 ,
当 时， ，当 时， ，且 ，
故 对任意 恒成立,故 在 上单调递减,
由 ,则 ,
即 ,且 ,
则 ,故 ,可得 ;
另一方面: 又因为 ,由 (i) 可得 ,即 ,
则 ,且 ,可得 ;
综上, ,可得 ,
则 得证.
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