(共22张PPT)
第三章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2025广东揭阳榕城期末)下列事件中,属于必然事件的是
( )
A.明天的最高气温将达35 ℃
B.任意购买一张动车票,座位刚好挨着窗口
C.掷两次质地均匀的硬币,其中有一次正面朝上
D.对顶角相等
D
解析 明天的最高气温将达35 ℃是随机事件;任意购买一张
动车票,座位刚好挨着窗口是随机事件;掷两次质地均匀的硬
币,其中有一次正面朝上是随机事件;对顶角相等是必然事件.
故选D.
2.(2025河南平顶山鲁山期中)下列说法合理的是 ( )
A.小明做了5次抛瓶盖试验,其中有3次盖口朝上,由此他说盖
口朝上的概率是
B.某彩票的中奖率是5%,因此买100张彩票一定有5张中奖
C.某射击运动员进行1次射击,只有“中靶”和“不中靶”两
种可能,所以,它们发生的概率都是
D.抛一枚质地均匀的硬币4次,有3次都是正面朝上,下一次正
面朝上的概率仍然是
D
解析 A.试验次数太少,不能用频率估计概率,故选项A错误;
B.买彩票中奖是随机事件,因此买100张彩票不一定有5张中
奖,故选项B错误;C.“中靶”与“不中靶”不是等可能事件,
概率不相同,故选项C错误;D.由概率的意义可知该选项说法
正确.故选D.
3.【新课标·中华优秀传统文化】(2024广东深圳中考)二十四
节气,它基本概括了一年中四季交替的时间以及大自然中一
些物候等自然现象发生的规律,二十四个节气分别为春季的
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨,夏季的立夏、小
满、芒种、夏至、小暑、大暑,秋季的立秋、处暑、白露、
秋分、寒露、霜降,冬季的立冬、小雪、大雪、冬至、小
寒、大寒.若从二十四个节气中选一个节气,则抽到的节气在
夏季的概率为 ( )
A. B. C. D.
D
解析 从二十四个节气中选一个节气,则抽到的节气在夏季
的概率为 = ,故选D.
4.(2025河南焦作期末)小球在如图所示的地板上自由地滚动,
随机地停留在某块方砖上,则最终停在阴影区域内的概率是
( )
A. B. C. D.
C
解析 方砖共有3×3=9块,阴影区域的面积相当于3块方砖的
面积,
所以停在阴影区域内的概率是 = .故选C.
5.(2025山东济南长清期中)为迎接春节到来,某商场规定:购物
满88元即可获得一次转动转盘的机会.如图1所示,当转盘停止
时,指针指向哪个区域,顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干
次,其中指针指向优胜奖区域的频率如图2所示,则转盘中优胜
奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为 ( )
B
A.90° B.72°
C.54° D.20°
解析 由题图2可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2,所以
转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为0.2×360°=7
2°.故选B.
6.【新考向·生活情境】(2025河南郑州期中)如今我们生活在
数字时代,很多场合都要用到二维码.小郑帮妈妈打印了一个
收款二维码,如图所示,该二维码的面积为16 cm2,他在该二维
码内随机掷点,经过大量的重复试验,发现点落在白色区域的
频率稳定在0.4左右,据此估计该二维码中黑色区域的面积为
( )
C
A.6.4 cm2 B.8 cm2
C.9.6 cm2 D.11.2 cm2
解析 经过大量的重复试验,发现点落在白色区域的频率稳
定在0.4左右,
所以点落在黑色区域的频率稳定在1-0.4=0.6左右.
据此可以估计黑色区域的面积为16×0.6=9.6(cm2),故选C.
二、填空题(每小题7分,共21分)
7.(2025山东济宁高新区期中)某商场的抽奖活动转盘上,一等
奖、二等奖、三等奖对应的面积比为1∶3∶6,则一名顾客转
动一次转盘,获奖可能性最大的奖项是__________.
三等奖
解析 由题意知三等奖对应的面积最大,所以获奖的可能性
最大.
8.(2025陕西西安长安期中)为践行绿色发展理念,提升学生环
保意识,某中学于植树节当日,组织全体师生开展了植树活动,
对一种幼树进行了大量的移栽.下表是当地园林部门记录的
在相同的条件下移栽该种幼树的棵数与成活棵数:
移栽棵数 10 50 100 500 1 000 10 000
成活棵数 8 46 89 445 910 9 018
根据表中信息估计这种幼树成活的概率是_____________(结果
用小数表示,精确到0.1).
0.9
解析 因为 =0.8, =0.92, =0.89, =0.89, =0.91,
=0.901 8,所以估计这种幼树成活的概率是0.9.
9.在一个不透明的盒子里放有除了口味不同,其他都相同的糖
块,其中A口味的糖块有5块,从中任意拿出一块,是A口味的概
率是 ,若再加入x块A口味的糖块,从中任意拿出一块是A口味
的概率变为 ,则x的值为___________.
5
解析 由题意,得 +x= ,解得x=5.
三、解答题(共43分)
10.(2025山西晋中平遥期中)(20分)某校举行数学竞赛活动,晓
晨和阿进两位同学得分相同,获并列第一名,于是每人可获得
准备好的2件奖品中的一件,为了决定谁先选择奖品,并同时检
验学生所学的数学知识,数学小组长设计了一个趣味性游戏,
游戏规则:将如图1所示的四张扑克牌(方块2,黑桃4,黑桃5,梅
花5)洗匀后,背面朝上放置在桌面上,晓晨从中随机抽取一张,
记下牌面数字;如图2所示的是一枚质地均匀的正方体骰子,六
个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6,阿进掷一次骰子,记下骰子朝
上一面的点数.若晓晨记下的牌面数字大于4,则晓晨先挑取奖
品,若阿进记下的点数大于4,则阿进先挑取奖品.(结果相同则
再来一次)
(1)晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张,牌面数字是5的概率是
多少
(2)请用所学知识说明这个游戏对双方是否公平.
解析 (1)因为四张扑克牌为方块2,黑桃4,黑桃5,梅花5,
所以晓晨从四张扑克牌中随机抽取一张,牌面数字是5的概率
是 = .
(2)这个游戏对双方不公平.理由如下:
因为晓晨先挑取奖品的概率= = ,阿进先挑取奖品的概率=
= ,
所以晓晨先挑取奖品的概率≠阿进先挑取奖品的概率,所以
这个游戏对双方不公平.
11.【学科特色·方程思想】(2025山东济南长清期中)(23分)一
个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个,它们
除了颜色外完全相同,其中黄球个数比白球个数的3倍少1,从
袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5.
(1)袋中有黄球_______个,白球_______个.
(2)向袋中放入若干个红球,使摸出一个球是红球的概率为0.5,
求放入红球的个数.
解析 (1)5;2.
详解:设白球有x个,则黄球有(3x-1)个,
因为从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.5,
所以 =0.5,解得x=2.所以3x-1=5.
所以袋中有黄球5个,白球2个.
(2)由(1)得红球的个数为10-5-2=3.
设放入红球的个数为m,则袋中共有红球(3+m)个.
因为摸出一个球是红球的概率为0.5,
所以3+m=0.5(10+m),解得m=4.所以放入红球的个数为4.(共23张PPT)
第三章 概率初步
3 等可能事件的概率
第3课时 与面积相关的概率
与面积相关的概率
1.(2025江西九江修水期中)如图所示的是小明自制的正方形
飞镖盘,若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘,则小明随机投掷
一枚飞镖,恰好扎中白色区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 设大正方形的面积为16,则白色区域的面积为12,因此
小明随机投掷一枚飞镖,恰好扎中白色区域的概率是 = .故
选B.
2.(2025陕西西安未央期末)如图,有一个可以自由转动的圆形
转盘,转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A,B,C,D四个扇形区域,指
针的位置固定,任意转动转盘1次,则停止后指针恰好落在B区
域的概率为_____________.
0.2
解析 因为一个圆形转盘按1∶2∶3∶4的比例分成A,B,C,D
四个扇形区域,
所以停止后指针恰好落在B区域的概率= =0.2.
3.【学科特色·易错题】【新课标·中华优秀传统文化】(2025
河南平顶山汝州期中改编)二十四节气是中国古人基于太阳
黄经位置(每15°一个节气)划分的时间体系,这一时间认知体
系被誉为“中国的第五大发明”.如图,指针落在惊蛰或春分
区域的概率为___________.
解析 指针落在惊蛰或春分区域的概率是 = .
易错警示 计算概率时,要注意“或”字的意义,“或”表示“概率之和”.本题中,指针指向惊蛰或春分区域的概率=指针指向惊蛰区域的概率+指针指向春分区域的概率.
4.(2025山西晋中左权期中)某商场今年国庆节期间举行有奖
促销活动,凡购买一定金额的商品均可参与转盘抽奖.如图,转
盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域,自由转动转盘,若
指针落在“B”区域内,则顾客中奖.若某顾客转动1次转盘,求
其中奖的概率.
解析 由题图可得“B”区域的圆心角度数为360°-(60°+135°
+90°)=75°,
所以当转盘停止转动后,指针落在“B”区域内的概率是 =
,即中奖的概率是 .
5.(2025陕西西安长安期中)如图,A和B都是均匀的可以自由转
动的转盘,A转盘被分成了6个面积相等的扇形区域,B转盘被
分成了3个面积相等的扇形区域,在每一个扇形内均标有不同
的自然数,分别转动两个转盘,转盘停止后,将A转盘转出的数
字记为a,B转盘转出的数字记为b.
(1)若转动转盘A和B各一次,分别求A转盘、B转盘转出数字
“3”的概率.
(2)小红认为a>2和b为偶数的概率相同,请你判断她的看法是
否正确,并说明理由.
解析 (1)由题意知,转动转盘A共有6种等可能的结果,其中转
出数字“3”的结果有1种,
所以A转盘转出数字“3”的概率为 .
转动转盘B共有3种等可能的结果,其中转出数字“3”的结果
有1种,
所以B转盘转出数字“3”的概率为 .
(2)她的看法正确.
理由:由题意知,a>2的结果有3,4,5,6,共4种,
所以a>2的概率为 = .
b为偶数的结果有2,4,共2种,
所以b为偶数的概率为 ,
所以a>2和b为偶数的概率相同.
6. (2024河南郑州期末,★★☆)2024年6月2日清晨,嫦娥六号
成功着陆在月球背面南极-艾特肯盆地预选着陆区,开启了人
类探测器首次在月球背面的样品采集任务.小亮同学是航天
知识爱好者,他利用边长为16 cm的正方形制作出七巧板如图
1,并拼出火箭模型如图2.在对火箭模型进行创意宣讲时,激光
笔射出的小红点落在该模型的任意位置,它停在阴影部分的
概率为 ( )
B
A. B. C. D.
解析 因为边长为16 cm的正方形可分成16个题图1中标记为
④的等腰直角三角形,标记为③的四边形可分割成2个标记为
④的等腰直角三角形,
所以激光笔射出的小红点停在阴影部分的概率= .
故选B.
7.(2025山东青岛李沧、城阳期中,★★☆)五一期间,某商场为
吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成16
个扇形(如图).商场规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一
次转动转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好落在红色、黄
色或绿色区域,顾客就可以分别获得50元、30元或20元的购
物券.
(1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是_______.(填
“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)
(2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别
是多少
(3)如果某顾客获得一次转动转盘的机会,那得到购物券的概
率和得不到购物券的概率哪个大
解析 (1)不可能事件.
(2)转动一次转盘获得50元购物券的概率是 ,
转动一次转盘获得30元购物券的概率是 = ,
转动一次转盘获得20元购物券的概率是 = .
(3)因为得到购物券的概率是 ,得不到购物券的概率是
= , < ,
所以得不到购物券的概率大.
8.【新课标·应用意识】(2024广东揭阳惠来期末)综合实践.
实践任务:测量不规则草地(图中阴影部分)面积.
实践方案设计:在草地的外围画了一个长为5米,宽为4米的长
方形,在不远处向长方形内掷石子,将石子落点进行了记录.记
录结果如下:
一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
数据整理与计算:同学们将四个小组的数据收集并整理,他们
认为用概率的相关知识就能算出草地的大致面积,请你帮同
学们写出计算过程.
解析 ×4×5= ×20≈16
(平方米).
答:草地的大致面积为16平方米.(共12张PPT)
第三章 概率初步
3 等可能事件的概率
第1课时 等可能事件的概率
等可能事件的概率
1.(2025北京中考)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄
球和1个白球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出
一个球,摸出的球是白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 摸出的球是白球的概率是 = .故选A.
2.(2025河南新郑期中)一副扑克牌是54张,随意摸到一张是10
的概率为 ( )
A. B. C. D.
C
解析 因为一副扑克牌共54张,有4张10,
所以随意摸到一张是10的概率为 = .故选C.
3.(2025山东青岛李沧、城阳期中)五张除数字外完全相同的
不透明卡片的正面分别标有数字2,6,1,9,5.反面朝上洗匀后,从
中任意抽出一张,则该卡片上的数字能被3整除的概率是
( )
A. B. C. D.
B
解析 因为数字2,6,1,9,5中能被3整除的有6和9,
所以从中任意抽出一张,该卡片上的数字能被3整除的概率是
.故选B.
4.(2025四川内江中考)在英文单词“banana”中任选一个字
母,字母“a”被选中的概率是___________.
解析 在英文单词“banana”中共6个字母,其中字母“a”有
3个,则字母“a”被选中的概率是 = .
5.(2025上海中考)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,
8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率相
等,那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为______.
解析 小军手中有2,4,6,8四张牌,其中2和4与小明手中的牌的
数字相同,所以小明抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的
概率为 = .
6.【学科特色·教材变式P73例题】(2025山东青岛即墨期中,
★★☆)有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子,其中的1
个面标有“1”,2个面标有“2”,3个面标有“3”,4个面标有
“4”,5个面标有“5”,其余的面标有“6”.
(1)任意掷这枚骰子,掷出“6”的概率是多少
(2)任意掷这枚骰子,掷出“3的倍数”的概率是多少
(3)任意掷这枚骰子,掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪
个大
解析 (1)由题意可知标有“6”的面数为5,
所以掷出“6”的概率是 = .
(2)因为标有“6”的面数为5,标有“3”的面数为3,
所以掷出“3的倍数”的概率是 = .
(3)因为标有“6”的面数为5,标有“2”的面数为2,标有
“4”的面数为4,
所以掷出“偶数”的概率是 = .
所以掷出“奇数”的概率是1- = .
因为 > ,所以掷出“偶数”的概率较大.
7.【新课标·数据观念】(2025陕西西安长安期中)某文体店购
进了20筒羽毛球,但在销售过程中,发现其中混有若干个次品
羽毛球,店员进行统计后,发现每筒羽毛球最多混入了2个次品
羽毛球,具体情况如下:
混入次品 羽毛球个数 0 1 2
筒数 9 m n
(1)用等式写出m,n所满足的数量关系应为_______.
(2)从20筒羽毛球中任意选取1筒,若“筒中混入1个次品羽毛
球”的概率为 ,求m和n的值.
解析 (1)m+n=11.
详解:由题意,得9+m+n=20,所以m+n=11.
(2)因为“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为 ,
所以 = ,解得m=8.所以n=11-8=3.(共11张PPT)
第三章 概率初步
3 等可能事件的概率
第2课时 与游戏相关的概率
与游戏相关的概率
1.(2025山东青岛李沧、城阳期中)甲、乙两人做游戏,他们任
意掷一枚质地均匀的正方体骰子,若掷出的点数是奇数,则甲
赢;若掷出的点数是2的倍数,则乙赢.这个游戏对甲、乙来说
是_________的.(填“公平”或“不公平”)
公平
解析 因为掷出的点数共有6种结果,其中奇数有3种结果,2的
倍数有3种结果,
所以甲赢的概率= = ,乙赢的概率= = .
因为 = ,所以这个游戏对甲、乙来说是公平的.
2.(2025陕西咸阳永寿期中)一个不透明的盒子中装有3个白色
乒乓球,2个黄色乒乓球,5个红色乒乓球,这些乒乓球除颜色外
形状和大小完全一样.
(1)随机摸球20次,其中摸出红球8次,则这20次摸球中,摸出红
球的频率是_______.
(2)小明和小英一起做游戏,小明从盒子中任意摸一个乒乓球,
如果摸到红球,小明获胜,否则小英获胜.这个游戏对双方公平
吗 为什么
解析 (1) .
详解:因为随机摸球20次,其中摸出红球8次,
所以这20次摸球中,摸出红球的频率是 = .
(2)这个游戏对双方公平,理由如下:
因为一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球,2个黄色乒乓
球,5个红色乒乓球,
所以小明获胜的概率= = ,小英获胜的概率= =
.
所以小明获胜的概率=小英获胜的概率.
所以这个游戏对双方公平.
3.甲、乙两人做游戏:从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽
取1张,若牌面是黑桃,则甲赢;若牌面是红色的,则乙赢.你认为
游戏公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,请说明理由并重
新设计一个公平的游戏.
解析 不公平.因为甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,二
人获胜的概率不同,故不公平.
重新设计的游戏不唯一,如:若牌面是黑色的,则甲赢;若牌面是
红色的,则乙赢.
4.(2025江苏苏州中考,★★☆)一只不透明的袋子中,装有3个
白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意
摸出一个球,摸到白球的概率为 ,则红球的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 球的总数为3÷ =5,所以红球的个数为5-3=2,故选B.
5.【学科特色·方程思想】(2025河南平顶山汝州期中,★★☆)
一个不透明的盒子中装有3个白球,2个黄球,1个红球,这些球
除颜色外形状和大小完全一样.在上述盒子中再放入n个形状
和大小完全相同的红球,小颖同学从盒子中任意摸出一个球,
摸到黄球的概率为 ,则n=_________.
4
解析 根据题意,得 (3+2+1+n)=2,解得n=4.
6.(2025陕西咸阳三原期中,★★☆)小丽和小亮用10张分别写
有数字1~10的卡片做游戏,这10张卡片除数字外完全相同,将
它们背面朝上混合均匀后,从中任意抽出一张.
(1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是_______.
(2)小丽和小亮规定:小丽从中任意抽出一张卡片,小亮从剩余
的卡片中任意抽出一张,谁抽到卡片上的数字大谁就获胜,现
在小丽抽到数字6的卡片,然后小亮抽出卡片,那么谁获胜的概
率大
解析 (1) .
(2)在数字1到10中,比6小的数字有1,2,3,4,5,
所以小丽获胜的概率是 .
比6大的数字有7,8,9,10,所以小亮获胜的概率是 .
因为 > ,所以小丽获胜的概率大.(共23张PPT)
第三章 概率初步
2 频率的稳定性
频率的稳定性
1.(2025辽宁朝阳凌源三模)数学课上,老师与学生们做“用频
率估计概率”的试验.不透明袋子中有1个黑球、2个黄球、3
个白球和4个红球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机
取出一个球,某一颜色的球出现的频率如图所示,则该种球最
有可能是 ( )
C
A.黑球 B.白球 C.黄球 D.红球
解析 观察统计图可知该球的频率稳定在0.20左右,由题意知
黄球出现的可能性为 =0.2,所以该种球最有可能是
黄球,故选C.
2.【学科特色·教材变式P64操作·思考】一粒木质中国象棋棋
子“兵”,它的正面雕刻一个“兵”字,它的反面是平的.将它
从一定高度掷下,落地反弹后可能是“兵”字面朝上,也可能
是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”
字面朝上的概率,某试验小组做了棋子下掷试验,试验数据如
下表:
试验次数 “兵”字面朝上的频数 相应的频率
20 14 0.7
40 0.45
60 38 0.63
80 47 0.59
100 52 0.52
120 66
140 78 0.56
160 88 0.55
(1)请将数据表补充完整.
(2)画出“兵”字面朝上的频率折线图.
(3)如果试验继续进行下去,根据图表中的信息,这个试验的频
率将稳定在一个常数附近,这个常数是多少
解析 (1)表中所填数从上到下为18;0.55.
(2)如图所示:
(3)0.55.
概率的意义
3.【学科特色·教材变式P68思考·交流(2)】(2025河南郑州期
中)抛掷一枚质地均匀的硬币,若抛掷10次都是正面朝上,则抛
掷第11次正面朝上的概率 ( )
A.大于 B.等于
C.小于 D.无法确定
B
解析 抛掷一枚质地均匀的硬币,共有2种等可能的结果,正面
朝上和反面朝上,所以抛掷第11次正面朝上的概率为 .故
选B.
易错警示 概率是不确定事件的固有属性,其数值是固定不变的,不随试验次数的变化而变化.
4.(2024贵州中考)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用
频率估计他投中的概率为0.4,下列说法正确的是 ( )
A.小星定点投篮1次,不一定能投中
B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次
D.小星定点投篮4次,一定投中1次
A
解析 定点投篮投中是随机事件,因此A项正确,B,C,D三项都
错误.故选A.
名师点津 利用概率可以估计随机事件发生的可能性大小,一般来说,概率大,事件发生的可能性就大;概率小,事件发生的可能性就小.值得注意的是,随机事件发生的概率无论多大,也不一定发生.
5.下列事件发生的概率是1的是 ( )
A.七月一日刮东南风
B.抛掷一枚硬币,落地后正面朝上
C.当x是有理数时,x2≥0
D.三角形内角和是360°
C
解析 只有C选项是必然事件,发生的概率是1.
用频率估计概率
6.(2024宁夏中考)为考察一种枸杞幼苗的成活率,在同一条件
下进行移植试验,结果如下表所示:
移植 总数n 40 150 300 500 700 1 000 1 500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1 350
成活的 频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是_____________.(结果精确到0.
1)
0.9
解析 根据题表中数据可知,随着移植总数n的增加,成活的频
率逐渐稳定在0.9左右,∴估计这种幼苗移植成活的概率是0.9.
名师点津 通常用试验次数最多时的频率估计概率,注意不能用频率的平均值估计概率.
7.【学科特色·方程思想】(2024江苏淮安中考)一只不透明的
袋中装有8个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀
后每次随机从袋中摸出一个球,记下颜色后放回袋中.通过大
量重复摸球试验后发现,摸到白球的频率逐渐稳定在0.4左右,
则袋中约有红球____________个.
12
解析 由题意可知白球有8个,摸到白球的频率逐渐稳定在0.4
左右,因此估计摸到白球的概率为0.4,故估计袋中共有球8÷0.4
=20个,则袋中约有红球20-8=12个.
8.(2025河南平顶山汝州期中,★★☆)做随机抛掷一枚质地不
均匀的纪念币试验,得到的结果如下表所示:
抛掷次数m 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000
“正面向上” 的次数n 512 1 034 1 558 2 083 2 598
“正面向上”的频率 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520
①当抛掷次数是1 000时,“正面向上”的频率是0.512,所以
“正面向上”的概率是0.512;
②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.520附近
摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是
0.520;
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验,则当抛掷次数为3 000
时,出现“正面向上”的次数不一定是1 558.
其中合理推断的序号是( )
A.②③ B.①③ C.①② D.①②③
A
解析 ①不能将试验的频率直接当作概率,故①错误;
②一般地,在大量重复试验中,某个事件发生的频率会稳定于
某个常数附近,这个常数就是这个事件的概率,故②正确;
③随机事件的结果不确定,因此出现“正面向上”的次数不
一定是1 558,故③正确.故选A.
9.(2025广东广州白云期末,★★☆)为了估计鱼塘中鱼的总数
n,采用标记重捕法:第一次捕捞m条鱼,做上标记后放回鱼塘;
待标记鱼与其他鱼充分混合后,第二次随机捕捞100条鱼,发现
其中有8条带有标记.若据此可估算鱼塘中鱼的总数为1 000,
则第一次捕捞鱼的数量m的值是 ( )
A.60 B.70 C.80 D.90
C
解析 根据题意,得 = ,解得m=80,
即第一次捕捞鱼的数量m的值是80.故选C.
10.【新课标·数据观念】(2025山东青岛李沧、城阳期中)篮
球运动员为了评估自己的投篮命中率,通常会进行一系列的
训练测试.下表是某篮球运动员在相同的训练条件下得到的
一组测试数据:
投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 163 249 326 z
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83
(1)填空:x=_______,y=_______,z=_______.
(2)测试中,该运动员任意投出一球,估计能投中的概率是_____
_____(精确到0.1).
(3)根据估计的概率,该运动员投篮150次,他命中的次数大约
是_______.
(4)如果该运动员重新再投篮500次,并按上表再次记录一份数
据,对比上表的数据,结果一定一样吗 为什么
解析 (1)100;0.83;415.
详解:x=81÷0.81=100,y=249÷300=0.83,z=500×0.83=415.
(2)0.8.
(3)120.
详解:他命中的次数大约是150×0.8=120.
(4)不一定,因为投篮命中是随机事件,结果并不确定,所以两表
结果不一定一样,但试验频率都会越来越趋近于概率.(共13张PPT)
专项突破4 概率计算的三种类型
古典概型概率的计算
1.(2025重庆中考)不透明袋子中有1个红球、3个白球,这些球
除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球,则摸出红球的
概率是___________.
解析 从袋子中随机摸出1个球共有4种等可能结果,其中摸
出红球的结果有1种,所以摸出红球的概率是 ,故填 .
2.【学科特色·方程思想】(2025山东济南历下期中)一个袋中
装有6个红球、18个白球,这些球除颜色外都相同,混合均匀.
(1)从袋中任意取出一个球,取出红球的概率为多少
(2)如果往袋中放入若干个红球(形状、大小与袋中球完全一
样),再取出相同数量的白球,从中任意摸出一个球,使摸出红
球的概率是摸出白球的2倍,求放入了多少个红球.
解析 (1)由题意知,共有6+18=24种等可能的结果,其中取出
红球的结果有6种,
所以取出红球的概率为 = .
(2)设放入了x个红球,则取出了x个白球,
所以此时袋中的红球有(6+x)个,白球有(18-x)个,球的总数为24个.
因为摸出红球的概率是摸出白球的2倍,
所以 =2× ,解得x=10.
所以放入了10个红球.
几何概型概率的计算
3.【学科特色·易错题】(2024陕西西安莲湖期末)如图,已知转
盘被两条直径分为4个扇形,其中α=60°,四个扇形分别标有数
2,-4,6,3,随机转动转盘,指针指向负数的概率是___________.
解析 因为标有数-4的扇形的圆心角的度数为180°-60°=120°,
所以随机转动转盘,指针指向负数的概率是 = .
易错警示 注意这里的各个扇形不是被等分的,因此需要根据各自的圆心角度数计算概率.
4.【学科特色·转化思想】(2025山东济南长清期中)如图,飞镖
游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.小亮每次投掷飞
镖均扎在该飞镖游戏板上,且扎在飞镖游戏板上任意点处的
机会是均等的.则小亮随机投掷一次飞镖,飞镖扎在阴影区域
的概率是___________.
解析 共有9个小正方形,阴影区域相当于3个小正方形,所以
飞镖扎在阴影区域的概率为 = .
5.(2025山东青岛市北期中)如图,转盘被等分成六个扇形,并在
上面依次写上数字1,2,3,4,5,6.小明与小颖用这个转盘做游戏,
两人约定:自由转动转盘,当它停止转动时,指针指向奇数区域
则小明胜,指针指向偶数区域则小颖胜,若转到边界线上则重
新转.你认为这个游戏公平吗 请说明理由.
解析 这个游戏公平.理由如下:
因为小明胜的概率= = ,小颖胜的概率= = ,
所以小明胜的概率=小颖胜的概率.
所以这个游戏公平.
利用频率估计概率
6.(2025河南平顶山鲁山期中)在一个不透明的袋子里有6个黑
球和若干个白球,这些球除颜色外其余都相同,把袋子里的球
摇均匀后随机地摸出一个,记下颜色后放回,不断重复这一过
程,统计发现,摸到黑球的频率稳定在0.2左右,则袋子里白球的
个数最可能是 ( )
A.24 B.20 C.17 D.15
A
解析 估计袋子里球的总数是6÷0.2=30,
则袋子里白球的个数最可能是30-6=24,故选A.
7.(2025山东济南历城期中)为了估计鱼塘中鱼的数量,养鱼者
先从鱼塘中捕获100条鱼,在每一条鱼身上做好标记后把这些
鱼放回鱼塘,一段时间后再从鱼塘中打捞鱼,通过多次试验后
发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右,则鱼塘中约有
_______________条鱼.
1 000
解析 鱼塘中约有 =1 000条鱼.(共12张PPT)
第三章 概率初步
1 感受可能性
事件的分类
1.(2025陕西咸阳三原期中)下列事件为随机事件的是 ( )
A.胡老师打开手机时恰好有一条未读信息
B.自然状态下的水从低处向高处流
C.明天太阳从东方升起
D.地球绕太阳转
A
解析 A.胡老师打开手机时恰好有一条未读信息是随机事
件;
B.自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件;
C.明天太阳从东方升起是必然事件;
D.地球绕太阳转是必然事件.故选A.
2.(2025湖北中考改编)在下列事件中,不可能事件是 ( )
A.投掷一枚硬币,正面向上
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.扔一枚骰子,向上一面的点数不小于1
D.射击运动员射击一次,命中靶心
B
解析 选项A是随机事件,不合题意;选项B是不可能事件,符
合题意;选项C是必然事件,不合题意;选项D是随机事件,不合
题意.故选B.
3.【跨语文·诗词】(2025山西晋中介休期中)在古诗句“小荷
才露尖尖角,早有蜻蜓立上头”中,“早有蜻蜓立上头”描述
的事件是___________.(填“必然事件”“随机事件”
或“不可能事件”)
随机事件
解析 “早有蜻蜓立上头”可能发生,也可能不发生,是随机
事件.
事件发生的可能性大小
4.(2025上海虹口期末)一个不透明的盒子里有各种游乐项目
的门票,其中碰碰车2张,摩天轮9张,旋转木马3张,梦幻迷城1
张,如果小丽在这些门票中任意抽一张,根据可能性大小判断
最有可能抽到_______的门票. ( )
A.碰碰车 B.摩天轮
C.旋转木马 D.梦幻迷城
B
解析 摩天轮门票的张数最多,所以最有可能抽到摩天轮的
门票,故选B.
5.(2025河北保定阜平期末)某路口红绿灯的时间设置为红灯4
0秒,绿灯60秒,黄灯4秒,当车辆随机经过该路口时,遇到_____灯的可能性最小.(填“红”“绿”或“黄”)
黄
解析 由题意知黄灯的时间最短,因此遇到黄灯的可能性最
小.
6.(2025山东青岛李沧、城阳期中,★★☆)下列事件是必然事
件的有 ( )
①明天是晴天;
②任意掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面的点数是偶数;
③月亮绕着地球转;
④同一平面内三条直线两两相交,交点个数是3.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
D
解析 ①明天是晴天,是随机事件;②任意掷一枚质地均匀的
骰子,向上的一面的点数是偶数,是随机事件;③月亮绕着地球
转,是必然事件;④由于同一平面内三条直线两两相交,交点个
数是1或3,所以④是随机事件.所以必然事件有1个.故选D.
7.(2025河南新郑期中,★★☆)在某个闯关游戏中,选手需从3
个游戏规则中任选一个,再从标有数字1,2,3,…,9的9张卡片中
任意抽取一张,根据所选规则和抽到卡片上的数字决定选手
是否闯关成功.三个游戏规则如下:
规则一:如果抽到卡片上的数字不大于5,那么选手闯关成功,
否则闯关失败;
规则二:如果抽到卡片上的数字是偶数,那么选手闯关成功,否
则闯关失败;
规则三:如果抽到卡片上的数字是3的倍数,那么选手闯关成
功,否则闯关失败.
请你通过计算判断,如果你闯这一关,你会选择哪个规则进行
闯关,并说明理由.
解析 选择规则一.
理由:卡片上的数字中不大于5的数字有1,2,3,4,5,共5个;
卡片上的数字中是偶数的数字有2,4,6,8,共4个;
卡片上的数字中是3的倍数的数字有3,6,9,共3个.
因为5>4>3,所以选择规则一闯关成功的可能性最大,所以选
择规则一进行闯关.
