课件16张PPT。用图形计算器解决方程根的个数和近似解问题一、问题情境，引发思考问题1：判断方程
根的个数。方法一方法二归纳小结判断方程根的个数的方法与注意事项二、自主探究，暴露问题问题2：判断方程
根的个数，求方程的根的范围。问题2：若求该方程 的近似解（精确到0.01）呢？
三、提炼建构，变式训练问题3：判断方程
根的个数及方程的近似解（精确到0.01）。
变式训练判断方程 根的个数。
四、自主编题，合作交流以小组为单位，两个同学合作，一个同学编题，另一个同学解题。
五、学生小结 今天你学习了哪些知识和数学思想方法？你有哪些收获？还有哪些困惑？
谢谢大家
祝同学们学习进步函数与方程
用图形计算器解决方程根的个数和近似解问题
一、教材分析
本课为人教A版高中数学必修一第三章函数的应用第一节函数与方程中信息技术应用——借助信息技术求方程的近似解的内容，教学需要一个课时。本节课是在学生学习了基本初等函数、方程的根与函数的零点、用“二分法”求方程的近似解之后的一个内容。借助信息技术——图形计算器，将方程根的个数问题转化为两个函数交点个数或函数零点个数问题加以判断。是对高中阶段学生新学习的指数函数、对数函数、幂函数图像和性质的进一步深入理解与应用，也为进一步学习函数模型及其应用奠定了基础。
教材介绍了两种方法求方程的近似解并设计了一个程序框图。第一种方法利用计算器或计算机的代数自动求解功能，求方程的近似解；第二种方法利用计算器或计算机的画图功能求方程的近似解；最后设计了一个用“二分法”求方程近似解的程序框图。前两种方法相互独立，后一个设计呼应了上节课“二分法”求方程近似解。
《数学课程标准》指出在保证笔算训练的前提下，应加强数学教学与信息技术的结合，注重信息技术与数学课程的整合。基于此笔者对教材内容进行了创造性地开发，由于第一种方法利用计算器或计算机的代数自动求解功能求方程的近似解，学生在学习图形计算器的基本操作时，已经熟练掌握。它的优势是让学生直观感知结论，所以通常将此法作为学生验证自己结论的工具，渗透到学生的探究活动中去，故此法在这里不进行专门的介绍。第二种方法利用计算器或计算机的画图功能求方程的近似解，是本节课的重点内容。笔者设计从学生所学的指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质为基础，以方程根的个数与对应函数的交点或函数的零点之间的关系为方法，首先尝试用手工画图的方法判断方程根的个数，必要时用图形计算器辅助画图。然后，进一步引导学生利用函数图像和性质进一步探究方程根的范围和近似解问题。由于用“二分法”求方程的近似解的过程中，数值计算较复杂，得到给定精确度的近似解比较困难，借助图形计算器，比较快捷的通过求两个函数交点的横坐标或函数的零点的方法找到方程的近似解，从而体现信息技术手段的便捷性。由于时间的关系，将教材中设计的用 “二分法”求方程近似解的程序框图删减，保留原理介绍，留待学习必修三中算法和程序框图时，详细学习。
信息技术应用于高中数学教学非常普遍。通常情况下，教师将信息技术作为辅助教学活动的动态演示或素材展示，而今天这堂课中使用的信息技术工具——图形计算器是学生人手一台的手持技术，该设备为学生搭建计算、画图等数学实验平台，是学生自主进行学习活动或探究活动的载体。同时教师机TI-Nspire CAS Navigator 软件的使用可以及时（30秒更新一次）收集学生使用图形计算器的动态，便于教师掌握每一位学生的学习进度。学生也可通过操作手持技术在教师机TI-Nspire CAS Navigator软件中展示自己的实验过程，为生生交流、师生交流提供环境，让学生在动手实践、自主探究和合作交流中“探索数学”“做数学”。这不仅变革了学生的学习方式也为激发学生的求知欲、发展探究能力和创造性地解决问题提供了可能。
二、学情分析
从知识基础来看，学生在必修一第一章学习了函数的基本性质，第二章学习了指数函数、对数函数和幂函数，因此具备画出相应函数图像和应用函数性质解决相关问题的能力。另外，在本章第一小节学习了方程的根与函数的零点、用二分法求函数的近似解，初步具备用函数与方程的思想解决问题的意识。
图形计算器的拓展课程已开展了一个学期，通过学习与开展数学实验，学生已熟练掌握一些基本操作，能用图形计算器处理复杂的计算，进行辅助画图，以及求两函数交点坐标、函数的零点等。
三、教学目标
1.将求方程根的个数问题转化为两个函数交点的个数或函数零点的个数问题，从而判断方程根的个数。
2.借助图形计算器强大的作图功能，利用函数的图像和性质，求方程根的个数和近似解问题，从中体会函数与方程的思想。
3.使学生在动手实践、自主探究和合作交流中“探索数学”“做数学”，从而激发学生热爱数学、探究数学的热情。
四、教学重难点
重点：运用函数与方程的思想方法判断方程根的个数和求方程的近似解。
难点：利用函数的性质综合分析解决方程解的问题。
五、教学方法：动手实践、自主探究、合作交流。
六、教具准备：30台图形计算器、教师机TI-Nspire CAS Navigator软件、多媒体、投影仪、导学单。
七、教学过程：
教学环节
教 学 过 程
师 生 活 动
设 计 意 图
创
设
情
境
一、问题情境，引发思考
请同学们思考以下问题
教师：如何判断方程根的个数？
学生：用判别式判断。
当时，方程有两个不相等的实根。
当时，方程有两个相等的实根。
当时，方程无实根。
教师：为什么可以用来判断方程的根个数？
生：因为的符号决定了函数与x轴的交点。
师：你能用函数与方程的思想解释方程根和函数的关系吗？
学生：方程的根就是函数与轴交点的横坐标或函数的零点，求方程根的个数问题可以转化为求两个函数交点个数或函数零点个数。
师：请利用函数与方程的思想解决问题1。
教师提出问题，学生思考，回忆旧知，揭示主题。
从学生已有的基础一元二次方程根的存在性及个数出发，引导学生用函数的观点理解有关问题，使学生体会函数与方程之间的联系，为学生自然类比出判断超越方程根的个数的方法作铺垫。
探
究
新
知
问题1：判断方程的根的个数。
教师：如何用函数与方程的思想解决这一问题？请一位同学叙述一下你的解题思路。
学生1：可以令，，画出两个函数的图像，根据交点的个数来判断方程根的个数。
教师：好，同学们尝试在导学单上画图解决！
学生2；函数有两个交点，方程有两个根。
教师：其他同学有不同意见吗？
学生3：我用图形计算器画图发现有三个交点，说明方程有三个根。交点的横坐标就是方程的根，这三个根分别为。
教师：请大家反思一下，第一位同学出现误差的原因在哪里？
学生1：手工画图的局限性，取点不够多。
教师：你能用指数函数和幂函数的增长性质解释为什么还有（4，16）这个交点？
学生：……
教师：根据第一位同学所画的图形，两个函数有两个交点，一个在第二象限，一个在第一象限。我们知道指数函数和幂函数在上都是增函数，但它们的增长速度是不同的。从图像上看，随着的增大指数函数更陡。两个函数在第一象限的交点坐标为（2,4），而在的右侧，指数函数在幂函数的下方，说明在不远处必定还有一个交点，也就是（4,16）这个点。
教师：还有同学用其他方法解决的吗？
学生4：我将超越方程等式两边的式子移到一边，构造新函数，用图形计算器画出的图像，该函数有三个零点，从而判断方程有三个根，这三个根分别为。
教师：很好，两种方法的结果是一致的吗？
学生：是一致的。
【归纳小结】求方程根的个数的方法与注意事项。
1.令等式左边的式子为，等式右边的式子为，分别画出函数的图形，两个函数交点的个数即是方程根的个数。
2.将超越方程等式两边的式子移到一边，构造新的函数，可以借助图形计算器画出的图像，通过判断零点个数，从而判断方程根的个数。
3.手工画图具有局限性，可用图形计算器加以验证。对于手工画不出图像的函数，可直接用图形计算器画图。
4.注意结合函数的图像与性质解决问题。
二、自主探究，暴露问题
问题2：判断方程根的个数，求方程的根的范围。
学生1：令，，分别画出函数的图像，两个函数有一个交点，方程有一个根。观察图形发现方程的根在区间内。
师：如何用数学方法验证根在区间内？
生：……
学生2：令，可以判断出函数在上单调递增，函数有一个零点，方
程有一个根。
由零点存在性定理，，故方程的根在区间内。
师：若求方程的近似解（精确到0.01）呢？
学生1：用二分法。
学生2：用“二分法”求方程的近似解计算较复杂，可直接用图形计算器找两个函数交点个数的横坐标或函数的零点解决。
师：图形计算器的工作原理就是二分法的算法程序。
近似解为。
三、提炼建构，变式训练
问题3：求方程根的个数及近似解（精确到0.01）。
学生：用图形计算器画出与的图像，有三个交点，交点坐标分别为（2.7，0.431）（7.33，0.865）（8.26，0.917），说明方程有三个根，三个根分别为交点的横坐标 。
老师：很好！
变式训练1：判断方程根的个数。
学生：由于，都是偶函数，图像关于轴对称，可直接用性质判断函数有六个交点，方程有六个根，这六个根分别为，
。
师：通过这道题，你认为利用函数与方程的思想解决方程根的问题需要考虑哪些方面？
生：函数性质、图形计算器画图、观察分析、运算推理。
师；图形计算器只是辅助我们解决问题，重要的是结合图形计算器和原理去思考分析问题。
四、自主编题，合作交流
问题4：编出一个方程，并求出它的近似解。
学生1：求方程的近似解（精确到0.01）。
同桌：两个函数有三个交点，说明方程有三个根。分别为。
学生2：求方程的近似解（精确到0.01）。
同桌：我用的第一种方法，两个函数有三个交点，方程有三个根。分别为。
学生3：判断方程根的个数（精确到0.01）。
同桌：两个函数有七个交点。
教师：我们可以将方程进行变式，从特殊推广到一般，讨论取不同值时，求方程根的个数？
学生叙述解题思路。
学生经历画图的三个步骤—列表、描点、连线后，讨论、交流、表述各自的观点。
学生用图形计算器验证手工画图的结果，并表述自己的结论。
学生反思错在哪里。
教师从指数函数与幂函数不同的增长速度的角度，去解释在直线的右侧还应该有一个交点。教师一边讲解，一边画图，并用投影仪展示给学生。
学生用图形计算器辅助画图，并表述自己的结论。
学生提炼求方程根的个数的方法与注意事项。
学生手工画图，观察、讨论、交流、表述各自的观点。
学生手工画图，结合函数的性质，判断根的个数和根的范围，并表述自己的观点。
学生运用二分法解决问题。
学生用图形计算器辅助画图，并求方程的近似解，并表述自己的结论。
学生用图形计算器辅助画图，并表述自己的结论。
学生利用偶函数的性质，判断根的个数。
以小组为单位，两个同学合作，一个同学编题，另一个同学解题。
教师发现指导，并展示学生的经典成果。
发现学生的资源生长点。
形成用函数与方程的思想的处理问题的意识。
暴露出手工画图的局限性，引导学生在合适的时机选择图形计算器辅助画图。体现图形计算器是为学生搭建的数学实验平台。
充分利用学生的错误，引发学生思考，激发学生的求知欲。
比较指数函数与幂函数的增长差异，为下一小节学习函数模型及其应用作铺垫。
通过引导学生对具体事例的探究，归纳概括发现的结论或规律，并用准确的数学语言表达出来，体现具体到一般的认知过程。
函数图像和性质的进一步深入理解与应用，
揭示函数、方程、不等式三者关系。
体现转化的思想和零点存在性定理的应用。
回忆二分法的步骤和原理。
体现图形计算器的优越和图形计算器的原理。
函数图像和性质的进一步深入理解与应用，
强化函数与方程的思想，体现数形结合在数学中优越。并让学生明确机器、数学原理与动脑思考结合的道理。
学生借助图形计算器自主编题，巩固函数与方程的思想应用，体现课堂内容的开放性。图形计算器成为学生探索数学问题的载体，在“做”中“学”，在“学”中
“做”，有利于激发学生的学习的兴趣，发展学生的探究能力和创造能力。
对学生所编题目进行变式，拓展课堂思维的深度和广度，使课堂动态生成。
课堂小结
现在请大家对本堂课的内容进行小结：
课堂小结
老师：今天你学习了哪些知识和数学思想方法？
学生：今天我们学习了用图形计算器准确地找到方程的根和近似解的方法和原理。当手工画图画不出图像时，可借助图形计算器画图。无论是手工画图还是图形计算器画图都应用了数形结合思想，函数与方程的思想。要注意利用函数的性质和观察分析帮助解题。
老师：还有哪些困惑？
学生：函数的性质的应用有时候想不到。
引导学生对本堂课的内容进行总结，建构知识网络，提醒学生重视研究问题的过程和方法。
课外延伸阅读
课本91页 阅读与思考 中外历史上的方程求解。
作业布置
1.若关于的方程只有一个解，则实数的取值范围是_______。
2.已知，则方程的根的个数为________。
3.若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为_______。
4.已知函数的周期为2，当时那么函数的图像与函数的图像的交点共有_______个。
5.讨论方程的实数解的个数。
设计意图
1. 巩固课堂所学内容，强化求方程根的个数的方法，并反馈教学目标达成情况。
2. 突出函数思想、函数性质的应用、数形结合思想的应用，考察综合应用数学知识解决问题的能力。
课
后
反
思
本堂课深刻的体现了“函数与方程”思想的渗透与落实。这堂课通过对教材内容的合理取舍和延伸，以情境引出函数与方程思想的原理，在问题1中体现函数与方程思想的具体运用方法，再以问题2、3凸显函数与方程思想的广泛应用，最后在问题创编中让学生学会函数与方程思想去创造。
本堂课有机的使用了图形计算器这个新手段，充分体现了课堂的探究性和教学反馈的及时性。这堂课鼓励学生借助图形计算器这个工具对方程的根和近似解进行发现和探索，为培养学生的“数学建模、数学直观”等数学核心素养打下基础。同时因为科学使用了图形计算器，可以有效地解决学生小组展示中的短板问题，以往个别被边缘化的学生的学习情况往往被忽略，被掩盖。教师机TI-Nspire CAS Navigator软件可以及时收集学生学习动态，完成得好的同学的结果或过程可以作为展示的素材，对较困难的同学可以做到心中有数，并在课后采取必要的措施，使每位同学在课堂中得到不同的发展。
本堂课层层递进，达成目标的同时，让学生明确了信息技术的原理和使用准则。图形计算器作为辅助学生画图的工具，是不能代替学生画图的，否则会削弱学生对函数图像与性质的理解与掌握，这就要求教师对教学内容准确把握，在图形计算器的使用上采用适度原则。本堂课在引入中提出解决方程根的基本原理，通过问题1、2先手工画图然后机器作图比较，让学生逐渐明确解决方程解的问题所使用的方法和原理，最后在方法应用中体会使用的法则，这种层层跟进的方式不仅符合学生的认知特点，更是使得课堂熠熠生辉，活跃生动。
