课题：第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
一、教学内容解析
本节内容是人教版必修一第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一个内容《方程的实数根与函数的零点》，是下一节“二分法”的知识基础。本节课的一个重要任务就是让学生学会用函数的知识去研究方程的根的问题，通过零点概念的学习，建立方程与函数在数和形上的对应，体会函数与方程的思想解决问题的基本方法。
二、教学目标设置
知识与技能:
1、结合一元二次方程的实数根与对应二次函数与x轴交点横坐标的对应关系，理解函数零点的定义；
2、结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；
3、结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.
过程与方法:
1.让学生充分体会特殊到一般的探究方法，学会从特殊现象中提炼一般的规律。
2、通过数形结合思想的渗透，提升学生对函数的认知能力。
3、零点存在性定理的探究过程和巩固练习，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
情感、态度、价值观:
1、培养学生热爱自然，保护自然的意识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活。
2、让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
3、使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
三、学生学情分析
1、学生的知识准备：通过初中和高一上学期的学习，学生掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法。对几种初等函数的图象有了比较全面的了解，能够比较准确的判断初等函数与x轴的交点情况。学生学习函数零点有了较为充分的函数知识准备。同时学生通过对指数和对数的学习，在遇到用零点存在性定理判定超越函数在区间上是否存在零点提供了运算的知识准备。
2、心理准备：学生能够通过一元二次方程的根与对应二次函数与x轴的交点横坐标的关系理解零点的概念，但在任意函数的零点与对应方程的实数根关系的转化上还存在一定难度。
3.教学难点及突破难点的关键分析
教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点：方程的实数根与函数零点关系的灵活转化，探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.
四、教学手段和方法：
利用多媒体辅助教学手段，创设问题情景，让学生通过观察，体会方程的解在函数图像中表达的事实，借助几何画板作出函数图像，让学生直观体会函数零点的概念。
五、教学过程与操作设计：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习旧知
1、教师让学生用所学的知识求方程的根，并作出函数的图象。
2、教师鼓励学生观察体会数与形之间的联系。
3、教师引入二次函数与x轴的交点与对应方程根的关系。
1、让学生通过亲自动手计算和作图，加深对函数与x轴的交点的横坐标与方程的根的映象，并能明确二者的对应关系。2、直接观察谈看法，引起学生的求知欲。
新课导入
让学生会使用代数法和几何法判定函数的零点。
1、学生通过图像的观察和分析，得出函数与x轴的交点的横坐标就是对应一元二次方程的解。
3、通过对以上三组一元二次方程的实数根和对应二次函数交点的横坐标的关系，归纳二次函数零点的判定方法。
4、结合二次函数零点的判断方法，结合藏羚羊迁徒路径与青藏铁路交汇口的确定问题引出一般函数零点判定的方法：代数法、几何法。
4、通过一组巩固训练来驾驶学生对代数法和几何法判定函数零点的方法的理解。
1、问题的提出，让学生在通过图像的观察以后，逐步将方程解的问题与函数的图像对应起来，奠定数形结合思想是解决方程的实数根与函数零点问题的关键。
2、让学生敢于谈自己对知识的看法，通过学生的直观感受来深入数学问题的探究。
探究发现
探究：
让学生通过，观察图象得出函数有零点，大致在区间
[2，3]，而且仅有一个。
问：如何用数学知识说明？
例1：
分析：1、取点计算对应函数的值，估计零点所在的位置。2、用零点存在性定理判定函数零点的范围。
3、根据函数的单调性说明函数有零点仅有一个零点。
提炼：如果函数在某一区间内单调，至多有一个零点。
教师引导，学生合作探究：
1、让学生用代数法和几何法去判定函数有没有零点。
2、让学生尝试后谈自己的用代数法和几何法判定函数零点的困惑；首先，学生不会解超越方程，所以无法用代数法解。其次，学生用几何法的时候无法准确描点。
3、用几何画板画出图象，让学生从直观上观察出函数有零点，提出问题，如何说明它？借助二次函数图象由特殊到一般的思想，探究零点存在性定理。
4、在问题的解决过程中，让学生学会归纳知识应有的步骤。
1、让学生在用所熟悉的知识解决看似常规的问题时产生疑惑，提出质疑，产生探求解决问题方法的动机。
2、在探究的过程中体会特殊到一般的解决问题的方法，大胆猜测和积极尝试，学会简单的评价尝试结论的合理性。
练习巩固
巩固训练一
巩固训练二
1、第一组练习让学生在体会了二次函数的零点的判定与二次函数与x轴的交点和一元二次方程实数根的关系后，将判定函数零点两种方法，即代数法和几何法的方法推广到任意函数零点的判定上来。
2、第二组练习是在探究出零点存在性定理后，让学生体会零点存在性定理的意义。
1、鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习。
2、让学生在巩固训练的过程中能够提炼解决问题方法，比较代数法和几何法的特点。
归纳小结
一、本节完成的两个任务：
1、引入函数的概念，得到判定函数有无零点的两种方法：
代数法、几何法。
2、形成零点存在性定理，并能用零点存在性定理判定函数在某一区间上是否存在零点。若有，如何确定零点所在的区间。
二、本节强调的数学思想和方法：
数形结合思想、特殊到一般的思想、转化思想
1、教师引导学生总结一节课的学习体会，并进行课堂交流
2、鼓励学生大胆体会，认真分析，注重实践，学会总结。
让学生回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力。
布置作业
1. 课后练习
学生课后在作业本上完成
1、让学生巩固所学内容，进一步提高对数学通性通法的学习与研究的认识。
2、进一步体会数形结合的思想
课件18张PPT。第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y= x2－2x－3y= x2－2x+1对应函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。2018/10/254有两个不等的
实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2没有实数根一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关系：(x1,0)， (x2,0) (x1,0)没有交点结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。问题3：上述结论对其他函数成立吗？ 求下列函数的图象与x轴的交点坐标：(2,0)(3,0)(7,0)3.1.1 方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：注意：零点不是“点”，是实数。函数零点的求法：
函数零点的求法：D02-1或3 零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
问题6：观察另三个函数图象你有什么发现？原理不可逆单调时仅有一个零点零点的个数不唯一图象连续是必要的问题5：已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点吗？如果不存在，你能举出一个反例吗？分析二：该函数有几个零点？分析一：能否确定零点区间；用一用 由列表和图像可知f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0,说明这个函数
在区间(2,3)内有零点。解法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象由于函数f(x)在定义域(0,+∞)
内是增函数,因而仅有一个零点。解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：
①令f(x)=0, 得方程lnx+2x-6=0
②方程变形，lnx=-2x+6 ,
拆成两个函数g(x)=lnx, h(x)=6-2x
③画出两个函数图象
④两个函数图象的交点个数y=－2x +6y= lnx解法二：估算f(x)在各整数处的取值的正负：－ －＋＋即为原函数的零点个数,得结果.得f(2)f(3)<0解法三：[规律总结] 判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．课堂练习1、指出下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为________．
②g(x)＝lgx＋2零点为________．
2、已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝________.小结再见
