方程的根与函数的零点课件
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课件19张PPT。3.1.1《方程的根与函数的零点》教学目 标使学生了解零点的概念，理解方程的根与零点的关系，会利用函数的图象指出函数零点的大致区间。
教学重点：方程的根与函数的零点的关系。
教学难点：求函数零点的个数问题 方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y= x2－2x－3y= x2－2x+1函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象判别式△ =
b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象
与 x 轴的交点有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等
的实数根x1 、x2 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数零点的定义：等价关系观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根 [2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根观察对数函数f(x)=lgx的图象:[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。 由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）－4 －1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3） x2 ＝4x－4；（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)= －x3－3x+5；（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；（3）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.有没有有没有有没有有没有1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。(1) －x2＋3x＋5＝0 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。(2) 2x(x－2)＝－31(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下： 它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。(3) x2 ＝4x－41(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下： 它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋52(1)解：作出函数的图象，如下： 因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。2(1) f(x)= －x3－3x+52(2)解：作出函数的图象，如下： 因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3 2(3)解：作出函数的图象，如下： 因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。2(3) f(x)=ex－1+4x－42(4)解：作出函数的图象，如下： 因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x小结与思考函数零点的定义等价关系函数的零点或相应方程的
根的存在性以及个数的判断
教学重点：方程的根与函数的零点的关系。
教学难点：求函数零点的个数问题 方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y= x2－2x－3y= x2－2x+1函数函
数
的
图
象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象
与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0y= x2－2x+3方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象判别式△ =
b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象
与 x 轴的交点有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等
的实数根x1 、x2 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数零点的定义：等价关系观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根 [2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根观察对数函数f(x)=lgx的图象:[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。 由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）－4 －1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。练习：1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3） x2 ＝4x－4；（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)= －x3－3x+5；（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；（3）f(x)=ex－1+4x－4;（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.有没有有没有有没有有没有1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。(1) －x2＋3x＋5＝0 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。(2) 2x(x－2)＝－31(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下： 它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。(3) x2 ＝4x－41(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下： 它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋52(1)解：作出函数的图象，如下： 因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。2(1) f(x)= －x3－3x+52(2)解：作出函数的图象，如下： 因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3 2(3)解：作出函数的图象，如下： 因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。2(3) f(x)=ex－1+4x－42(4)解：作出函数的图象，如下： 因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x小结与思考函数零点的定义等价关系函数的零点或相应方程的
根的存在性以及个数的判断