(共29张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
第1课时 解简单的一元一次不等式
7.2 一元一次不等式
一元一次不等式的定义
1.(2025安徽合肥肥西期中)下列各式中,是一元一次不等式的
是 ( )
A.x-3 B.x-1=2
C.x+y>1 D.x-3>5
D
解析 选项A是代数式;选项B是方程;选项C含有两个未知数,
不是一元一次不等式;选项D是一元一次不等式.
2.【学科特色·易错题】(2025上海浦东新区期中)已知(m+3)x|m|-2+
2>0是关于x的一元一次不等式,则m的值为_________.
3
解析 根据一元一次不等式的定义,既要考虑未知数的次数
为1,又要考虑未知数的系数不能为0,故|m|-2=1且m+3≠0,解得
m=3.
易错警示 本题易因未考虑未知数的系数不能为0而出错.
解简单的一元一次不等式
3.(2025福建中考)不等式 x+1≤2的解集在数轴上表示正确
的是 ( )
C
A B
C D
解析 移项,得 x≤2-1,合并同类项,得 x≤1,系数化为1,得x
≤2.解集在数轴上表示如图:
4.(2025江苏苏州二模)不等式21-5x>4的非负整数解有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
解析 21-5x>4,移项,得-5x>4-21,合并同类项,得-5x>-17,系数
化为1,得x< ,所以不等式的非负整数解有3,2,1,0,共4个.
5.(2025安徽合肥四十二中期末)已知关于x的一元一次方程3x
-m=2x+3的解为负数,则m的取值范围是 ( )
A.m≤-3 B.m≥-3
C.m<-3 D.m>-3
C
解析 解方程3x-m=2x+3,得x=m+3.
因为关于x的方程3x-m=2x+3的解是负数,
所以m+3<0,解得m<-3.
6.(2025安徽铜陵三模)关于x的不等式2(x+1)<3x的解集是_____.
x> 2
解析 去括号,得2x+2<3x,移项、合并同类项,得-x<-2,系数化
为1,得x>2.
7.(2025安徽合肥庐江模拟)若关于x的不等式m-1≤1-x只有负
数解,则m的取值范围是___________.
m>2
解析 解关于x的不等式m-1≤1-x,得x≤2-m,
因为不等式m-1≤1-x只有负数解,
所以2-m<0,解得m>2.
8.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)-3x-4>6x+5. (2)2(x-2)+1≤3x-2.
(3)2(3x-2)≥-3x-4. (4)4-2(x-3)>4(x+1).
解析 (1)移项,得-3x-6x>5+4,
合并同类项,得-9x>9,
系数化为1,得x<-1.
在数轴上表示不等式的解集如图:
(2)去括号,得2x-4+1≤3x-2,
移项,得2x-3x≤-2+4-1,
合并同类项,得-x≤1,
系数化为1,得x≥-1.
在数轴上表示不等式的解集如图:
(3)去括号,得6x-4≥-3x-4,
移项,得6x+3x≥-4+4,
合并同类项,得9x≥0,
系数化为1,得x≥0,
在数轴上表示不等式的解集如图:
(4)去括号,得4-2x+6>4x+4,
移项,得-2x-4x>4-4-6,
合并同类项,得-6x>-6,
系数化为1,得x<1,
在数轴上表示不等式的解集如图:
9.已知3(5x+2)+5<4x-6(x+1),化简:|3x+1|-|1-3x|.
解析 去括号,得15x+6+5<4x-6x-6,
移项,得15x-4x+6x<-6-6-5,
合并同类项,得17x<-17,
系数化为1,得x<-1,
所以3x+1<0,1-3x>0,
所以|3x+1|-|1-3x|=-(3x+1)-(1-3x)
=-3x-1-1+3x=-2.
10.已知不等式5(x-2)+9<6(x-1)+7的最小整数解为关于x的方
程2x-ax=3的解,求代数式5a- 的值.
解析 已知不等式5(x-2)+9<6(x-1)+7,
整理,得5x-1<6x+1,解得x>-2,
则其最小整数解为-1.
把x=-1代入2x-ax=3,
得-2+a=3,解得a=5,
则5a- =25-1=24.
11.(2025安徽淮南期末,★★☆)已知关于x的不等式mx>2x+1
的解集为x< ,则m的最大整数值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 因为mx>2x+1,所以mx-2x>1,
所以(m-2)x>1.
因为该不等式的解集为x< ,所以m-2<0,
解得m<2,所以m的最大整数值为1.
12.【学科特色·多解法】(2025安徽淮北期中,★★☆)若关于x,y的方程组 满足x+y≥0,则k的取值范围是 ( )
A.k≥-2 B.k≥-1
C.k≤-2 D.k≤-1
A
解析 【解法一】解方程组,得
所以x+y= + =4+2k≥0,解得k≥-2.
【解法二】 ①+②,得2x+2y=4k+8,
所以x+y=2k+4≥0,解得k≥-2.
13.【新考向·新定义题】(2025北京昌平期中,★★☆)我们把
符号“ ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为 =
ad-bc,如 =2×5-3×4=-2.
(1)求不等式 >3的解集.
(2)若关于x的不等式 <0的解集与(1)中的不等式解集相
同,求m的值.
解析 (1)根据题意,得3x-2(1-x)>3,
去括号,得3x-2+2x>3,
移项,得3x+2x>3+2,
合并同类项,得5x>5,
系数化为1,得x>1.
(2)因为 <0,所以2m-3x<0,解得x> m,
因为关于x的不等式 <0的解集与(1)中的不等式解集相
同,所以 m=1,解得m= .
14.【新考向·阅读理解题】(2025上海浦东新区月考,★★★)
阅读与理解:
若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,则称
一元一次不等式②是一元一次不等式①的“覆盖不等式”.
例如:不等式x>1的解都是不等式x≥-1的解,则x≥-1是x>1的
“覆盖不等式”.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)不等式x<-1_______不等式x<-3的“覆盖不等式”.(选填
“是”或“不是”)
(2)若x<-2是关于x的不等式-x+4m>1的“覆盖不等式”,求m的
最大整数值.
解析 (1)因为不等式x<-3的解都是不等式x<-1的解,所以不
等式x<-1是不等式x<-3的“覆盖不等式”.故答案为是.
(2)因为不等式-x+4m>1的解集为x<4m-1,x<-2是关于x的不等
式-x+4m>1的“覆盖不等式”,
所以4m-1≤-2,解得m≤- ,
所以m的最大整数值为-1.
15.【新课标·几何直观】阅读下面材料:小明在数学课外小组
活动时遇到这样一个问题:如果一个不等式中含有绝对值,并
且绝对值符号中含有未知数,我们把这个不等式叫作绝对值
不等式,求绝对值不等式|x|>3的解集.
小明的思路如下:先根据绝对值的定义,求出|x|恰好是3时x的
值,并在如图所示的数轴上表示为点A,B.观察数轴发现,以
点A,B为分界点把数轴分为三部分:点A左边的点表示的数的
绝对值大于3;点A,B之间的点表示的数的绝对值小于3;点B右
边的点表示的数的绝对值大于3.因此,小明得出结论,绝对值不等式|x|>3的解集为x<-3或x>3.
参照小明的思路,解决下列问题:
(1)|x|<2的解集为_________,|x|>5的解集为_________.
(2)求绝对值不等式2|x-3|+5>13的解集.
解析 (1)-2
5.
(2)移项,得2|x-3|>13-5,
合并同类项,得2|x-3|>8,
系数化为1,得|x-3|>4,
所以x-3>4或x-3<-4,所以x>7或x<-1,
所以2|x-3|+5>13的解集为x>7或x<-1.(共11张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
第1课时 不等式
7.1 不等式及其基本性质
不等式的概念
1.(2025安徽合肥包河月考)在下列式子中,属于不等式的是
( )
A.x=3 B.4x+y<0
C.-2x D.x2-xy
B
解析 选项A是等式;选项B是不等式;选项C是单项式;选项D
是多项式.
2.(2025广东清远连州期末)给出下列数学式子:①-2<0;②2x-
5>0;③b=2;④x2-x;⑤3x+2y≥0.其中是不等式的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
解析 式子①②⑤含有不等号,故它们是不等式.
③是等式,④是代数式.
根据数量关系或实际问题列不等式
3.(2025广东云浮罗定一模)如图所示的交通标志表示某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过40 km,若某汽车的时速为a km,且该汽车没有超速,则下列不等式正确的是 ( )
A.a<40 B.a≤40 C.a>40 D.a≥40
B
解析 因为不超过指的是小于或等于,所以列不等式为a≤40.
4.(2025安徽合肥包河月考)根据下列数量关系列不等式.
(1)x的7倍减去1是正数.
(2)y的 与 的和不大于0.
解析 (1)7x-1>0.
(2) y+ ≤0.
不等式的解和不等式的解集
5.(2025上海松江期中改编)若x=1是某不等式的一个解,则该
不等式可能是 ( )
A.2x<2 B.-2x<-2 C.-2x>2 D.2x>-2
D
解析 当x=1时,2x=2,故选项A不符合题意;
当x=1时,-2x=-2,故选项B不符合题意;
当x=1时,-2x=-2<2,故选项C不符合题意;
当x=1时,2x=2>-2,故选项D符合题意.
6.(2025安徽阜阳太和月考)在数轴上表示不等式x≤4的解集,
正确的是 ( )
B
A B C D
解析 因为不等式的解集为x≤4,所以在数轴上表示时方向
向左,起点是实心点,故选B.
7.【学科特色·教材变式P29T2】(★★☆)在4,3,2,1,0,- ,- 中,
能使不等式3x-2>2x成立的数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 把已知数值分别代入不等式中验证,
其中4,3使得该不等式成立,共有2个.
8.(2025上海嘉定期中,★★☆)某乒乓球馆有两种计费方案,如
表.小鸣和同学们打算周末去此乒乓球馆连续打球4小时,经服
务生测算后,告知他们包场计费方案会比按人数计费方案便
宜,若他们共有x人,根据题意可列不等式:___________________
_________.
2)×6x
50×4+5x<20x+(4-
包场计费:
包场每场每小时50元,每人需另付入场费5元
人数计费:
每人打球2小时20元,接着续打球每人每小时6元
解析 由题易知包场计费:(50×4+5x)元,
人数计费:[20x+(4-2)×6x]元,
因为包场计费方案会比按人数计费方案便宜,
所以50×4+5x<20x+(4-2)×6x.(共28张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
7.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组的定义
1.(2025上海浦东新区期中)下列不等式组中,是一元一次不等
式组的是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 选项A中含有2个未知数,不是一元一次不等式组;选项
B中未知数的最高次数为2,不是一元一次不等式组;选项C符
合一元一次不等式组的定义;选项D中分母中含有未知数,不
是一元一次不等式组.
一元一次不等式组的解集
2.(2024广东中考)关于x的不等式组中,两个不等式的解集如
图所示,则这个不等式组的解集是___________.
x≥3
解析 两个不等式的解集的公共部分是x≥3,故该不等式组
的解集是x≥3.
3.【跨生物·菌群生长环境】(2025安徽合肥四十五中月考)已知A种菌群的生长温度t1(℃)的取值范围是-4≤t1≤5,B种菌群的生长温度t2(℃)的取值范围是-5≤t2≤3,将两种菌群在一个实验室培育,实验室适合的温度t(℃)的取值范围是___________.
-4≤t≤3
解一元一次不等式组
4.(2025吉林长春中考)下列不等式组无解的是 ( )
A. B.
C. D.
B
解析 选项A中,由“同大取大”,得该不等式组的解集为x>2;
选项B中,由“大大小小无解”,得该不等式组无解;选项C中,
由“同小取小”,得该不等式组的解集为x<-1;选项D中,由
“大小小大中间找”,得该不等式组的解集为-15.(2025上海中考)不等式组 的解集是___________.
x>2
解析 由 -1>0,得x>2;由2x+3≥x,得x≥-3.
则不等式组的解集为x>2.
6.(2025四川南充中考)不等式组 的解集是x>2,则m
的取值范围是___________.
m≤3
解析 由x-3>-1,得x>2;
由-x<-m+1,得x>m-1.
因为不等式组的解集为x>2,
所以m-1≤2,解得m≤3.
7.解下列不等式组,并写出它的所有整数解.
(1) (2)
解析 (1)解不等式①,得x≤0,
解不等式②,得x>-4,
所以不等式组的解集为-4所以不等式组的整数解为-3,-2,-1,0.
(2)解不等式①,得x≤2,
解不等式②,得x>-3,
所以不等式组的解集为-3所以不等式组的整数解为-2,-1,0,1,2.
8.解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
(1) (2)
解析 (1)解不等式①,得x>-2,
解不等式②,得x≤-1,
所以该不等式组的解集为-2在数轴上表示不等式组的解集如下:
(2)解不等式①,得x>-3,
解不等式②,得x<2,
所以该不等式组的解集为-3在数轴上表示不等式组的解集如下:
9.(2025安徽安庆太湖期中,★★☆)若关于x,y的方程组
的解满足-2<3x-2y≤0,则k的取值范围是 ( )
A.-4C.3A
解析
由①+②,得3x-2y=2k+6.
因为-2<3x-2y≤0,
所以-2<2k+6≤0,
解得-410.(2025安徽合肥四十六中期末,★★☆)若不等式组
的整数解共有两个,则a的取值范围是 ( )
A.-1≤a<0 B.-1C.-1 B
解析 解不等式2x-3<1,得x<2,
因为不等式组 的整数解共有两个,
即1和0,所以-111.【跨化学·pH值】(2025安徽芜湖三模,★★★)检测游泳池
的水质,要求三次检验的pH的平均值不小于7.2,且不大于7.8.
已知第一次pH检测值为7.4,第二次pH检测值在7.0至7.9之间
(包含7.0和7.9),若该游泳池检测合格,则第三次pH检测值x的
范围是 ( )
A.7.2≤x≤8.1 B.7.1≤x≤8.0
C.7.2≤x≤8.0 D.7.1≤x≤8.1
A
解析 已知第一次pH检测值为7.4,第二次pH检测值在7.0至7.
9之间(包含7.0和7.9),三次检验的pH的平均值不小于7.2,且不
大于7.8,
所以
解得7.2≤x≤8.1,
故第三次pH检测值x的范围是7.2≤x≤8.1.
12.【新考向·新定义题】(2025安徽合肥三十八中月考,★★
★)对非负数x“四舍五入”到个位的值记为[x],即当n为非负
整数时,若n- ≤x料,解决问题:
(1)[1.8]=_______,[2.3]=_______.
(2)若[2x+1]=4,则x的取值范围是_______.
(3)求满足[x]= x-1的所有非负数x的值.
解析 (1)2;2.
(2)由题意可得3.5≤2x+1<4.5,解得 ≤x< .
故答案为 ≤x< .
(3)设 x-1=m,m为整数,则x= ,
因为[x]= x-1,所以[x]= =m,
所以m- ≤ 因为m为整数,所以m=1或2或3,
当m=1时, x-1=1,解得x= ;
当m=2时, x-1=2,解得x=2;
当m=3时, x-1=3,解得x= .
所以x= 或2或 .
13.【新课标·推理能力】(2025安徽淮北期中)在信息技术课
上,王丽同学设计了如下运算程序:
按上述程序运行到“≥55”时,称为一次“操作”.
(1)若一次“操作”就输出结果,求x的最小值.
(2)若x=5,则输出结果是_______.
(3)若三次“操作”才输出结果,求x的取值范围.
解析 (1)因为一次“操作”就输出结果,
所以3x-2≥55,解得x≥19,
则x的最小值为19.
(2)若x=5,则3×5-2=13<55,返回继续运算,3×13-2=37<55,返回
继续运算,3×37-2=109>55,输出结果.故答案为109.
(3)因为三次“操作”才输出结果,
所以 解得3≤x<7.
微专题 由不等式组的解集确定字母的取值或范围
例
(2025河南驻马店驿城期中)已知关于x的不等式组
的解集是-2A.1,3 B.3,1 C.3,-1 D.-1,3
B
解析 由x+a>b,得x>-a+b;由x-b解集是-2变式1 (2025安徽合肥四十五中二模)若不等式组
无解,则m的取值范围为 ( )
A.m≤2 B.m<2 C.m≥2 D.m>2
A
解析 解不等式 < -1,得x>8,
因为不等式组无解,所以4m≤8,解得m≤2.
变式2 (2025安徽合肥一六八中学月考)若关于x的不等式组
只有四个整数解,则a的取值范围为 ( )
A.1C.3B
解析 解不等式5x+2>3(x-1),得x>- ,
解不等式 x-1≤a- x,得x≤ ,
所以不等式组的解集为- 因为不等式组有四个整数解,即-2,-1,0,1,
所以1≤ <2,解得1≤a<3.(共15张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
第2课时 不等式的基本性质
7.1 不等式及其基本性质
不等式的基本性质
1.(2025安徽合肥四十二中期末)如果a>b,那么下列错误的是
( )
A.a+3>b+3 B.a-3>b-3
C.-2a>-2b D. <
C
解析 不等式两边同时加上3或减去3,根据不等式的基本性
质1,不等号方向不变,故选项A,B正确;不等式两边同时乘-2或
除以-2,根据不等式的基本性质3,不等号方向改变,故选项C错
误,选项D正确.
2.(2025安徽合肥四十五中月考)下列说法不一定成立的是
( )
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,则 >1
C.若a>b,则a(a-b)>b(a-b)
D.若ac2>bc2,则a>b
B
解析 选项A,根据不等式的基本性质1,由a>b,得a+c>b+c;选
项B,当b<0时,根据不等式的基本性质3,由a>b,得 < =1,故 >
1不成立;选项C,因为a>b,所以a-b>0,根据不等式的基本性质2,
得a(a-b)>b(a-b);选项D,因为ac2>bc2,所以c2>0,根据不等式的基
本性质2,得a>b.
3.(2025安徽宣城宁国期中)若x>y,且(a+3)x<(a+3)y,则a的取值
范围是 ( )
A.a>-3 B.a<-3
C.a<3 D.a≥-3
B
解析 因为x>y,且(a+3)x<(a+3)y,
所以a+3<0,则a<-3.
4.【学科特色·教材变式P33T3】比较大小:如果a______-1-2b(填“<”或“>”).
>
解析 因为a-2b,所以-1-2a>-1-2b.
5.(2025安徽合肥包河月考)根据不等式的基本性质,将下列不
等式化成“x>a”或“x(1)- x<-2.
(2)10x>7x+1.
解析 (1)根据不等式的基本性质3,两边同乘- ,
得- x× >-2× ,即x>3.
(2)根据不等式的基本性质1,两边同减去7x,
得10x-7x>7x-7x+1,即3x>1.
根据不等式的基本性质2,两边同乘 ,
得3x× >1× ,即x> .
6.(2025广东惠州期末,★★☆)有四种不同的小球,质量(单位:
克)分别如图所示,放置在天平的托盘中,结果天平倾斜,则下
列说法正确的是 ( )
A.a>b B.a>c C.c<5 D.c>5
C
解析 由题图可知a+b+2c将不等式两边同时减去(a+b),得2c<10,根据不等式的基本性
质2,将不等式两边同时除以2,得c<5.
7.【新考向·代数推理】(2025安徽合肥包河期中,★★★)已知
实数a,b,c满足:a+2b+2c=0,2a+b+c>0,则下面结论正确的是
( )
A.a<0,b+c<0 B.a>0,b+c<0
C.a<0,b+c>0 D.a>0,b+c>0
B
解析 根据等式的基本性质1,将a+2b+2c=0的两边同时减a,
得2b+2c=-a,根据不等式的基本性质2,将2a+b+c>0的两边同时
乘2,得4a+2b+2c>0,将2b+2c=-a代入4a+2b+2c>0,得3a>0,根据
不等式的基本性质2,将3a>0的两边同时除以3,得a>0,根据不
等式的基本性质3,将a>0的两边同时乘-1,得-a<0,所以2b+2c<
0,根据不等式的基本性质2,将2b+2c<0的两边同时除以2,得b+
c<0,所以a>0,b+c<0.
8.(★★☆)阅读材料:小明对不等式的有关知识进行了自主学
习,他发现,对于任意两个实数a和b比较大小,有如下规律:若a-
b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a也成立.课上,通过与老师和其他同学的交流,验证了上面的规
律是正确的.
参考小明发现的规律,解决问题:
(1)比较大小:3+ _______ + .(填“<”“=”或“>”)
(2)已知x+2y-2=0,且x是正数,若A=5xy+y+1,B=5xy+2y,试比较A
和B的大小.
解析 (1)因为3< ,所以3- <0,
所以(3+ )-( + )<0,所以3+ < + .
(2)A-B=(5xy+y+1)-(5xy+2y)=-y+1,
因为x+2y-2=0,所以x=2-2y,因为x是正数,即x>0,所以2-2y>0,不
等式两边同时除以2,得1-y>0,即-y+1>0,所以A>B.(共32张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
第2课时 解含有分母的一元一次不等式
7.2 一元一次不等式
解含有分母的一元一次不等式
1.【学科特色·易错题】解一元一次不等式 -1≤ 时,去
分母正确的是 ( )
A.2(2x-1)-10≤5x B.2(2x-1)-1≤5x
C.2x-1-10≤5x D.2x-1-1≤5x
A
解析 将该不等式左右两边同乘10,
得2(2x-1)-10≤5x.
易错警示 将含分母的不等式去分母时,不等式中的每一项
同乘分母的最小公倍数,不能漏乘.
2.(2025福建福州晋江期中)不等式 +1>x-3的正整数解的
个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 去分母,得x-5+2>2x-6,移项、合并同类项,得-x>-3,系数
化为1,得x<3,所以不等式的正整数解有1,2,共2个.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025湖南株洲芦淞模拟)数轴
是认识数形结合的重要工具.如图,不完整的数轴上有A,B两
点,分别表示 和1-x,且点A在点B左侧,则下列数值中可以
作为x的值的是 ( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
A
解析 根据题意,得 <1-x,解得x<-2,故x的值可以是-3.
4.填空:
(1)(2025安徽合肥一模)不等式 ≤-1的解集是____________.
(2)(2025安徽合肥三模)不等式 ≥1-x的解集为___________.
x≥
x≤-1
解析 (1)去分母,得x-1≤-2,
移项、合并同类项,得x≤-1.
(2)去分母,得2x-1≥3(1-x),
去括号,得2x-1≥3-3x,
移项,得2x+3x≥3+1,
合并同类项,得5x≥4,
系数化为1,得x≥ .
5.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)(2025安徽合肥月考) ≤ .
(2)(2025安徽芜湖无为期末) +2≥ .
解析 (1)去分母,得3(x-1)≤2(2x+1),
去括号,得3x-3≤4x+2,
移项、合并同类项,得-x≤5,
系数化为1,得x≥-5.
在数轴上表示不等式的解集如图:
(2)去分母,得3(x-5)+2×12≥2(5x+1),
去括号,得3x-15+24≥10x+2,
移项、合并同类项,得-7x≥-7,
系数化为1,得x≤1,
在数轴上表示不等式的解集如图:
6.【学科特色·教材变式P37T2】当x取何值时,代数式 的
值满足下列要求
(1)是非负数. (2)不大于 的值.
解析 (1)根据题意,得 ≥0,
去分母,得2+x≥0,移项,得x≥-2.
(2)根据题意,得 ≤ ,
去分母,得3(2+x)≤2(2x-1),
去括号,得6+3x≤4x-2,
移项,得3x-4x≤-2-6,
合并同类项,得-x≤-8,系数化为1,得x≥8.
7.求不等式 - >x- 的正整数解.
解析 根据分数的基本性质,得 - >x- ,
去分母,得2(3x+4)-3(x-2)>6x-1,
去括号,得6x+8-3x+6>6x-1,
移项、合并同类项,得-3x>-15,
系数化为1,得x<5,
故该不等式的正整数解为1,2,3,4.
8.(2025江苏苏州期末)已知关于x,y的二元一次方程组
(k为常数).
(1)若方程组的解也满足方程x+3y=2,求k的值.
(2)若方程组的解也满足不等式x+y>8,求k的取值范围.
解析 (1)由题意得 解得
将 代入4x+y=6-4k中,
得32-2=6-4k,解得k=-6.
(2)
①-②,得3x+3y=-4k-6,即x+y= ,
因为x+y>8,所以 >8,解得k<- .
9.(★★☆)不等式 +1> 的解集是x< ,则a应满足
( )
A.a>5 B.a=5
C.a>-5 D.a=-5
B
解析 去分母,得2x+1+3>ax-1,
移项、合并同类项,得(2-a)x>-5,
因为不等式 +1> 的解集是x< ,
所以2-a=-3,解得a=5.
10.(2025安徽滁州明光期中,★★☆)若不等式 - >2的任意一个解都比不等式2y+1≤3y-k的解小,则k的取值范围是_______.
k ≥-5
解析 解不等式 - >2,得y<-4,
解不等式2y+1≤3y-k,得y≥k+1,
因为不等式 - >2的任意一个解都比不等式2y+1≤3y-k
的解小,所以-4≤k+1,解得k≥-5.
11.(2025江苏苏州高新区期末,★★☆)已知关于x的方程
+m=3,若该方程的解是不等式2x-1< 的最大整数解,则代
数式m2-2m+5的值为_________.
8
解析 不等式2x-1< ,去分母,得4x-2<1+3x,
移项、合并同类项,得x<3,则最大的整数解是2.
把x=2代入 +m=3中,得m=3,
所以m2-2m+5=9-6+5=8.
12.(2025江苏南通期末,★★☆)关于x的不等式 <2的解
都是不等式 >-1的解,则a的取值范围是____________.
a≥-7
解析 解关于x的不等式 <2,得x< ,
解关于x的不等式 >-1,得x<5,
因为关于x的不等式 <2的解都是不等式 >-1的解,所
以有 ≤5,解得a≥-7.
13.(2025广东深圳南山三模,★★☆)下面是某同学解不等式1-
> 的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:去分母,得6-5x-4>3x-6.第一步
移项,得-5x-3x>-6+4-6.第二步
合并同类项,得-8x>-8.第三步
系数化为1,得x>1.第四步
根据以上材料,解答下列问题:
(1)第一步去分母的依据是_______.
(2)在解答过程中,从第_______步开始出错,错误原因是_____
_____.
(3)原不等式的正确解集为_______.
解析 (1)不等式的基本性质2.
(2)四;系数化为1时,不等号的方向没有发生改变.
(3)去分母,得6-5x-4>3x-6,移项,得-5x-3x>-6+4-6,合并同类项,
得-8x>-8,系数化为1,得x<1.故答案为x<1.
14.【新考向·新定义题】(2025安徽埇桥宿州十一中月考,★
★☆)新定义型阅读理解题:已知任意实数a,b,定义min{a,b}的
含义为当a≥b时,min{a,b}=b,当a(1)若min =-1,求x的取值范围.
(2)求min{2x-1,-x+5}的最大值.
解析 (1)因为min =-1,
所以 ≥-1,解得x≥-3.
(2)①当2x-1≥-x+5,即x≥2时,
min{2x-1,-x+5}=-x+5≤3;
②当2x-1<-x+5,即x<2时,
min{2x-1,-x+5}=2x-1<3.
综上所述,min{2x-1,-x+5}≤3,
所以min{2x-1,-x+5}的最大值为3.
15.【新课标·运算能力】我们把关于x的一个一元一次方程和
一个一元一次不等式组合成一种特殊组合,且当一元一次方
程的解正好也是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫
作“梦想组合”;当一元一次方程的解不是一元一次不等式
的解时,我们把这种组合叫作“无缘组合”.
(1)组合 是_____.(填“梦想组合”或“无缘组合”)
(2)若关于x的组合 是“梦想组合”,求a的取值范围.
(3)若关于x的组合 是“无缘组合”,求m的取
值范围.
解析 (1)解方程2x-4=0,得x=2,当x=2时,5x-2=8>3,即x=2不是
不等式5x-2<3的解,所以组合 是无缘组合.故答案为
无缘组合.
(2)解方程3x-6=0,得x=2,解不等式 >a,得x>3a.
因为关于x的组合 是“梦想组合”,
所以3a<2,解得a< ,即a的取值范围为a< .
(3)解方程2-x=x-2m,得x=m+1,
解不等式 +1 .
因为关于x的组合 是“无缘组合”,
所以 ≥m+1,解得m≤ ,
即m的取值范围为m≤ .(共22张PPT)
第7章 一元一次不等式与不等式组
第3课时 一元一次不等式的应用
7.2 一元一次不等式
销售问题
1.【学科特色·教材变式P39T7】(2025安徽淮北期末)一种荔枝的进价是每千克12.6元,销售中估计有10%的荔枝正常损耗(包含剪枝),商家把售价至少定为每千克_______元,才能避免亏本.
14
解析 设商家把售价定为每千克x元,根据题意,得x(1-10%)≥
12.6,解得x≥14,即商家把售价至少定为每千克14元,才能避免
亏本.
2.(2025安徽合肥中科大附中期中)4月23日是世界读书日,某
校为了打造以“读书好、好读书、读好书”为主题的书香校
园,决定采购《万物简史》《人间词话》两种图书供学生阅
读.通过了解,购买1本《万物简史》的价格为30元,1本《人间
词话》的价格为18元.若该校计划购买两种图书共100本,总费
用不超过2 400元,则学校最多购买《万物简史》多少册
解析 设学校购买《万物简史》x册,则购买《人间词话》(10
0-x)册,
根据题意,得30x+18(100-x)≤2 400,解得x≤50.
答:学校最多购买《万物简史》50册.
3.(2025安徽蚌埠模拟)黄山毛峰是中国十大名茶之一,某商家
以200元/罐的价格购进一批罐装黄山毛峰,并在进价的基础上
提价30%进行售卖,若总销售额最多达13万元,且每卖一罐,有
28元的管理和营销费用,此时商家总获利最多为多少
解析 设售出的数量为m罐,
根据题意,得200×(1+30%)m≤130 000,
解得m≤500,所以最多售出500罐,
则最大利润为200×30%×500-500×28=16 000(元).
答:商家总获利最多为16 000元.
行程问题
4.(2025安徽合肥一六八中学月考)小明同学早上7:40前要到
达班级,出家门时是7:20,已知他家离学校1 600 m,他跑步的速
度为130 m/min,走路的速度为60 m/min,小明同学至少跑步多
长时间才能保证不迟到 设小明同学跑步时间为x min,则下列
不等式正确的为 ( )
A.130x+60(20-x)<1 600 B.130x+60(x-20)>1 600
C. +x<20
D
D. +x<20
解析 小明20 min的路程大于1 600 m时能保证不迟到,则130
x+60(20-x)>1 600,故选项A,B错误.
因为小明同学跑步时间为x min,
所以走路的路程为(1 600-130x)m,
则走路的时间为 min,
由到校时间应小于20 min列不等式,
得 +x<20,故选项C错误,选项D正确.
5.某高速公路工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,要
在炸药爆炸前跑到400 m以外的安全区域,已知导火线的燃烧
速度是0.8 cm/s,人跑步的速度是5 m/s,问:导火线必须超过多
长,才能保证操作人员的安全
解析 设导火线的长度为x cm,
根据题意,得 > ,解得x>64.
答:导火线的长度必须超过64 cm,才能保证操作人员的安全.
比赛积分问题
6.(2025四川宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞
赛,共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.
若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要
答对的题数是 ( )
A.14道 B.13道 C.12道 D.11道
C
解析 设小明答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题意,
得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,
所以他至少要答对的题数是12道.
7.(2025安徽合肥一六八中学期中,★★☆)某商场促销,小鱼将促销信息告诉了妈妈,小鱼妈妈设某一商品的定价为x元,并列出不等式为0.8×(2x-100)<900,那么小鱼告诉妈妈的信息是 ( )
A.买两件等价的商品可减100元,再打两折,最后不到900元
B.买两件等价的商品可打两折,再减100元,最后不到900元
C.买两件等价的商品可减100元,再打八折,最后不到900元
D.买两件等价的商品可打八折,再减100元,最后不到900元
C
解析 由2x-100得出买两件等价的商品减100元,
由0.8×(2x-100)得出买两件等价的商品可减100元,再打八折,
故原不等式可以理解为买两件等价的商品可减100元,再打八
折,最后不到900元.
8.(2025山西吕梁离石期末,★★☆)如图,小明想到A站乘公交
车,发现他与公交车的距离为600 m.已知小明的速度为1.2 m
/s,公交车的速度是小明的速度的5倍.若要保证小明不会错过
这辆公交车,则小明到A站的距离最大为 ( )
A.100 m B.120 m C.150 m D.180 m
A
解析 设小明到A站的距离为x m,则公交车到A站的距离为
(600-x)m,根据题意,得 ≤ ,解得x≤100,故小明到A站的
距离最大为100 m.
9.【学科特色·多解法】(2025陕西西安新城模拟,★★★)数学
典籍《孙子算经》中记载了许多著名的数学问题,其中就有
“韩信点兵”问题.相传汉朝大将韩信在点兵时,为了快速统
计士兵人数,韩信让士兵们5人一组列阵,结果多出2人;他又让
士兵们7人一组列阵,结果多出3人.已知士兵总数不超过100
人,那么士兵总数可能为_________________人.(写出一个符
合条件的值即可)
17(答案不唯一)
解析 【解法一】设5人一组可分为x组,7人一组可分为y组,
则有5x+2=7y+3(x,y均为正整数),
因为5x+2≤100,7y+3≤100,所以x≤ ,y≤ ,
所以当x=3,y=2时,士兵总数为17人;
当x=10,y=7时,士兵总数为52人;
当x=17,y=12时,士兵总数为87人.
所以士兵总数可能为17人或52人或87人.
【解法二】设7人一组可分为k组,士兵总数为N人,则N=7k+3
(k为正整数),所以7k+3-2是5的倍数,所以7k+1的个位上的数字
为0或5,所以7k的个位上的数字为9或4.因为士兵总数不超过1
00人,所以当k=2时,N=17;当k=7时,N=52;当k=12时,N=87.所以
士兵总数可能为17人或52人或87人.
10.(2025安徽芜湖期末,★★☆)芜湖铁画是我国闻名中外的
民间传统手工艺.某公司计划购买A,B两种体育主题的铁画作
品作为纪念品.已知购买1件A种铁画作品与2件B种铁画作品
共需要700元,购买2件A种铁画作品与3件B种铁画作品共需要
1 200元.
(1)A种铁画作品和B种铁画作品的单价分别为多少元
(2)该公司计划购买A种铁画作品和B种铁画作品共200件,总
费用不超过50 000元,那么最多能购买A种铁画作品多少件
解析 (1)设A种铁画作品的单价为m元,B种铁画作品的单价
为n元,
根据题意,得 解得
答:A种铁画作品的单价为300元,B种铁画作品的单价为200元.
(2)设购买A种铁画作品x件,则购买B种铁画作品(200-x)件,
根据题意,得300x+200(200-x)≤50 000,
解得x≤100,所以x的最大值为100.
答:最多能购买A种铁画作品100件.
11.【新课标·模型观念】(2025安徽合肥四十五中月考)某中
学百草园社团准备带学生种植A,B两种绿植共50棵(两种绿植
都要种植).其中A种绿植数量不超过B种绿植的3倍.
(1)社团最多购买A种绿植多少棵
(2)已知种植A种绿植每棵需要40 cm2,种植B种绿植每棵需要6
0 cm2,若种植绿植总面积不超过2 300 cm2,百草园社团购买绿
植的方案有几种 哪种方案的占地面积最少
解析 设购买A种绿植x棵,则购买B种绿植(50-x)棵.
(1)根据题意,得x≤3(50-x),解得x≤37.5,
又因为x为正整数,所以x的最大值为37.
答:社团最多购买A种绿植37棵.
(2)根据题意,得40x+60(50-x)≤2 300,
解得x≥35,又因为x≤37.5,且x为正整数,
所以x的值可以为35,36,37,
所以百草园社团共有3种购买绿植的方案:
方案1:购买A种绿植35棵,B种绿植15棵;
方案2:购买A种绿植36棵,B种绿植14棵;
方案3:购买A种绿植37棵,B种绿植13棵.
选择方案1时,种植绿植的面积为40×35+60×15=2 300(cm2),
选择方案2时,种植绿植的面积为40×36+60×14=2 280(cm2),
选择方案3时,种植绿植的面积为40×37+60×13=2 260(cm2),
因为2 300>2 280>2 260,
所以方案3的占地面积最少.
