(共26张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.4 中心对称
中心对称图形
1.(2025重庆八中期末)下列图形是中心对称图形的是
( )
B
解析 B中图形是中心对称图形,故本选项符合题意.故选B.
2.(2025河南周口项城期中)下列四个字母中,是中心对称图形
的是 ( )
D
解析 D中图形是中心对称图形,故本选项符合题意.故选D.
3.(2025海南临高期末)如图所示的分别是五角星、六角星、
七角星、八角星,其中是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 由题意得六角星、八角星是中心对称图形,共2个.故选
B.
4.(2025河南郑州八中期中)围棋起源于中国,古代称之为
“弈”,至今已有四千多年的历史.以下是在棋谱中截取的四
个部分,则由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 ( )
D
解析 选项A、B、C中的图形都不能找到一个点,使图形绕
这一点旋转180度后与原来的图形重合,所以选项A、B、C中
的图形不是中心对称图形;选项D中的图形能找到一个点,使
图形绕这一点旋转180度后与原来的图形重合,所以选项D中
的图形是中心对称图形.故选D.
成中心对称及其特征
5.(2025山西晋中左权期中)如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成
中心对称,下列结论中不一定成立的是 ( )
A.OB=OB'
B.BC∥B'C'
D
C.点A的对称点是点A'
D.∠ACB=∠A'B'C'
解析 ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,
∴OB=OB',∠ACB=∠A'C'B',点A的对称点是点A',BC∥B'C',故
选项A,B,C正确,选项D不正确.故选D.
6.(2025河南新乡期中)如图,在正方形网格
中,A,B,C,D,E,F,G,H,M,N是网格线的交点,△ABC与△DEF关
于某点成中心对称,则其对称中心是( )
A.点G B.点H C.点M D.点N
C
解析 连结CF,BE(图略),发现交于点M,根据中心对称的性质
可知点M即为对称中心.故选C.
7.如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O.
(2)若AB=7,AC=5,BC=6,求△DEF的周长.
解析 (1)如图所示,点O即为所求.(作法不唯一)
(2)∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称,
∴DE=AB=7,DF=AC=5,EF=BC=6,
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=7+5+6=18.
画与一个图形关于某一点成中心对称的图形
8.(2025河南南阳西峡期末)作图:在如图所示的方格纸中,每个
小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的三个顶点
都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).
(1)画出△ABC向下平移2个单位后得到的△A1B1C1.
(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2.
(3)画出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心D(黑点标记).
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)如图,点D即为所求.
9.(★★☆)联欢会上,李老师表演了一个魔术.她先把4张扑克
牌按如图1所示的方式放在桌子上,然后用眼罩遮住自己的眼
睛,请一位同学上台,把其中一张扑克牌旋转180°.李老师摘下
眼罩后,看到4张牌如图2所示.可以判断出被旋转过的牌是
( )
A.方块4 B.黑桃5 C.梅花6 D.红桃7
A
解析 因为题图中只有方块4是中心对称图形,所以被旋转过
的牌是方块4.故选A.
10.(★★☆)如图,正方形ABCD内的图形是太极图,太极图中的
黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,设黑色
部分的面积为S1,正方形的面积为S,则 =_________.
解析 设正方形的边长为a,则太极图所在大圆的直径为a,∵
太极图中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称,∴黑色部分的面积S1= π× = ,∵正方形的面积S=a2,
∴ = ,故答案为 .
11.(2025河南南阳期末,★★☆)如图,直线a、b垂直相交于点
O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对应点是点A',AB⊥a于点
B,A'D⊥b于点D.若OB=6,OD=4,则阴影部分的面积之和为_____
_____.
24
解析 如图,过点A作AE⊥b于点E,
∵直线a、b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A
的对应点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D,OB=6,OD=4,∴
AB=4,图形①与图形②面积相等,∴阴影部分的面积之和=长
方形ABOE的面积=6×4=24.故答案为24.
12.(2024四川广安邻水期末,★★☆)如图,在4×4的方格中,有4
个小方格被涂灰,形成“L”形.
(1)在图1中再涂灰4个小方格,使新涂灰的图形与原来的“L”
形关于点O成中心对称.
(2)在图2和图3中再分别涂灰4个小方格,使新涂灰的图形与原
来的“L”形所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称
图形.
解析 (1)如图1所示.
(2)如图2,图3所示.
13.【新课标·几何直观】如图,两个“心”形有一个公共点O,
且点C,O,E在同一条直线上,OC=OE=OD,下列说法:
①这两个“心”形关于点O成中心对称;
②点C,E是以点O为对称中心的一对对称点;
③这两个“心”形成轴对称,对称轴是过点O且与直线AB垂
直的直线和直线AB;
④若把这两个“心”形看成一个整体,则它是一个中心对称
图形.
其中正确的有______.(只填序号即可)
②
解析 ∵点C,O,E在同一条直线上,OC=OE,∴点C,E是以点O
为对称中心的一对对称点,②说法正确;①③④说法不一定正
确.(共25张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.2.2 平移的特征
9.2 平移
平移的特征
1.(2025河南周口项城一模)如图,沿射线BC的方向平移三角形
ABC,使点B移动到点E,点C移动到点F,且平移后的图形为三
角形DEF,若平移的距离为5 cm,EC=1 cm,则BF的长为( )
A
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
解析 由题意得BE=CF=5 cm,∵EC=1 cm,∴EF=CF-CE=
4 cm,∴BF=BE+EF=9 cm,故选A.
2.(2025河南新乡原阳期末)如图,三角形ABC沿BC边所在的直
线向左平移得到三角形DEF,下列结论错误的是 ( )
A.AC=DF B.EB=FC
C.∠D=∠ABC D.DE∥AB
C
解析 ∵三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角
形DEF,∴AC=DF,EF=BC,∠ABC=∠DEF,∴DE∥AB,EB=FC,
故选项A、B、D结论正确;由已知条件无法得出∠D=∠ABC,
故选项C结论错误.故选C.
3.(2025四川成都期中)如图,将△ABC沿直线AB向右平移后到
达△BDE的位置.若∠CAB=45°,∠BDE=105°,则∠CBE的度数
为___________.
30°
解析 由题意得∠CAB=∠EBD=45°,∠BDE=∠ABC=105°,
∴∠CBE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-105°-45°=30°,故答案为30°.
4.如图,三角形ABC的边BC的长为4 cm.将△ABC向上平移2 cm
得到三角形A'B'C',且BB'⊥BC,则阴影部分的面积为_____cm2.
8
解析 由平移的性质可知,阴影部分的面积等于四边形BB'C'
C的面积,由题意知四边形BB'C'C是长方形,所以S阴影=BC·BB'=
4×2=8(cm2).
5.(2025河南商丘虞城月考)如图,将△ABC沿BC方向平移,得
到△DEF.
(1)若∠B=80°,∠F=32°,求∠A的度数.
(2)若BC=5,EC=3,求CF的长.
解析 (1)因为△DEF由△ABC沿BC方向平移得到,所以∠2=
∠F=32°.因为∠B=80°,所以∠A=180°-32°-80°=68°.
(2)由平移的特征可知EF=BC,所以EF-EC=BC-EC,即CF=BE.
因为BC=5,EC=3,所以BE=BC-EC=5-3=2,所以CF=BE=2.
根据平移的特征作图
6.(2025吉林松原长岭期中改编)如图,由若干个边长为1的小
正方形构成的网格中有一个三角形ABC,它的三个顶点都在
格点上,借助网格按要求进行下列作图.
(1)平移三角形ABC,并将三角形ABC的
顶点A平移到点E处,其中点F和点B是
对应点,点G与点C是对应点.
(2)求三角形EFG的面积.
解析 (1)如图,△EFG即为所求作的三角形.
(2)S△EFG=3×4- ×3×2- ×2×2- ×1×4=5.
7.【学科特色·分类讨论思想】(★★★)如图,在三角形ABC
中,BC=6 cm,将三角形ABC以每秒1 cm的速度沿BC向右平移,
得到三角形DEF,设平移时间为t秒(t<6),若在B,E,C三个点中,
一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系,则下列三人的说
法:
甲:“有两种情况,t的值为2或3.”乙:“有三种情况,t的值为2或3或4.”丙:“有四种情况,t的值为2或3或4或5.”
其中正确的是 ( )
B
A.甲 B.乙
C.丙 D.无法判断
解析 由题意知BE=t cm,则CE=(6-t)cm,当BC=2BE,即6=2t时,
解得t=3.当EB=2EC,即t=2(6-t)时,解得t=4.当EC=2EB,即6-t=2t
时,解得t=2.当CB=2CE,即6=2(6-t)时,解得t=3.
综上所述,t的值为2或3或4,所以乙的说法是正确的.故选B.
8.(2024河南南阳月考,★★☆)如图,将△ABC沿BC方向平移
8 cm后得到△DEF,连结AD,若BF=7CE,则BC的长为_____cm.
6
解析 由平移可得BE=CF=AD=8 cm,∵BF=BE+EF=8+(CF-
CE)=8+8-CE=7CE,
∴CE=2 cm,∴BC=BE-CE=8-2=6(cm),故答案为6.
9.(2025四川凉山州中考,★★☆)如图,将周长为20的△ABC沿
BC方向平移2个单位长度后得到△DEF,连结AD,则四边形
ABFD的周长为__________.
24
解析 由题意可知DF=AC,AD=CF=2,∴四边形ABFD的周长
=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=△ABC的周长+AD+
CF=20+2+2=24.故答案为24.
10.(2025四川成都天府新区期末,★★☆)如图,将Rt△ABC向
右平移后得到Rt△DEF,点B,E,C,F在同一直线上,DE分别交
BC,AC于点E,M,若ME= ,BC=4,阴影部分的面积为 ,则BF的
长为_________.
5
解析 ∵∠DEF=90°,ME= ,阴影部分的面积为 ,∴EC=2×
÷ =3,∴CF=BE=BC-EC=4-3=1,∴BF=BC+CF=4+1=5.故答
案为5.
11.(2025江西九江都昌期中,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠
ABC=90°,将△ABC沿射线BC的方向平移得到△DEF,
点A、B、C的对应点分别是点D、E、F,连结AD.
(1)若∠DAC=60°,求∠DFE的度数.
(2)若BC=8,在平移过程中,当AD=3EC时,求AD的长.
解析 (1)由题意得AC∥DF,AD∥BF,∴∠ACB=∠DFE,∠
ACB=∠DAC,∴∠DAC=∠DFE=60°.
(2)由题意得AD=BE=CF,设AD=x,则CE= x,BE=CF=x,当点E
在点C的左侧时,x+ x=8,解得x=6;当点E在点C的右侧时,x- x
=8,解得x=12.综上所述,AD的长为6或12.
12.【新课标·应用意识】(2025广东佛山期中)政府准备在一
块长为a米,宽为b米的长方形空地上铺草地并修建小路,小路
的宽均为1 m,现有下列三种方案,方案一、二、三分别如图
1、图2、图3所示(阴影部分为小路).
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为S1 m2、S2 m2,则S1=
_______m2(用含a、b的式子表示),S1_______S2(填“>”“=”
或“<”).
(2)如图3,在这块草地上修建纵、横两条宽1 m的小路,求草地
的面积S.(用含a、b的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三,若a=30,b=20,且铺设草地平均每
平方米需要花费50元,那么铺设这块草地一共需要花费多少
元
解析 (1)b(a-1);=.
(2)题图3中的四块草地通过平移可以得到长为(a-1)米,宽为(b
-1)米的长方形,∴S=(a-1)(b-1)m2.
(3)当a=30,b=20时,S=(a-1)(b-1)=(30-1)×(20-1)=551(m2),
∴方案三中草地的面积为551 m2.
∵铺设草地平均每平方米需要花费50元,
∴铺设这块草地一共需要花费551×50=27 550(元).(共12张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3.3 旋转对称图形
9.3 旋转
旋转对称图形
1.(2025甘肃武威凉州三模)下列图形是旋转对称图形的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 题图中第一排从左到右第一个图形绕中心点旋转72°
的整数倍后,与自身重合,所以第一个图形是旋转对称图形;将
第二个图形绕中心点旋转90°的整数倍后,与自身重合,所以第
二个图形是旋转对称图形;易知第二排从左到右的第一个图
形不是旋转对称图形;将第二个图形绕中心点旋转60°的整数
倍后,与自身重合,所以第二个图形是旋转对称图形.故选C.
2.(2025吉林长春朝阳期末)如图所示的花朵图案至少要旋转
__________度后,才能与原来的图形重合.
45
解析 由题意得至少要旋转 =45°后,才能与原来的图形
重合.
3.(2024北京朝阳陈经纶中学模拟,★★☆)选项中的图形绕点
O旋转一定角度后都能与原图形重合,其中旋转角最小的是
( )
D
解析 A.最小旋转角度= =120°;B.最小旋转角度= =
90°;C.最小旋转角度= =72°;D.最小旋转角度= =60°.故
旋转角最小的是D选项中的图形.故选D.
4.(★★☆)如图,正方形ABCD与正方形EFGH边长相等,下列
说法正确的有 ( )
①这个图案可以看成是由正方形ABCD绕点O旋转45°后与原
图形共同组成的;②这个图案可以看成是由△ABC绕点O分别
旋转45°,90°,135°,180°,225°得到的;③这个图案可以看成是由
△BOC绕点O分别旋转45°,90°,135°,180°,225°,270°,315°得到
的.
C
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
解析 根据旋转对称图形的定义依次判断即可.
5.(2025吉林白山模拟,★★☆)将图1中的图形绕点A旋转相同
的角度,重复多次后刚好回到原位,形成如图2所示的美丽图
案,其中点B,点C,点D都是对应点,则∠BCD=______________.
112.5°
解析 如图,连结AB、AC、AD,由题意可得题图1中的图形绕
点A旋转8次后刚好回到原位,且点B,点C,点D都是对应点,∴
点B、点C、点D都是以A为中心的正八边形的顶点,∴AB=AC
=AD,∠BAC= ×360°=45°,∠CAD=2× ×360°=90°,∴∠ACB=
∠ABC= ×(180°-45°)=67.5°,∠ACD=∠ADC=45°,∴∠BCD=
∠ACB+∠ACD=67.5°+45°=112.5°,故答案为112.5°.
6.【新课标·推理能力】图1是某巨型摩天轮的示意图,摩天轮
上以等间隔的方式设置36个车厢,车厢依顺时针方向分别编
号为1号到36号,且摩天轮运行时按逆时针方向等速旋转,旋转
一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形,且
经过x分钟后,12号车厢会运行到最高点,则x的值为 ( )
C
A.17.5 B.20 C.22.5 D.25
解析 ×30=22.5(分钟),所以经过22.5分钟后,12号
车厢会运行到最高点.故选C.(共29张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3.2 旋转的特征
9.3 旋转
旋转的特征
1.(2025四川资阳雁江期末)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转3
5°后得到△DEC,边ED,AC相交于点F,若∠A=32°,则∠EFC的
度数为 ( )
A.57° B.62° C.67° D.70°
C
解析 由题意得∠DCF=35°,∠D=∠A=32°,
∴∠DFC=180°-∠D-∠DCF=180°-32°-35°=113°,∴∠EFC=180°-
∠DFC=180°-113°=67°.故选C.
2.(2025河北邯郸二十三中三模)如图,将△ABC绕点O顺时针
旋转80°后得到△DEF,则下列说法不正确的是 ( )
A.AB=DE B.∠CAB=∠FDE
C.∠AOE=80° D.∠COF=80°
C
解析 ∵△ABC绕点O顺时针旋转80°后得到△DEF,∴AB=
DE,∠CAB=∠FDE,∠AOD=∠COF=80°,故A,B,D选项正确,C
选项不正确.故选C.
3.(2025福建莆田仙游期末)如图,在4×4的正方形网格中,将△
ABC旋转后得到△A'B'C',则旋转中心是 ( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
A
解析 根据旋转的性质可知,旋转中心在对应点连线的垂直
平分线上,由题图可得旋转中心是点P,故选A.
4.(2025河南开封期末)如图,正方形ABCD中,E为BC边上的一
点,将△ABE旋转后得到△CBF.
(1)指出旋转中心及旋转的角度.
(2)判断AE与CF的数量关系及位置关系.
(3)如果正方形的面积是18 cm2,△BCF的面积是5 cm2,则四边
形AECD的面积是多少
解析 (1)旋转中心是点B,旋转的角度是90°.
(2)如图,延长AE交CF于点M,
由题意得AE=CF,∠EAB=∠BCF.
∵∠ABE=90°,∴∠AEB+∠BAE=90°,∵∠AEB=∠CEM,
∴∠ECM+∠CEM=90°,∴∠AMC=90°,
∴AE⊥CF.
(3)由题意得△ABE的面积是5 cm2,
∴四边形AECD的面积是18-5=13(cm2).
根据旋转的特征作图
5.(2025江苏泰州期末)用无刻度的直尺作图:
如图,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的
顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长
度后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1.
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C,画出△A2B2C.
(3)(2)中的线段CB2也可由(1)中的线段A1B1旋转得到,请作出其
旋转中心O.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C即为所求.
(3)如图,点O即为所求.
6.(2024天津中考,★★☆)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕
点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延
长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE C.AB=EF D.BF⊥CE
D
解析 设BF与CE相交于点H,如图所示,∵将△ABC绕点C顺
时针旋转60°得到△DEC,∴∠BCE=∠ACD=60°,∠EDC=∠
BAC,∵∠B=30°,∴∠BHC=180°-∠BCE-∠B=90°,∴BF⊥CE,
故D选项正确;
设∠ACH=x°,则∠ACB=60°-x°,∵∠B=30°,
∴∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°,∴∠EDC+∠
ACD=90°+x°+60°=150°+x°,∵x°不一定等于30°,∴∠EDC+∠
ACD不一定等于180°,∴AC∥DE不一定成立,故B选项不一定
正确;∵∠ACB=60°-x°,∠ACD=60°,x°不一定等于0°,∴∠ACB
=∠ACD不一定成立,故A选项不一定正确;∵将△ABC绕点C
顺时针旋转60°得到△DEC,∴AB=ED=EF+FD,∴AB>EF,故C
选项不正确.故选D.
7.(2025河南开封期末,★★☆)如图,已知△AEC绕点A顺时针
旋转到△ADB的位置,点C、E、D共线,CD交AB于点F,若S△ACF
=10,S△ADE=6,则S△BDF=_________.
4
解析 如图,过点A作AG⊥CD于点G,
∵S△ACF-S△ADE= CF·AG- DE·AG
= (CE+EF)·AG- (DF+EF)·AG= CE·AG- DF·AG=4,
∴S△ACE-S△ADF=4,由旋转得S△ACE=S△ABD,∴S△ABD-S△ADF=S△BDF=4.
8.(2025浙江台州温岭期末,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=30°,
在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.
(1)如图1,当AB'⊥BC时,求∠BAB'的度数.
(2)如图2,连结CC',当CC'∥AB时,∠C'AB=130°,求∠ACB的度
数.
解析 (1)设AB'交BC于点F(图略),则∠AFB=90°,∵∠B=30°,
∴∠BAB'=90°-∠B=90°-30°=60°,∴∠BAB'的度数是60°.
(2)∵CC'∥AB,∠C'AB=130°,∴∠AC'C=180°-∠C'AB=180°-13
0°=50°,由旋转可得AC'=AC,∴∠ACC'=∠AC'C=50°,∵CC'∥
AB,∴∠BAC=∠ACC'=50°,∵∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠BAC
-∠B=180°-50°-30°=100°,∴∠ACB的度数是100°.
9.【新课标·推理能力】一副三角板按图①所示的方式拼接在
一起,其中边OA、OC与直线EF重合,∠AOB=45°,∠COD=60°.
(1)求图①中∠BOD的度数.
(2)如图②,三角板COD固定不动,将三角板AOB绕点O按顺时
针方向旋转α,在转动过程中两个三角板一直在直线EF的上
方.
(i)当∠BOC=90°时,求α的值;
(ii)在转动过程中是否存在∠BOC=2∠AOD的情况 若存在,求
此时α的值;若不存在,请说明理由.
图① 图②
解析 (1)∵∠AOB+∠BOD+∠COD=180°,
∠AOB=45°,∠COD=60°,
∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°.
(2)(i)∵∠BOC=90°,
∴∠AOE=180°-∠AOB-∠BOC=45°,即α的值是45°.
(ii)存在.由题意得∠EOD=180°-60°=120°,
∠EOB=α+∠AOB=α+45°,
∴∠BOC=180°-∠EOB=135°-α,∠AOD=∠EOD-∠AOE=120°
-α或∠AOD=∠AOE-∠EOD=α-120°,
∵∠BOC=2∠AOD,
∴135°-α=2(120°-α)或135°-α=2(α-120°),
∴α=105°或α=125°,即此时α的值为105°或125°.
微专题 直角三角板中的旋转问题
(2025河北唐山一模)如图,小聪将三角板ABC绕点C逆
时针旋转到△DEC的位置,∠A=30°,∠B=90°,若点A、C、E在
一条直线上,则此次旋转中旋转角的度数为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
C
例题
解析 ∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=60°,∵点A、C、E在一
条直线上,∴∠BCE=120°,∵将三角板ABC绕点C逆时针旋转
到△DEC的位置,∴旋转角为∠BCE,∴旋转角的度数为120°,
故选C.
变式1 (2025吉林白城通榆期中)将一副三角板按如图所示
的方式叠放在一起,若固定三角板ABC,绕点A将三角板ADE旋
转一周,当∠BAD的度数为________________时,DE∥AB.
30°或150°
解析 当DE在AB下方时,
∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE=30°;
当DE在AB上方时,
∵DE∥AB,∴∠BAE=∠AED=60°,∴∠BAD=∠DAE+∠BAE=
90°+60°=150°.综上所述,当∠BAD的度数为30°或150°时,DE
∥AB.故答案为30°或150°.
变式2 (2025河南郑州期末)将一副三角板按如图所示的方
式摆放,点B,C,D在同一条直线上,∠A=45°,∠E=30°.现将三角
板DCE绕点C逆时针旋转一周,当AC所在的直线恰好平分∠
DCE时,三角板DCE转过的角度为_________________.
105°或285°
解析 设三角板DCE转过的角度为x°,∵∠A=45°,∠E=30°,∴
∠ACB=45°,∠ECD=60°,当点B,C,D在同一条直线上时,∠ACE
=75°,当AC所在直线恰好平分∠DCE时,x°=75°+ ×60°=105°
或x°=180°+75°+ ×60°=285°,∴当AC所在直线恰好平分∠
DCE时,三角板DCE转过的角度为105°或285°.故答案为105°
或285°.(共14张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.2.1 图形的平移
9.2 平移
图形的平移
1.(2025河南商丘期末)在下列生活现象中,属于平移的是 ( )
A.小明在荡秋千 B.拉开抽屉
C.行驶中的车轮滚动 D.摆动的钟摆
B
解析 拉开抽屉,属于平移,故B符合题意.故选B.
2.(2025江苏南京师大附中期末)如图,若要将图形M平移至下
方的空白N处,则正确的平移方法是 ( )
A.先向右平移4格,再向下平移5格
B.先向右平移3格,再向下平移4格
C.先向右平移4格,再向下平移3格
A
D.先向右平移3格,再向下平移5格
解析 由题图可知,将图形M先向右平移4格,再向下平移5格
可到达空白N处.故选A.
3.如图,将△ABC沿着直尺PQ平移得到△EFG,则点A的对应
点是点_________,线段AC的对应线段是线段_______,线段BC的对应线段是线段__________,∠ABC的对应角是_________,
∠ACB的对应角是_________.
∠EGF
∠EFG
FG
EG
E
解析 根据平移前后的对应位置确定对应点、对应线段和对
应角.
4.将如图所示的△ABC沿数轴的正方向平移到△DEF的位置,
平移后的图形不小心被墨水覆盖了,请根据图中数据确定平
移距离为_________,△DEF在数轴上的另外一个顶点F表示的数
为_________.
4
5
解析 由题意知,点B的对应点是点E,点C的对应点是点F,∴
平移距离为2-(-3)=5,∴△DEF在数轴上的另外一个顶点F所
表示的数为-1+5=4.
5.(2025河南焦作武陟期中,★★☆)用四根火柴棒可以摆成如
图所示的“土”字,下列图形是通过平移“土”字中的火柴
棒得到的是 ( )
D
解析 根据平移只改变图形的位置,不改变图形的大小、方
向和形状可知四个选项中只有D选项符合题意,故选D.
6.(2025河南漯河源汇三模,★★☆)如图,一个圆柱体在正方体
上沿虚线从左向右平移,则平移过程中不变的是( )
A.主视图 B.左视图
C.俯视图 D.主视图和俯视图
B
解析 根据题图可得平移过程中不变的是左视图,变化的是
主视图和俯视图.故选B.
7.【跨语文·汉字】(★★☆)汉字“文、人、木、水、口、
立”中能通过单独平移组成一个新的汉字的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
解析 “人”平移可以得到“从”,“木”平移可以得到
“林”,“水”平移可以得到“淼”,“口”平移可以得到
“品”,所以能通过单独平移组成一个新的汉字的有4个.故选
D.
8.【新课标·应用意识】如图所示的是8×8的“密码”图,利用
平移对应文字,若“今天考试”解密为“祝你成功”,则“遇
水架桥”解密为_________.
中国崛起
解析 根据“今天考试”解密为“祝你成功”得出平移的方
向和距离,即将原汉字向上平移两格,再向右平移一格,所以
“遇水架桥”解密为“中国崛起”.(共29张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1.2 轴对称的再认识
9.1 轴对称
线段和角的对称性
1.(2025广东佛山顺德期末改编)以下图形哪个不是轴对称图
形 ( )
A.线段
B.角
C.等腰三角形
D.含30°角的直角三角形
D
解析 选项A、B、C中的图形是轴对称图形,选项D中的图形
不是轴对称图形.故选D.
2.如图,点B、D关于AC对称,连结BD、AB、AD、BC、DC,下
列说法正确的是 ( )
A.AC垂直平分BD B.BD垂直平分AC
A
C.点A、C关于BD对称 D.AB∥CD
解析 因为B、D关于AC对称,所以AC所在直线是线段BD的
对称轴,所以AC垂直平分BD,故选A.
用尺规作线段的垂直平分线、角的平分线
3.(2025吉林长春力旺实验中学期末)如图,在△ABC中,∠C=60°,
∠B=50°.以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点D,交
AC于点E,再分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径画弧,
两弧(所在圆的半径相等)相交于点P,作射线AP,与边BC相交
于点F,则∠AFB的大小为 ( )
A.80° B.85°
D
C.90° D.95°
解析 ∵在△ABC中,∠C=60°,∠B=50°,∴∠BAC=180°-∠C-
∠B=70°,由作图过程可得AP平分∠BAC,∴∠BAF= ∠BAC=
35°,∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=95°.故选D.
4.【新考向·尺规作图】如图所示的是线段AB,请你利用尺规
作图作出它的四等分点(不写作法,保留作图痕迹).
解析 如图所示,点C、E、F即为AB的四等分点.
5.(2025河南南阳社旗期末节选)如图,利用尺规作图作∠BAC
的平分线,交边BC于点E(不写作法,保留作图痕迹).
解析 如图,AE即为所求.
画轴对称图形的对称轴
6.(2025河南洛阳宜阳期末)如图所示的五角星图案是轴对称
图形,它的对称轴有 ( )
A.1条 B.5条 C.2条 D.无数条
B
解析 五角星图案的对称轴有5条.故选B.
7.【跨化学·分子结构模型】下列分子结构模型平面图都是轴
对称图形,其中对称轴有3条以上的图形是( )
D
解析 选项A的图形有一条对称轴,不符合题意;选项B的图形
有两条对称轴,不符合题意;选项C的图形有一条对称轴,不符
合题意;选项D的图形有六条对称轴,符合题意.故选D.
8.【学科特色·教材变式P120T3】(2025河北唐山丰润期末)如
图所示的是由“ ”和“ ”组成的轴对称图形,则该图形的
对称轴是直线 ( )
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
B
解析 根据轴对称图形以及对称轴的定义可得该图形的对称
轴是直线l2.故选B.
9.画出下列图形的一条对称轴.
解析 对称轴如图所示.
(1)(2)(4)答案不唯一.
10.(2025河南南阳方城三模,★★☆)下列图形中,对称轴最多
的是 ( )
A
解析 选项A中的图形有无数条对称轴,选项B中的图形有三
条对称轴,选项C中的图形有四条对称轴,选项D中的图形有两
条对称轴,所以对称轴最多的是选项A中的图形.故选A.
11.(2025吉林长春月考改编,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠
ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,下列结论不一定正确的是
( )
A.∠BAD=∠CAD B.∠AED=∠C C.AE=BD D.∠BDE=∠BAC
C
解析 根据尺规作图的痕迹,可得AD是∠BAC的平分线,DE
⊥AB,∴∠BAD=∠CAD,∠AED=∠C=∠DEB=90°,∴∠BDE=
90°-∠B,∵△ABC是直角三角形,∴∠BAC=90°-∠B,∴∠BDE
=∠BAC,∴选项A、B、D一定正确;由已知条件无法说明AE=
BD,∴选项C不一定正确,故选C.
12.(2025辽宁沈阳新民三模,★★☆)如图,在△ABC中,以点C
为圆心、AC长为半径作弧与边AB交于点D,连结CD,以点B为
圆心,适当长为半径作弧分别与AB、BC交于点E和点F,再分
别以点E和点F为圆心、大于 EF的长为半径作弧,两弧在△
ABC内部交于点G,作射线BG交CD于点H.若∠BAC=α,∠ABC
=β,则∠DHB的大小为 ( )
C
A.α-β B.90°-α+β
C.α- β D.180°-α+ β
解析 由题意知AC=CD,∴∠CDA=∠BAC=α,∴∠DCB=∠
ADC-∠ABC=α-β.由尺规作图知BH平分∠ABC,∴∠HBC=
∠ABC= β,∴∠DHB=∠HBC+∠DCB= β+α-β=α- β.
故选C.
13.(★☆☆)如果正多边形的一个外角等于72°,那么这个正多
边形共有_________条对称轴.
5
解析 ∵多边形的外角和为360°,∴这个正多边形的边数=
360÷72=5,正五边形共有5条对称轴.故答案为5.
14.【新课标·几何直观】如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN
对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF.
(2)直线MN与直线EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线
MN、直线EF所夹锐角α的数量关系.
解析 (1)如图,连结B'B″,作线段B'B″的垂直平分线EF,直线
EF即为所求.
(2)如图,连结BO,B'O,B″O,∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN
对称,∴∠BOM=∠B'OM.∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线
EF对称,∴∠B'OE=∠B″OE,∴∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+
∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2α,即∠BOB″=2α.(共29张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1.1 生活中的轴对称
9.1 轴对称
轴对称图形与成轴对称
1.(2025四川眉山中考)剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸
作品中属于轴对称图形的是 ( )
A
解析 选项B、C、D中的图形不能找到一条直线,使图形沿
这条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,所以选
项B、C、D中的图形不是轴对称图形;选项A中的图形能找到
一条直线,使图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够完全
重合,所以选项A中的图形是轴对称图形.故选A.
2.观察下面的各组图形,其中成轴对称的是________.(填序
号)
① ②
③ ④
①②④
解析 ③中的两个伞的伞把不对称,其余各组中的两个图形
都是成轴对称的.故答案为①②④.
轴对称的性质
3.(2025江苏镇江丹阳期中)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l
对称,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.50° C.80° D.100°
A
解析 ∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,∴∠C=∠C'=30°.
故选A.
4.(2025福建泉州德化期末)如图所示的是一个飞镖设计图,其
主体部分(四边形ABED)关于AE所在直线对称,点C为AE上一
点,下列结论不正确的是 ( )
A.AB=AD B.BC=CD
C.BE=DE D.BC=AC
D
解析 因为四边形ABED关于AE所在直线对称,且点C为AE上
一点,所以AB=AD,BC=CD,BE=DE,故选项A、B、C正确,不符
合题意;由已知条件无法确定BC=AC,故选项D错误,符合题意.
故选D.
5.如图,AD所在直线是△ABC的对称轴(不考虑颜色),点E,F是
AD上的两点,若BD=3,AD=6,则图中阴影部分的面积是______.
9
解析 ∵△ABC关于直线AD对称,∴B、C两点关于直线AD
对称,∴△CEF和△BEF关于直线AD对称,AD⊥BC,∴S△BEF=S△
CEF,∴题图中阴影部分的面积=△ABD的面积= BD·AD= ×3×
6=9.
6.(2025四川达州月考)如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠C=75°,△
AB'C'与△ABC关于直线EF对称,若∠CAF=10°,则∠CAB'的度
数为___________.
50°
解析 ∵∠C=75°,∠B=∠C,∴∠B=75°,∴∠BAC=180°-2×75°
=30°.∵△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∴∠B'AC'=∠BAC
=30°,∠CAC'=2∠CAF=20°,∴∠CAB'=∠CAC'+∠B'AC'=50°.
故答案为50°.
7.如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在
直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长.
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数.
(3)连结BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
解析 (1)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交
点F在直线MN上,BF=9,∴DF=BF=9,∵ED=15,∴EF=ED-DF=
15-9=6.
(2)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,∠AED=65°,∴∠ACB
=∠AED=65°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=8
0°,∵∠BAE=16°,∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°,∵线
段AE与AC关于直线MN对称,∴∠EAN=∠CAN= ∠EAC= ×
64°=32°,∴∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48°,∴∠BFN=∠
ABC+∠BAN=35°+48°=83°.
(3)平行(图略).理由:∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,∴
MN⊥EC,MN⊥BD,∴BD∥EC.
8.(2025河南漯河召陵一模,★★☆)如图所示的是字母“K”,
它是一个轴对称图形,且图形中横向线条之间互相平行,纵向
线条之间互相平行.若∠1=46°,则∠ABC的度数为 ( )
A.44° B.45° C.90° D.92°
D
解析 如图,延长OB至D,
由题意得∠2=∠1=46°,AM∥BD∥CN,∴∠ABD=∠1=46°,∠
CBD=∠2=46°,∴∠ABD+∠CBD=46°+46°=92°,∴∠ABC=92°,
故选D.
9.【新考向·操作探究题—剪裁】(2024四川德阳绵竹模拟,★
★☆)如图,把一张正方形纸片三次对折后沿虚线剪下,则得到
的图形是 ( )
C
解析 动手操作,拿张纸按照题目要求剪出图案,展开即可得
到正确图案.
10.(2025海南海口期末,★★★)如图,直线a∥b,a与b之间的距
离为8,△ABC与△A1B1C1关于直线a成轴对称,△A1B1C1与△A2
B2C2关于直线b成轴对称,连结CC2,则CC2的长为__________.
16
解析 如图,连结CC1,与直线a交于点E,设CC2与直线b交于点H,
由题意易得C1,C,C2三点共线,CE=C1E,C1H=C2H,EH=CE+CH=
8,∴CC2=C2H+CH=C1H+CH=C1E+EH+EH-CE=2EH=16,故答
案为16.
11.(2025江苏南京期中,★★☆)如图,点P在∠AOB的内部,点C
和点P关于直线OA对称,点D和点P关于直线OB对称,连结CD
交OA于点M,交OB于点N,连结OC,OP,OD.
(1)若∠AOB=α,求∠COD的度数.
(2)连结PM,PN,若CD=4,则△PMN的周长为_______.
解析 (1)∵点C和点P关于直线OA对称,
∴∠AOC=∠AOP,∵点D与点P关于直线OB对称,
∴∠BOD=∠BOP,∵∠AOB=α,∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠
BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=2α.
(2)4.详解:∵点C和点P关于直线OA对称,
∴CM=PM,∵点D与点P关于直线OB对称,
∴DN=PN,∵CD=4,∴CM+MN+DN=4,∴PM+MN+PN=4,即△
PMN的周长为4.
12.(2025江苏淮安涟水期中,★★☆)如图,将长方形纸片ABCD
沿MN和PQ折叠得到一个图形,这个图形是一个轴对称图形,
折叠后点A,D的对应点分别为点G,H,点B,C的对应点恰好重
合在点E处.
(1)若∠AMN=105°,求∠NEQ的度数.
(2)设∠GMD=x°,∠NEQ=y°.
①y=_______(用含x的代数式表示).
②当∠MNE=2∠GMD时,得到的图形比较美观,求此时y的值.
解析 (1)∵折叠后得到的图形是一个轴对称图形,∴∠GMN
=∠HPQ,∵∠AMN=∠GMN,∠DPQ=∠HPQ,∴∠AMN=∠
DPQ,
由题意得AD∥BC,∴∠AMN+∠BNM=180°.∵∠AMN=105°,
∴∠BNM=75°.由折叠可知∠ENM=∠BNM=75°,∴∠ENQ=18
0°-2×75°=30°.
同理可得∠EQN=30°,∴∠NEQ=180°-30°-30°=120°.
(2)①∵∠GMD=x°,∴∠AMN=∠GMN= (180°+x°)=90°+ x°.
∵AD∥BC,∴∠BNM=180°-∠AMN=90°- x°,∴∠ENQ=180°-
2∠BNM=x°.
同理可得∠EQN=x°,∴∠NEQ=180°-2x°,即y=180-2x.故答案为
180-2x.
②由①知∠MNE=∠BNM=90°- x°,∵∠MNE=2∠GMD,∴90-
x=2x,解得x=36,此时y=180-2x=108.
13.【新课标·几何直观】将一张圆形纸片(圆心为点O)沿直径
MN对折后,按图1所示的方式分成六等份折叠得到图2,将图2
沿虚线AB剪开,再将△AOB展开得到如图3所示的一个六角
星.若∠CDE=75°,求∠OBA的度数.
解析 由题意知,∠AOB= ×180°=30°,由折叠知∠OAB= ∠
DCE,∠CED=∠CDE=75°,
∴∠DCE=180°-75°-75°=30°,
∴∠OAB= ∠DCE= ×30°=15°,∴∠OBA=180°-∠AOB-∠
OAB=180°-30°-15°=135°.(共30张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.5 图形的全等
全等图形
1.(2025重庆期中)下列各个选项中的两个图形属于全等形的
是 ( )
B
解析 B选项中的两个图形能完全重合,是全等图形,符合题
意.故选B.
2.(2025河南许昌禹州期中)下列说法正确的是 ( )
A.周长相等的两个图形一定是全等图形
B.两个正方形一定是全等图形
C.形状相同的两个图形一定是全等图形
D.两个全等图形的面积一定相等
D
解析 D.两个全等图形的面积一定相等,故原说法正确,符合
题意,故选D.
全等多边形
3.(2025重庆万州期末)如图,四边形ABCD中,AB=5,BC=10,CD
=6,AD=3.若四边形OPCE≌四边形ABCD,则PD的长为 ( ）
A.3 B.4 C.5 D.6
B
解析 ∵四边形OPCE≌四边形ABCD,∴BC=PC=10.∵CD=
6,∴PD=PC-CD=10-6=4.故选B.
4.(2025吉林长春榆树期末)如图,四边形ABCD≌四边形A'B'C'
D',若∠B=90°,∠C=60°,∠D'=105°,则∠A'=___________°.
105
解析 ∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D',∴∠B=∠B'=90°,∠C
=∠C'=60°,∵∠D'=105°,∴∠A'=360°-90°-60°-105°=105°,故答
案为105.
5.(2025河南信阳期中)如图所示的是有一个公共顶点O的两
个全等正五边形,若将它们的一边都放在直线a上,则∠AOB的
度数为___________°.
108
解析 如图,∵两个正五边形是全等正五边形,∴∠1=∠2=∠
3=∠4=108°,∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°,∴∠COD=18
0°-72°-72°=36°,∴∠AOB=360°-∠1-∠3-∠COD=360°-108°-1
08°-36°=108°.故答案为108.
全等三角形的性质及判定方法
6.(2025吉林长春二道期末)如图,点E在线段AC上,△ABC≌△
CED,AB=3 cm,CD=5 cm,DE=7 cm,则线段AE的长度为 ( )
A.2 cm B.3 cm
A
C.4 cm D.5 cm
解析 ∵△ABC≌△CED,∴AB=CE=3 cm,AC=CD=5 cm,∴
AE=AC-CE=5-3=2(cm).故选A.
7.(2024四川成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠
ACB=45°,则∠DCE的度数为____________.
100°
解析 ∵△ABC≌△CDE,∴∠CED=∠ACB=45°,∵∠D=35°,
∴∠DCE=180°-∠CED-∠D=180°-45°-35°=100°.
8.(2025河南信阳月考)已知△ABC的三边长分别为x,3,6,△
DEF的三边长分别为5,6,y.若△ABC与△DEF全等,则x+y的值
为_________.
8
解析 因为△ABC与△DEF全等,所以x=5,y=3,所以x+y=5+3=
8,故答案为8.
9.(2025江苏泰州姜堰期末)如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,
BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C=__________度.
30
解析 ∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠ADB=∠EDB=∠
EDC,∠DEC=∠DEB=∠A,∵∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°,∠
DEB+∠DEC=180°,∴∠EDC=60°,∠DEC=90°,∵在△DEC中,
∠EDC=60°,∠DEC=90°,∴∠C=30°.故答案为30.
10.(2025吉林长春南关期末)如图,已知△ABC≌△DAE,点A、
C、D在同一条直线上.
(1)判断AB与DE的位置关系,并说明理由.
(2)若ED=3,CD=4,求线段AB的长.
解析 (1)AB∥DE.理由如下:∵△ABC≌△DAE,∴∠D=∠
CAB,∴AB∥DE.
(2)∵△ABC≌△DAE,∴AC=ED=3,AB=AD,
∵AD=AC+CD=3+4=7,∴AB=7.
11.(2025河南安阳期末,★★☆)如图,△ABC≌△AEF,下列结
论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.
其中一定正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ∵△ABC≌△AEF,∴AF=AC,EF=BC,∠EAF=∠BAC,
∵∠EAB+∠BAF=∠EAF,∠FAC+∠BAF=∠BAC,∴∠EAB=
∠FAC,故①③④正确;由已知条件无法推出∠FAB=∠EAB,故
②错误.综上,正确的有①③④,共3个,故选C.
12.(2025海南海口期末,★★☆)如图,△ABC≌△EDF,
点A、F、C、E在一条直线上,连结AD.若∠DAF=∠AFD=∠
ADE=2∠B,则∠E等于 ( )
A.30° B.36° C.40° D.45°
B
解析 ∵△ABC≌△EDF,∴∠B=∠EDF,∵∠DAF=∠AFD=
∠ADE=2∠B,∴∠ADE=2∠EDF,∴∠EDF=∠ADF,∴∠ADF
= ∠ADE,设∠ADF=x°,则∠DAE=∠AFD=∠ADE=2x°,∴在
△ADF中,根据三角形的内角和定理,可得x+2x+2x=180,解得x
=36,∴∠E=∠AFD-∠EDF=2x°-x°=x°=36°,故选B.
13.(2025四川成都武侯月考,★★☆)如图,△ABC≌△DEF,点
C,D,B,F在同一条直线上,AC=3,EF=5,CF=7,则BD的长为_____.
1
解析 ∵△ABC≌△DEF,∴DF=AC=3,BC=EF=5,∵CF=7,∴
BF=CF-BC=2,
∴BD=DF-BF=3-2=1.
故答案为1.
14.(2025重庆南岸期末,★★★)如图,△ABC≌△DBC,E是AB
延长线上一点,BF平分∠DBE,若∠ACB=120°,∠A=α,则∠
EBF=_____________.(用含α的式子表示)
30°+α
解析 ∵在△ABC中,∠ACB=120°,∠A=α,∴∠ABC=180°-∠
ACB-∠A=180°-120°-α=60°-α,∵△ABC≌△DBC,∴∠DBC=
∠ABC=60°-α,∴∠EBD=180°-∠ABD=180°-(60°-α+60°-α)=
60°+2α,
∵BF平分∠DBE,∴∠EBF= ∠EBD=30°+α,故答案为30°+α.
15.(2025河南信阳期中,★★☆)如图,△ABD≌△CAE,A,D,E三
点在一条直线上.
(1)说明:BD=CE+DE.
(2)当△ABD满足什么条件时,BD∥CE 请说明理由.
解析 (1)∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE.
∵AE=AD+DE,
∴BD=CE+DE.
(2)当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.
理由:∵△ABD≌△CAE,
∴∠ADB=∠CEA.
∵∠ADB=90°,∴∠CEA=90°,∠BDE=90°,
∴∠CEA=∠BDE,∴BD∥CE.
16.【新课标·创新意识】沿图中的虚线画线,把下面的图形划
分为两个全等的图形(用两种不同的方法).
解析 如图.(答案不唯一)
(共16张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1.4 设计轴对称图案
9.1 轴对称
设计轴对称图案
1.(2024河南郑州金水期末)下面是同学们利用两条线段,两个
圆,两个等腰三角形设计的图案,其中不是轴对称图形的是
( )
D
解析 D中的图形不是轴对称图形,故选D.
2.(2025山东烟台福山期末)如图,在网格图中选择一个格子涂
上阴影,使得阴影格子组成的图形是以虚线为对称轴的轴对
称图形,则把阴影涂在图中标有数字_______的格子内.
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 如图所示,
把阴影涂在图中标有数字3的格子内,所组成的阴影部分图形
是轴对称图形,故选C.
3.(2025吉林长春外国语学校开学测试)如图所示的是4×4的正
方形网格,其中已有3个小方格被涂上了阴影.现在要从其余13
个白色小方格中选出一个也涂上阴影,使整个涂上阴影的图
形成为轴对称图形,则这样的白色小方格有_________个.
5
解析 如图,共有5个位置的白色小方格.故答案为5.
4.(2025吉林七中期末)如图所示的是4×4的正方形网格,其中
有两个小正方形是涂有阴影的,请再选择三个小正方形涂上
阴影,使整个涂阴影的图形成为轴对称图形.请补全图形,并且
画出对称轴(如图示),要求所画的三种方案不能重复.
解析 如图所示.(答案不唯一)
5.(2025四川巴中期末,★★☆)图中方格线上的八条等长线段
(每条线段由两条小正方形的边组成)形成一个图形,将其中四
条线段标上号码,则擦去下列哪个选项中的两条线段,可使剩
下的图形不是轴对称图形 ( )
A.②和③ B.①和②
C
C.③和④ D.①和③
解析 C.擦去线段③和④后,剩下的图形不是轴对称图形,故
本选项符合题意.故选C.
6.【跨体育与健康·围棋】(2025山西省实验中学月考,★★☆)
围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图所示的是两位同学的
部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点_____
______的位置,则所得的对弈图是轴对称图形(点A,B,C,D位于
棋盘的格点上).
或C
A
解析 白方如果落子于点A或点C的位置,则所得的对弈图是
轴对称图形,故答案为A或C.
7.【新课标·应用意识】(2025山东淄博张店月考)认真观察图
1~图4中阴影部分构成的图案,回答下列问题:
(1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征:①_________
____;②___________.
(2)请在图5中,设计一个新的图形,使它也具有这两个共同特
征.
解析 (1)①是轴对称图形;②面积是4个小正方形的面积和.
(答案不唯一)
(2)(答案不唯一)如图.
(共31张PPT)
第9章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.【新课标·中华优秀传统文化】(2025四川内江中考)古钱币
是我国珍贵的历史文化遗产.下列选项是在《中国古代钱
币》特种邮票(如图)中选取的部分图形,其中既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( )
D
解析 A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合
题意;B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题
意;C.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符
合题意;D.是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题
意,故选D.
2.(2025河南平顶山鲁山期中)下列说法正确的是 ( )
A.“丽丽把教室的门打开”属于平移现象
B.“火箭冲向空中”属于旋转现象
C.“小明在荡秋千”属于旋转现象
D.“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
C
解析 A.“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象,故本选项
说法错误;B.“火箭冲向空中”属于平移现象,故本选项说法
错误;C.“小明在荡秋千”属于旋转现象,故本选项说法正确;
D.“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象,故本选项说法错误.
故选C.
3.(2024山西晋中期末)电风扇是一种常见的家用电器.如图所
示的是一款五叶电风扇,在其持续运转的过程中,叶片A旋转
到叶片B的位置时,旋转的角度可以是( )
A.60° B.72° C.75° D.108°
B
解析 由题意得旋转的角度可以是360°÷5=72°,故选B.
4.(2025山东济南槐荫期末)如图,△ABC和△AB'C'关于直线l
对称,l交CC'于点D,若AB=4,B'C'=2,CD=0.5,则五边形ABCC'B'
的周长为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
C
解析 由题意可知AB=AB',BC=B'C',DC=DC',∵AB=4,B'C'=2,
CD=0.5,∴AB'=4,BC=2,DC'=0.5,∴五边形ABCC'B'的周长为4+
2+0.5+0.5+2+4=13.故选C.
5.(2025四川内江威远凤翔中学期末)如图,三角形ABC的周长
为15 cm,将三角形ABC沿BA方向平移至三角形A'B'C'(点A,B,C
的对应点分别为点A',B',C')的位置,则图中阴影部分的周长为
( )
B
A.12 cm B.15 cm
C.18 cm D.21 cm
解析 由题意得BB'=CC',BC=B'C',∴AB'+CC'=AB'+BB'=AB,
∴阴影部分的周长为AB'+CC'+AC+B'C'=AB+AC+BC=15(cm).
故选B.
6.(2025江苏无锡滨湖期中)将一副直角三角板按如图所示的
方式放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G,∠C=∠
EFB=90°,∠A=60°,∠E=45°,现将图中的△ABC绕点G以每秒1
5°的速度沿逆时针方向旋转180°,设旋转时间为t s,在旋转的
过程中,当t=_______时,△ABC恰有一边与DE平行 ( )
D
A.1或9 B.9或11
C.1或3或9 D.3或9或11
解析 ∵∠C=∠EFB=90°,∴AC∥FG,∴∠AGE=∠A,又∠
AGE=∠FGB,∴∠AGE=∠FGB=∠A=60°,∴∠AGF=∠EGB=
180°-60°=120°.
记△ABC旋转过程中为△A'B'C',可分三种情况讨论:
(1)如图,当DE∥A'C'时,设A'B'交ED于点H,
∵DE∥A'C',∴∠EHG=∠A'=60°,∴∠A'GF=∠EGH=180°-∠
E-∠EHG=180°-45°-60°=75°,
∴∠AGA'=∠AGF-∠A'GF=120°-75°=45°,∴t= =3;
(2)如图,当DE∥B'C'时,延长FE交B'C'于点H,
∵DE∥B'C',∴∠C'HE=∠DEF=45°,∴∠A'GF=∠B'GH=∠C'
HE-∠B'=45°-30°=15°,∴∠AGA'=∠AGF+∠A'GF=120°+15°=
135°,∴t= =9;
(3)如图,当DE∥A'B'时,
∵∠A'GF=∠E=45°,∴∠AGA'=∠AGF+∠A'GF=120°+45°=16
5°,∴t= =11.
综上所述,当t为3或9或11时,△ABC恰有一边与DE平行,故
选D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.(2025陕西咸阳月考)如图,已知△ABC≌△AED,点E在线段
BC上,若∠1=55°,则∠B的度数为_____________.
62.5°
解析 ∵△ABC≌△AED,∴∠BAC=∠EAD,AB=AE,∴∠BAC
-∠EAC=∠EAD-∠EAC,∴∠BAE=∠1=55°,∵AB=AE,∴∠B=
∠AEB= ×(180°-55°)=62.5°,故答案为62.5°.
8.(2025吉林朝阳第二实验学校期末)如图,在6×6的正方形网
格中,选取13个格点,以其中的三个格点A,B,C为顶点画△ABC,
请你在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP,使△ABP
与△ABC成轴对称,则这样的P点有_________个.
2
解析 如图,满足条件的点P有2个.
故答案为2.
9.(2025甘肃兰州三十五中期中)如图,将一块三角板ABC沿一
条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到三角形A'B'C',
下列结论:①AA'∥BB'且AA'=BB';②S四边形ACC'D=S四边形A'DBB';③若AC
=5,m=2,则AB边扫过的图形的面积为5;④若四边形AA'B'C的
周长为a,三角形ABC的周长为b,则m= .其中正确的为
________.
①②④
解析 ∵将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向
右平移m个单位得到三角形A'B'C',∴AA'∥BB'且AA'=BB',故①
正确;由题意得S△ABC=S△A'B'C',∴S△ABC-S△BDC'=S△A'B'C'-S△BDC',∴S四边形
ACC'D=S四边形A'DBB',故②正确;当AC=5,m=2时,AB边扫过的图形的面
积为2×5=10,故③错误;由题意得四边形AA'B'C的周长为AA'+
A'B'+B'C+AC=a,△ABC的周长为AB+BC+AC=b,由平移的性质
可得A'B'=AB,∴AA'+A'B'+B'C+AC-(AB+BC+AC)=AA'+BB'=2
BB'=a-b,∴BB'= ,即m= ,故④正确.
综上,正确的为①②④,故答案为①②④.
三、解答题(共40分)
10.(2025吉林松原长岭期中)(12分)如图,直线a∥b,直线c与直
线a、b相交于点A、B.AC平分∠BAD,交直线b于点C,把△
ABC沿着直线b向右平移1.5 cm后得到△DEF.
(1)请说明∠BAD=2∠DFE的理由.
(2)若四边形ABFD的周长是12 cm,求△ABC的周长.
解析 (1)∵a∥b,∴∠DAC=∠ACB,∵AC平分∠BAD,∴∠
BAD=2∠DAC=2∠ACB,由题意得AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,
∴∠BAD=2∠DFE.
(2)由题意得AC=DF,∵四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF
+AD=AB+BC+AC+2AD=12(cm),
∴△ABC的周长为12-2AD=12-2×1.5=9(cm).
11.(2025河南南阳唐河期末)(14分)图①②③均为5×5的正方
形网格,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点和点D
均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求
作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,将△ABC平移,使点B与点D重合,画出△A1DC1.
(2)在图②中,画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC关于点D成中
心对称.
(3)在图③中,画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°后得到的△
A3B3C3.
解析 (1)如图1,△A1DC1即为所求.
(2)如图2,△A2B2C2即为所求.
(3)如图3,△A3B3C3即为所求.
12.(2025辽宁抚顺望花二模)(14分)如图1,点O为直线AB上一
点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°.将一把直角三角板的直角
顶点放在点O处,边OM与射线OB重合,另一边ON在直线AB的
下方,其中∠OMN=30°.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2所示的位置,使
边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数.
(2)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋
转一周,在旋转的过程中,第_______秒时,边MN恰好与射线
OC平行.(直接写出结果)
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3所示的位置,使
ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关
系,并说明理由.
解析 (1)∵∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,∵OM平分∠BOC,∴
∠COM= ∠BOC=60°,∴∠CON=∠COM+90°=150°.
(2)9或27.详解:∵∠OMN=30°,∴∠N=90°-30°=60°,∵∠AOC=60°,∴当ON旋转到直线AB上时,MN∥OC,此时旋转角度为90°或270°,∵每秒旋转10°,∴旋转时间为9秒或27秒.故答案为9或27.
(3)∠AOM-∠NOC=30°.理由如下:
∵∠MON=90°,∠AOC=60°,∴∠AON=90°-∠AOM,∠AON=60°-
∠NOC,
∴90°-∠AOM=60°-∠NOC,∴∠AOM-∠NOC=30°,∴∠AOM
与∠NOC之间的数量关系为∠AOM-∠NOC=30°.(共14张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.1.3 作轴对称图形
9.1 轴对称
作轴对称图形
1.下列图形中,点A与点B关于直线l对称的是 ( )
B
解析 点A与点B关于直线l对称的是选项B中的图形.故选B.
2.【学科特色·教材变式P124例题】(2025山西大学附中开学
测试)尺规作图.
已知:如图所示的是△ABC与直线l.
求作:画△ADC,使△ADC与△ABC关于直线l对称,其中点B的
对应点是D.
解析 如图.
过一点作直线的垂线
3.如图,P是∠AOB的边OB上一点.
(1)尺规作图:过点P作OA的垂线,垂足为点H.
(2)PH_______PO(填“>”“<”或“=”),依据是_______
_______.
解析 (1)如图,PH即为所求.
(2)<;垂线段最短.
4.(2025吉林长春月考,★★☆)如图所示,将军从军营C出发先
到河边(河流用AB表示)饮马,再去同侧的D地,则将军应该怎
样走才能使路程最短 你能解决这个著名的“将军饮马”问
题吗 下面给出了四个图形,你认为符合要求的图形是( )
C
5.(2025吉林长春东北师大附中期末,★★☆)如图①,在四边形
ABCD中,∠C=35°,∠B=∠D=90°,点E、F分别是BC、DC上的
动点.如图②,作点A关于BC、DC的对称点N、M,连结NM,交
BC于点E,交DC于点F,连结AE、AF,所得的△AEF的周长最
小,此时∠EAF的度数为 ( )
A
A.110° B.105° C.85° D.72.5°
解析 ∵在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=35°,∴∠BAD
=360°-∠C-∠ADC-∠ABC=145°,∴∠NAE+∠EAF+∠MAF=1
45°①,由轴对称的性质可得AF=MF,NE=AE,∴∠M=∠MAF,
∠N=∠NAE,∵∠AFE=∠M+∠MAF=2∠MAF,∠AEF=∠N+
∠NAE=2∠NAE,∠AFE+∠AEF+∠EAF=180°,∴2∠NAE+2∠
MAF+∠EAF=180°②,
由①×2-②可得∠EAF=110°,故选A.
6.【跨物理·平面镜】(2025广东深圳模拟,★★☆)如图,已知
L1,L2是镜子,球在两面镜子之间的地面上.球心A在镜子L1中的
像为A',在镜子L2中的像为A″.若镜子L1,L2之间的距离为60,则
A'A″=___________.
120
解析 如图所示,
∵点A和点A'关于L1所在直线对称,点A和点A″关于L2所在直
线对称,∴AM=A'M,AN=A″N,
∴A'A″=2MN.又∵L1,L2之间的距离为60,∴A'A″=120.
故答案为120.(共28张PPT)
第9章 轴对称、平移与旋转
9.3.1 图形的旋转
9.3 旋转
图形的旋转
1.(2025河南三门峡期中)下列运动形式属于旋转的是( )
A.荡秋千 B.飞驰的火车
C.传送带移动 D.运动员掷出的标枪
A
解析 荡秋千属于旋转,故选项A符合题意;飞驰的火车属于
平移,故选项B不符合题意;传送带移动属于平移,故选项C不
符合题意;运动员掷出的标枪不属于旋转,故选项D不符合题
意.故选A.
2.(2025河南省实验中学开学测试)将如图所示的图形绕中心
按顺时针方向旋转60°后得到的图形是 ( )
A
解析 将 绕中心按顺时针方向旋转60°后得到的图形
是 .故选A.
3.如图,四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置,则旋
转后C点的对应点是 ( )
A.O点 B.E点 C.D点 D.F点
D
解析 旋转后能重合的点即为对应点,则C点的对应点是F点.
4.【学科特色·教材变式P139例1】(2025江苏扬州期末)如图,
若△ABC顺时针旋转到△A'B'C'的位置,则旋转中心及旋转角
分别是 ( )
A.点A',∠C'A'B' B.点O,∠AOA' C.点A',∠A'OB D.点O,∠AOC
B
解析 由题图可得△ABC绕着点O顺时针旋转到△A'B'C'的
位置,∴旋转中心是点O,旋转角是∠AOA'.故选B.
5.(2025四川成都英才学校期中)如图,已知等腰三角形ABC的
顶角为30°,将等腰三角形ABC绕点A逆时针旋转α°,点B的对应
点为B1,点C的对应点为C1.若AC1∥BC,则α的值为 ( )
A.30 B.45 C.75 D.105
C
解析 ∵等腰三角形ABC的顶角为30°,∴∠B=∠C=
=75°,∵AC1∥BC,
∴∠C1AC=∠C=75°,∴α的值为75.故选C.
6.(2025四川内江隆昌知行中学期末)如图,在Rt△ABC中,∠
ACB=90°,∠B=35°,将△ACB绕点C逆时针旋转后得到△DCE,
若DC∥AB,则旋转角的度数为 ( )
A.35° B.55° C.60° D.80°
B
解析 ∵DC∥AB,∴∠B+∠DCB=180°,∵∠B=35°,∴∠BCD
=145°,∴∠ACD=55°,∵将△ACB绕点C逆时针旋转后得到△
DCE,∴旋转角的度数为55°,故选B.
7.(2025广东深圳模拟,★★☆)在俄罗斯方块这个游戏中,若某
行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现在
游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又出
现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格
都自动消失,可以将图形 进行以下哪种操作 ( )
A
A.先逆时针旋转90°,再向左平移
B.先顺时针旋转90°,再向左平移
C.先逆时针旋转90°,再向右平移
D.先顺时针旋转90°,再向右平移
解析 由题图可得可以先将图形 逆时针旋转90°,再向左
平移.故选A.
8.【跨物理·定滑轮】(2024江西九江瑞昌模拟,★★☆)一定滑
轮的起重装置如图所示,滑轮半径为6 cm,当滑轮的一条半径
OA按逆时针方向旋转180°(假设绳索与滑轮之间没有滑动)
时,重物上升 ( )
A.12π cm B.8π cm C.6π cm D.4πcm
C
解析 OA绕点O旋转180°时绳索移动的距离是圆周长的一
半,即6π cm,所以重物上升的距离为6π cm.
9.(2024山东济南市中期末,★★☆)某市旅游局为了装饰某景
点,在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、
B两盏激光灯,如图所示.A灯发出的光束AM'从AM逆时针旋转
至AN后便立即回转;B灯发出的光束BP'从BP逆时针旋转至
BQ后便立即回转,两灯不间断照射,A灯每秒转动12°,B灯每秒
转动4°.B灯先转动12秒,A灯才开始转动.在B灯的光束第一次
到达BQ之前,当两灯的光束互相平行时,A灯旋转的时间是
___________.
6秒或19.5秒
解析 设A灯旋转的时间为t秒,A灯的光束AM'第一次到达AN
需要15秒,由题意得B灯的光束第一次到达BQ需要180°÷4°=4
5(秒),∴t≤45-12,即t≤33.可分两种情况讨论:①如图1,当0≤t
≤15时,若两灯光束平行,则∠MAM'=∠PBP',即12t=4(12+t),解
得t=6;
②如图2,当1580°,即12t-180+4(12+t)=180,解得t=19.5.
所以当两灯的光束互相平行时,A灯旋转的时间为6秒或19.5
秒.故答案为6秒或19.5秒.
10.(2025甘肃兰州模拟改编,★★☆)我国是世界上最早制造
并且使用水车的国家.如图所示的是水车舀水灌溉示意图,水
车轮的辐条(圆的半径)将圆平均分为12个格,半径OA长约为6
米,辐条尽头装有刮板,刮板间安装有等距斜挂的长方体形状
的水斗,当水流冲动水车轮刮板时,驱使水车徐徐转动,水斗依
次舀满河水在点A处离开水面,逆时针旋转上升至轮子上方B
处时,斗口开始翻转向下,将水倾入木槽,由木槽导入水渠,进而
灌溉,那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所转动的角度是
___________度.
150
解析 由题意得,水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所转动的
角度是360°× =150°.故答案为150.
11.【学科特色·分类讨论思想】(★★★)如图①,O为直线AB
上一点,作射线OC,使∠BOC=60°,将一个直角三角板按如图
所示的方式摆放,直角顶点在点O处,一条直角边OP与射线OA
重合.将图①中的三角板绕点O以每秒10°的速度按逆时针方
向旋转一周(如图②所示).
(1)当旋转6秒时,∠COQ的度数为_______°.
(2)第t秒时,OQ所在直线恰好平分∠BOC,求t的值.
解析 (1)当旋转6秒时,∠AOP=6×10°=60°,∵∠POQ=90°,∴
∠AOP+∠BOQ=90°,∴∠BOQ=30°,∵∠BOC=60°,∴∠COQ=
∠BOC+∠BOQ=60°+30°=90°.故答案为90.
(2)∵∠BOC=60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC,∴旋转角的
度数为90°+ ∠BOC=120°或90°+180°+ ∠BOC=300°,∴10t=
120或10t=300,解得t=12或t=30.
12.【新课标·创新意识】(2025湖南岳阳期末)如图,已知直角
三角形ABC,AC=3,BC=4,AB=5,点C、A在直线l上,将△ABC绕
点A顺时针旋转到位置①,得到点P1,点P1在直线l上,将位置①
处的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,得到点P2,点P2在直
线l上,……按照此规律继续旋转,直到得到点P2 025,则AP2 025=
__________.
8 100
解析 ∵将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①,得到点P1,∴
AP1=5,∵将位置①处的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,得
到点P2,∴AP2=5+4=9,∵将位置②处的三角形绕点P2顺时针旋
转到位置③,得到点P3,∴AP3=5+4+3=12,……
∵2 025÷3=675,∴AP2 025=675×12=8 100,故答案为8 100.
