(共39张PPT)
第2课时 一元一次不等式的定义及解法
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.3 解一元一次不等式
一元一次不等式的定义
1.(2025河北秦皇岛青龙期末)下列不等式中,属于一元一次不
等式的是 ( )
A.3>1 B.x+y>0
C.2x-1<5 D.x2+2x>-1
C
解析 A.3>1中不含未知数,不是一元一次不等式,故A不符合
题意;B.x+y>0中含有2个未知数,不是一元一次不等式,故B不
符合题意;C.2x-1<5符合一元一次不等式的定义,故C符合题
意;D.x2+2x>-1中含未知数的项的最高次数为2,不是一元一次
不等式,故D不符合题意.故选C.
2.(2025重庆巴蜀中学期末)已知-3(m-3)x|m|-2-6>0是关于x的一
元一次不等式,则m的值为____.
-3
解析 ∵-3(m-3)x|m|-2-6>0是关于x的一元一次不等式,∴|m|-2=
1,-3(m-3)≠0,解得m=-3.
一元一次不等式的解法
3.(2025河北沧州盐山模拟)将不等式2(x+1)-1>3x的解集表示
在数轴上,正确的是 ( )
A B
C D
D
解析 去括号,得2x+2-1>3x,
移项,得2x-3x>-2+1,
合并同类项,得-x>-1,系数化为1,得x<1,
解集表示在数轴上如图所示:
故选D.
4.(2024河北石家庄平山期末)下列解不等式 > -1的
步骤中,错误的一步是 ( )
A.去分母,得5(2+x)>3(2x+3)-15
B.去括号,得10+5x>6x+9-15
C.移项、合并同类项,得-x>-16
D.系数化为1,得x>16
D
解析 > -1,去分母,得5(2+x)>3(2x+3)-15,
去括号,得10+5x>6x+9-15,移项、合并同类项,得-x>-16,系数
化为1,得x<16.故选D.
5.(2025福建泉州晋江期中)不等式 +1>x-3的正整数解的
个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
解析 去分母,得x-5+2>2x-6,
移项、合并同类项,得-x>-3,
系数化为1,得x<3,
所以不等式的正整数解有1,2,共2个.
6.(2025河北张家口桥东期末)如图,点A,B在数轴上,且点A在
点B的左侧,点A,B表示的数分别为1-a和 ,则a的值可能为
( )
A.-4 B.0 C.-2 D.-1
B
解析 因为点A在点B的左侧,且点A,B在数轴上表示的数分
别为1-a和 ,所以1-a< ,解得a>-1,
所以符合条件的a的值可以是0.故选B.
7.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1) ≤ . (2) +2≥ .
解析 (1)去分母,得3(x-1)≤2(2x+1),
去括号,得3x-3≤4x+2,
移项、合并同类项,得-x≤5,
系数化为1,得x≥-5.
在数轴上表示不等式的解集如图所示:
(2)去分母,得3(x-5)+2×12≥2(5x+1),
去括号,得3x-15+24≥10x+2,
移项、合并同类项,得-7x≥-7,
系数化为1,得x≤1,
在数轴上表示不等式的解集如图所示:
8.求不等式 - >x- 的正整数解.
解析 整理,得 - >x- ,
去分母,得2(3x+4)-3(x-2)>6x-1,
去括号,得6x+8-3x+6>6x-1,
移项、合并同类项,得-3x>-15,
系数化为1,得x<5,
故该不等式的正整数解为1,2,3,4.
9.(2025河北保定高碑店月考)小明解不等式 -1> 的过程
如下.
解:去分母,得x-1>2(x-2), 第一步
去括号,得x-1>2x-4, 第二步
移项,得x-2x>-4+1, 第三步
合并同类项,得-x>-3, 第四步
系数化为1,得x<3. 第五步
(1)第______步开始出现错误,错误的原因是__________
_________.
(2)请写出正确的解答过程,并把解集表示在数轴上.
解析 (1)第一步;不等式左边的常数项没有乘6.
(2)去分母,得x-6>2(x-2),
去括号,得x-6>2x-4,
移项,得x-2x>-4+6,
合并同类项,得-x>2,
系数化为1,得x<-2.
把解集在数轴上表示如图所示:
方法解读 将含分母的不等式去分母时,不等式中的每一项
同乘分母的最小公倍数,不要漏乘.
10.(2025安徽滁州明光期中,★★☆)若不等式 - >2的任
意一个解都比关于y的不等式2y+1≤3y-k的解小,则k的取值
范围是_______.
k≥-5
解析 解不等式 - >2,得y<-4.
解不等式2y+1≤3y-k,得y≥k+1,
因为不等式 - >2的任意一个解都比不等式2y+1≤3y-k
的解小,所以-4≤k+1,解得k≥-5.
11.(2025江苏苏州高新区期末,★★★)已知关于x的方程
+m=3,若该方程的解是不等式2x-1< 的最大整数解,则代
数式m2-2m+5的值为___.
8
解析 不等式2x-1< ,去分母,得4x-2<1+3x,
移项、合并同类项,得x<3,则最大的整数解是2.
把x=2代入 +m=3中,得m=3,
所以m2-2m+5=9-6+5=8.
12.(2025河北邯郸一模,★★☆)李老师在黑板上出示了如图
所示的一个算式,他用手遮挡了其中的一个数.
(1)若被手遮挡的数是 ,求这个算式的结果.
(2)已知这个算式的结果是正数,求被遮挡的数的最小整数值.
解析 (1)若被手遮挡的数是 ,
则原式=-18× -
=-18× -18× -2
=-6+9-2=1.
(2)设被遮挡的数为x,
由题意得-18× - >0,
解得x> ,∴被遮挡的数的最小整数值为1.
13.【新课标·运算能力】我们把关于x的一个一元一次方程和
一个一元一次不等式组合成一种特殊组合,且当一元一次方
程的解正好也是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫
作“梦想解”;当一元一次方程的解不是一元一次不等式的
解时,我们把这种组合叫作“无缘解”.
(1)组合 是______.(填“梦想解”或“无缘解”)
(2)若关于x的组合 是“梦想解”,求a的取值范围.
(3)若关于x的组合 是“无缘解”,求m的取值
范围.
解析 (1)解方程2x-4=0,得x=2,当x=2时,5x-2=8>3,即x=2不是
不等式5x-2<3的解,所以组合 是“无缘解”.故答案
为无缘解.
(2)解方程3x-6=0,得x=2,
解不等式 >a,得x>3a.
因为关于x的组合 是“梦想解”,
所以3a<2,解得a< ,即a的取值范围为a< .
(3)解方程2-x=x-2m,得x=m+1,
解不等式 +1
.
因为关于x的组合 是“无缘解”,
所以 ≥m+1,解得m≤ ,
即m的取值范围为m≤ .
微专题 根据不等式的特殊解或解集确定字母的值或取值范围
不等式 +1> 的解集是x< ,则a应满足
( )
A.a>5 B.a=5 C.a>-5 D.a=-5
B
例题
解析 去分母,得2x+1+3>ax-1,
移项、合并同类项,得(2-a)x>-5,
因为不等式 +1> 的解集是x< ,
所以2-a<0,且2-a=-3,解得a=5.
变式1 (2024山东烟台中考)关于x的不等式m- ≤1-x有正数
解,m的值可以是______________(写出一个即可).
0(答案不唯一)
解析 原不等式整理得 x≤1-m,
解得x≤2-2m,
∵原不等式有正数解,
∴2-2m>0,解得m<1,
则m的值可以是0.
变式2 已知关于x的不等式3a+2x>1至少有三个负整数解,则
a的取值范围是_______.
a>
解析 ∵3a+2x>1,∴x> ,
∵关于x的不等式3a+2x>1至少有三个负整数解,
∴关于x的一元一次不等式3a+2x>1一定有的负整数解是-3,-
2,-1,
∴ <-3,解得a> .(共21张PPT)
第1课时 不等式的解与解集
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.3 解一元一次不等式
不等式的解及不等式的解集
1.(2024河北中考改编)下列数中,是不等式5x-1<6的解的是
( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A
解析 把选项中的数依次代入不等式,只有A选项使不等式成
立.故选A.
2.(2025吉林中考)不等式x-3>2的解集为 ( )
A.x>5 B.x<5
C.x>-1 D.x<-1
A
解析 不等式x-3>2两边同时加上3,得x>5.故选A.
3.【学科特色·教材变式P154练习T2】(2025河北沧州青县月
考)在数轴上表示不等式-x+4≥3的解集,正确的是 ( )
A B
C D
B
解析 移项,得-x≥3-4,合并同类项,得-x≥-1,将系数化为1,得
x≤1.在数轴上表示解集如下:
故选B.
4.【学科特色·易错题】(2025四川达州期中)下列说法中,正确
的是( )
A.x=1是不等式x<2的一个解
B.x=2是不等式3x>5的解集
C.不等式3x>9的解是x=4
D.x<5是不等式x-5>0的解集
A
解析 A.∵1<2,∴x=1是不等式x<2的一个解;B.不等式3x>5
的解集为x> ,∴x=2不是不等式3x>5的解集,原说法错误;C.
不等式3x>9的解有很多个,不只是x=4,原说法错误;D.不等式x
-5>0的解集是x>5,原说法错误.故选A.
易错警示 本题容易将不等式的解与不等式的解集混淆.使
含有未知数的不等式成立的未知数的值叫作不等式的解,所
有的解组成这个不等式的解集.不能说不等式的解是某一个
未知数的值,但可以说某一个未知数的值是不等式的解.
5.(2025河北保定高碑店月考)如图,数轴上所表示的不等式的
解集是_______.
x≥1
6.(2024河北石家庄月考)请写出满足下列条件的一个不等式.
(1)0是这个不等式的一个解:________________.
(2)-2,-1,0,1都是不等式的解:________________.
(3)0不是这个不等式的解:________________.
(4)与x≤-1的解集相同的不等式:___________________.
x<1(答案不唯一)
x<2(答案不唯一)
x<0(答案不唯一)
x+2≤1(答案不唯一)
7.(2024河北模拟,★★☆)不等式- x 1的解集在
数轴上的表示如图所示,则被 盖住的符号是
( )
A.> B.< C.≥ D.≤
A
解析 由题图可知不等式的解集为x<-2,
∵- x>1的解集为x<-2,∴被 盖住的符号是>.故
选A.
8.(2024河北邢台内丘期末,★★☆)若x=2是关于x的不等式3x
-a+2<0的一个解,则a的最小整数值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
C
解析 ∵x=2是关于x的不等式3x-a+2<0的一个解,
∴6-a+2<0,∴a>8,∴a的最小整数值为9.故选C.
9.(2024河北保定期中,★★☆)已知关于x的不等式ax>b的解
集是x>-3,则不等式bx>a的解集是_______.
x<-
解析 ∵关于x的不等式ax>b的解集是x>-3,∴a>0, =-3,∴b=
-3a<0,∴不等式bx>a的解集为x< ,即x<- .
10.(★★☆)已知关于x,y的二元一次方程组
(1)若方程组的解满足x-y=1,求m的值.
(2)若方程组的解满足x+y<0,求m的取值范围.
解析
(1)①+②,得4x-4y=4+4m,
∴x-y=1+m.
∵x-y=1,
∴1+m=1,
解得m=0.
(2)①-②,得2x+2y=4-4m,
∴x+y=2-2m.
∵x+y<0,∴2-2m<0,
解得m>1.(共35张PPT)
第一节 长度和时间的测量
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.1 不等式
不等式的概念
1.(2025河北沧州南皮期末)若a□2是不等式,则符号“□”可
以是 ( )
A.+ B.= C.× D.≥
D
解析 若a□2是不等式,则符号“□”可以是≥.故选D.
2.(2025河北唐山玉田林东中学月考)下列式子中,是不等式的
有 ( )
①2x=7;②3x+4y;③-3<2;
④2a-3≥0;⑤x>1;⑥a-b>1.
A.5个 B.4个 C.3个 D.1个
B
解析 ①2x=7是等式;②3x+4y是代数式;③-3<2是不等式;④2
a-3≥0是不等式;⑤x>1是不等式;⑥a-b>1是不等式.是不等式
的共4个.故选B.
3.(2024河北邯郸十三中模拟)不等式x≥3表示的是( )
A.大于3的数 B.小于3的数
C.不大于3的数 D.不小于3的数
D
解析 不等式x≥3表示的是不小于3的数.故选D.
4.在-1,- ,- ,0, ,1,3,7,100中,哪些能使不等式x+1<2成立
解析 当x=-1时,x+1=0<2,不等式成立.
当x=- 时,x+1= <2,不等式成立.
当x=- 时,x+1= <2,不等式成立.
当x=0时,x+1=1<2,不等式成立.
当x= 时,x+1= <2,不等式成立.
当x=1时,x+1=2,不等式不成立.
当x=3时,x+1=4>2,不等式不成立.
当x=7时,x+1=8>2,不等式不成立.
当x=100时,x+1=101>2,不等式不成立.
故能使不等式x+1<2成立的有-1,- ,- ,0, .
列不等式表示不等关系
5.(2025河北保定高碑店月考)“x的3倍减去5是非负数”用不
等式表示为 ( )
A.3x-5≥0 B.3x-5<0
C.3x-5≤0 D.3x-5>0
A
解析 x的3倍减去5表示为3x-5,非负数是指大于或等于0的
数,所以“x的3倍减去5是非负数”用不等式表示为3x-5≥0.
故选A.
6.(2024河北沧州青县期末改编)交通法规人人遵守,文明城市
处处安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这
是限制车高的标志,表示通过该桥洞的车高x(m)不得大于4.5
m,则下列符合的不等式为 ( )
C
A.x≥4.5 B.x>4.5
C.x≤4.5 D.x<4.5
解析 因为通过此桥洞的车辆高度不得大于4.5 m,所以x≤4.
5.故选C.
7.(2025河北模拟)某中学男子100 m跑的原纪录是12 s,嘉嘉在
本次校田径运动会上打破了该项纪录,设嘉嘉在比赛中跑步
的平均速度为x m/s,则下列符合题意的不等式为 ( )
A.12x>100 B.12x<100
C.12x≤100 D.12x≥100
A
解析 由“路程=速度×时间”可列不等式为12x>100.故选A.
8.(2025河北衡水安平二中期末)“x与y的平方和不大于10”
可用不等式表示为________.
x2+y2≤10
解析 x与y的平方和表示为x2+y2,不大于10是指小于或等于
10,故列不等式为x2+y2≤10.
9.【学科特色·教材变式P147T1】(2025陕西西安新城月考)用
不等式表示下列数量关系.
(1)a的5倍加上b小于2.
(2)m的 与n的 的和是非负数.
(3)x的2倍减去x的 不大于11.
解析 (1)根据题意得5a+b<2.
(2)根据题意得 m+ n≥0.
(3)根据题意得2x- x≤11.
10.(2025江苏淮安经开区期末,★★☆)某品牌酱油的包装上
标注了“氨基酸态氮≥1.2克/100毫升”,它的含义是
( )
A.每100毫升酱油所含氨基酸态氮1.2克
B.每100毫升酱油所含氨基酸态氮高于1.2克
C.每100毫升酱油所含氨基酸态氮不低于1.2克
D.每100毫升酱油所含氨基酸态氮不超过1.2克
C
11.(★★☆)在数学的发展史中,符号占有很重要的地位,它不
但书写简单,而且表达的意义很明确.在不等式中,除了我们熟
悉的符号外,还有很多,比如:≮表示不小于;≯表示不大于;>>
表示远大于;<<表示远小于等.下列选项中表述错误的是
( )
A.2≮2 B.-1≯0
C.100>>1 D.-2<<-99
D
解析 A.2≮2表示2不小于2,即2大于或等于2,表述正确,故选
项A不符合题意;B.-1≯0表示-1不大于0,即-1小于或等于0,表
述正确,故选项B不符合题意;C.100>>1表示100远大于1,表述
正确,故选项C不符合题意;D.-2<<-99表示-2远小于-99,表述错
误,应该是-2远大于-99,即-2>>-99,选项D符合题意.故选D.
12.(2025河北保定曲阳期末,★★☆)某商场促销,小明将促销
信息告诉了妈妈,现假设商品的定价为每件x元,小明妈妈根据
信息列出不等式0.9×(2x-150)<1 300,那么小明告诉妈妈的信
息是( )
A.买两件等值的商品可先减150元,再打九折,最后不超过1 30
0元
C
B.买两件等值的商品可先打九折,再减150元,最后不超过1 30
0元
C.买两件等值的商品可先减150元,再打九折,最后不到1 300
元
D.买两件等值的商品可先打九折,再减150元,最后不到1 300
元
解析 由2x-150得出买两件等值的商品减150元,
由0.9×(2x-150)得出买两件等值的商品先减150元,再打九折,
故所列不等式可以理解为买两件等值的商品可先减150元,再
打九折,最后不到1 300元.
13.【学科特色·教材变式P147T3】(2025湖南常德澧县一模,
★★★)小明同学早上7:40前要到达学校,出家门时是7:20,已
知他家到学校的距离为1 600 m,他跑步的速度为130 m/min,
走路的速度为60 m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保
证不迟到 设小明同学跑步的时间为x min,根据题意,下列不
等式正确的为 ( )
D
A.130x+60(20-x)<1 600
B.130x+60(x-20)>1 600
C. +x<20
D. +x<20
解析 因为小明同学跑步的时间为x min,
所以跑步的路程为130x m,所以剩余走路的路程为(1 600-130
x)m,
则走路的时间为 min,
由到校时间应小于20 min,可列不等式为 +x<20.故
选D.
14.【新课标·推理能力】某生物兴趣小组要在恒温箱中培养
A,B两种菌种,A种菌种的生长温度是35~38 ℃,B种菌种的生
长温度是34~36 ℃,那么恒温箱的温度t ℃应该设定在什么范
围内
解析 ∵A种菌种的生长温度是35~38 ℃,B种菌种的生长温
度是34~36 ℃,
∴恒温箱的温度t ℃应该设定为35~36 ℃.
15.【新课标·推理能力】在数轴上有A,B两点,其中点A所表
示的数是a,点B所表示的数是2.已知A,B两点间的距离小于4.
(1)写出a所满足的不等式.
(2)数-2,0,7所对应的点到点B的距离小于4吗
解析 (1)根据题意,借助数轴可得-2(2)由(1)得,与点B的距离小于4的点所表示的数在-2和6之间
(不包含-2和6),所以在-2,0,7这三个数中,只有0所对应的点到
点B的距离小于4.(共31张PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.5 一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念
1.(2025上海宝山教育学院附属中学期中)下列不等式组中,是
一元一次不等式组的是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 A.该不等式组是一元一次不等式组;B.该不等式组中
含有两个未知数,不是一元一次不等式组;C.该不等式组中未
知数的最高次数是2,不是一元一次不等式组;D.该不等式组分
母中含有未知数,不是一元一次不等式组.故选A.
一元一次不等式组的解集
2.下列用数轴表示不等式组 的解集正确的是 ( )
A. B.
C. D.
D
3.(2025吉林长春中考)下列不等式组无解的是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 选项A中,由“同大取大”,得该不等式组的解集为x>
2;选项B中,由“大大小小无解”,得该不等式组无解;选项C
中,由“同小取小”,得该不等式组的解集为x<-1;选项D中,由
“大小小大中间找”,得该不等式组的解集为-14.(2024广东中考)关于x的不等式组中,两个不等式的解集如
图所示,则这个不等式组的解集是______.
x≥3
解析 两个不等式的解集的公共部分是x≥3,故该不等式组
的解集是x≥3.
解一元一次不等式组
5.(2024河北邢台模拟)如图,若x是整数,且满足 则x
对应的点落在 ( )
A.区域④ B.区域③
C.区域② D.区域①
B
解析 已知
解不等式①,得x> ,
解不等式②,得x<2,
∴不等式组的解集是 ∵x为整数,∴x=1.∴x对应的点落在区域③.故选B.
6.(2025上海中考)不等式组 的解集是_____.
x>2
解析 由 -1>0,得x>2;由2x+3≥x,得x≥-3,
则不等式组的解集为x>2.
7.(2025四川南充中考)不等式组 的解集是x>2,则m
的取值范围是______.
m≤3
解析 由x-3>-1,得x>2,
由-x<-m+1,得x>m-1.
因为不等式组的解集为x>2,
所以m-1≤2,解得m≤3.
8.(2024河北沧州模拟)解不等式组:
(1) (2)
解析 (1)解不等式4x-1≥2x+5,得x≥3,
解不等式 -1,
∴原不等式组的解集为x≥3.
(2)
解不等式①,得x<3,
解不等式②,得x≤7,
∴原不等式组的解集为x<3.
9.(2025河北石家庄行唐期末)已知关于x,y的方程组
(1)若5x+3y=-6,求m的值.
(2)若x,y均为非负数,求m的取值范围.
解析 (1)
①+②,得5x+3y=2m-2,
∵5x+3y=-6,∴2m-2=-6,解得m=-2.
(2)解方程组 得
∵x,y均为非负数,∴x≥0,y≥0,
即 解得4≤m≤6.
10.(2025河北邯郸广平期末,★★☆)不等式组 的
正整数解的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
A
解析 解不等式3(x+1)>x-1,得x>-2,
解不等式- x+3≥2,得x≤ ,
∴不等式组的解集为-2即不等式组的正整数解的个数为1,故选A.
11.(★★☆)关于x的不等式组 的解集在数轴上
表示如图所示,则a+b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
C
解析
解不等式①得x≤ ,解不等式②得x>-b,
由题图可知不等式组的解集为-1所以-b=-1, =1,解得a=2,b=1,
所以a+b=3,故选C.
12.(2025河北保定阜平期末,★★☆)对于关于x的不等式组
的两个结论:①若不等式组无解,则a≤2;②若不等式
组只有3个整数解,则3A.只有①正确 B.只有②正确
C.①②都正确 D.①②都不正确
A
解析 解不等式2x-1≥5,得x≥3.
①若不等式组无解,则2a-1≤3,解得a≤2,∴结论①正确;②若
不等式组只有3个整数解,则由x≥3可知,其整数解为3,4,5,∴5
<2a-1≤6,解得313.【新考向·新定义题】(2025安徽合肥三十八中月考,★★
★)对非负数x“四舍五入”到个位的值记为[x],即当n为非负
整数时,若n- ≤x材料,解决下列问题:
(1)[1.8]=______,[2.3]=______.
(2)若[2x+1]=4,则x的取值范围是_______.
(3)求满足[x]= x-1的所有非负数x的值.
解析 (1)2;2.
(2)由题意可得3.5≤2x+1<4.5,解得 ≤x< .
故答案为 ≤x< .
(3)设 x-1=m,m为整数,则x= ,
因为[x]= x-1,所以[x]= =m,
所以m- ≤ 因为m为整数,所以m=1或2或3,
当m=1时, x-1=1,解得x= ,
当m=2时, x-1=2,解得x=2,
当m=3时, x-1=3,解得x= ,
所以x= 或2或 .
14.(2025河北张家口赤城期末)某校积极落实“双减”政策,
计划组织全校师生开展户外研学(一天),该校某数学兴趣小组
就本次研学中的租车问题展开了调查研究,取得了如下信息:
信息1 1辆大型客车载客量为50人,1辆中型客车载客量为30人,此
前A校租用6辆大型客车和4辆中型客车一天花费4 400
元;B校租用4辆大型客车和8辆中型客车一天花费4 800元
信息2 该校七年级师生共460人,租车费用的预算为4 900元,拟
租用10辆车
任务1 1辆大型客车和1辆中型客车每天的租金分别为多少元
任务2 若要控制租车费用在预算范围内,在保证10辆车一次性将
七年级师生全部送达目的地的前提下,请写出所有的租车
方案,并求出花费最少的方案
解析 任务1:设一辆大型客车每天的租金为x元,一辆中型客
车每天的租金为y元,
根据题意得 解得
答:一辆大型客车每天的租金为500元,一辆中型客车每天的租
金为350元.
任务2:设租用m辆大型客车,则租用(10-m)辆中型客车,根据题
意得
解得8≤m≤ ,∵m为非负整数,∴m=8或9,
∴有两种租车方案:
方案一:租8辆大型客车,2辆中型客车,
方案二:租9辆大型客车,1辆中型客车.
∵方案一的费用为8×500+2×350=4 700(元),
方案二的费用为9×500+1×350=4 850(元),
4 700<4 850,∴方案一的花费最少.(共40张PPT)
第十一章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2025河北廊坊四中月考)下列式子:①-2<0,②2x+3y>0,③x=
2,④x2+2xy+y2,⑤x≠3,⑥x+1>2,其中不等式有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 不等式是指用不等号连接的式子,则不等式有①②⑤
⑥,共4个.故选C.
2.(2024广西南宁期末)下列选项是不等式x+3>6的解的是
( )
A.-2 B.0 C.1 D.5
D
解析 把选项中各数分别代入不等式,只有D选项使不等式
成立,故选D.
3.(2025河北石家庄行唐期末)已知a-b<0,则下列不等式一定成
立的是 ( )
A.a-1C.a>b D.3a-b>0
A
解析 因为a-b<0,所以a-b,故A选项的不
等式成立,B,C选项的不等式不成立;因为a3a-b<3b-b,所以3a-b<2b,当b≤0时,3a-b<0,故D选项的不等式
不一定成立.故选A.
4.(2024河北保定竞秀期中)不等式组 的解集在数
轴上表示为 ( )
A.
B.
C.
B
D.
解析
解不等式①,得x≥-1,
解不等式②,得x<1,
∴不等式组的解集为-1≤x<1,
不等式组的解集在数轴上表示如图:
故选B.
5.(2025河北石家庄栾城期末)现有大量的残土需要运输,某车
队有载质量为8吨的卡车5辆,载质量为10吨的卡车7辆.该车队
需要一次运输残土不低于166吨.为了完成任务,该车队准备新
购进这两种卡车共6辆.若购进载质量为8吨的卡车a辆,则a需
要满足的不等式为 ( )
A.8(5+a)+10(7+6-a)≥166
B.8(5+a)+10(7+6-a)≤166
C.8a+10(6-a)≥166
D.8a+10(6-a)≤166
A
解析 ∵该车队购进载质量为8吨的卡车a辆,
∴购进载质量为10吨的卡车(6-a)辆,
∵该车队需要一次运输残土不低于166吨,
∴a需要满足的不等式为8(5+a)+10(7+6-a)≥166,故选A.
6.(2025河北张家口赤城期末)若不等式组 无解,则k
的取值范围为 ( )
A.k≤3 B.k<3
C.k≥3 D.k>3
A
解析
解不等式①,得x≤-2,解不等式②,得x>1-k,
∵不等式组 无解,∴1-k≥-2,解得k≤3,故选A.
7.关于x,y的二元一次方程组 的解满足2x+y<1,
则m的取值范围是 ( )
A.m<2 B.m>2
C.m<-2 D.m>-2
C
解析 ①+②,得4x+2y=4+m,
因为2x+y<1,所以4x+2y<2,
所以4+m<2,解得m<-2.故选C.
8.(2025河北保定十七中期中)如图,按下面的程序进行运算,规
定:程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算,若运算
进行了3次才停止,则x的取值范围是 ( )
A.2C.2 A
解析 依题意得
解不等式①,得x≤10,解不等式②,得x≤4,
解不等式③,得x>2,
所以不等式组的解集为2方法解读 本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应
用,找准不等关系,正确列出一元一次不等式组是解题的关键.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.(2025河北石家庄桥西期末改编)语句“a的 与b的3倍的差
的平方是一个非负数”可以表示为___________.
≥0
解析 a的 为 a,b的3倍为3b,两者的差为 a-3b,两者的差的
平方为 ,所以语句“a的 与b的3倍的差的平方是一
个非负数”可以表示为 ≥0.
10.(2025福建泉州泉港期末)已知y1=x+1,y2=-3x-7,若y1≤y2,则x
的取值范围为________.
x≤-2
解析 因为y1≤y2,所以x+1≤-3x-7,解得x≤-2.
11.【新考向·新定义题】定义:对于数a,符号[a]表示不大于a的
最大整数.例如:[5.7]=5,[5]=5,[-π]=-4.如果 =2,满足条件
的所有正整数x的值为________.
5,6,7
解析 由题意得2≤ <3,解得5≤x<8,
满足条件的所有正整数x的值为5,6,7.
12.(2025四川内江中考)对于x,y定义了一种新运算G,规定G(x,
y)=x+3y.若关于a的不等式组 恰好有3个整数
解,则P的取值范围是_________.
-17≤P<-7
解析 因为G(x,y)=x+3y,
所以关于a的不等式组
为
解不等式①,得a≤1,解不等式②,得a> .
因为不等式组恰好有3个整数解,
所以该不等式组的整数解为-1,0,1,
所以-2≤ <-1,所以-17≤P<-7.
三、解答题(共4小题,共40分)
13.(2024河北廊坊期末)(8分)解不等式组 把解
集在数轴上表示出来,并且写出它的所有整数解.
解析
解不等式①,得m≥-2,
解不等式②,得m<3,
所以这个不等式组的解集为-2≤m<3,
该不等式组的解集在数轴上表示如图:
该不等式组的所有整数解为-2,-1,0,1,2.
14.(2025山西晋中榆次期中)(10分)下面是小宁同学解不等式
的过程,请认真阅读并完成相应任务.
> -1.
解:去分母,得3(3x-1)>2(5x-4)-6,……第一步
去括号,得9x-1>10x-8-6,……第二步
移项、合并同类项,得-x>-13,……第三步
系数化为1,得x<13.……第四步
任务:
(1)以上解题过程中,第一步的依据是_____________
_____________.
(2)第______步开始出现错误,这一步错误的原因是_______
____________.
(3)请直接写出该不等式的正确解集.
解析 (1)不等式的两边同时乘一个大于0的数,不等号的方向
不变.
(2)二;去括号时漏乘.
(3)x<11.
详解:去分母,得3(3x-1)>2(5x-4)-6,
去括号,得9x-3>10x-8-6,
移项,得9x-10x>-8-6+3,
合并同类项,得-x>-11,
系数化为1,得x<11.
15.(10分)已知关于x,y的方程组 若x的值为非负
数,y的值为正数.
(1)求m的取值范围.
(2)已知n-m=2,且n<2,求m+n的取值范围.
解析 (1)解方程组 得
因为x的值为非负数,y的值为正数,
所以 解得-2≤m< .
(2)因为n-m=2,所以n=m+2,m+n=2m+2.
因为n<2,所以m+2<2,解得m<0.
由(1)知-2≤m< ,所以-2≤m<0,
所以-2≤2m+2<2,
所以-2≤m+n<2.
16.(2025安徽合肥巢湖期末)(12分)教室护眼灯是目前性价比
较高的LED灯,不仅节能,而且寿命长,同时也更加环保,可以更
有效地保护学生的视力.某校计划从商场购进甲、乙两种型
号护眼灯共200盏,这两种护眼灯商场的进价、售价如表所示:
进价/(元/盏) 售价/(元/盏)
甲型号护眼灯 60 80
乙型号护眼灯 75 100
(1)若学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯共用去17 000
元,则学校从商场购进甲、乙两种型号护眼灯各多少盏
(2)若学校准备用不多于16 800元从商场购进这两种型号护眼
灯,则学校从商场购进甲型号护眼灯至少多少盏
(3)在(2)的条件下,该商场销售给学校这200盏护眼灯后能否
实现盈利不低于4 250元的目标 若能,请你给出相应的采购方
案;若不能,说明理由.
解析 设学校从商场购进甲型号护眼灯x盏,则购进乙型号护
眼灯(200-x)盏.
(1)根据题意,得80x+100(200-x)=17 000,
解得x=150,所以200-x=200-150=50.
答:学校从商场购进甲型号护眼灯150盏,乙型号护眼灯50盏.
(2)根据题意,得80x+100(200-x)≤16 800,
解得x≥160.
答:学校从商场购进甲型号护眼灯至少160盏.
(3)不能.理由如下:若盈利不低于4 250元,
则(80-60)x+(100-75)(200-x)≥4 250,
解得x≤150,即学校从商场购进甲型号护眼灯至多150盏,商场
才可以盈利不低于4 250元,
由(2)知学校从商场购进甲型号护眼灯至少160盏,所以该商场
销售给学校这200盏护眼灯后不能实现盈利不低于4 250元的
目标.(共32张PPT)
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.2 不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.(2025河北唐山期末)若x入的符号是 ( )
A.≥ B.≤ C.> D.<
C
解析 由x-4y,所以“□”中应填入的符号是
“>”.故选C.
2.(2025河北保定高碑店月考)若x>y,则下列不等式成立的是
( )
A.x+3C.7x<7y D.2x-1<2y-1
B
解析 在不等式x>y的两边同时加上3,不等号的方向不变,即
x+3>y+3,所以选项A错误;在不等式x>y的两边同时乘- ,不等
号的方向改变,即- <- ,所以选项B正确;在不等式x>y的两边
同时乘7,不等号的方向不变,即7x>7y,所以选项C错误;在不等
式x>y的两边同时乘2,不等号的方向不变,即2x>2y,不等式两
边再同时减去1,不等号的方向不变,即2x-1>2y-1,所以选项D
错误.故选B.
3.(2025河北石家庄模拟)数a,b在数轴上的对应点的位置如图
所示,下列关系式不成立的是 ( )
A.a+2C.a+b>0 D.-2a<-2b
D
解析 由题图可知,a<0<1∴a+20,-2a>-2b.故选D.
4.(2025广西中考)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克
水、b克水,a>b,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻
璃杯中水的质量的大小关系的是 ( )
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+c A
解析 ∵初始时,两杯水的质量分别为a克和b克,
∴加入c克水后,两杯水的质量变为(a+c)克和(b+c)克.∵a>b,
∴a+c>b+c.故选A.
5.【跨物理·天平】(2025河北衡水安平二中期末)如图,有三种
不同的小球,质量分别为a,b,c,放置在天平的托盘中,结果天平
右侧向下倾斜,则可得到 ( )
A.a>b B.a>c C.c>b D.b>c
D
解析 根据题图可得a+c+c即b>c.故选D.
6.(2025江苏常州中考)若 > ,则x-y___ 0.(填“>”“<”或
“=”)
>
解析 ∵ > ,∴x>y,∴x-y>0.
利用不等式的基本性质化简不等式
7.(2025河北邯郸临漳称勾中学月考)利用不等式的基本性质,
将不等式2x-1<0化为“xA.x< B.x> C.x<- D.x<2
A
解析 2x-1<0,两边同时加上1,得2x<1,两边同时除以2,得x< ,
故选A.
8.写出下列不等式的变形所依据的不等式的基本性质.
(1)由 x>-3,得x>-6.________________________.
(2)由3+x≤5,得x≤2._________________________.
(3)由-3x<9,得x>-3.________________________.
(4)由3x≥2x-4,得x≥-4.___________________________.
不等式的基本性质2
不等式的基本性质1
不等式的基本性质3
不等式的基本性质1
9.【学科特色·教材变式P150T2】根据不等式的基本性质,把
下列不等式化成“x>a”或“x不等式的哪条基本性质.
(1)x+7>9. (2)6x<5x-3.
(3) x< . (4)- x>-1.
解析 (1)∵x+7>9,∴x+7-7>9-7(不等式的基本性质1),∴x>2.
(2)∵6x<5x-3,∴6x-5x<5x-3-5x(不等式的基本性质1),∴x<-3.
(3)∵ x< ,∴ x×5< ×5(不等式的基本性质2),∴x<2.
(4)∵- x>-1,∴- x× <-1× (不等式的基本性质3),∴x
< .
10.(2025湖南常德期末,★★☆)若a>b,且c为有理数,则下列不
等式正确的是 ( )
A.a2>b2 B.c-a>c-b
C.ac>bc D.a(c2+1)>b(c2+1)
D
解析 A.3>-5,但是32<(-5)2,所以由a>b不能得到a2>b2,故A选项
不正确;B.a>b,不等式两边都乘-1,得-a<-b,不等式两边再加c,
得c-ab,当c=0时,ac=bc,故C选项不正
确;D.因为a>b,c2+1>0,所以a(c2+1)>b(c2+1),故D选项正确.故选
D.
11.(2025河北邯郸成安期末,★★☆)梓琦同学在进行不等式
的变形时,有几道题做错了,请帮助老师找出不等式变形正确
的一项 ( )
A.由a>b,得am>bm
B.由a>b,得a-2 022C.由ab>ac,得bD.由 > ,得b>c
D
解析 A.由a>b,m>0,得am>bm,故此选项不符合题意;B.
由a>b,得a-2 022>b-2 022,故此选项不符合题意;C.由ab>ac,a<
0,得b ,得b>c,故此选
项符合题意.故选D.
12.(2025福建福州一中期末,★★☆)若关于x的不等式(2-a)x<
3可化为x> ,则a的取值范围是___.
a>2
解析 ∵不等式(2-a)x<3可化为x> ,
∴ <0,∴2-a<0,∴a>2.
13.(2025河北模拟,★★☆)有一个数学游戏,如图,一个数从A,
B,C三个位置中任选一个位置出发,按照通道内标注的要求进
行运算后到下一个位置,例如:将3按照B→C(或C→B)的顺序
进行运算,是将数据3经过“乘(-2)”的运算得出结果-6.
(1)将-2按照A→B→C→A的顺序进行运算,列出算式并求出运
算结果.
(2)将一个大于3的数按照A→C→B→A的顺序进行运算,发现
运算结果总小于1.请验证这个结论.
解析 (1)根据题意列式为(-2+1)×(-2)-3
=-1×(-2)-3=2-3=-1.
(2)设这个数为x,则(x-3)×(-2)+1=-2x+7.因为x>3,所以-2x<-6,
所以-2x+7<1.
14.【新课标·模型观念】【阅读】根据等式和不等式的基本
性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a反之也成立.这种比较大小的方法被称为“作差法”.
【理解】
(1)若a-b+2>0,则a+1_______b-1.(选填“>”“=”或“<”)
【运用】
(2)若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N的大小.
【拓展】
(3)请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产
品有两种用料方案,方案一:用5块A型钢板,6块B型钢板.方案
二:用4块A型钢板,7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B
型钢板的面积小.将方案一所用钢板的总面积记为S1,方案二
所用钢板的总面积记为S2,试比较S1,S2的大小.
解析 (1)>.
详解:∵a-b+2>0.∴a+1-(b-1)>0,
∴a+1>b-1.
(2)∵M=a2+3b,N=2a2+3b+1,
∴M-N=(a2+3b)-(2a2+3b+1)
=a2+3b-2a2-3b-1
=-a2-1,
∵-a2-1<0,∴M(3)设每块A型钢板的面积为x,每块B型钢板的面积为y,则S1=5
x+6y,S2=4x+7y,
∴S1-S2=(5x+6y)-(4x+7y)
=5x+6y-4x-7y
=x-y,
∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,∴x<0,∴S1-S2<0,∴S1第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
11.4 一元一次不等式的应用
一元一次不等式的应用
1.【跨生物·食物链】一般来说,在一个食物链中,上一营养级
的能量只有10%~20%能够流入下一营养级,在“植物→食草
动物→食肉动物”这条食物链中,要使食肉动物增长不少于5
千克,至少需消耗植物 ( )
A.25千克 B.50千克
C.125千克 D.500千克
C
解析 设需要消耗植物x千克,根据题意,得20%×20%x≥5,解
得x≥125,∴至少需消耗植物125千克.故选C.
2.爆破员要爆破一座旧桥,根据爆破情况可知,安全距离是70
米(人员要撤到距爆破点70米或70米以外的位置),下面是已知
的一些数据:人员撤离速度是5米/秒,导火索的燃烧速度是10
厘米/秒,则这次爆破的导火索的长度至少为_______厘米才
能确保人员安全(点火处距爆破点的距离很短,忽略不计)
( )
A.130 B.140 C.150 D.160
B
解析 设这次爆破的导火索长为x厘米,根据路程=速度×时
间,结合安全距离是70米,可得5× ≥70,解得x≥140,∴这次
爆破的导火索的长度至少为140厘米才能确保人员安全.故选
B.
3.(2025河北秦皇岛抚宁一模)某服装店现有一款热卖的羽绒
服,进价为280元/件,售价为400元/件.现准备打折销售,在保证
利润率 不低于10%的情况下,打x折,则下
列说法正确的是 ( )
A.依据题意得400x-280≥280×10%
B.依据题意得400× -280≥400×10%
C.该款羽绒服可以打7.5折
D.该款羽绒服最多打7.7折
D
解析 根据题意可得400× -280≥280×10%,
解得x≥7.7,∴最多打7.7折.故选D.
4.【学科特色·教材变式P159做一做】(2025四川宜宾中考)某
校举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对于每一
道题,答对得10分,答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次
竞赛中得分不低于80分,则他至少要答对的题数是 ( )
A.14 B.13 C.12 D.11
C
解析 设小明答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题意,
得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,
所以他至少要答对的题数是12.故选C.
5.(2025河北保定安国期中)多功能家庭早餐机可以制作多种
口味的美食,深受广大消费者的喜爱,某品牌早餐机的进价为2
40元/台,商店以320元/台的价格出售,“五一”期间,商店为让
利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该早
餐机每台最多可降价____元.
32
解析 设该早餐机每台降价x元,
由题意得320-x-240≥240×20%,解得x≤32,
∴该早餐机每台最多可降价32元.
6.为了奖励校运动会上表现积极的同学,某班计划购买甲、乙
两种笔记本.经了解,购买2本甲种笔记本和1本乙种笔记本共
需40元,购买4本甲种笔记本和6本乙种笔记本共需120元.
(1)求甲、乙两种笔记本的销售单价各是多少元.
(2)该班级需购买甲、乙两种笔记本共30本,且购买金额不超
过344元,那么最多可以购买甲种笔记本多少本
解析 (1)设甲种笔记本的单价是x元,乙种笔记本的单价是y
元,
根据题意,得 解得
答:甲种笔记本的单价是15元,乙种笔记本的单价是10元.
(2)设购买甲种笔记本m本,则购买乙种笔记本(30-m)本,
根据题意,得15m+10(30-m)≤344,解得m≤8.8,
∵m为整数,∴m的最大值为8.
答:最多可以购买甲种笔记本8本.
7.(2025山西吕梁离石期末,★★☆)如图,小明想到A站乘公交
车,发现他与公交车的距离为600 m.已知小明的速度为1.2 m
/s,公交车的速度是小明速度的5倍.若要保证小明不会错过这
辆公交车,则小明到A站之间的距离最大为( )
A
A.100 m B.120 m C.150 m D.180 m
解析 设小明到A站之间的距离为x m,则公交车到A站之间
的距离为(600-x)m,根据题意,得 ≤ ,解得x≤100,故小
明到A站之间的距离最大为100 m.
8.(2025贵州中考,★★☆)贵州省江口县被誉为“中国抹茶之
都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需
求,某抹茶车间准备安装A,B两种型号生产线.已知,同时开启
一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200 t,同时开
启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280 t.
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨.
(2)为扩大生产规模,若另一车间准备同时安装相同型号的A,B
两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产的抹
茶不少于2 000 t,则至少需要安装多少条A型生产线
解析 (1)设一条A型生产线每月生产抹茶x t,一条B型生产线
每月生产抹茶y t,
由题意得 解得
答:一条A型生产线每月生产抹茶120 t,一条B型生产线每月生
产抹茶80 t.
(2)设需要安装m条A型生产线,则安装(5-m)条B型生产线,
由题意得4×[120m+80(5-m)]≥2 000,
解得m≥2.5,
∵m为正整数,∴m的最小值为3.
答:至少需要安装3条A型生产线.
9.【新课标·应用意识】东东家电某款电热水壶的原销售单价
为100元,现推出两种优惠活动,并规定购买此款电热水壶时只
能选择其中一种优惠活动.某单位计划一次性购买x个电热水
壶.
(1)若该单位购买16个此款电热水壶,则选择哪种优惠活动更
合算 请说明理由.
(2)若该单位原价购买此款电热水壶的总费用不到3 000元,且
选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算,请求出x的取值范
围.
优惠活动一 当购买此款电热水壶不超过10个时,无优惠;当购买超过10个时,超过的部分每个打六折
优惠活动二 按原售价购买此款电热水壶,消费额每满
1 000元减200元(如:购买电热水壶11个,花费
100×11-200=900元;购买电热水壶21个,花费
100×21-400=1 700元)
解析 (1)选择优惠活动一更合算,理由如下:
选择优惠活动一所需费用为100×10+100×0.6×(16-10)=1 360
(元).
选择优惠活动二所需费用为100×16-200=1 400(元).
∵1 360<1 400,∴选择优惠活动一更合算.
(2)根据题意可知,100x<3 000,∴x<30.易知x>10.
若1015,
∴当15若20≤x<30,则100×10+100×0.6(x-10)<100x-400,解得x>20,
∴当20≤x<30时,选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算.
综上所述,当15更合算.
