(共32张PPT)
第十章 三角形
10.1 三角形的边
三角形的相关概念
1.三角形是 ( )
A.连接任意三点组成的图形
B.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形
C.由三条线段组成的图形
D.以上说法均不对
B
解析 由三角形的定义可知B选项正确.故选B.
2.如图所示.
(1)图中一共有_______个三角形,它们分别是_________
________________________________.
(2)△CDE和△BCD的公共角是_______,公共边是_______.
(3)在△ABC中,∠A的对边是_______.
5
△ABE,△DEC,△BEC,△ABC,△DBC
∠D
CD
BC
(4)在△ABC和△BEC中,∠ACB是边_______和_______的
对角.
AB
BE
三角形的三边关系
3.(2025广东佛山萌茵实验学校期中)已知三角形的两边长分
别是3和5,则第三边长a的取值范围是 ( )
A.2≤a<8 B.2
C.2 C
解析 根据三角形的三边关系可知,a>5-3=2,a<5+3=8,因此,第
三边长a的取值范围为24.(2025河北保定阜平期末)老师让同学们分别将若干根14 cm
长的铁丝剪开,剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形.下
列四位同学的剪法中符合要求的是 ( )
A B
C D
C
解析 A.2+3=5<9,不能围成三角形,故不符合题意;B.3.5+3.5=
7,不能围成三角形,故不符合题意;C.5+4=9>5,能围成三角形,
符合题意;D.3+3=6<8,不能围成三角形,故不符合题意.故选C.
5.(2025河北唐山玉田期末)已知三角形三边长分别为2,x,8,若
x为奇数,则符合条件的三角形个数为 ( )
A.2 B.3 C.5 D.7
A
解析 ∵三角形三边长分别为2,x,8,∴8-20,又∵x为奇数,∴x可以为7或9,∴符合条件的三角形个数为2.
故选A.
6.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.
(1)求x的取值范围.
(2)当△ABC的周长为偶数时,求x的值.
解析 (1)根据三角形的三边关系,得9-4∴x的取值范围是5(2)∵△ABC的周长为偶数,△ABC的周长=x+4+9=x+13,∴x+
13为偶数,∴x为奇数,∵5 三角形按边分类
7.(2025河北邢台信都月考)如图所示的是三角形的分类,关于
P,Q区域有甲、乙两种说法:
甲:P是锐角三角形;
乙:Q是等边三角形.
则关于这两种说法,正确的是 ( )
A.甲对 B.乙对
C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
B
解析 三角形按边分为三边都不相等的三角形,等腰三角形
(腰与底边不相等的等腰三角形,等边三角形),∴P是等腰三角
形,Q是等边三角形,∴只有乙说法正确.故选B.
8.一个等腰三角形的周长为28 cm,其中一边长为 8 cm,则这个
三角形其余两边的长各是多少
李明是这样解的:底边长为8 cm,设腰长为x cm,
则2x+8=28,解得x=10.
所以这个三角形另两边的长均为10 cm.
你认为李明的解法对吗 如果不对,正确的解法应是什么
解析 李明的解法不对,漏掉了腰长是8 cm的情况.
正确的解法如下:
当底边长是8 cm时,设腰长为x cm,则2x+8=28,解得x=10,此时
另两边的长均为10 cm,符合三角形的三边关系且是等腰三角
形;
当腰长为8 cm时,设底边长为y cm,则8×2+y=28,解得y=12,此
时另两边的长分别为8 cm,12 cm,符合三角形的三边关系且是
等腰三角形.
综上所述,这个三角形其余两边的长是10 cm,10 cm或8 cm,
12 cm.
9.【学科特色·易错题】(2025河北保定竞秀期中,★★☆)已知
有理数a,b满足|4-a|+(b-9)2=0,则以a,b的值为两边长的等腰三
角形的周长是 ( )
A.17 B.22
C.17或22 D.以上答案均不对
B
解析 ∵|4-a|+(b-9)2=0,∴4-a=0,b-9=0,解得a=4,b=9.当腰长为
4时,∵4+4<9,∴不能围成三角形,不符合题意;当腰长为9时,
∵4+9>9,∴能围成三角形,符合题意.综上,三角形的周长为4+9+
9=22.故选B.
10.(2025湖南衡阳期末,★★☆)若a,b,c是三角形的三边长,则
化简|a-b-c|+|b-a-c|+|c-b-a|的结果为 ( )
A.a+b+c B.-3a+b+c
C.-a-b-c D.2a-b-c
A
解析 由三角形的三边关系得ab-a-c<0,c-b-a<0,∴原式=-a+b+c-b+a+c-c+b+a=a+b+c.故选A.
11.(2025河北保定曲阳期末,★★☆)如图,在△ABC中,点D在
AC上,点P在BD上,观察图形发现:AB+AC与BP+CP的关系为
( )
A.AB+AC>BP+CP B.AB+ACC.AB+AC=BP+CP D.不能确定
A
解析 在△ABD中,AB+AD>BD,在△PDC中,CD+PD>CP,∴
AB+AD+CD+PD>BD+CP,∵BD=BP+PD,AD+CD=AC,∴AB+
AC>BP+CP.故选A.
12.(2025河北石家庄桥西期末,★★★)如图,用四颗螺丝将不
能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺
丝的距离依次为3,4,6,8,且相邻两根木条的夹角均可以调整,
若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离
的最大值是 ( )
A.7 B.10 C.11 D.14
B
解析 当长为3,4的木条共线时,因为3+4+6=13>8,所以能构成
三角形,此时两颗螺丝的最长距离为8;当长为4,6的木条共线
时,因为3+8>4+6,所以能构成三角形,此时两颗螺丝的最长距
离为10;当长为6,8的木条共线,因为3+4<6+8,所以不能构成三
角形,此种情况不成立;当长为3,8的木条共线时,因为4+6<3+8,
所以不能构成三角形,此种情况不成立.因为10>8,所以任意两
颗螺丝的距离的最大值为10.故选B.
13.(2025四川雅安中学期中,★★☆)若代数式(2m-x-3)·(n+3x)
+nx2的值与x无关,且等腰三角形的两边长为m,n.
(1)求m,n的值.
(2)求该等腰三角形的周长.
解析 (1)(2m-x-3)(n+3x)+nx2=2mn+6mx-nx-3x2-3n-9x+nx2=(n
-3)x2+(6m-n-9)x+2mn-3n,
∵代数式的值与x无关,∴ 解得
(2)当3是等腰三角形的腰长时,三边长分别为3,3,2,∵2+3>3,
∴能构成三角形,此时三角形的周长=3+3+2=8;
当2是等腰三角形的腰长时,三边长分别为2,2,3,∵2+2>3,
∴能
构成三角形,此时三角形的周长=2+2+3=7.
∴该等腰三角形的周长为7或8.
14.【新课标·运算能力】(2025四川达州达川期末节选)阅读
材料:对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将
它分解成(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能
直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先
加上一项a2,使它与x2+2ax成为一个完全平方式,再减去a2,整个
式子的值不变,于是有:
x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2)-a2-3a2
=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).
像这样,先添加一个适当项,使式中出现完全平方式,再减去这
项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方
法”,解决下列问题:
(1)因式分解:x2+2x-3=________.
(2)若△ABC的三边长是a,b,c,满足a2+b2-12a-6b+45=0,且c为偶
数,求△ABC的周长的最小值.
解析 (1)x2+2x-3=x2+2x+1-1-3=(x+1)2-4
=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3).
(2)∵a2+b2-12a-6b+45=0,
∴(a2-12a+36)+(b2-6b+9)=0,
∴(a-6)2+(b-3)2=0,∴a-6=0,b-3=0,解得a=6,b=3,∵△ABC的三
边长是a,b,c,∴6-3又∵c为偶数,∴c=4或6或8,∴当a=6,b=3,c=4时,△ABC的周长
最小,最小值是6+3+4=13.(共41张PPT)
第十章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分)
1.(2025河北石家庄三十八中开学考试)一个三角形的三个内
角分别是90°,45°,45°,这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
B
解析 ∵有两个角的度数均为45°,∴这个三角形一定是等
腰三角形.故选B.
2.如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则 ( )
A.线段CD是△ABC的边AC上的高线
B.线段CD是△ABC的边AB上的高线
C.线段AD是△ABC的边BC上的高线
D.线段AD是△ABC的边CD上的高线
B
解析 线段CD是△ABC的边AB上的高线,线段AD是△
ACD的边CD上的高线,故A,C,D错误,B正确.故选B.
3.风筝是中国的传统工艺品,制作历史悠久.小梦有两根长度
分别是6 dm和9 dm的竹篾,她想搭一个三角形风筝的骨架,桌
上有下列长度的几根竹篾,她应该选择的竹篾长度为( )
A.2 dm B.3 dm C.12 dm D.15 dm
C
解析 根据三角形的三边关系可得她应该选择的竹篾长度
大于9-6=3(dm),小于9+6=15(dm),∴12 dm符合题意.故选C.
4.(2025河北承德兴隆期末)下列图形中,不能求出α度数的是
( )
A B C B
D
解析 ∵三角形的三个内角的度数都为α,∴α=60°,故A不符
合题意;∵直角三角形中一锐角为40°,∴α=180°-90°-40°=50°,
故B不符合题意;根据外角性质得α+96°=130°,∴α=34°,故C不
符合题意;∵另一锐角的度数未知,∴不能求得α的度数,故D符
合题意.故选D.
5.(2025江苏苏州吴江期末)如图,谢尔宾斯基三角形是一种分
形,由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.则图中的三角形
个数为 ( )
A.48 B.52
C.64 D.53
D
解析 题图中三角形的个数为5×9+2×(3+1)=53.故选D.
6.(2025福建泉州永春桥中学期中)已知等腰三角形的两边长
分别为x,y,且满足|2x-y+1|+(2x+y-13)2=0,则该等腰三角形的周
长为( )
A.13 B.17 C.13或17 D.11或13
B
解析 ∵|2x-y+1|+(2x+y-13)2=0,∴ 解得
当腰长为3时,3+3<7,无法构成三角形,当腰长为7时,3+7>7,能
构成三角形,∴等腰三角形的周长为7+7+3=17.故选B.
7.(2025河北唐山玉田林东中学月考)如图,在△ABC中,D,E分
别是BC,AD的中点,点F在BE上,且EF=2BF,若S△BCF=3,则S△ABC=
( )
A.9 B.12 C.16 D.18
D
解析 ∵EF=2BF,S△BCF=3,∴S△BEC=3S△BCF=3×3=9,∵D是BC
的中点,∴S△BDE=S△CDE= S△BEC= ,
∵E是AD的中点,∴S△ABD=2S△BDE=9,
∵D是BC的中点,∴S△ABC=2S△ABD=2×9=18.故选D.
8.(2025河北衡水枣强月考)如图,∠MON=90°,点A,B分别在射
线OM,ON上移动,AD平分∠BAM,BC平分∠OBA,交OM于点
E,与AD的反向延长线交于点C.关于结论Ⅰ,Ⅱ:
结论Ⅰ:若∠BAD=65°,则∠ABC=40°;
结论Ⅱ:无论点A,B在射线OM,射线ON(均不与点O重合)上怎
样移动,∠C的度数都不变.
下列判断正确的是 ( )
A.只有结论Ⅰ正确
B.只有结论Ⅱ正确
C.结论Ⅰ,Ⅱ都正确
D.结论Ⅰ,Ⅱ都不正确
B
解析 ∵AD平分∠BAM,∠BAD=65°,∴∠MAB=2∠BAD=
2×65°=130°,∴∠ABO=∠MAB-∠O=130°-90°=40°,∵BC平分
∠OBA,∴∠ABC= ∠ABO= ×40°=20°,故结论Ⅰ错误;
∵∠BAD=∠C+∠ABC,∴∠C=∠BAD-∠ABC,∵AD平分∠MAB,
BC平分∠ABO,∴∠BAD= ∠MAB,∠ABC= ∠ABO.
∴∠C= ∠MAB- ∠ABO,∵∠MAB-∠ABO=∠O=90°,
∴∠C= ∠MAB- ∠ABO= (∠MAB-∠ABO)= ×90°=45°,
∴∠C的度数不变,故结论Ⅱ正确.故选B.
二、填空题(共3小题,每题6分,共18分)
9.(2025安徽合肥庐阳期末)“三角形的外角大于该三角形的
任一内角”是_______(填“真”或“假”)命题.
假
解析 如果三角形的其中一个内角的度数为100°,则这个角
的外角的度数为80°,因为80°<100°,所以这个命题是假命题.
10.(2025安徽六安期中)如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使
点A落在点A'处,连接BA',CA',BA'平分∠ABC,CA'平分∠
ACB.若∠BAC的度数为α,∠1+∠2的度数为β,则α与β的数量
关系是_________.
β=2α
解析 连接AA'(图略),由折叠的性质可知∠BAC=∠DA'E=α,
∵∠1=∠DAA'+∠AA'D,∠2=∠EAA'+∠AA'E,
∴∠1+∠2=∠DAA'+∠EAA'+∠DA'A+∠EA'A
=∠BAC+∠DA'E=2∠BAC=2α,即β=2α.
11.(2025江苏南通期末)如图,直角三角形ABC中,∠ACB=90°,
AB=10,AC=8,BC=6,点D是边AB上一动点,作直线MN经过点
C,点D,分别过点A,B作AF⊥MN于点F,BE⊥MN于点E.设线段
BE,AF的长度分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为_______.
10
解析 ∵S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴ AC·BC= CD·AF+ CD·BE,整
理,得CD·(d1+d2)=AC·BC,∴d1+d2= ,
当CD⊥AB时,CD的长取最小值,此时d1+d2取得最大值,
由等面积法可得CD的最小值= ,
∴d1+d2的最大值为 =AB=10.
三、解答题(共42分)
12.(2025江苏连云港赣榆期末改编)(12分)如图,∠DAB是△
ABC的一个外角.用两种方法说明“三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和”.
证明 【证法一】∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠BAC+∠
DAB=180°,∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB,
∴∠DAB=∠B+∠C.
【证法二】过点A向左作AE∥BC(图略),
∴∠DAE=∠C,∠B=∠EAB,
∴∠DAB=∠DAE+∠BAE=∠B+∠C.
13.(2025河北邯郸广平实验学校开学考试)(15分)如图,在△
ABC中,AD是高,CE是角平分线,F是边AC中点,∠ECB=25°,∠
BAD=35°.
(1)求∠AEC和∠BAC的度数.
(2)①若△ABC的面积为10,则△BCF的面积为_______.
②若△BCF比△BAF的周长大3,AB=7,能否求出BC的值 若
能,请写出理由和结果;若不能,请你补充条件并解答.
解析 (1)∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,
∵∠BAD=35°,∴∠ABD=180°-90°-35°=55°,
∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=55°+25°=80°,
∵CE是△ACB的角平分线,∠ECB=25°,∴∠ACB=2∠ECB=50°,
∴∠BAC=180°-∠ABD-∠ACB=180°-55°-50°=75°.
(2)①5.详解:∵F是AC的中点,∴AF=FC,
∵△ABC的面积为10,∴S△BCF= S△ABC=5.故答案为5.
②能,BC=10,理由如下:
∵AF=FC,△BCF比△BAF的周长大3,
∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,∴BC-AB=3,
∵AB=7,∴BC=10.
14.(2025河北秦皇岛海港期末)(15分)如图,在△ABC中,点D为
边BC延长线上一点,射线BE平分∠ABC,点P为射线BE上一
点.
(1)若∠BAC=50°,当CP平分∠ACB时,∠BPC=________.当
CP平分∠ACD时,∠BPC=________.
(2)当CP平分∠ACB时,CP⊥AB,BP⊥AC,则∠BPC=_______
____.当CP平分∠ACD时,CP∥AB,∠ACB=4∠BAC,则∠BPC=
________.
(3)若∠ABC=40°,∠A=60°,当直线CP垂直于△ABC的边时,求
∠BPC的度数.
解析 (1)115°;25°.详解:
如图,当CP平分∠ACB时,
∵BE平分∠ABC,∴∠CBP= ∠ABC,∵∠BCP= ∠ACB,
∴∠CBP+∠BCP= (∠ABC+∠ACB)= (180°-∠BAC),∴∠BPC
=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°- (180°-∠BAC)=90°+ ∠BAC=90°+ ×50°=115°.
如图,当CP平分∠ACD时,
∵BE平分∠ABC,∴∠CBP= ∠ABC,∵∠DCP= ∠ACD,
∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠PCD=∠BPC+∠CBP,∴∠BPC=∠PCD
-∠CBP= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠BAC=25°.
(2)120°;15°.详解:如图,延长CP交直线AB于点H,∵CP平分
∠ACB,CP⊥AB,BP⊥AC,
∴∠BCH=∠HCA= ∠ACB,∠CBP+∠ACB=90°,
∠BCP+∠ABC=90°,∴∠ABC+ ∠ACB=90°①,
∵BE平分∠ABC,∴∠CBP=∠HBP= ∠ABC,
∴ ∠ABC+∠ACB=90°②,
①+②,得 ∠ABC+ ∠ACB=180°,
∴ ∠ABC+ ∠ACB=60°,
∴∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)
=180°-
=180°-60°=120°.
如图,
设∠ABP=x,∵BE平分∠ABC,∴∠CBP=∠ABP=x,∴∠ABC
=2x,∵CP∥AB,CP平分∠ACD,
∴∠BPC=∠ABC=x,∠PCA=∠PCD=∠ABC=2x,
∴∠BAC=2x,
∴∠ACB=4∠BAC=8x,∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=2x+2x+8x
=180°,∴x=15°,∴∠BPC=x=15°.
(3)∵∠ABC=40°,∠A=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=80°,
①如图,当CP⊥BC时,∠BCP=90°,
∵∠PBC= ∠ABC=20°,∴∠BPC=70°.
②如图,当CP⊥AC时,点P在射线BE的反向延长线上,不合题
意,舍去.
③如图,当CP⊥AB时,延长CP交直线AB于H,则∠BHC=90°,
∵∠ABC=40°,∴∠BCH=50°,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC=20°.
∴∠BPC=∠ABP+∠BHC=110°.
综上,∠BPC的度数为70°或110°.(共36张PPT)
第1课时 三角形的内角和
第十章 三角形
10.2 三角形的内角和外角
三角形的内角和定理
1.(2024江苏南通海门期末)若三角形三个内角的度数分别是
(x+y)°,(x-y)°,x°,则x的值为( )
A.30 B.45 C.60 D.90
C
解析 ∵三角形内角和为180°,
∴(x+y)+(x-y)+x=180,解得x=60.故选C.
2.【跨物理·力学】(2025河北邢台南宫期末)当一木块静止在
斜面上时,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下(OG⊥
AD),支持力N的方向与斜面垂直(ON⊥AB),摩擦力f的方向与
斜面平行(OC∥AB).若摩擦力f与重力G方向的夹角∠1=120°,
则∠2的度数是 ( )
B
A.20° B.30° C.40° D.50°
解析 如图,设OG交AB于点E,
∵OC∥AB,∴∠1+∠OEB=180°,∵∠1=120°,
∴∠OEB=180°-120°=60°,∴∠AEG=∠OEB=60°,∵OG⊥AD,
∴∠2=180°-90°-60°=30°.故选B.
3.【学科特色·多解法】(2025河北秦皇岛海港期末)如图,AB
∥CD,将一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中∠FEG=30°,
∠HNM=45°,则∠NMD的度数为( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
B
解析 【解法一】如图,延长EN交CD于I,
∵∠HNM=45°,∴∠INM=135°,∵AB∥CD,
∴∠MIN=∠BEG=30°,∴∠NMD=180°-∠NIM-∠MNI=180°-
30°-135°=15°.故选B.
【解法二】如图,过点N作NP∥CD,∵AB∥CD,
∴PN∥AB∥CD,∴∠ENP=∠FEN=30°,∠PNM=∠NMD,
∵∠HNM=45°,∴∠NMD=∠HNM-∠ENP=45°-30°=15°.
4.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若∠A=60°,∠B=
44°,则∠F=___.
76°
解析 ∵∠A=60°,∠B=44°,∠A+∠B+∠ACB=180°,∴∠
ACB=180°-∠A-∠B=76°,
由平移的性质,得∠F=∠ACB=76°.
5.如图,将铅笔放置在△ABC的边AB上,笔尖方向为点A到点
B的方向,把铅笔依次绕点A,点C,点B按逆时针方向旋转∠A,
∠C,∠B的度数,观察笔尖方向的变化,该操作说明了_______
_________________.
的内角和等于180°
三角形
解析 如图,∵铅笔依次绕点A,点C,点B按逆时针方向旋转
∠A,∠C,∠B的度数,∴旋转角度之和为∠A+∠B+∠C,∵最后
笔尖方向变为点B到点A的方向,∴旋转角度之和为180°,
∴这种变化说明三角形的内角和等于180°.
6.【学科特色·方程思想】(2025河北邯郸武安期末)已知△ABC
中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,那么△ABC中最大角的度数为___.
75°
解析 设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,由题意得3x+4x+5x=180°,
解得x=15°,∴∠A=3x=45°,∠B=4x=60°,∠C=5x=75°,∴△ABC中
最大角的度数为75°.
7.(2025吉林七中期中)如图,在△ABC中,将∠B和∠C按如图
所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上的点G处,线段MN,EF
为折痕.若∠A=87°,则∠MGE=____°.
87
解析 ∵∠A=87°,∴∠B+∠C=180°-∠A=93°,由折叠的性质
得∠MGN=∠B,∠EGF=∠C,
∴∠MGN+∠EGF=∠B+∠C=93°,
∴∠MGE=180°-(∠MGN+∠EGF)=87°.故答案为87.
8.(2025河北张家口桥西期中)如图,在△ABC中,∠A=62°,∠B
=74°,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,则∠CDE
的度数为___.
22°
解析 ∵∠A=62°,∠B=74°,∴∠ACB=180°-62°-74°=44°,
∵CD是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠DCB=22°,∵DE∥BC,
∴∠CDE=∠DCB=22°.
9.【学科特色·教材变式P131T1】已知△ABC.
(1)若∠A=∠B+50°,∠C=∠A-10°,求∠B的度数.
(2)若∠A是∠B的一半,∠C比∠B大30°,求△ABC三个内角的
度数.
解析 (1)∵∠A=∠B+50°,
∴∠C=∠A-10°=∠B+50°-10°,
∴∠A+∠B+∠C=∠B+50°+∠B+∠B+50°-10°=180°,
∴∠B=30°.
(2)设∠A=x°,因为∠A是∠B的一半,所以∠B=2x°,因为∠C比
∠B大30°,所以∠C=(2x+30)°,因为三角形的内角和为180°,所
以x+2x+(2x+30)=180,解得x=30,所以∠A=30°,∠B=2×30=60°,
∠C=60°+30°=90°.
10.(2025河北沧州献县期末,★★☆)有两个形状如图所示的
零件,按照规定,AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°的零
件为合格零件.小明测出其中一个零件的∠B=65°,∠C=75°,小
亮测出另一个零件的∠BAD=120°,∠CDA=90°,则 ( )
A
A.只有小明测量的零件合格
B.只有小亮测量的零件合格
C.两个零件均合格
D.两个零件均不合格
解析 如图,延长BA,CD,相交于点E,
若∠B=65°,∠C=75°,则∠E=180°-∠B-∠C=40°,所以满足AB
所在直线和CD所在直线的夹角为40°,所以小明测量的零件为
合格零件;若∠BAD=120°,∠CDA=90°,则∠EAD=180°-∠
BAD=60°,∠ADE=180°-∠CDA=90°,所以∠E=180°-∠EAD-
∠ADE=30°,不满足AB所在直线和CD所在直线的夹角为40°,
所以小亮测量的零件为不合格零件.故选A.
11.(2025河北邯郸期中,★★☆)如图,AD∥BC,∠DAE=3∠EBF,
∠EBF=27°,G是AB上一点.若∠AGF=95°,∠BAF=34°,
甲、乙两位同学分别给出了下面的结论,则下列判断正确的
是 ( )
A
甲:∠AFB=81°.
乙:BE∥GF.
A.只有甲的结论正确
B.只有乙的结论正确
C.两人的结论都正确
D.两人的结论都不正确
解析 ∵∠DAE=3∠EBF,∠EBF=27°,∴∠DAE=3×27°=81°,
∵AD∥BC,∴∠AFB=∠DAE=81°,∴甲的结论正确.∵∠AGF=95°,
∠BAF=34°,∴∠AFG=180°-∠AGF-∠BAF=180°-95°-34°=51°,
∴∠BFG=∠AFB-∠AFG=81°-51°=30°,
∵∠EBF=27°,∴∠BFG≠∠EBF,∴BE与GF不平行,∴乙的结
论错误.综上,只有甲的结论正确.故选A.
12.(2025贵州遵义月考,★★☆)在探索三角形内角和定理时,
彭老师启发同学们讨论.
如图①,已知∠A,∠B,∠C是△ABC的内角,求证:∠A+∠B+∠
C=180°.
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法:
小颖作的辅助线如图②所示,过点C作DE∥AB;
小星作的辅助线如图③所示,延长AB到点F,过点B作BE∥AC;
小红作的辅助线如图④所示,过点C作CG∥AB.
请你认真思考并解答如下问题:
(1)请从小颖、小星、小红三位同学的方法中选择一种,写出
完整的推理过程.
(2)在图③中,试说明:∠CBF=∠A+∠C.
图① 图② 图③ 图④
解析 (1)选择小颖的方法.∵DE∥AB,∴∠A=∠ACD,∠B=
∠BCE,∵∠ACB+∠BCE+∠ACD=180°,∴∠A+∠B+∠ACB
=180°.
选择小星的方法.∵BE∥AC,∴∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,∵∠ABC+
∠CBE+∠EBF=180°,∴∠A+∠ABC+∠C=180°.
选择小红的方法.∵CG∥AB,∴∠A+∠ACG=180°,∠B=∠BCG,
∴∠A+∠ACB+∠BCG=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
(2)∵BE∥AC,∴∠A=∠EBF,∠C=∠CBE,∴∠A+∠C=∠EBF+∠CBE,
即∠CBF=∠A+∠C.
13.【新课标·推理能力】(2025河北石家庄桥西期末)在一个
三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,那么这样的三角形称
为“灵动三角形”,例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角
形是“灵动三角形”.如图,∠MON=60°,在射线OM上任取一
点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交
线段OB于点C(其中0°<∠OAC<90°).下列结论:
①∠ABO的度数为30°;
②△AOB是“灵动三角形”;
③若∠BAC=70°,则△AOC是“灵动三角形”;
④当△ABC为“灵动三角形”时,满足条件的∠OAC的值有4个.
其中正确的有 ( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 ∵AB⊥
OM,∴∠BAO=90°,∴∠ABO=180°-∠BAO-∠MON=180°-90
°-60°=30°,故①正确.
∵∠BAO=90°=3∠ABO,∴△AOB是“灵动三角形”,故②正
确.
∵∠OAB=90°,∠BAC=70°,∴∠OAC=90°-70°=20°,
∵∠AOC=60°,∴∠AOC=3∠OAC,∴△AOC是“灵动三角
形”,故③正确.
C
∵△ABC为“灵动三角形”,∠ABO=30°,∠BAC<90°,∠BCA>60°,
∴∠BCA=3∠ABO=90°或∠BCA=3∠BAC或∠ABC=3∠BAC.
当∠BCA=3∠ABO=90°时,∠CAB=60°,∴∠OAC=30°;
当∠BCA=3∠BAC时,根据题意,得4∠BAC=180°-∠ABC=150°,
解得∠BAC=37.5°,∴∠OAC=52.5°;
当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=30°÷3=10°,∴∠OAC=90°-10°=80°.
综上,满足条件的∠OAC的值有3个,故④错误.
所以,正确的有①②③,
共3个.故选C.(共38张PPT)
第2课时 三角形的外角
第十章 三角形
10.2 三角形的内角和外角
三角形的外角及其性质
1.(2025四川乐山中考改编)如图,∠1的度数为( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
B
解析 ∠1=45°+55°=100°.故选B.
2.【跨体育与健康·侧压腿】(2025河北邯郸涉县月考)体育课
上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形,如果∠1=
115°,那么∠2= ( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
C
解析 ∵∠1=115°,∠1=∠2+90°,∴∠2=25°.故选C.
3.(2025河北石家庄辛集期末)如图,点D,E分别在AB和AC上,
DE∥BC,F是AD上一点,FE的延长线交BC的延长线于点G,H
是直线CG上一点.试说明:∠EGH>∠ADE.
老师在黑板上写下了以下过程:
∵DE∥BC(已知),
∴∠ADE=*(两直线平行,○相等),
∵∠EGH>□(&),
∴∠EGH>∠ADE.
下列判断正确的是 ( )
A.*和□代表的内容不同
B.□代表∠ACB
C.○代表内错角
D.&代表三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
解析 ∵DE∥BC(已知),∴∠ADE=∠ABC(两直线平行,同位
角相等),∵∠EGH>∠ABC(三角形的一个外角大于与它不相
邻的任意一个内角),∴∠EGH>∠ADE.∴*代表∠ABC,□代
表∠ABC,○代表同位角,&代表三角形的一个外角大于与它
不相邻的任意一个内角,∴*和□代表的内容相同,故A,B,C选
项错误.故选D.
4.(2025福建中考)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,
用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一
条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥
BC时,∠ADE的大小为 ( )
B
A.5° B.15°
C.25° D.35°
解析 ∵∠BAC=90°,∠B=45°,∴∠ACB=45°,∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠ACB=45°,∵∠DEF=∠DAE+∠ADE=60°,
∴∠ADE=15°.故选B.
5.【学科特色·教材变式P134练习T3】(2025河北秦皇岛十中
月考)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于 ( )
A.100° B.200°
C.180° D.360°
C
解析 如图,设CE与BD相交于点F,AC与BD相交于点G,
∵∠B+∠E=∠BFC,∠A+∠D=∠DGC,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠C+∠GFC+∠FGC=180°.故选
C.
6.(2025河北沧州吴桥期末)若三角形三个内角度数的比为1∶
2∶3,则相应的外角度数的比是__________.
5∶4∶3
解析 ∵三角形三个内角度数的比为1∶2∶3,∴三角形的三
个内角分别为180°× =30°,180°× =60°,180°×
=90°,∴相应的外角分别为150°,120°,90°,∴相应的外
角度数的比为150°∶120°∶90°=5∶4∶3.
三角形按角分类
7.(2025河北石家庄精英新华学校开学考)∠1,∠2,∠3是一个
三角形的三个内角,且∠1=∠2+∠3,那么这个三角形一定是
( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.无法确定
B
解析 ∵三角形三个内角的和为180°,∴∠1+∠2+∠3=180°,
又∵∠1=∠2+∠3,∴∠1+∠1=180°,即2∠1=180°,解得∠1=90°.
∴这个三角形一定是直角三角形.故选B.
8.(2025河北唐山玉田林东中学月考)在△ABC中,∠A∶
∠B∶∠C=4∶4∶6,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
A
解析 ∵180°÷(4+4+6)= ,
∴∠C=6× = <90°,∴△ABC的形状是锐角三角形.
故选A.
9.(2025江苏泰州兴化乐吾实验学校月考)已知在锐角三角形
ABC中,∠B=40°,则∠A的取值范围是_____________.
50°<∠A<90°
解析 ∵△ABC是锐角三角形,
∴∠B+∠A>90°,∠A<90°,∵∠B=40°,
∴50°<∠A<90°.
10.【新考向·动点探究题】(2025河北邯郸十一中开学考,★
★☆)如图,点B在∠A的一条边上固定不动,点C在∠A的另一
条边上可以任意移动,连接BC,三角形ABC的形状 ( )
D
①锐角三角形
②直角三角形
③钝角三角形
④等腰三角形
A.只能是① B.只能是④
C.可能是①②③ D.可能是①②③④
解析 当∠ABC<90°,∠ACB<90°时,三角形ABC为锐角三角
形;
当∠ABC=90°或∠ACB=90°时,三角形ABC为直角三角形;
当∠ABC>90°或∠ACB>90°时,三角形ABC为钝角三角形;
当AB=AC或AB=BC或AC=BC时,三角形ABC为等腰三角形.
综上,三角形ABC的形状可能是①②③④.故选D.
11.(2025河北邢台信都月考,★★☆)如图,起重机在工作时,起
吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC=120°,支撑臂
BD平分∠ABC,物体被吊起后,机械臂AB的位置不变,支撑臂
绕点B旋转一定的角度并缩短,此时∠CBD=2∠ABD,∠BDC
增大了10°,则∠DCE的变化情况为 ( )
C
A.增大10° B.减小10°
C.增大30° D.减小30°
解析 起吊物体前,设∠BDC=x,∵∠ABC=120°,支撑臂BD平
分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD= ∠ABC=60°,
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=60°+x.
物体被吊起后,∵机械臂AB的位置不变,
∠CBD=2∠ABD,∠CBD+∠ABD=120°,
∴∠CBD=80°,
∵∠BDC增大了10°,∴∠BDC=x+10°,
∴∠DCE=∠CBD+∠BDC=80°+x+10°=90°+x,
∵(90°+x)-(60°+x)=30°,∴∠DCE的变化情况为增大30°.故选
C.
12.(2025河北邢台平乡期中,★★☆)如图,阴影部分是一个喷
水池,现要修建两条通向水池的小道PA和QB,要求PA和QB所
在的直线互相垂直.为了检验PA和QB是否垂直,小亮同学在
水池外的平地上选定一个可直接到达点P和Q的点C,然后测
得∠P=25°,∠C=45°,∠Q=20°.则PA和QB_____(填“垂直”或
“不垂直”).
垂直
解析 如图,延长PA,QB交于点D,PA的延长线与CQ交于点F,
则∠PFQ=∠P+∠C=25°+45°=70°,
∴∠PDQ=∠PFQ+∠Q=70°+20°=90°,∴PA⊥QB.故答案为垂
直.
13.【新课标·中华优秀传统文化】(2025辽宁沈阳皇姑期末,
★★★)折纸是我国一项古老的传统民间艺术,这项具有中国
特色的传统文化在几何中可以得到新的解读,如图,将△ABC
纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,DA'交AB于点P,若A'D∥
BC且∠B-∠A=20°,则∠AED的度数为____.
100°
解析 由折叠的性质,得∠ADE= ∠ADP,∵A'D∥BC,
∴∠ADP=∠C,∵∠B-∠A=20°,∴∠B=∠A+20°,∵∠A+∠B+∠C
=180°,∴∠C=180°-∠B-∠A=180°-(∠A+20°)-∠A=160°-2∠A,
∴∠ADE= ∠ADP= ∠C= (160°-2∠A)=80°-∠A,∴∠DEP
=∠A+∠ADE=∠A+(80°-∠A)=80°,∴∠AED=180°-80°=100°.
14.(2025安徽池州贵池期末,★★☆)如图,CE平分△ABC的外
角∠ACD,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=32°,∠E=36°,求∠BAC的度数.
(2)试猜想∠BAC,∠B,∠E之间存在的等量关系,并证明你的
猜想.
解析 (1)∵∠ECD是△BCE的一个外角,
∴∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°,∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠ECD=68°,∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°.
(2)∠BAC=∠B+2∠E.理由如下:
∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD,又∵∠ECD=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,
即∠BAC=∠B+2∠E.
15.【新课标·推理能力】(2024四川达州中考)如图,在△ABC
中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E
1AD= ∠CAB,∠E1BD= ∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是
内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD= ∠E1AB,∠
E2BD= ∠E1BD,……,以此规律作下去,若∠C=m,则∠En的度
数为_.
解析 由题意得∠E1=∠E1BD-∠E1AD
= ∠CBD- ∠CAB
= ∠C= .
同理可得∠E2= ∠C= ,
∴∠En= ∠C= .(共36张PPT)
第十章 三角形
10.3 三角形的角平分线、中线和高线
三角形的角平分线、中线和高线
1.(2025河北石家庄外国语学校期末)借助直角三角尺作△
ABC的边BC上的高,下列直角三角尺的位置摆放正确的是
( )
A B C D
A
解析 ∵三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作
三角形的高,∴借助直角三角尺作△ABC的边BC上的高,直角
三角尺的位置摆放正确的是A选项.故选A.
2.下列说法正确的是 ( )
A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C.三角形的重心是三角形三条中线的交点
D.直角三角形的三条中线的交点是斜边的中点
C
解析 A.钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内
部,原说法错误;B.锐角三角形的三条高的交点在三角形的内
部,原说法错误;C.三角形的重心是三角形三条中线的交点,原
说法正确;D.直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部,
原说法错误.故选C.
3.(2025河北张家口桥西期中)如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则AD是
△ABC的 ( )
A.高线 B.角平分线
C.中线 D.以上都不是
B
解析 ∵∠1=∠2=∠3=∠4,∴∠1+∠2=∠3+∠4,∴∠BAD=
∠CAD,∴AD是△ABC的角平分线.故选B.
4.(2025河北沧州十四中月考)如图,CD,CE,CF分别是△ABC
的高线,角平分线,中线,则下列结论错误的是 ( )
A.AB=2BF B.∠ACE= ∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
C
解析 ∵CD,CE,CF分别是△ABC的高线,角平分线,中线,
∴ AB=2BF,∠ACE= ∠ACB,CD⊥BE,故A,B,D结论正确,不符
合题意;由已知条件无法得到AE=BE,故C错误,符合题意.故选
C.
5.(2025河北廊坊霸州月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB
=10,BC=6,AC=8,点D是线段AB上一点,则线段CD的长度不可
能是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 如图,过C作CE⊥AB交AB于点E,
∵∠ACB=90°,∴ AB·CE= AC·BC,
∴ ×10·CE= ×8×6,∴CE= ,根据垂线段最短,得CD≥CE,∴
线段CD的长度不可能是4.故选A.
6.下图是甲、乙、丙三位同学的折纸的示意图(折叠后点C落
到点C'处).
甲 乙 丙
(1)其中AD是BC边上的中线的是_______.
(2)其中AD是BC边上的高的是_______.
(3)其中AD是∠BAC的平分线的是_______.
丙
甲
乙
7.(2025陕西咸阳秦都期末)如图,在△ABC中,CE是△ABC的
角平分线,点D在AC边上(不与点A,C重合),连接BD交CE于点
F.
(1)若BD是△ABC的中线,AB=10,BC=9,求△ABD与△BCD的
周长之差.
(2)若BD是△ABC的高,∠ACB=68°,求∠BFC的度数.
解析 (1)∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD.
∵AB=10,BC=9,∴△ABD的周长=AD+BD+10,△BCD的周长
=CD+BD+9.
∴△ABD与△BCD的周长之差为
AD+BD+10-(CD+BD+9)
=AD+BD+10-CD-BD-9=10-9=1.
(2)∵BD是△ABC的高,∴∠BDC=90°.
∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠DCF= ∠ACB= ×68°=34°,
∴∠BFC=∠BDC+∠DCF=90°+34°=124°.
8.【学科特色·教材变式P138T1】(★★☆)在△ABC中,AC=7,
BC边上的中线AD把△ABC分成周长差为5的两个三角形,则
AB的长为 ( )
A.2 B.19 C.2或19 D.2或12
D
解析 ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,依题意,分两种情况:
①当AB>AC时,AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=5,∵AC
=7,∴AB=5+7=12;
②当AB=7,∴AB=7-5=2.
综上,AB的长为2或12.故选D.
9.(2025河北石家庄四十八中月考,★★☆)如图,△ABC的面积
是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则四边形AFDG
的面积是 ( )
A.6 B.5 C.4.5 D.4
A
解析 ∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD是△
ABC的中线,BE是△ABD的中线,CE是△ACD的中线,AF是△
ABE的中线,AG是△ACE的中线,DF是△DBE的中线,DG是△
CDE的中线,
∴S△AEF= S△ABE= S△ABD= S△ABC= ×12= ,同理可得S△DEF=S△AEG
=S△DEG= ,∴四边形AFDG的面积为 ×4=6.故选A.
10.(2025山东日照经开区月考,★★☆)如图,在△ABC中,∠
BAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,AD是高,BE是中线,CF是角平
分线,CF交AD于点G,交BE于点H,下面说法正确的是
( )
D
①△BCE的周长-△ABE的周长=4;
②△ACF的面积=△BCF的面积;
③∠AFG=∠AGF;
④∠FAG=2∠ACF;
⑤AD=2.4.
A.①③⑤ B.②③④⑤
C.①③④⑤ D.①③④
解析 ∵BE是△ABC的中线,∴AE=CE,∵△BCE的周长=BC
+CE+BE,△ABE的周长=AB+AE+BE,
∴△BCE的周长-△ABE的周长=BC-AB=10-6=4,
故①说法正确;在△ABC中,∠BAC=90°,∴AC⊥AB,∴S△ACF=
AF·AC,S△BCF= BF·AC,∵CF是△ABC的角平分线,∴AF≠
BF,∴S△ACF≠S△BCF,故②说法不正确;∵∠BAC=90°,AD是△
ABC的高,
∴∠AFG+∠ACF=90°,∠DGC+∠DCG=90°,∵CF是△ABC的
角平分线,∴∠ACF=∠DCG,∴∠AFG=∠DGC,∵∠AGF=∠
DGC,∴∠AFG=∠AGF,故③说法正确;∵∠BAC=90°,AD是
△ABC的高,∴∠FAG+∠DAC=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴
∠FAG=∠ACD,∵CF是△ABC的角平分线,∴∠ACD=2∠
ACF,∴∠FAG=2∠ACF,故④说法正确;
∵∠BAC=90°,AD是△ABC的高,
∴S△ABC= AB·AC= AD·BC,∴ ×6×8= ×AD×10,∴AD=4.8,
故⑤说法错误.综上,①③④说法正确.故选D.
11.【新课标·推理能力】(2025河南信阳罗山期末)在△ABC
中,CE平分∠ACB,∠A>∠B.
(1)如图1,若CD⊥AB于点D,∠A=70°,∠B=40°,则∠DCE的度
数为_______.
(2)如图1,若CD⊥AB于点D,则∠A,∠B,∠DCE之间的数量关
系为_____________.
(3)如图2,设∠A=α,∠B=β,当点F在CE的延长线上时,作FD⊥
AB于点D,求∠DFE的度数.(用含α,β的式子表示).
图1 图2
解析 (1)15°.详解:∵∠A=70°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=
∠ACB=35°,∵CD⊥AB,∠A=70°,∴∠ACD=180°-90°-∠A=2
0°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=15°.
(2)∠DCE= (∠A-∠B).
详解:∵∠ACB+∠B+∠A=180°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠A,
∵CE平分∠BCA,
∴∠ACE= ∠BCA= (180°-∠A-∠B),
∵CD⊥BA,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=180°-90°-∠A=90°-∠A,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD= (180°-∠A-∠B)-(90°-∠A)= ∠
A- ∠B= (∠A-∠B).
(3)∵∠ACB+∠B+∠A=180°,
∴∠ACB=180°-∠B-∠A=180°-β-α,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE= ∠ACB= (180°-β-α),
∴∠DEC=∠A+∠ACE=α+ (180°-β-α)=90°+ α- β,
∵DF⊥AB,∴∠FDE=90°,
∴∠DFE=∠DEC-∠FDE= -90°= α- β= (α-
β),即∠DFE的度数为 (α-β).
微专题 利用等积法求三角形的高或面积
(2024河北承德平泉期末)在△ABC中,高AD=2,高CE=
4,则边AB∶BC是 ( )
A.1∶2 B.2∶1 C.3∶1 D.1∶3
A
例题
解析 ∵S△ABC= AB·CE= BC·AD,AD=2,CE=4,∴2AB=
BC,∴AB∶BC=1∶2.故选A.
变式1 (2024河北衡水景县二中期末)如图,已知△ABC中,
BD,CE分别为它的两条高线,BD=6,CE=5,AB=12,则AC=
( )
A.10 B. C. D.7
A
解析 由题意知S△ABC= AB·CE= AC·BD,
∴AC= = =10.故选A.
变式2 (2025河北石家庄四十八中期末)如图,AD是△ABC的
中线,CE是AB边上的高,AB=4,S△ADC=6,则CE= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
解析 ∵AD是△ABC的中线,S△ADC=6,
∴S△ABC=2S△ADC=2×6=12,∵CE是AB边上的高,
∴S△ABC= AB·CE=12,∴2CE=12,∴CE=6.故选D.
