2025-2026学年四川省广安市广安区友谊中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年四川省广安市广安区友谊中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.抛物线y=-3（x+4）2-3的顶点坐标是（　　）
A. （4，-3） B. （-4，-3） C. （4，3） D. （-4，3）
3.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（　　）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
4.点P（a,-3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　）
A. 1 B. -1 C. -5 D. 5
5.三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若△ADE的面积为3，则四边形BDEC的面积为（　　）
A. 12 B. 6 C. 18 D. 9
7.一个扇形的弧长是10πcm,面积是120πcm2，射扇形的圆心角是（　　）
A. 75° B. 90° C. 120° D. 150°
8.如图，四边形ABCD是面积为8的矩形，B，C在反比例函数第一象限内的图象上，且BC=4，则k的值为（　　）
A. 8
B. 6
C.
D. 7
9.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA=5cm,则△PFG的周长为（　　）
A. 5cm
B. 7cm
C. 9cm
D. 10cm
10.已知点A（8-m,n），B（m-4，e）都在抛物线y=x2+（2-k）x+1上，若当m＞6时，都有n＞e,则实数k的取值范围是（　　）
A. k＜-2 B. k＞6 C. -2＜k＜6 D. k＜-2或k＞6
二、填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分。
11.“若a=b,则a2=b2”这一事件是 （填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）
12.已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（3，1），B（2，0），O（0，0），若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 .
13.如图，在△ABC中，AB=5，，BC＞AB.点D在BC上，BD=2，连接AD，则AD= .
14.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过 秒后⊙P与直线CD相切.
15.若关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 .
16.将抛物线y=-x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是 .
17.有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3.从每组牌中各随机摸出一张，这为一次试验.小军做了200次试验后发现和为2的情况出现了23次，据此估计牌面数字的和是2的概率是 （精确到0.1）.
18.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E.除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 .
19.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是______．
三、解答题：本题共8小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
阅读下面材料：已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根，若满足|x1-x2|=1，则此类方程称为“差根方程”.在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现：
，最后得到“差根方程”中a,b,c之间的关系是b2-4ac=a2.
（1）请通过计算判断方程x2+7x+12=0是否是“差根方程”.
（2）若方程x2+2x-k+1=0是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根.
（3）若关于x的“差根方程”a（x+m）2+b=0的一个根是x=3（a,m,b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+4）2=-b是“差根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由.
21.(本小题8分)
嘉嘉使用桌上书架如图所示，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适.嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角∠AOB=120°时，舒适度较为理想，如图2，在理想舒适度下，书上有一点C，如果嘉嘉的眼睛在D处，旋转点O到点C的距离为20cm.
（1）求此时点C到桌面OB的距离；（结果保留根号）
（2）如果嘉嘉看点C的俯角为18°，眼睛到桌面高度为BD，点O到点B的距离为25cm,求此时眼睛到C点的距离，即CD的长度.（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）
22.(本小题8分)
安顺正在积极创建全国文明城市，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A（优秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）.并将统计结果绘制成两幅统计图.
（1）本次抽样调查的学生共有______名，并补全条形统计图；
（2）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有______名；
（3）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，分别记为1号，2号，3号，4号，学校决定从这4人中随机选出2人参加市级环保知识竞赛，请你用列表法或画树状图法，求所选2人号数恰好一奇数和一偶数的概率.
23.(本小题8分)
一次函数y=-x+5与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中A（1，a）.
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若把一次函数y=-x+5的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出b的值.
24.(本小题12分)
如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D为BC中点，以B为圆心，BD长为半径作⊙B，交AB与点E.M为⊙B上一点，连接AM，将AM绕A点顺时针旋转∠BAC的度数，得线段AN、连接CM、BN.
（1）求证：△ABN≌△ACM
（2）当点M与点D重合时，求证：AN与⊙B相切；
（3）△ACM面积的最大值为______.
25.(本小题10分)
某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（台）是售价x（元/台）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/台） 150 160 170 180
日销售量y（台） 200 180 160 140
日销售纯利润W（元） 8000 8800 9200 9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元.
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品每件的进价是多少元？当每件的售价为多少元时，日销售纯利润最大？
（3）由于厂家原材料涨价，每台紫外线灯的进价提高了m元（m＞0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实物价局限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值.
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，将△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AED.
（1）如图①，当点D落在AB边上时，连接CE，求CE的长；
（2）如图②，连接BE，直线CD与BE交于点P，求证：点P是BE的中点；
（3）如图③，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，（2）中的结论是否成立？若成立（直接写出答案）；若不成立，请说明理由.
27.(本小题10分)
已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上一点，过点P作y轴的垂线垂足为E，连接PA、PC，PA交y轴于点D，设PE的长为t,△PCD的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点H为CP延长线上一点，射线DH与射线EP交于点F，过点F作x轴的垂线交射线CB于点G.连接GP、GE，若∠DHC=45°，△PEG的面积为，求点P的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】必然事件
12.【答案】（6，2）或（-6，-2）
13.【答案】
14.【答案】4或8
15.【答案】9
16.【答案】y=-（x-2）2-1
17.【答案】0.1
18.【答案】4
19.【答案】5
20.【答案】方程x2+7x+12=0是“差根方程”；
；，；
是，，．
21.【答案】；
37 cm
22.【答案】60；条形图见解析；
480；
．
23.【答案】解：（1）∵A（1，a）在一次函数图象上，
∴a=-1+5=4，即A（1，4），
∵A（1，4）在反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：y=；
（2）联立方程组，解得或，
∴A（1，4），B（4，1），
根据两个函数图象可知：不等式的解集为：0＜x≤1或x≥4；
（3）把一次函数y=-x+5的图象向下平移b个单位得到新的解析式为：y=-x+5-b,
联立方程组，消掉y得：-x+5-b=，
整理得：x2-（5-b）x+4=0，
Δ=（5-b）2-16=0，
∴5-b=±4，
∴b=9或1．
24.【答案】证明见解析过程 证明见解析过程 22
25.【答案】解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b,
将点（150，200），（160，180）代入上式得：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y=-2x+500；
（2）设进价是a元，
∵日销售纯利润=日销售量×（售价-进价）-每日固定成本，
∴8000=200×（150-a）-2000，
解得：a=100，
∴该商品每件的进价是100元．
由题意得：W=（-2x+500）（x-100）-2000=-2x2+700x-52000=-2（x-175）2+9250，
∵-2＜0，
∴x=175时，W有最大值，
答：商品每件的进价是100元，当每件的售价为175元时，日销售纯利润最大；
（3）每台紫外线灯的进价提高了m元，总利润为W′元，
由题意得：
W′=（-2x+500）（x-100-m）-2000-100=-2x2+（700+2m）x-（52100+500m），
∵-2＜0，
∴开口向下．
又∵函数的对称轴为，
∴当时，
W′随x的增大而增大，
而x≤170，
∴当x=170时，W′有最大值，
∴x=170时，W′=-2×1702+（700+2m）×170-（52100+500m）=7500，
解得m=10，
∴m的值为10．
26.【答案】 如图②，过点E作EF∥BC交CP的延长线于F，
∴∠F=∠BCP，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AED，
∴AD=AC，DE=BC，∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACD+∠BCP=90°，∠ADC+∠EDF=90°，
∴∠F=∠BCP=∠EDF，
∴DE=EF，
∴EF=BC，
在△EFP和△BCP中，
，
∴△EFP≌△BCP（AAS），
∴EP=BP，
∴点P是BE的中点 （2）中的结论仍然成立；理由如下：
如图③，过点E作直线GH⊥CA，交CA延长线于点H，交CP延长线于点G，
则∠H=90°，
∵∠ACB=90°，
∴GH∥BC，
∴∠G=∠BCG，
将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，
∠CAD=90°，AC=AD=2，
∴，
∵∠DAH=90°，
∴∠DAH=∠ADE=∠H=90°，
∴四边形ADEH是矩形，
∴∠DEH=90°，
∴∠DEG=90°，
∴∠GDE=90°-∠G=45°，
∴，
在△EGP和△BCP中，
，
∴△EGP≌△BCP（AAS），
∴CP=GP，BP=EP，
点P是BE的中点
27.【答案】解：（1）∵OB=OC=5，
∴B（5，0），C（0，5），
把B（5，0），C（0，5）代入抛物线解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；
（2）∵点P为抛物线第一象限上一点，设PE的长为t,
∴点P的坐标可表示为（t,-t2+4t+5），0＜t＜5，
∵抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，与x轴交于A、B两点，
∴把y=0代入解析式，得：-x2+4x+5=0，
解得：x=-1或x=5，
∴A（-1，0），
设直线AP解析式为y=kx+b,
把A（-1，0），（t,-t2+4t+5）代入，
得：，
得：，
∴直线AP解析式为y=（5-t）x+5-t,
又∵PA交y轴于点D，
∴D（0，5-t），OD=5-t,
∴CD=OC-OD=5-（5-t）=t,
∴；
（3）∵如下图，将CP绕点C顺时针旋转90°得到CM，连接MD、MP，BC交PE于N，
∴∠MCD+∠ECP=90°，CM=CP，
∠CPM=∠CMP=∠DHC=45°，
∴MP∥DF，
∵PE⊥y轴，
∴∠CEP=90°，∠CPE+∠ECP=90°，
∴∠MCD=∠CPE，
由（2）得：CD=PE=t,
在△MCD和△CPE中，
，
∴△MCD≌△CPE（SAS），
∴MD=CE，
∠MDC=∠CEP=90°，即MD⊥y轴于D，
∴MD∥PF，
∴四边形MDFP是平行四边形，
∴MD=PF，
∵OB=OC，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ONE=∠FNG=∠FGN=45°，
∴CE=MD=EN=PF，FN=FG，
∴PN+EN=PN+PF，即PE=FN，
∴PE=FG=t,
∵△PEG的面积为，
∴，
解得：（舍去），，
∴点P横坐标为，代入抛物线的解析式，
得：，
∴∠DHC=45°，△PEG的面积为，点P的坐标为．
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