2025-2026学年山东省青岛市市南区超银中学八年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省青岛市市南区超银中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面三组数中是勾股数的一组是（　　）
A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 1.5，2，2.5 D. 5，12，13
2.在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A. AB=15，BC=8，AC=17 B. AB：BC：AC=2：3：4
C. ∠A-∠B=∠C D. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
4.如图，直线AB∥CD，∠M=90°，∠MPA=36°，则∠MEC的度数是（　　）
A. 54°
B. 126°
C. 136°
D. 144°
5.一次函数y=ax+b和y=bx+a的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
6.下列语句中不是命题的是（　　）
A. 连接A，B两点 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短
7.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠CFE=2∠CFD'，设∠CFD'=x°，∠CFE=y°，根据题意可得（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 45°
9.如图，点A的坐标为（-1，0），直线y=x-2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y=x-2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）
A.
B. （1，-1）
C.
D. （0，-2）
10.甲、乙两人从A地分别驾车前往B地，A、B两地距离80km.甲因临时处理事务，比乙晚a小时出发，两人均匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离s（单位：km）与乙行驶时间t（单位：h）的关系如图所示，甲的行驶速度为（　　）
A. 30km/h
B. 40km/h
C. 45km/h
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.一组数据2，3，5，x,6的众数是3，则这组数据的中位数是 .
12.已知a＞3，化简a的结果为 .
13.如图，一次函数y=2x-1和y=kx+b的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是 .
14.已知在平面直角坐标系中A（-2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ______．
15.如图，△ABC中，点D，E分别在BC，AC边上，E是AC的中点，BC=3BD，BE与AD相交于F，S△ABD=4，则△BCE的面积为 .
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题10分)
解下列方程组：
（1）
（2）
18.(本小题10分)
如图，AB是∠CAD的平分线，AC=AD，求证：∠C=∠D.
19.(本小题10分)
我市某地盛产优质香菇和大米，为帮助农户打开销路，某超市购进香菇和大米帮助该地销售，相关信息如下表：
商品 规格 批发价（元/袋） 销售价（元/袋）
香菇 1kg/袋 a 55
大米 10kg/袋 b 不超过500袋的部分 超过500袋的部分
55 50
已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元.
（1）求a与b的值；
（2）该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不超过600袋，设销售香菇x袋（x为整数），总获利为y元，求y的最大值；
（3）该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取2m元和m（m＞0）元作为爱心基金用于资助该地区贫困生.因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得总利润为13250元，若t的值不大于1，求m的最大值.
20.(本小题10分)
某村有两条笔直公路MN和PQ相交于点O，∠MOP=30°，在公路MN路边有学校A，与点O距离OA长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路PQ上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路PQ上匀速行驶．
（1）学校A到公路PQ的最短距离是多少米？
（2）请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由；
（3）如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB.
（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由.
22.(本小题10分)
已知直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，1）.
（1）求∠BAC的度数；
（2）如图，连接AB、AC、BC，点E在直线AC上运动，若△ABC和△ABE相似，求点E的坐标；
（3）点E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△AEF面积最大时，求出面积的最大值及此时点F的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】3
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】（0，0），（，0），（-2，0）
15.【答案】6
16.【答案】-16
17.【答案】（1），
由①，得x=4+y③，
代入②，得4（4+y）+2y=-1，
所以y=-，
把y=-代入③，得x=4-=．
所以原方程组的解为．
（2）原方程组整理为，
①×2-②×3，得y=-24，
把y=-24代入②，得x=60，
所以原方程组的解为．
18.【答案】证明：∵AB是∠CAD的平分线，
∴∠CAB=∠DAB，
∴在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴∠C=∠D．
19.【答案】a=40，b=38 16000 2.5
20.【答案】解：（1）如图，过点A作AC⊥PQ于C，则AC即为最短距离，
∵∠AOC=∠MOP．∠MOP=30°，
∴∠AOC=30°，
在Rt△AOC中，AC=，
又OA=1200米，
∴AC=600米，
即学校A到公路PQ的最短距离是600米；
（2）能，理由如下：
∵AC=600米＜1000米，
∴学校能被宣传声音影响到；
（3）如图，影响路段为BB'，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
又∵AC=600米，AB=1000米，
∴BC=（米）
又AB=AB'，AC⊥BB'，
∴BB'=2BC=1600米，
∵宣讲车的速度是400米/分钟，
∴学校总共能影响时间=1600÷400=4（分钟），
21.【答案】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=180°-60°=120°；
（2）DE=AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM=AD，连接AM，
∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°．
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME．
∵DE=DM+ME，
∴DE=AD+CD．
22.【答案】解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
当y=0时，x=4，
∴A（4，0），
∴AB=，AC=4，BC=，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°；
（2）设E（t,-t+4），
∴AE=|4-t|，
当∠EBA=∠ACB时，△ABC∽△BEA，
∴==，
∴=，
解得t=或t=，
∴E（，）或（，-）；
当∠BEA=∠BCA时，C点与E点关于A点对称，
∴E（8，-4）；
综上所述：E点坐标为（，）或（，-）或（8，-4）；
（3）设经过A、E、O三点的圆的圆心为M，
∵M点在OA的垂直平分线上，
∴M点横坐标为2，
设M（2，m），E（t,-t+4），
∴AM=ME，
∴4+m2=（t-2）2+（m+t-4）2，
整理得m=2-t,
∵F点与E点关于M点对称，
∴F（4-t,-t），
∴AE=（4-t），AF=t,
∴S=×t×（4-t）=-t2+4t=-（t-2）2+4，
当t=2时，△AEF的面积有最大值为4，此时F（2，-2）．
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