2025-2026学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 158.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
2.下列计算正确的是（ ）
A. a3+a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. （-a）2=a2 D. =a
3.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为-2和3，则（ ）
A. b=1，c=-6 B. b=-1，c=-6 C. b=5，c=-6 D. b=-1，c=6
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE=2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A. 10
B. 14
C. 16
D. 20
5.如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A. -=5 B. -=5 C. -=5 D.
7.若三个点（-3，y1）（-1，y2），（2，y3）在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
8.如图，在中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （-2，1） B. （2，-1）
C. （-8，4）或（8，-4） D. （-2，1）或（2，-1）
10.如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A.
B. 4π
C.
D. 16π
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y=中自变量x的取值范围是______．
12.分解因式：4x2-y2= ．
13.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则这四名同学中成绩最稳定的是 .
14.一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=6，BC=8，则CD的长为 .
16.如图，点A、D分别在函数y=、y=的图象上，点B、C在x轴上.若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2=4OD OP；
（3）若BC=6，tan∠F=，求AC的长．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？
21.(本小题8分)
“基础学科拔尖学生培养实验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ______ ；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 ______ 人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE=2，∠BAD=120°，求AE的长.
23.(本小题8分)
卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品.已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同.
（1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？
（2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？
24.(本小题8分)
我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m,则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数.请根据该约定，解答下列问题：
（1）求正比例函数y=-2x与二次函数y=x2-8的定积系数m；
（2）若点（a,b）在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数y=x+5为关于m=4的“定积函数”，当a≠-2时，求代数式的值；
（3）若一次函数y1=2x-2与二次函数y2=x2-4x+n（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为x1和x2，且x1，x2满足.
①求m的值；
②如图，已知O为坐标原点，若M为函数y2的图象上位于第四象限的一个动点，连接OM、OA、AM，且OM交AB于点C，过点M作MN∥OA交AB于点N，记△OAC，△ACM，△MCN的面积依次为S1，S2，S3，求的取值范围.
25.(本小题8分)
图，点C在以AB为直径的半圆O上运动（点C不与A，B重合），CD⊥AB，
（1）求证：∠BCD=∠A；
（2）若BC2=AC AB，求的值；
（3）点P是线段BD上一动点（不与点B，D重合），过点P作弦BC的垂线，交BC于点M，交CD的延长线于点N，点G是线段BC的中点，若BC=2，GM2=x,，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x≥5
12.【答案】（2x+y）（2x-y）
13.【答案】丁
14.【答案】15π
15.【答案】3
16.【答案】（2，3）
17.【答案】解：（1）连接OB
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°
∵OA=OB，BA⊥PO于D
∴AD=BD，∠POA=∠POB
又∵PO=PO
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°
∴∠OAD=∠OPA
∴△OAD∽△OPA
∴=
∴OA2=OD OP
又∵EF=2OA
∴EF2=4OD OP；
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6
∴OD=BC=3
设AD=x
∵tan∠F=
∴FD=2x，OA=OF=2x-3
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）
∴AD=4，OA=2x-3=5
∵AC是⊙O的直径
∴AC=2OA=10．
∴AC的长为10．
18.【答案】解：原式=
=
=4+1
=5．
19.【答案】解：原式=
=
=
=-a-1，
当时，原式==．
20.【答案】30° 海警船继续向正东方向航行安全
21.【答案】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%=50（人），
其中选择B的学生有：50-10-14-2-8=16（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）14.4° ， 200；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为=．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO=FO，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴BE=FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD=BC，AF=BE，
∴DF=CE=2，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴菱形ABEF的周长为：24-4=20，
∴AB=20÷4=5，
∵∠BAD=120°，
∴，
又 AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=5．
23.【答案】购买一件A种器材需要50元，购买一件B种器材需要100元 6700元
24.【答案】m=-8 ①m=-3；②
25.【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A；
（2）解：设BD=b,AD=a,则，
∵∠ABC=∠CB——∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BD AB=BC2，
∵AC AB=BC2，
∴AC=BD=b,
∴BC2=AB2-AC2=（a+b）2-b2，
又∵BC2=AC AB=b（a+b），
∴（a+b）2-b2=b（a+b），
∴（a+b）2-b2=b（a+b），
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴的值为；
（3）解：设∠B=α，
∵CD⊥AB，PM⊥BC，
∴∠PDN=∠CDB=∠BMP=∠CMN=90°，
又∵∠DPN=∠MPB，
∴∠N=∠B=α，
∵GM2=x,点G是线段BC的中点，若BC=2，
∴，，
∴，，
在Rt△BMP中，，，
在Rt△CBD中，CD=BC sin∠B=2sinα，BD=BC cos∠B=2cosα，
在Rt△CMN中，，，
∴
=
=
=
=
=1-x,
即y=1-x,
∵P是线段BD上一动点（不与点B，D重合）且PM⊥BC，
∴当点M与点G重合时，GM取得最小值0，此时x=0，
∴自变量x的取值范围为0≤x＜1，
综上所述，y关于x的函数解析式为y=1-x（0≤x＜1）．
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
2.下列计算正确的是（ ）
A. a3+a3=a6 B. a6÷a3=a2 C. （-a）2=a2 D. =a
3.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为-2和3，则（ ）
A. b=1，c=-6 B. b=-1，c=-6 C. b=5，c=-6 D. b=-1，c=6
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE=2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A. 10
B. 14
C. 16
D. 20
5.如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A=35°，则∠C的度数是（ ）
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
6.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（ ）
A. -=5 B. -=5 C. -=5 D.
7.若三个点（-3，y1）（-1，y2），（2，y3）在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
8.如图，在中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.在平面直角坐标系中，已知点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （-2，1） B. （2，-1）
C. （-8，4）或（8，-4） D. （-2，1）或（2，-1）
10.如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A.
B. 4π
C.
D. 16π
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y=中自变量x的取值范围是______．
12.分解因式：4x2-y2= ．
13.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则这四名同学中成绩最稳定的是 .
14.一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______．
15.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=6，BC=8，则CD的长为 .
16.如图，点A、D分别在函数y=、y=的图象上，点B、C在x轴上.若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）求证：EF2=4OD OP；
（3）若BC=6，tan∠F=，求AC的长．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？
21.(本小题8分)
“基础学科拔尖学生培养实验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才.已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学.某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图.
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 ______ ；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 ______ 人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率.
22.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF，连接BF，点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为24，CE=2，∠BAD=120°，求AE的长.
23.(本小题8分)
卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品.已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同.
（1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？
（2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？
24.(本小题8分)
我们约定：在同一平面直角坐标系中，若关于x的两个函数的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之积为非零常数m,则称这两个函数为关于m的“定积函数”，m称为定积系数.请根据该约定，解答下列问题：
（1）求正比例函数y=-2x与二次函数y=x2-8的定积系数m；
（2）若点（a,b）在反比例函数（k为非零常数）的图象上，且该函数与一次函数y=x+5为关于m=4的“定积函数”，当a≠-2时，求代数式的值；
（3）若一次函数y1=2x-2与二次函数y2=x2-4x+n（n为常数）为关于m的“定积函数”，且这两个函数交于A，B两点（A在B的左侧），A，B两点的横坐标分别为x1和x2，且x1，x2满足.
①求m的值；
②如图，已知O为坐标原点，若M为函数y2的图象上位于第四象限的一个动点，连接OM、OA、AM，且OM交AB于点C，过点M作MN∥OA交AB于点N，记△OAC，△ACM，△MCN的面积依次为S1，S2，S3，求的取值范围.
25.(本小题8分)
图，点C在以AB为直径的半圆O上运动（点C不与A，B重合），CD⊥AB，
（1）求证：∠BCD=∠A；
（2）若BC2=AC AB，求的值；
（3）点P是线段BD上一动点（不与点B，D重合），过点P作弦BC的垂线，交BC于点M，交CD的延长线于点N，点G是线段BC的中点，若BC=2，GM2=x,，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x≥5
12.【答案】（2x+y）（2x-y）
13.【答案】丁
14.【答案】15π
15.【答案】3
16.【答案】（2，3）
17.【答案】解：（1）连接OB
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°
∵OA=OB，BA⊥PO于D
∴AD=BD，∠POA=∠POB
又∵PO=PO
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴∠PAO=∠PBO=90°
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°
∴∠OAD=∠OPA
∴△OAD∽△OPA
∴=
∴OA2=OD OP
又∵EF=2OA
∴EF2=4OD OP；
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6
∴OD=BC=3
设AD=x
∵tan∠F=
∴FD=2x，OA=OF=2x-3
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
（2x-3）2=x2+32
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）
∴AD=4，OA=2x-3=5
∵AC是⊙O的直径
∴AC=2OA=10．
∴AC的长为10．
18.【答案】解：原式=
=
=4+1
=5．
19.【答案】解：原式=
=
=
=-a-1，
当时，原式==．
20.【答案】30° 海警船继续向正东方向航行安全
21.【答案】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%=50（人），
其中选择B的学生有：50-10-14-2-8=16（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）14.4° ， 200；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为=．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA，
∵O为BF的中点，
∴BO=FO，
在△AOF和△EOB中，
，
∴△AOF≌△EOB（AAS），
∴BE=FA，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵AD=BC，AF=BE，
∴DF=CE=2，
∵平行四边形ABCD的周长为24，
∴菱形ABEF的周长为：24-4=20，
∴AB=20÷4=5，
∵∠BAD=120°，
∴，
又 AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=5．
23.【答案】购买一件A种器材需要50元，购买一件B种器材需要100元 6700元
24.【答案】m=-8 ①m=-3；②
25.【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A；
（2）解：设BD=b,AD=a,则，
∵∠ABC=∠CB——∠ACB=∠CDB=90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BD AB=BC2，
∵AC AB=BC2，
∴AC=BD=b,
∴BC2=AB2-AC2=（a+b）2-b2，
又∵BC2=AC AB=b（a+b），
∴（a+b）2-b2=b（a+b），
∴（a+b）2-b2=b（a+b），
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴的值为；
（3）解：设∠B=α，
∵CD⊥AB，PM⊥BC，
∴∠PDN=∠CDB=∠BMP=∠CMN=90°，
又∵∠DPN=∠MPB，
∴∠N=∠B=α，
∵GM2=x,点G是线段BC的中点，若BC=2，
∴，，
∴，，
在Rt△BMP中，，，
在Rt△CBD中，CD=BC sin∠B=2sinα，BD=BC cos∠B=2cosα，
在Rt△CMN中，，，
∴
=
=
=
=
=1-x,
即y=1-x,
∵P是线段BD上一动点（不与点B，D重合）且PM⊥BC，
∴当点M与点G重合时，GM取得最小值0，此时x=0，
∴自变量x的取值范围为0≤x＜1，
综上所述，y关于x的函数解析式为y=1-x（0≤x＜1）．
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