2025-2026学年湖南省衡阳十四中等校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

2025-2026学年湖南省衡阳十四中等校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列成语所描述的事件为随机事件的是（　　）
A. 张冠李戴 B. 水中捞月 C. 瓮中捉鳖 D. 拔苗助长
2.下面计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=8cm，d=12cm，则a=（　　）
A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
4.方程2x2+15x-9=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.已知=，则的值为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=2，AE=3，则EC的长为（　　）
A.
B. 1
C. 2
D.
7.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）
A. =
B. =
C. =
D. =
8.把抛物线y=-4x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线为（　　）
A. y=-4（x+3）2-2 B. y=-4（x+3）2+2 C. y=-4（x-3）2-2 D. y=-4（x-3）2+2
9.下列关于二次函数y=4（x-3）2-5的说法，正确的是（　　）
A. 对称轴是直线x=-3 B. 当x=3时有最小值-5
C. 顶点坐标是（3，5） D. 当x＞3时，y随x的增大而减少
10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2=PH PC；④△PFD∽△HPB.其中正确的是（　　）
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使在实数范围内有意义的x应满足的条件是 ．
12.= .
13.已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为 .
14.从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是______．
15.已知二次函数y=3x2+2x+a与x轴没有交点，则a的取值范围是 .
16.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC.交DE于点F，AB=8，BC=6，则EF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算或解方程：
（1）；
（2）x2-3x=0.
18.(本小题9分)
一个不透明的布袋里装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同.
（1）摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）.
（2）现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值.
19.(本小题9分)
如图，D是△ABC的边AB上的一点，∠A=∠BCD.
（1）△BCD与△BAC相似吗？请说明理由.
（2）若，AB=3，求BC的长.
20.(本小题9分)
一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21.(本小题9分)
如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24m,求乙楼CD的高.
22.(本小题9分)
某商户试销一种成本50元/千克的肉制品，规定试销时的销售价不低于成本，又不高于80元/千克，试销中销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系是一次函数（如图所示）.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）设商户获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为S（元），销售单价定为多少时，该商户获利最大？最大利润是多少？
23.(本小题9分)
（1）问题背景：如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
（2）拓展应用：如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，点D在BC边上，AC与DE相交于点F，且=，求的值．
24.(本小题9分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线上存在一点Q，使S△QBC=S△OBC，求出点Q的坐标.
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线AC于点F，抛物线上是否存在点P，使得∠PEC+∠ACE=45°？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≥1
12.【答案】
13.【答案】45°
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】1
17.【答案】2 x1=0，x2=3
18.【答案】解：（1）根据题意画图如下：
∵共有6种情况，两次摸出的球恰好颜色相同的有2种情况，
∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：=；
（2）由题意得：=，
解得：n=4，
经检验，n=4是方程的解，且符合题意，
即n的值为4．
19.【答案】△BCD与△BAC相似；理由如下：
∵∠B=∠B，∠A=∠BCD，
∴△BCD∽△BAC，
故△BCD与△BAC相似 BC=2
20.【答案】解：(1)26.
(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.
根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得-30x+200=0,
解得=10,=20.
要求每件盈利不少于25元,x=10.
答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.

21.【答案】解：如图，过A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=24m,
∵在Rt△AED中，AE===8（m），
∴在Rt△ACE中，CE=AE tanα=8×=8（m），
∴CD=DE+CE=24+8=32（m）．
答：乙楼CD的高为32m.
22.【答案】y=-x+100 当销售价是75元时，利润最大，最大利润是625元
23.【答案】（1）问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
（2）尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴，
∴=3．
∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴=3．
24.【答案】y=-x2+2x+3 Q点坐标为或 抛物线上存在点P，使得∠PEC+∠ACE=45°；点P坐标为（1，4）或
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