2025-2026学年广东省惠州市惠城区合生实验学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省惠州市惠城区合生实验学校九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 236.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省惠州市惠城区合生实验学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）
A. 0.944×107 B. 9.44×106 C. 9.44×107 D. 94.4×106
3.下列运算正确的是（ ）
A. 2m+n=2mn B. m6÷m2=m3 C. （-mn）2=-m2n2 D. m2 m3=m5
4.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
6.若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（ ）
A. 15 B. 12或21 C. 15或18 D. 21
7.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（ ）
A. DE∥BC
B. △ADE∽△ABC
C. BC=2DE
D. S△ADE=S△ABC
8.如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
9.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解为 .
12.分解因式：a2-ab= ．
13.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的k的值：______.
14.若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 .
15.如图，菱形ABCD的面积为12，点E是AB的中点，点F是BC上一点.若△BEF的面积为2，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：（1+） ，请为m选择一个合适的数代入求值.
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.
19.(本小题9分)
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图.
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
20.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD=CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E.
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD=3，AD=6，求AE的长.
21.(本小题9分)
背景 【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车.
素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m,每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m,且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
22.(本小题13分)
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=3，OC=6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE.
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k= ______；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值.
23.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧.设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）.
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）.
（2）当点E与点C重合时，求t的值.
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x=3
12.【答案】a(a-b）
13.【答案】0 | （答案不唯一）
14.【答案】c＞
15.【答案】5
16.【答案】1．
17.【答案】解：原式=（+）
=
=m+2，
∵m-2≠0，m≠0，
∴m≠2和0，
当m=1时，原式=1+2=3（答案不唯一）．
18.【答案】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=CD，
∵CD为⊙D的半径，
∴DE也为⊙D的半径，
∵DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切．
19.【答案】解：（1）69；69；70；
（2）=82（分），
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
20.【答案】（1）证明：连接OA，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO=90°，
∵AD=CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBA=90°，
∵∠EAB+∠OAB=∠EAO=90°，
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO=90°，
∴AD2+OD2=OA2，
∵BD=3，AD=6，
∴OD=OB-3=OA-3，
∴62+（OA-3）2=OA2，
解得OA=，
∴OD=-3=，
∴tan∠AOE====，
∴AE=OA=×=10，
∴AE的长为10．
21.【答案】解：任务1：
根据题意得：L=0.2（n-1）+1=0.2n+0.8，
∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L=0.2n+0.8；
任务2：
当L=2.6时，0.2n+0.8=2.6，
解得n=9，
2×9=18（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：
设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，
∵100÷24=4，
根据题意得：，
解得m≥，
∵m为正整数，且m≤5，
∴m=2，3，4，5，
∴共有4种运输方案．
22.【答案】（1）①4；
②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，
∵k=4，
∴反比例函数的解析式是：y=（x＞0），
∵OA=3，
即点D的纵坐标是3，
令y==3，
解得：x=，
∴D（，3），
同理，当x=6时，y=，
∴E（6，），
∴AD=，BD=AB-AD=6-=，CE=，BE=BC-CE=3-，
∴S△ODE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE-S△BDE=OA OC-；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=OA=3，
∵OA=3，即点D的纵坐标是3，
令y=，
得：x=，
∴D（，3），
同理可得，当x=6时，y=，
∴E（6，），
∴AD=，BD=AB-AD=6-，CE=，BE=BC-CE=3-，
由折叠的性质可知：DF=BD=6-，FE=BE=3-，∠DFE=∠B=90°，
∴∠DFG+∠CFE=90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF=90°，
∴∠CFE=∠GDF，
∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°，
∴△CFE∽△GDF，
∴，
即，
∴GF=，
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2=DF2，
∴，
解得：k=，
即k的值为．
23.【答案】解：（1）如图，过Q作QH⊥AP于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD=∠QPA，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠QPA，
∴QA=QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH=AP=，
∵∠CAD=30°，
∴AQ==t,
故△APQ是等腰三角形，AQ=t.
（2）如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE=QP，
由（1）得QA=QP，
∴AE=2AQ，即2t=3，
∴t=．
（3）①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ=30°，
∴PG=AP=t,
∵△PQE是等边三角形，
∴QE=PQ=AQ=t,
∴S=QE PG=．
由（2）知当点EC重合时，t=，
∴S=（0＜t≤）．
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE=2t-3，∠E=60°，
∴CF=CE tan60°=（2t-3），
∴S△FCE=（2t-3） （2t-3）=（2t-3）2，
∴S=S△PQE-S△FCE=-（2t-3）2=-t2+6t-（＜t＜2）．
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S=CQ CP=（t-1） （t-1）=（t-1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，S=．
第1页，共1页
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）
A. 0.944×107 B. 9.44×106 C. 9.44×107 D. 94.4×106
3.下列运算正确的是（ ）
A. 2m+n=2mn B. m6÷m2=m3 C. （-mn）2=-m2n2 D. m2 m3=m5
4.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
6.若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（ ）
A. 15 B. 12或21 C. 15或18 D. 21
7.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点.下列结论中，错误的是（ ）
A. DE∥BC
B. △ADE∽△ABC
C. BC=2DE
D. S△ADE=S△ABC
8.如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
9.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解为 .
12.分解因式：a2-ab= ．
13.已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的k的值：______.
14.若抛物线y=x2-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 .
15.如图，菱形ABCD的面积为12，点E是AB的中点，点F是BC上一点.若△BEF的面积为2，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：（1+） ，请为m选择一个合适的数代入求值.
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90°.
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB与⊙D相切.
19.(本小题9分)
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图.
选手 测试成绩/分 总评成绩/分
采访 写作 摄影
小悦 83 72 80 78
小涵 86 84 ▲ ▲
（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
20.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，AC（不是直径）与OB相交于点D，且AD=CD，过点A作⊙O的切线交OB的延长线于点E.
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若BD=3，AD=6，求AE的长.
21.(本小题9分)
背景 【缤纷618，优惠送大家】
今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”.深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车.
素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长1m,每增加一辆购物车，车身增加0.2m.
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为2.6m,且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
22.(本小题13分)
如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=3，OC=6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE.
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k= ______；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值.
23.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD是△ABC的角平分线.动点P从点A出发，以的速度沿折线AD-DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB，交AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧.设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）.
（1）当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）.
（2）当点E与点C重合时，求t的值.
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x=3
12.【答案】a(a-b）
13.【答案】0 | （答案不唯一）
14.【答案】c＞
15.【答案】5
16.【答案】1．
17.【答案】解：原式=（+）
=
=m+2，
∵m-2≠0，m≠0，
∴m≠2和0，
当m=1时，原式=1+2=3（答案不唯一）．
18.【答案】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴DE=CD，
∵CD为⊙D的半径，
∴DE也为⊙D的半径，
∵DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切．
19.【答案】解：（1）69；69；70；
（2）=82（分），
答：小涵的总评成绩为82分；
（3）不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
20.【答案】（1）证明：连接OA，则OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵AE与⊙O相切于点A，
∴AE⊥OA，
∴∠EAO=90°，
∵AD=CD，
∴OB⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠OBA=90°，
∵∠EAB+∠OAB=∠EAO=90°，
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分∠DAE．
（2）解：∵∠ADO=90°，
∴AD2+OD2=OA2，
∵BD=3，AD=6，
∴OD=OB-3=OA-3，
∴62+（OA-3）2=OA2，
解得OA=，
∴OD=-3=，
∴tan∠AOE====，
∴AE=OA=×=10，
∴AE的长为10．
21.【答案】解：任务1：
根据题意得：L=0.2（n-1）+1=0.2n+0.8，
∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L=0.2n+0.8；
任务2：
当L=2.6时，0.2n+0.8=2.6，
解得n=9，
2×9=18（辆），
答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：
设用扶手电梯运输m次，直立电梯运输n次，
∵100÷24=4，
根据题意得：，
解得m≥，
∵m为正整数，且m≤5，
∴m=2，3，4，5，
∴共有4种运输方案．
22.【答案】（1）①4；
②在矩形OABC中，OA=BC=3，OC=AB=6，
∵k=4，
∴反比例函数的解析式是：y=（x＞0），
∵OA=3，
即点D的纵坐标是3，
令y==3，
解得：x=，
∴D（，3），
同理，当x=6时，y=，
∴E（6，），
∴AD=，BD=AB-AD=6-=，CE=，BE=BC-CE=3-，
∴S△ODE=S矩形OABC-S△OAD-S△OCE-S△BDE=OA OC-；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG=OA=3，
∵OA=3，即点D的纵坐标是3，
令y=，
得：x=，
∴D（，3），
同理可得，当x=6时，y=，
∴E（6，），
∴AD=，BD=AB-AD=6-，CE=，BE=BC-CE=3-，
由折叠的性质可知：DF=BD=6-，FE=BE=3-，∠DFE=∠B=90°，
∴∠DFG+∠CFE=90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF=90°，
∴∠CFE=∠GDF，
∵∠CFE=∠GDF，∠FCE=∠DGF=90°，
∴△CFE∽△GDF，
∴，
即，
∴GF=，
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2=DF2，
∴，
解得：k=，
即k的值为．
23.【答案】解：（1）如图，过Q作QH⊥AP于点H，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD=∠QPA，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠QPA，
∴QA=QP，
∴△APQ是等腰三角形．
∵QH⊥AP，
∴AH=AP=，
∵∠CAD=30°，
∴AQ==t,
故△APQ是等腰三角形，AQ=t.
（2）如图所示，E、C重合时图形．
∵△PQE是等边三角形，
∴QE=QP，
由（1）得QA=QP，
∴AE=2AQ，即2t=3，
∴t=．
（3）①当点P在AD上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形PQE，如图作PG⊥QE于点G，
∵∠PAQ=30°，
∴PG=AP=t,
∵△PQE是等边三角形，
∴QE=PQ=AQ=t,
∴S=QE PG=．
由（2）知当点EC重合时，t=，
∴S=（0＜t≤）．
②当点P在AD上，点E在AC延长线上时，重合部分是四边形PQCF．
在Rt△FCE中，CE=2t-3，∠E=60°，
∴CF=CE tan60°=（2t-3），
∴S△FCE=（2t-3） （2t-3）=（2t-3）2，
∴S=S△PQE-S△FCE=-（2t-3）2=-t2+6t-（＜t＜2）．
③当点P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，
S=CQ CP=（t-1） （t-1）=（t-1）2，（2≤t≤4）．
综上所述，S=．
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