2025-2026学年福建省泉州市石狮市锦峰实验学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年福建省泉州市石狮市锦峰实验学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年福建省泉州市石狮市锦峰实验学校九年级（下）质检数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列事件为随机事件的是（ ）
A. 胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 B. 自然状态下的水从低处向高处流
C. 明天太阳从东方升起 D. 地球绕太阳转
3.下列计算正确的是（ ）
A. ÷=4 B. -= C. 2+=2 D. ×=
4.用配方法解方程x2-10x-11=0，配方后可得（ ）
A. （x+5）2=36 B. （x-5）2=36 C. （x-5）2=25 D. （x+5）2=25
5.若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
6.如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF=2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG=1，则AG的长为（ ）
A. 2
B.
C. 3
D. 4
7.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面为AC，地面为BC，且BC：AC=4：5，则坡面AC的长度为（ ）m.
A. 8
B.
C. 10
D.
8.某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x（x≥120）元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（ ）
A. （-1.4，-1.4）
B. （1.4，1.4）
C.
D.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=+2，AD=.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处.再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ ED′′ ，使得EA′恰好经过BD′的中点F.设A′D′′ 交AB于点G.连接AA′，有如下结论：①α=75°；②A′F的长度是-2；③∠A′AF=7.5°；④△AA′F ∽ △EGF .上述结论中，正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知-2＜x＜3，化简：= .
12.某校为了解学生利用学校智慧教育平台辅助学习的情况，随机调查了100名学生，结果显示仅有3名学生从未使用过学校智慧教育平台辅助学习.已知该校共有2000名学生，则该校全体学生中从未使用过学校智慧教育平台辅助学习的学生估计共有 名.
13.已知m是方程x2-16x+60=0的一个根，则代数式3m2-48m+2022的值是 .
14.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则共有______支球队参赛．
15.如图，Rt△OAB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数y=（x＞0）与y=-（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 .
16.如图，在等边△ABC中，AC=6，M是BC上一点，且，连接AM，以AM为腰向右作等腰△AMN，∠MAN=120°，连接CN，取CN的中点D，连接AD，则AD的长是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：÷-×+2cos30°.
18.(本小题9分)
解方程：2（x-1）2=x-1.
19.(本小题9分)
设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时，求m的值；
（2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0.
20.(本小题9分)
小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球.若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件.
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果；
（2）求出小明同学获得篮球的概率.
21.(本小题9分)
小明用一条长为40cm的绳子围成一个矩形.
（1）当围成矩形面积是64cm2，求该矩形的长与宽；
（2）能围成面积是150cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.
22.(本小题9分)
小宏在学习相似三角形时，提出问题：三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边是否对应成比例？为了解决问题，他展开了以下探究.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的角平分线BM交AC于点D，在射线BM上取一点E，使得AE=AB，连接AE（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）.
（2）求证：.
证明：∵BM平分∠ABC，
∴①______，
又∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE∥BC，
∴△AED∽△CBD，
∴，
又∵AE=AB，
∴②______，
依据上述证明，小宏可以得出结论：③______.
23.(本小题9分)
材料阅读：
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为.
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q.测得∠NOQ=37°，CQ=6cm,若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的度数；
（2）求NQ的长（参考数据：，，）.
24.(本小题9分)
探究与应用
【知识定义】密码学是数学的重要应用之一.在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数.现在，这样定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根均为正整数，且满足a+b+c=0，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”.
【知识理解】例如：对于方程x2-13x+12=0，两根x1=1和x2=12均为正整数，且满足1+（-13）+12=0，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程x2-5x+6=0，由于1+（-5）+6=2≠0，所以此方程不是“密码方程”；对于方程2x2-5x+3=0，两个根分别为x1=1，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”.
【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题：
（1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”；
①x2-x=0；
②x2-8x+7=0.
（2）已知方程x2+mx+n=0是“密码方程”，“密码数”是31，求m和n的值；
（3）在（2）的情况下，方程x2+mx+n=0的“密码数”刚好是另一个“密码方程”2x2+px+q=0的根，求p和q的值.
25.(本小题14分)
在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在AB的延长线上，∠BAC=∠AED=90°，AB=AE=2.若将△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°），此时线段AD，射线AE分别与射线BC交于点M，N.
（1）当△ADE旋转到如图2所示的位置时，
①求证：△ABN∽△MAN；
②在图2中除△ABN∽△MAN外还有哪些相似三角形，直接写出；
③如图2，若BM=1，求BN的长.
（2）在旋转过程中，若BM=d,请直接写出CN的长______（用含d的式子表示）.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】5
12.【答案】60
13.【答案】1842
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】0．
18.【答案】解：方程变形得：2（x-1）2-（x-1）=0，
分解因式得：（x-1）（2x-2-1）=0，
（x-1）（2x-3）=0，
可得x-1=0或2x-3=0，
解得：x1=1，x2=．
19.【答案】 证明：方程（x-1）（x-2）=m2可化为x2-3x+2-m2=0．
∵x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根，
∴x1+x2=3，．
∴．
∵m2≥0，
∴-m2≤0，即（x1-1）（x2-1）≤0
20.【答案】列表如下：
红 红 黄 黄
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
共有12种等可能的结果.
21.【答案】该矩形的长为16cm，宽为4cm；
不能围成一个面积是150cm2的矩形，理由见解析．
22.【答案】见解析 ∠ ABE=∠CBD;=;角平分线将对边分成的两条线段与两邻边对应成比例
23.【答案】∠POM的度数为53° NQ的长为
24.【答案】①不是，理由：
解x2-x=0得x1=1，x2=0，0不是正整数，故x2-x=0不是“密码方程”；
②是，密码数是71；理由：
解x2-8x+7=0得x1=1，x2=7，两根均为正整数．
又∵1-8+7=0，
∴x2-8x+7=0是“密码方程”，密码数是71；
；
25.【答案】（1）①证明：∵∠ABN=∠MAN=45°，∠ANB=∠MNA，
∴△ABN∽△MAN；
②解：△ABF∽△ADE，
∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠D=∠DAE=45°，AD=AE=4，
∴△ABF∽△ADE，
③解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
则BC==4，
∴CM=BC=BM=3，
∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+∠BAM，∠BAN=∠MAN+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠AMC=∠BAN，
∵∠B=∠C，
∴△ABN∽△MCA，
∴=，即=，
解得：BN=；
（2）或．
第1页，共1页
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列事件为随机事件的是（ ）
A. 胡老师打开微信时恰好有一条未读信息 B. 自然状态下的水从低处向高处流
C. 明天太阳从东方升起 D. 地球绕太阳转
3.下列计算正确的是（ ）
A. ÷=4 B. -= C. 2+=2 D. ×=
4.用配方法解方程x2-10x-11=0，配方后可得（ ）
A. （x+5）2=36 B. （x-5）2=36 C. （x-5）2=25 D. （x+5）2=25
5.若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
6.如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF=2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG=1，则AG的长为（ ）
A. 2
B.
C. 3
D. 4
7.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面为AC，地面为BC，且BC：AC=4：5，则坡面AC的长度为（ ）m.
A. 8
B.
C. 10
D.
8.某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x（x≥120）元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（ ）
A. （-1.4，-1.4）
B. （1.4，1.4）
C.
D.
10.如图，在矩形ABCD中，AB=+2，AD=.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处.再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ ED′′ ，使得EA′恰好经过BD′的中点F.设A′D′′ 交AB于点G.连接AA′，有如下结论：①α=75°；②A′F的长度是-2；③∠A′AF=7.5°；④△AA′F ∽ △EGF .上述结论中，正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知-2＜x＜3，化简：= .
12.某校为了解学生利用学校智慧教育平台辅助学习的情况，随机调查了100名学生，结果显示仅有3名学生从未使用过学校智慧教育平台辅助学习.已知该校共有2000名学生，则该校全体学生中从未使用过学校智慧教育平台辅助学习的学生估计共有 名.
13.已知m是方程x2-16x+60=0的一个根，则代数式3m2-48m+2022的值是 .
14.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则共有______支球队参赛．
15.如图，Rt△OAB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数y=（x＞0）与y=-（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 .
16.如图，在等边△ABC中，AC=6，M是BC上一点，且，连接AM，以AM为腰向右作等腰△AMN，∠MAN=120°，连接CN，取CN的中点D，连接AD，则AD的长是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：÷-×+2cos30°.
18.(本小题9分)
解方程：2（x-1）2=x-1.
19.(本小题9分)
设x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.
（1）当x1=-1时，求m的值；
（2）求证：（x1-1）（x2-1）≤0.
20.(本小题9分)
小明参加浙江省城市篮球联赛（浙BA）丽水赛区赛后粉丝抽奖活动，活动规则如下：抽奖箱中有2个红球和2个黄球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再摸出一个球.若两次摸出的球颜色相同，则奖励篮球一个；若两次摸出的球颜色不同，则奖励球衣一件.
（1）用适当的方法列举摸球所有可能的结果；
（2）求出小明同学获得篮球的概率.
21.(本小题9分)
小明用一条长为40cm的绳子围成一个矩形.
（1）当围成矩形面积是64cm2，求该矩形的长与宽；
（2）能围成面积是150cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由.
22.(本小题9分)
小宏在学习相似三角形时，提出问题：三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成的两条线段与这个角的两边是否对应成比例？为了解决问题，他展开了以下探究.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABC的角平分线BM交AC于点D，在射线BM上取一点E，使得AE=AB，连接AE（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）.
（2）求证：.
证明：∵BM平分∠ABC，
∴①______，
又∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE∥BC，
∴△AED∽△CBD，
∴，
又∵AE=AB，
∴②______，
依据上述证明，小宏可以得出结论：③______.
23.(本小题9分)
材料阅读：
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为.
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q.测得∠NOQ=37°，CQ=6cm,若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的度数；
（2）求NQ的长（参考数据：，，）.
24.(本小题9分)
探究与应用
【知识定义】密码学是数学的重要应用之一.在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数.现在，这样定义：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根均为正整数，且满足a+b+c=0，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”.
【知识理解】例如：对于方程x2-13x+12=0，两根x1=1和x2=12均为正整数，且满足1+（-13）+12=0，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程x2-5x+6=0，由于1+（-5）+6=2≠0，所以此方程不是“密码方程”；对于方程2x2-5x+3=0，两个根分别为x1=1，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”.
【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题：
（1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”；
①x2-x=0；
②x2-8x+7=0.
（2）已知方程x2+mx+n=0是“密码方程”，“密码数”是31，求m和n的值；
（3）在（2）的情况下，方程x2+mx+n=0的“密码数”刚好是另一个“密码方程”2x2+px+q=0的根，求p和q的值.
25.(本小题14分)
在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在AB的延长线上，∠BAC=∠AED=90°，AB=AE=2.若将△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°），此时线段AD，射线AE分别与射线BC交于点M，N.
（1）当△ADE旋转到如图2所示的位置时，
①求证：△ABN∽△MAN；
②在图2中除△ABN∽△MAN外还有哪些相似三角形，直接写出；
③如图2，若BM=1，求BN的长.
（2）在旋转过程中，若BM=d,请直接写出CN的长______（用含d的式子表示）.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】5
12.【答案】60
13.【答案】1842
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】0．
18.【答案】解：方程变形得：2（x-1）2-（x-1）=0，
分解因式得：（x-1）（2x-2-1）=0，
（x-1）（2x-3）=0，
可得x-1=0或2x-3=0，
解得：x1=1，x2=．
19.【答案】 证明：方程（x-1）（x-2）=m2可化为x2-3x+2-m2=0．
∵x1，x2是关于x的方程（x-1）（x-2）=m2的两根，
∴x1+x2=3，．
∴．
∵m2≥0，
∴-m2≤0，即（x1-1）（x2-1）≤0
20.【答案】列表如下：
红 红 黄 黄
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
红 （红，红） （红，黄） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄）
共有12种等可能的结果.
21.【答案】该矩形的长为16cm，宽为4cm；
不能围成一个面积是150cm2的矩形，理由见解析．
22.【答案】见解析 ∠ ABE=∠CBD;=;角平分线将对边分成的两条线段与两邻边对应成比例
23.【答案】∠POM的度数为53° NQ的长为
24.【答案】①不是，理由：
解x2-x=0得x1=1，x2=0，0不是正整数，故x2-x=0不是“密码方程”；
②是，密码数是71；理由：
解x2-8x+7=0得x1=1，x2=7，两根均为正整数．
又∵1-8+7=0，
∴x2-8x+7=0是“密码方程”，密码数是71；
；
25.【答案】（1）①证明：∵∠ABN=∠MAN=45°，∠ANB=∠MNA，
∴△ABN∽△MAN；
②解：△ABF∽△ADE，
∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠D=∠DAE=45°，AD=AE=4，
∴△ABF∽△ADE，
③解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
则BC==4，
∴CM=BC=BM=3，
∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+∠BAM，∠BAN=∠MAN+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠AMC=∠BAN，
∵∠B=∠C，
∴△ABN∽△MCA，
∴=，即=，
解得：BN=；
（2）或．
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