2025-2026学年辽宁省丹东市九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2025-2026学年辽宁省丹东市九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.下面四组线段中不能成比例线段的是（　　）
A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10
C. 1、、、 D. 、、2、
3.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC＞BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音.若AB=8cm,且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m＜-1 B. m＞1 C. m＜1且m≠0 D. m＞-1且m≠0
5.2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B.若AB=500米，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　）
A. 500tanα米 B. 500sinα米 C. 500cosα米 D. 米
6.如图，AD∥BE∥CF，若AB=2，BC=3，DE=3，则DF的长度是（　　）
A.
B. 5
C.
D. 8
7.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，若对角线AC=BD，则四边形EFGH的对角线满足（　　）关系.
A. 互相平分
B. 相等且互相平分
C. 互相垂直平分
D. 互相垂直
8.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°，若AD=3，，则DE的长度为（　　）
A. 3
B. 2
C.
D.
9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，则A′C的长度是（　　）
A. B. C. D.
10.如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上.PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　）
A. 2
B.
C. 4
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知函数y=（m-2）是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是______．
12.已知，则的值为 .
13.在平面直角坐标系中，已知点E（-4，8），F（-2，-2），以原点O为位似中心，将△EFO缩小为原来的一半，则点E的对应点E1的坐标是 .
14.已知有四张正面分别标有数字-2，0，-3，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 .
15.如图所示，在Rt△AOB中，∠BAO=90°，∠B=60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，双曲线经过点A，则k的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：；
（2）解方程：2x2+4=7x.
17.(本小题9分)
如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A.猪妖，B.蛤蟆精，C.黄鼠狼精，D.猩猩怪.将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片.

A.猪妖 B.蛤蟆精 C.黄鼠狼精 D.猩猩怪
（1）取出的卡片图案为“B.蛤蟆精”的概率为______ .
（2）若现在要在这4个中挑选2个除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A.猪妖”和“D.猩猩怪”的概率.
18.(本小题9分)
如图，△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若，DE=4，求CE的长.
19.(本小题9分)
已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m,-2）.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当y1＜y2时自变量的取值范围.
（3）如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积.
20.(本小题9分)
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
21.(本小题9分)
如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点.经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，在点A的东南方向.
（1）求B，D两地的距离；
（2）大门C在风景点D的南偏西60°方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，翻修费用为每米200元，此次翻修工程的总费用约为多少元？（参考数据：）
22.(本小题9分)
【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，求证：CN=2AN.
经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作DK∥AC，交BM于点K，利用全等将AN与CN的数量关系转化为DK与CN之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作BC的平行线交BM的延长线于点K，利用相似将AN与CN的数量关系转化为AK与BC之间的关系.
（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想.为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：
如图④，在△ABC中，AD是BC边上的中线，N，K是AC的三等分点，BN交AD于M，BK交AD于P，求MP：PD的值.
请你写出解答过程；
（3）【学以致用】
在△DEC中，ED=EC.在直线CD上取点B，使BC=2CD，连接BE，在线段BE上取点A，连接AC，直线AC交直线DE于F，当AB=AC时，求AF：FC的值.
请你写出解答过程.
23.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为t,
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】-3
12.【答案】
13.【答案】（-2，4）或（2，-4）
14.【答案】
15.【答案】-9
16.【答案】（1）-3 （2），
17.【答案】 （2）
18.【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，
∵ DE⊥BC，
∴OE=BD=2，
∴BD=4，
∴BE===8，
设CE=x,则BC=BE-CE=8-x,
∴CD=BC=8-x,
在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2，
∴（8-x）2=x2+42，
解得：x=3，
∴CE的长为3．
19.【答案】 -2＜x＜0或x＞1 6
20.【答案】该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
该品牌头盔的实际售价应定为50元
21.【答案】解：（1）过点B作BP⊥AD于点P，
由题意知∠BAD=45°，∠CBD=75°，
∴∠ADB=30°，∠ABP=45°=∠A，
∴BD=2BP，AP=BP，
AB=240米，
∴（米），
∴（米），
答：B、D两地的距离约为米；
（2）过点B作BM⊥CD于点M，
∵米，
∵∠CDB=180°-60°-75°=45°，∠CBD=75°，∠DCB=60°，
∴∠DBM=45°=∠CDB，
∴BM=DM，
∴，，
∴（米），
∵∠CBM=75°-45°=30°，
∴（米），
∴（米），
总费用约为（元），
答：总费用约为75712元．
22.【答案】（1）证明：利用甲同学的证明思路．
过D作DK∥AC交BN于K，如图，
∵DK∥AC，
∴，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∴DK=AN，
∵D是BC的中点，DK∥AC，
∴DK为△BNC的中位线，
∴DK=CN，
∴AN=CN．
∴CN=2AN；
（2）解：连接DK，如图，
∵N，K是AC的三等分点，
∴AN=NK=KC．
∵BD=DC，
∴DK为△CBN的中位线，
∴DK∥BN，DK=BN，
设DK=2a,则BN=4a.
∵DK∥BN，AN=NK，
∴MN=DK=a,
∴BM=BN-MN=3a.
∵DK∥BN，
∴；
（3）①连接AD，过点E作EK⊥CD于点K，过点C作CH⊥CD，交BE的延长线于点G，交DE的延长线于点H，如图，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC．
∵EK⊥CD，
∴AD∥EK．
∴．
∵ED=EC，EK⊥CD，
∴DK=KC=CD．
∵BC=2CD，
∴BD=DC．
∴BD=2DK=2KC，
∴．
∴．
∵EK⊥CD，CH⊥CD，
∴EK∥CH，
∵DK=KC，
∴EK为△DCH的中位线，
∴DE=EH，
∵AD⊥BC，CH⊥CD，
∴AD∥GH，
∴△ADE∽△GHE，
∴，
∴AD=GH．
∵AD为△BCG的中位线，
∴AD=CG，
∴CG=2AD=2GH，
∴CH=3AD．
∵AD∥CH，
∴△AFD∽△CFH，
∴；
②过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥CD于点H，延长EH交CF于点M，过点D作DN⊥CD，交CF于点N，如图，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=GC，
∵BC=2CD，
∴BG=GC=CD．
∵ED=EC，EH⊥CD，
∴CH=HD=CD，
设CH=HD=k,则BG=GC=CD=2k,
∴．
∵AG⊥BC，EH⊥CD，
∴AG∥EH，
∴．
∵AG⊥BC，DN⊥CD，
∴AG∥DN，
∴△AGC∽△NDC，
∴=，
∴AG=DN，AC=CN．
∴．
∵EH⊥CD，DN⊥CD，
∴MH∥DN，
∵CH=HD，
∴MH为△CDN的中位线，
∴DN=2MH，CM=MN=CN．
∴，AC=2CM=2MN．
∵EM∥DN，
∴，
∴FN=FM，
∴MN=2FN．
设FN=m,则MN=2m,
∴CF=CM+MN+FN=5m,AC=CN=4m,
∴AF=AC+CF=9m,
∴AF：FC=9m：5m=9：5．
综上，AF：FC的值为或．
23.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）①对于抛物线表达式，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
设直线BC表达式为：y=kx+b,
则，
解得：，
∴直线BC：，
∵DE⊥AB，
设 D（t,），，
∴，
∴；
②存在，
，，
当DE=CE时，，
解得：或t=0（舍），
∴，
∴，
当CD=DE时，，
整理得：t2（-t+1）=0，
解得：t=1或t=0（舍），
∴，
∴D，
当CD=CE时，，
整理得：，
解得：t=2或t=6（舍）或t=0（舍），
∴，
∴D（2，4），
综上：△CDE是等腰三角形时，D（2，4）或或；
（3）线段AG长度的最小值为．
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