福建省福州高级中学2025-2026学年高二3月阶段测试数学试题（含答案）

2025-2026 学年 高二 3 月阶段考试数学学科试卷
试卷总分: 150 分 完卷时间: 120 分钟
第 I 卷
一、单选题:本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的.
1. 下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D
2. 有 3 名男生和 3 名女生去影院观影, 他们买了同一排相连的 6 个座位, 若 3 名女生必须相邻, 则不同的坐法有( )
A. 24 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种
3. 函数 的单调减区间是( )
A. B. C.
4. 将一根长为 3 的铁丝截成 9 段, 使其组成一个正三棱柱的框架 (铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和), 则该正三棱柱的体积最大为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 及其导函数 定义域均为 ,则 “ 图象关于 中心对称”是“ 图象关于直线 轴对称”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 牛顿迭代法亦称切线法,它是求函数零点近似解的另一种方法,若定义 是函数零点近似解的初始值,过点 的切线为 ,切线与 轴交点的横坐标 , 即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推, 满足精度的初始值即为函数零点的近似解, 设函数 ，满足 ，应用上述方法，则 ( )
A. B.
C. 577 D.
7. 如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 现有红、黄、蓝、 绿四种不同的颜色供选择给赵爽弦图涂色，要求每个区域只涂一种颜色且相邻两个区域颜色不同，不同的涂色方法总数为( )
A. 144
B. 72
C. 48
D. 24
8. 已知实数 分别满足 ,且 ,则()
A. B. C. D.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 物体甲、乙在时间0到 范围内,路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )
A. 在 0 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在 0 到 范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度
C. 在 时,甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D. 在 时,甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
10. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的有( )
A. 有唯一零点
B.
C. ,使得 有三个不等实根
D. ,使得 有六个不等实根
第 II 卷
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 将 6 名志愿者安排到 5 个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法种数为_____。
13. 已知函数 在定义域内单调递增，则 的取值范围是_____.
14. 中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想. 一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别， 其走法如图 1 所示，称为“马走日”；当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图 2，图 3 所示，称为“绊马腿”.若将矩形棋盘(如图 4)视作平面直角坐标系 ，棋盘的左下角为坐标原点，如图 5 所示，假如棋盘中有如图 5 所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点 朝着红方阵营( 轴正方向)出发到达点 ，则不同的行进路线种数为_____.
图1
图2
图3
图4
图5
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 已知函数 在 处取得极值.
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最大值与最小值.
16. (本小题满分 15 分)已知等差数列 前 项和为 ，数列 是等比数列， ，
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
17. (本小题满分 15 分) 如图, 是圆 的直径, 垂直于圆 所在平面, 是圆周上不同于 、 的任意一点, 为 的中点,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若三棱锥 的外接球球心为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分) 已知抛物线: 焦点为 ,直线 与抛物线有且只有一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的准线与 轴交于点 ，过点 作直线 与抛物线交于 两点.
(i) 若 的面积为 4，求直线 的方程；
(ii) 设 内切圆的半径为 ,求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
( 2 )若函数 有两个零点 .
(i) 记 表示不超过 的最大整数,求 的取值范围;
(ii) 证明: .
2025-2026 学年
高二 3 月阶段考试数学
1.【答案】 因为 , ,所以 ACD 错误, B 正确.
2.【答案】D先把 3 名女生看成一个整体,有 种排法,再把这个整体与另外 3 名男生排列,有 种排法,则不同的坐法有 种坐法.
3.【答案】 函数 的定义域为 ,又 ,令 , 解得 ， 函数 的单调减区间是
4.【答案】C设正三棱柱的底面边长为 ,侧棱长为 ,则 ,即 . 正三棱柱的体积 . 当 时, ,当 时, ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以当 时, 取得最大值,最大值为 .
5.【答案】 由函数 图象关于 中心对称,得 ,求导得 , 即 ,因此函数 图象关于直线 轴对称; 令函数 ,则 , 函数 图象关于直线 轴对称,而函数 的图象是由函数 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位而得,又函数 的图象关于点 中心对称,因此函数 图象关于 中心对称,所以“ 图象关于 中心对称”是“ 图象关于直线 轴对称”的充分不必要条件.
6.【答案】 根据题意,由 可得 ,则 ,又 ,所以过点 的切线为 ,令 ,可得 ,即 . 同理 , ,所以过点 的切线为 ,令 ,可得 ,即 .
7.【答案】B若选三种颜色，则①③同色且②④同色，则有 种方法；若选四种颜色，则①③同色或②④同色，则有 种方法；所以一共有 种方法.
8.【答案】D设 ,则 ,则函数 在 上单调递减,所以 ,则 ; 设 ,则 ,则函数 在 上单调递减,所以
,则 . 所以 ; 设函数
,对其求导 ,当 时, ,所以函数 在 上单调递增. 所以 ,所以 ,即 . 综上可得: .
9.【答案】 在 0 到 范围内,甲、乙的平均速度都为 ,故 A 错误, B 正确; 因为甲对应的曲线在 处的切线的斜率大于乙对应的曲线在 处的切线的斜率,故在 处,甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度,故 正确, 错误.
10.【答案】ACDA 选项: ,两边相等,故 A 选项正确; B 选项: , 不成立, 选项错误, 选项: ,取 ,因为 ,移项得: 成立, 选项正确; 选项: ,由二项式定理: ,取 成立, D 选项正确; 故选: ACD
11.【答案】 令 ，解得 ，故 A 正确；当 时， ，故 B 错误; 因为 ,所以当 时, ,当 时, ,所以函数在 和 上单调递增,在 和 上单调递减,且当 ,当 且 时, ,当 且 时, , 当 时, ,且 ,根据单调性及极值,作大致图象, 由图象可知,不存在 ,使得 有三个不等实根,故 错误;
由 可知, ,所以函数为偶函数, 只需研究当 时, 的根的个数即可,由 选项可知当 时, 的图象大致如图,由图象可知,当 时, 的根的个数为 3 个,所以 ,使得 有六个不等实根,故 正确.
12.【答案】1800先将 2 名志愿者看作一组,选法有 种,再将 5 组志愿者分配到 5 个小区,分法有 种,故不同的安排方法有 种.
13.【答案】 的定义域为 ,所以 在 上恒成立,所以 在 上恒成立,因为函数 ,所以当 时 取得最大值 9,所以 ,即 的取值范围是 .
14.【答案】27因为要朝着 轴正方向出发，“马”在棋盘所处的位置可用坐标 表示,它的每一步走法对应位置的坐标可分成 4 种情况:
① ，② ，③ ，④ .
如图，“马”从点 出发必经过点 ，再从点 出发有 4 种选择: .
要到达点 必经过点 ,要想经过点 ,必经过点 或者点 .
综合以上分析,可理解为分别从 这 4 点出发,到达点 或者点 的不同路线有多少.
(1) :选 2 个①和1 个③进行排列，有①→①→③，①→⑨→⑨→⑨ 3 种情况，检验发现③ 为“绊马腿”，应舍去，所以有 种路线， :选 2 个③和1 个①进行排列，有①→③→③，③→①→③，⑧→③→①3 种情况，检验发现③→①→③，③→③→①为“绊马腿”,应舍去,所以有 种路线,故从点 出发到达点 有 3 种路线; (2) : 选 2 个③和1个②进行排列，经检验有 种路线， :无符合要求的路线，故从点 出发到达点 有 3 种路线; (3) : 选①③④进行排列，经检验有 种路线，
: 选 2 个③和 1 个④进行排列，经检验有 种路线，故从点 出发到达点 有 9 种路线; (4) : 选 2 个①和 1 个④进行排列或者选 2 个②和 1 个③进行排列,经检验有 种路线, ; 同 ,经检验有 种路线. 故从点 出发到达点 有 12 种路线,综上,从点 出发到达点 共有 种路线.
15.【小问 1 】函数 的定义域为 ,求导得 ,由 在 处取得极值,得 ,解得 ,则 ,由 ,得 或 ; 由 ,得 ,则 为 的极小值点,符合题意函数 在 上单调递增,在 上单调递减,所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
【小问 2 】由 (1) 知, 在 上单调递增,在 上单调递减,
因此 ,而 ,所以函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为 -8 .
16.【小问 1 】设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,所以 解得 , 所以 ,
【小问 2 】由( 1 )知， ，因此当 为偶数时， 当 为奇数时, ,所以 .
17.【小问 1 】因为 是圆 的直径,所以 ，所以 ，因为 垂直于圆 所在平面， 在圆 所在平面内,所以 ,又 平面 ,所以 平面 . 又 平面 ,所以 ,又因为 为 的中点,所以 ,又 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ;
【小问 2 】由 (1) 知 平面 ,又 平面 ,所以 ,所以 与 是有公共斜边 的直角三角形，所以 是三棱锥 的外接球的直径，所以球心 为 的中点，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过 作 的平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
,则 ,所以
,设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 , ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 ,因为平面 即为平面 ,
所以平面 的一个法向量为 ,设平面 与平面 所成的夹角为 , 则 , 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.【小问 1】由 得 ,由已知可得 ,所以 ;
【小问 2 】(i) 抛物线 的准线方程为 ,所以 . 设 ,代入 得,
,设 ,且 ,则 .
,
,所以 , 所以直线 的方程为: 或 ;
(ii) 由 (i) 得 , ,
,
令 ,则 .
最终 关于 是增函数. 令 ,则 ,
显然 关于 是增函数. 令 ,则 ,两边平方,化简整理得 ，此时对应的 值满足题意. 由于 关于 是递增函数， ； ,所以当 时, 取得最小值,最小值为 ,所以 的最大值为 .
19.【小问 1 】当 时,则 ,且 ,可得 , ,即切点坐标为 ,切线斜率 ,所以所求切线方程为 ,即
【小问 2 】(i) 函数 有两个零点 ,即方程 有两个解 ,则 ,设 的导函数为 ,则 ,当 时,则 ,可得 ; 当 时,则 ,可得 ,可知 在 内单调递减,且 ,则存在 ,使得 , 当 时, 时, ,综上所述: 当 时, 时, ,可知 在 内单调递增,在 内单调递减,则 ,
构建 ,因为 ,可知 在 上单调递增,又因为 ,则 ,且 , 所以 的取值范围为 ；
(ii) 由 的单调性可知: .
若 ,则 ,有 成立;
若 ,则 ,因为 ,则 ,因为 ,则 ,可得 ,则 ,因为 ,且 在 单调递减,所以 ,即 ; 综上所述: .