河北邢台市第二中学等部分学校2026届高三下学期一模数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河北邢台市第二中学等部分学校2026届高三下学期一模数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
数学试题
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知复数 ,则
A. B. C. D. 2
2. 已知 ,向量 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ,则曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
4. 已知集合 . 若集合 仅有 1 个元素,则
A. 1 B.
C. D.
5. 若 组数据 的平均数为 25,方差为 5, B 组数据 的方差为 8,则
A. 8 B. 4 C. 4 或 5 D. 4 或 6
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的奇函数 满足 ,且 ,则
A. -2 B. 0 C. -1 D. 2
8. 在正三棱柱 中, ,若该正三棱柱存在棱切球 (与所有棱都相切的球),则其棱切球的半径与外接球的半径之比为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若函数 的最大值为 3,则
A. 的最小值为 1
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点 对称
D. 的图象关于直线 对称
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上异于左、右顶点的点,则
A. 的周长为 12
B. 存在点 ,使得
C. 当 内切圆的半径为 时,
D. 当直线 被 所截得线段 的中点是 时,直线 的方程为
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 若 恒成立，则
B. 是 的极值点
C. 若函数 恰有 2 个正零点,则
D. 若关于 的不等式 有解,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知随机变量 ,则 _____▲_____. 展开式中 项的系数为_____▲_____.
13. 若函数 有最小值,则 的取值范围是_____▲_____.
14. 已知直线 与抛物线 交于 , 两点,且 . 若 上的动点 到 的准线的距离为 ，点 ，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
记 的内角 的对边分别为 ，点 在边 上，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
16.(15分)
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
17. (15 分)
社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下:现有编号为 1~8 的 8 张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同. 第一阶段先由甲从这 8 张公益卡中随机抽取 1 张，若甲抽到的公益卡编号为 1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号 (记为 )的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡(每次抽取 1 张 )，直至一人抽到编号为 或 1 的公益卡时结束. 若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为 ，则甲获得公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为 1，则乙获得公益纪念微章. 设在进入第二阶段抽卡的情况下,甲获得公益纪念徽章的概率为 ,乙获得公益纪念徽章的概率为 .
(1)求 ， 的值.
(2)求甲获得公益纪念徽章的概率.
(3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐 180 元作为爱心捐助，乙捐 60 元作为爱心捐助； 若该环节乙获得公益纪念徽章，则甲捐 100 元作为爱心捐助，乙捐 188 元作为爱心捐助. 求该环节甲、乙捐的款额之和 的数学期望.
18.(17分)
已知双曲线 ，过点 的直线 与圆 交于 ， 两点,且 的最小值为 ,当直线 平行于双曲线 的渐近线时,双曲线 的左顶点到直线 的距离为 .
(1)求双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，证明:
(2)过双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 证明: .
(3)已知点 ，两个不重合的动点 ， 均在双曲线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，点 在直线 上， 且 . 试问:是否存在定点 ,使得 为定值？若存在,求出该定点 和 ; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知数列 满足 ,函数 .
(1)证明:数列 是等差数列.
(2)求使不等式 成立的最小正整数 的值.
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
数学试题参考答案
1.B 因为 ,所以 .
2. 若 ,则 ,解得 或 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
3. A 由题意得 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 .
4. C 因为 仅有 1 个元素,所以直线 与圆 相切,所以 ,解得 .
5. D 易得 ,解得 或 6 .
6. ,两式相减,得 ,所以 .
7. A 根据题意得 . 因为 ,所以 ,则 ,两式作差得 ,得 ,所以 6 是 的一个周期. 故
8. A 设正三棱柱 的下底面中心为 ,上底面中心为 ,连接 . 若该正三棱柱存在棱切球,则棱切球的球心 为线段 的中点. 设 的中点分别为 ,连接 ,则 . 因为 ,所以 1,所以正三棱柱 外接球的半径为 ,故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为 .
9. AC 因为 的最大值为 3,所以 ,得 ,则 的最小值为 的最小正周期为 正确, 错误. 因为 ,所以 的图象关于点 对称, 正确. 因为 ,所以 的图象不关于直线 对称, 错误.
10. ACD 由题意得 ,所以 ,所以 的周长为 , 正确. 当 与 的上顶点重合时, 最大,此时 为等边三角形,所以 , B 错误. 当 内切圆的半径为 时, . ,得 ,则 正确. 当直线 被 所截得线段 的中点是 时,直线 的斜率存在,设 ,则 . 由 ,所以 ,所以直线 的方程为 ,即 正确.
11. ACD 对于 ,若 ,则 .
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于 ,因为 ,所以 ,
当 时, 的定义域为 不是 的极值点,故 B 错误.
对于 ,由 ,得 ,
所以 .
易知 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， .
方程 等价于 ,所以 ,即 .
由 可知 在 上单调递增,在 上单调递减,且 .
因为 ,所以 ,故 正确.
对于 ,由 ,得 ,
整理得 ,
即 ,
令 ,易知 在 上单调递增,所以 ,即 .
当 时, ,得 ,当 时,存在 ,使得 , 所以 ,故 正确.
12. 由 可知正态曲线的对称轴为直线 ,所以 ,解得 ,则 展开式中 项的系数为 .
13. 当 时, ,则 . 当 时, ,当 时, ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 在 上有最小值,且最小值为 . 因为 有最小值,所以 的取值范围是 .
将 代入 ，得 . 因为 ，所以 0 . 设 ,则 ,则 . . 因为 ,所以 .
故 的焦点为 ,点 在 的上方. 由抛物线的定义知, ,则 ,当 三点共线且 位于 之间时, 取得最大值 .
15. 解: (1) 由 及正弦定理,得 2 分则 . 6 分
(2)由(1)得 . 因为 ，所以 ， ， . 9 分
在 中,由余弦定理得 , 11 分
在 中, ,所以 . 13 分
16.(1)证明:因为 为正方形，所以 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 . 3 分
因为 ,所以 , 4 分所以 ,则 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:由(1)易得 . 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , , 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 12 分
设二面角 的平面角的大小为 ,由图可知 , 13 分
则 ,
故二面角 的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 根据题意可得 且 , 2 分
解得 . 4 分
(2)甲获得公益纪念徽章的概率为 . 9 分
(3)由(2)可得乙获得公益纪念徽章的概率为 . 11 分
该环节甲、乙捐的款额之和 的数学期望为 元. 15 分
18.(1)解:当直线 垂直于 轴时， 最小，所以 . 1 分当直线 平行于双曲线 的渐近线时,直线 的方程为 . 2 分因为点 到直线 的距离为 ,所以 , 3 分所以双曲线 的方程为 . 4 分
(2)证明:双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线上一点 到渐近线距离之积为 . 6 分因为 ,所以 ,即 . 8 分
(3)解:显然直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 .
由 整理得 ,
则 分直线 的方程为 ,
令 ,则 ,得 ,同理得 .
12 分
由 ,可得 ,
所以 ,
所以
,
整理得 . 15 分
当 时, ,此时直线 的方程为 ,经过
点 ,与 矛盾,舍去. 16 分
当 时,直线 的方程为 ,恒过定点 ,
设 的中点为 ,则 .
因为 ,所以 为定值.
故存在定点 ,使得 为定值 . 17 分
19.(1)证明:因为 ，所以 ，所以 2 分
因为 ,且 , 所以 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 4 分
(2)解:由(1)知 ，即数列 的通项公式为 . 5 分因为 ,
所以 . 6 分
令 ,易知 在 上单调递增.
7 分
因为 , 8 分
(因为 ,所以 ,进而 , 9 分
所以使不等式 成立的最小正整数 的值为 3 . 10 分
(3)解:由 ,得 .
令 ,则 ,且 ,整理得 .
11 分
令 ,则 . 12 分令 ,则 .
易知 ,
当 时, 恒成立. 13 分
当 时， ，则 在 上单调递增.
因为 ,所以 在 上单调递增,所以 . 14 分当 时, ,则 在 上单调递增.
因为 ,所以存在 ,使 ,所以 在 上单调递减, 16 分
所以 时, ,不满足题意,故 的取值范围是 . 17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知复数 ,则
A. B. C. D. 2
2. 已知 ,向量 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ,则曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
4. 已知集合 . 若集合 仅有 1 个元素,则
A. 1 B.
C. D.
5. 若 组数据 的平均数为 25,方差为 5, B 组数据 的方差为 8,则
A. 8 B. 4 C. 4 或 5 D. 4 或 6
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知定义在 上的奇函数 满足 ,且 ,则
A. -2 B. 0 C. -1 D. 2
8. 在正三棱柱 中, ,若该正三棱柱存在棱切球 (与所有棱都相切的球),则其棱切球的半径与外接球的半径之比为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若函数 的最大值为 3,则
A. 的最小值为 1
B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点 对称
D. 的图象关于直线 对称
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上异于左、右顶点的点,则
A. 的周长为 12
B. 存在点 ,使得
C. 当 内切圆的半径为 时,
D. 当直线 被 所截得线段 的中点是 时,直线 的方程为
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 若 恒成立，则
B. 是 的极值点
C. 若函数 恰有 2 个正零点,则
D. 若关于 的不等式 有解,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知随机变量 ,则 _____▲_____. 展开式中 项的系数为_____▲_____.
13. 若函数 有最小值,则 的取值范围是_____▲_____.
14. 已知直线 与抛物线 交于 , 两点,且 . 若 上的动点 到 的准线的距离为 ，点 ，则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 6 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
记 的内角 的对边分别为 ，点 在边 上，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的长.
16.(15分)
如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
17. (15 分)
社区公益募捐设置“爱心抽卡”环节，由甲、乙两位市民参与，规则如下:现有编号为 1~8 的 8 张公益卡，公益卡除编号不同外，其余都相同. 第一阶段先由甲从这 8 张公益卡中随机抽取 1 张，若甲抽到的公益卡编号为 1，则甲获得公益纪念徽章，抽卡结束；若甲抽到其他编号 (记为 )的公益卡，则甲将此卡放回，并从乙开始两人轮流有放回地进行第二阶段的抽卡(每次抽取 1 张 )，直至一人抽到编号为 或 1 的公益卡时结束. 若在第二阶段抽卡中有一人抽到的公益卡编号为 ，则甲获得公益纪念徽章；有一人抽到的公益卡编号为 1，则乙获得公益纪念微章. 设在进入第二阶段抽卡的情况下,甲获得公益纪念徽章的概率为 ,乙获得公益纪念徽章的概率为 .
(1)求 ， 的值.
(2)求甲获得公益纪念徽章的概率.
(3)若该环节甲获得公益纪念徽章，则甲捐 180 元作为爱心捐助，乙捐 60 元作为爱心捐助； 若该环节乙获得公益纪念徽章，则甲捐 100 元作为爱心捐助，乙捐 188 元作为爱心捐助. 求该环节甲、乙捐的款额之和 的数学期望.
18.(17分)
已知双曲线 ，过点 的直线 与圆 交于 ， 两点,且 的最小值为 ,当直线 平行于双曲线 的渐近线时,双曲线 的左顶点到直线 的距离为 .
(1)求双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，证明:
(2)过双曲线 上一点 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 证明: .
(3)已知点 ，两个不重合的动点 ， 均在双曲线 上，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，点 在直线 上， 且 . 试问:是否存在定点 ,使得 为定值？若存在,求出该定点 和 ; 若不存在,请说明理由.
19.(17分)
已知数列 满足 ,函数 .
(1)证明:数列 是等差数列.
(2)求使不等式 成立的最小正整数 的值.
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
数学试题参考答案
1.B 因为 ,所以 .
2. 若 ,则 ,解得 或 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
3. A 由题意得 ,所以曲线 在点 处的切线方程为 .
4. C 因为 仅有 1 个元素,所以直线 与圆 相切,所以 ,解得 .
5. D 易得 ,解得 或 6 .
6. ,两式相减,得 ,所以 .
7. A 根据题意得 . 因为 ,所以 ,则 ,两式作差得 ,得 ,所以 6 是 的一个周期. 故
8. A 设正三棱柱 的下底面中心为 ,上底面中心为 ,连接 . 若该正三棱柱存在棱切球,则棱切球的球心 为线段 的中点. 设 的中点分别为 ,连接 ,则 . 因为 ,所以 1,所以正三棱柱 外接球的半径为 ,故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为 .
9. AC 因为 的最大值为 3,所以 ,得 ,则 的最小值为 的最小正周期为 正确, 错误. 因为 ,所以 的图象关于点 对称, 正确. 因为 ,所以 的图象不关于直线 对称, 错误.
10. ACD 由题意得 ,所以 ,所以 的周长为 , 正确. 当 与 的上顶点重合时, 最大,此时 为等边三角形,所以 , B 错误. 当 内切圆的半径为 时, . ,得 ,则 正确. 当直线 被 所截得线段 的中点是 时,直线 的斜率存在,设 ,则 . 由 ,所以 ,所以直线 的方程为 ,即 正确.
11. ACD 对于 ,若 ,则 .
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于 ,因为 ,所以 ,
当 时, 的定义域为 不是 的极值点,故 B 错误.
对于 ,由 ,得 ,
所以 .
易知 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， .
方程 等价于 ,所以 ,即 .
由 可知 在 上单调递增,在 上单调递减,且 .
因为 ,所以 ,故 正确.
对于 ,由 ,得 ,
整理得 ,
即 ,
令 ,易知 在 上单调递增,所以 ,即 .
当 时, ,得 ,当 时,存在 ,使得 , 所以 ,故 正确.
12. 由 可知正态曲线的对称轴为直线 ,所以 ,解得 ,则 展开式中 项的系数为 .
13. 当 时, ,则 . 当 时, ,当 时, ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 在 上有最小值,且最小值为 . 因为 有最小值,所以 的取值范围是 .
将 代入 ，得 . 因为 ，所以 0 . 设 ,则 ,则 . . 因为 ,所以 .
故 的焦点为 ,点 在 的上方. 由抛物线的定义知, ,则 ,当 三点共线且 位于 之间时, 取得最大值 .
15. 解: (1) 由 及正弦定理,得 2 分则 . 6 分
(2)由(1)得 . 因为 ，所以 ， ， . 9 分
在 中,由余弦定理得 , 11 分
在 中, ,所以 . 13 分
16.(1)证明:因为 为正方形，所以 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 . 2 分
因为 平面 ,所以 . 3 分
因为 ,所以 , 4 分所以 ,则 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:由(1)易得 . 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , , 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 . 12 分
设二面角 的平面角的大小为 ,由图可知 , 13 分
则 ,
故二面角 的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 根据题意可得 且 , 2 分
解得 . 4 分
(2)甲获得公益纪念徽章的概率为 . 9 分
(3)由(2)可得乙获得公益纪念徽章的概率为 . 11 分
该环节甲、乙捐的款额之和 的数学期望为 元. 15 分
18.(1)解:当直线 垂直于 轴时， 最小，所以 . 1 分当直线 平行于双曲线 的渐近线时,直线 的方程为 . 2 分因为点 到直线 的距离为 ,所以 , 3 分所以双曲线 的方程为 . 4 分
(2)证明:双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线上一点 到渐近线距离之积为 . 6 分因为 ,所以 ,即 . 8 分
(3)解:显然直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 .
由 整理得 ,
则 分直线 的方程为 ,
令 ,则 ,得 ,同理得 .
12 分
由 ,可得 ,
所以 ,
所以
,
整理得 . 15 分
当 时, ,此时直线 的方程为 ,经过
点 ,与 矛盾,舍去. 16 分
当 时,直线 的方程为 ,恒过定点 ,
设 的中点为 ,则 .
因为 ,所以 为定值.
故存在定点 ,使得 为定值 . 17 分
19.(1)证明:因为 ，所以 ，所以 2 分
因为 ,且 , 所以 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 4 分
(2)解:由(1)知 ，即数列 的通项公式为 . 5 分因为 ,
所以 . 6 分
令 ,易知 在 上单调递增.
7 分
因为 , 8 分
(因为 ,所以 ,进而 , 9 分
所以使不等式 成立的最小正整数 的值为 3 . 10 分
(3)解:由 ,得 .
令 ,则 ,且 ,整理得 .
11 分
令 ,则 . 12 分令 ,则 .
易知 ,
当 时, 恒成立. 13 分
当 时， ，则 在 上单调递增.
因为 ,所以 在 上单调递增,所以 . 14 分当 时, ,则 在 上单调递增.
因为 ,所以存在 ,使 ,所以 在 上单调递减, 16 分
所以 时, ,不满足题意,故 的取值范围是 . 17 分
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