2025-2026学年下学期河南百师联盟高三数学3月阶段检测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期河南百师联盟高三数学3月阶段检测试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 248.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
数学试题
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. C. D. 3
2. 已知集合 或 ，且 ，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 在直三棱柱 中，上、下底面是边长为 2 的等边三角形，侧棱长为 分别为棱 上的动点，则三棱锥 体积的最大值为
A. B.
C. D.
4. 已知函数 满足: ,都有 ,且当 时, ,则
A. B. C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D. 2
6. 已知函数 的图象关于点 对称,当 时,有 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知直线 都过抛物线 的焦点 与抛物线 交于 两点， 与抛物线 交于 两点,且 ,则
A. 12 B. 20 C. 28 D. 36
8. 已知 ,则 的大小关系是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论中正确的是
A. 一组数据4,6,9,12,15,18,22,26,27,30的第 60 百分位数为 20
B. 若样本 的方差为 36,则样本 的方差为 12
C. 在检验 与 是否有关的过程中, ,则在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为 与 无关
D. 若随机变量 ,则
注:
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10. 如图，在矩形 中， 为线段 的中点， 为线段 上的点，且 ， ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 若 ，则
11. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某校准备从 10 名学生中选出 5 人参加演讲比赛, 这 10 名学生中有男生 4 人，女生 6 人，则选出的 5 人中至少有 3 名女生的选法有_____种(用数字作答).
13. 如图,圆 ,直线 与直线 交于点 ,且 . 直线 与圆 交于 两点,直线 与圆 交于 两点，则四边形 面积的最大值为_____
14. 如图，在 中，内角 的对边分别为 为线段 上一点， ，则 _____
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)有甲、乙两支医疗队参加贫困地区医疗巡诊，甲医疗队有女医生 2 名，男医生 3 名；乙医疗队有女医生 6 名，男医生 4 名.
(1)现随机选定一支医疗队，再从该队中选派出两名医生进行重大疫病的预防宣传工作，若选派出的两名医生恰好是一名女医生，一名男医生，求这两名医生来自甲医疗队的概率；
(2)若从乙医疗队中选出 3 名医生对重大疾病进行会诊，在这 3 名医生中男医生的人数为 ，求 的数学期望 .
16. (15 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 ，证明:
17. (15 分) 如图,在四棱锥 中, 上平面 ，点 为 的中点， 为棱 上一点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ,平面 平面 ,点 到平面 的距离 的面积为 ,当平面 与平面 的夹角为 时,求线段 的长.
18. (17 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率 为椭圆 的上顶点, 的面积为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为1，求坐标原点 到直线 距离的取值范围.
19. (17 分) 已知各项为正数的数列 满足:
(1) 若 ,求 的值;
(2)求证:数列 中存在小于 2 的项；
(3) 求证: 存在正整数 ,使得 .
数学参考答案及评分意见
1.B ,则 . 故选 B.
2.D ,则 或 ,解得 或 ,即实数 的取值范围为 . 故选 D.
3.C ， 当 与 重合时，三棱锥 的体积最大. 设 的中点为 ,连接 为等边三角形, 又 直三棱柱 中,平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,且 ,故 . 故选 C.
4.A 由 ,得 ,即 .
,即 ,
. 故选 A.
5.B 由题意, . 故选 B.
6.B 函数 的图象关于点 对称, ,即 . ,即 . 当 时,有 ,即当 时, , ,解得 ,即实数 的取值范围为 . 故选 B.
7.D 直线 都过焦点 ,且 设直线 ,直线 , . 联立直线 与抛物线 的方程 消去 ,整理得 ,
则 ,且 ,同理 .
,
. 故选 D.
8. A .
设 ,则 .
当 时, 函数 在 上单调递增,
. 而 ,
即 .
又
,而 ,即 .
综上, 的大小关系为 . 故选 A.
9.AD 对于 共 10 个数据,且 ,
第 60 百分位数为第 6,7 个数据的平均数,为 ,故 正确;
对于 ,设 的平均数为 ,方差为 ,则数据 的平均数
方差
,故 B 错误;
对于 ,
根据小概率值 的独立性检验,推断零假设不成立,
在犯错误的概率不超过 的前提下认为 与 有关,故 错误;
对于 ,
即 ,故 D 正确. 故选 AD.
10.ABD 对于 在矩形 中, 为线段 的中点, ,
,故 A 正确.
对于 ,由题意,得 .
,即 .
,
解得 ,故 B 正确, C 错误.
对于 ,
,故 D 正确. 故选 ABD.
11. 对于 ,即 ,
数列 是首项为 10,公差为 -2 的等差数列, , 则 ,故 A 正确.
对于 ,由 ,得 . 又 ,故 正确.
对于 ,由 ,得 ,两边同时除以 ,得 ,
将以上 个式子相加,得 .
,又 ,即 ,
,则有 ,
当 时, ,故 C 正确.
对于 ,由 ,得 . 当 时, ,
则 ,当 时,也成立,
,故 D 错误. 故选 ABC.
12.186 恰有 3 名女生入选的选法有 种,
恰有 4 名女生入选的选法有 种,恰有 5 名女生入选的选法有 种,
所以选出的 5 人中至少有 3 名女生的选法有 种.
13.47 设 的中点分别为 ,连接 ,如图.
,设 ,则 ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立, 四边形 面积的最大值为 47 .
14. 设 ，则在 中，由正弦定理，得 ，
在 中，由正弦定理，得 ， .
,解得 .
.
15. 解:(1)设事件 “选派出的两名医生恰好是一名女医生，一名男医生”,事件 “选定的是甲医疗队”，
事件 “选定的是乙医疗队”,则
3 分由贝叶斯公式, 若选派出的两名医生恰好是一名女医生, 一名男医生, 则这两名医生来自甲医疗队的概率为
. 6 分
(2)由题意， 的所有可能取值为0,1,2,3， 7 分
11 分
所以 的数学期望 . 13 分
16.(1)解:由题意知函数 的定义域为 .
2 分
若 ,则 ,解得 ,所以 在 上单调递增;
若 ,则 ,解得 ,所以 在 上单调递减. 6 分
综上,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 7 分
(2)证明: 由于 ,
则要证明 ,只需证 . 8 分
设 ,则 ,
所以当 时, ; 当 时, ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 . 11 分
设函数 ,
所以 在 上的最大值为 . 13 分
因为 ,所以 ,即 . 15 分
在 中, 分别为 的中点, .
又 四边形 为平行四边形,
. 2 分
平面 平面 ,
平面 . 4 分
(2)解:如图，取 的中点 ，连接 . ， .
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 ,即 ,则 . 5 分
平面 平面 .
又 平面 平面 平面 .
平面 平面 . 6 分
又 平面 .
. 又 两两互相垂直.
以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 7 分
的面积为 .
则 ,
.
设 ,则 . 9 分设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 13 分
平面 与平面 的夹角为 ,
,即 ,解得 ,
为 的中点,故 . 15 分
18. 解: (1) 设 . 由题意,得 ,离心率 .
. 2 分
又 的面积为 ,
则有
椭圆 的方程为 . 5 分
(2)由题意， ， 直线 与 的斜率存在， 点 ， 不能为椭圆 的上、下顶点.
设 ， .
当直线 的斜率不存在时,设直线 .
联立方程 消去 ,整理得 ,化简得 ,
且 .
,即 ,解得 ,不合题意. 7 分
当直线 的斜率存在时,设直线 .
联立方程 消去 ,整理得 ,
,化简得 ,
且 . 9 分
,即 ,
整理得 .
,整理得 .
. 由 ,即 ,
整理得 ，解得 . 12 分
坐标原点 到直线 的距离 . 13 分
设 ,则 .
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增.
. 16 分
又 ,
即坐标原点 到直线 距离的取值范围是 . 17 分
19.(1)解:由 ，得 ， ， ， ， ， ， 2 分以上等式同向相加,得 ,
,即 . 5 分
(2)证明: ，且 ，则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
. 6 分
当 时，数列 是递减的等差数列，则总存在正整数 ， ，这与 矛盾，
恒成立,即 . 7 分
,
, 8 分
. 9 分
随 的增大而增大, 总存在正整数 使 ,
即数列 中存在小于 2 的项. 11 分
(3)证明: ,
, 13 分
随 的增大而增大,且当 时, , 15 分由( 2 )知，c>0，故对任意的 ，总存在正整数 使 ，
存在正整数 ,使得 . 17 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则
A. 2 B. C. D. 3
2. 已知集合 或 ，且 ，则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
3. 在直三棱柱 中，上、下底面是边长为 2 的等边三角形，侧棱长为 分别为棱 上的动点，则三棱锥 体积的最大值为
A. B.
C. D.
4. 已知函数 满足: ,都有 ,且当 时, ,则
A. B. C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D. 2
6. 已知函数 的图象关于点 对称,当 时,有 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 已知直线 都过抛物线 的焦点 与抛物线 交于 两点， 与抛物线 交于 两点,且 ,则
A. 12 B. 20 C. 28 D. 36
8. 已知 ,则 的大小关系是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论中正确的是
A. 一组数据4,6,9,12,15,18,22,26,27,30的第 60 百分位数为 20
B. 若样本 的方差为 36,则样本 的方差为 12
C. 在检验 与 是否有关的过程中, ,则在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下,认为 与 无关
D. 若随机变量 ,则
注:
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10. 如图，在矩形 中， 为线段 的中点， 为线段 上的点，且 ， ,则下列结论正确的是
A. B.
C. D. 若 ，则
11. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则下列结论正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某校准备从 10 名学生中选出 5 人参加演讲比赛, 这 10 名学生中有男生 4 人，女生 6 人，则选出的 5 人中至少有 3 名女生的选法有_____种(用数字作答).
13. 如图,圆 ,直线 与直线 交于点 ,且 . 直线 与圆 交于 两点,直线 与圆 交于 两点，则四边形 面积的最大值为_____
14. 如图，在 中，内角 的对边分别为 为线段 上一点， ，则 _____
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)有甲、乙两支医疗队参加贫困地区医疗巡诊，甲医疗队有女医生 2 名，男医生 3 名；乙医疗队有女医生 6 名，男医生 4 名.
(1)现随机选定一支医疗队，再从该队中选派出两名医生进行重大疫病的预防宣传工作，若选派出的两名医生恰好是一名女医生，一名男医生，求这两名医生来自甲医疗队的概率；
(2)若从乙医疗队中选出 3 名医生对重大疾病进行会诊，在这 3 名医生中男医生的人数为 ，求 的数学期望 .
16. (15 分) 已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 ，证明:
17. (15 分) 如图,在四棱锥 中, 上平面 ，点 为 的中点， 为棱 上一点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ,平面 平面 ,点 到平面 的距离 的面积为 ,当平面 与平面 的夹角为 时,求线段 的长.
18. (17 分) 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,离心率 为椭圆 的上顶点, 的面积为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为1，求坐标原点 到直线 距离的取值范围.
19. (17 分) 已知各项为正数的数列 满足:
(1) 若 ,求 的值;
(2)求证:数列 中存在小于 2 的项；
(3) 求证: 存在正整数 ,使得 .
数学参考答案及评分意见
1.B ,则 . 故选 B.
2.D ,则 或 ,解得 或 ,即实数 的取值范围为 . 故选 D.
3.C ， 当 与 重合时，三棱锥 的体积最大. 设 的中点为 ,连接 为等边三角形, 又 直三棱柱 中,平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,且 ,故 . 故选 C.
4.A 由 ,得 ,即 .
,即 ,
. 故选 A.
5.B 由题意, . 故选 B.
6.B 函数 的图象关于点 对称, ,即 . ,即 . 当 时,有 ,即当 时, , ,解得 ,即实数 的取值范围为 . 故选 B.
7.D 直线 都过焦点 ,且 设直线 ,直线 , . 联立直线 与抛物线 的方程 消去 ,整理得 ,
则 ,且 ,同理 .
,
. 故选 D.
8. A .
设 ,则 .
当 时, 函数 在 上单调递增,
. 而 ,
即 .
又
,而 ,即 .
综上, 的大小关系为 . 故选 A.
9.AD 对于 共 10 个数据,且 ,
第 60 百分位数为第 6,7 个数据的平均数,为 ,故 正确;
对于 ,设 的平均数为 ,方差为 ,则数据 的平均数
方差
,故 B 错误;
对于 ,
根据小概率值 的独立性检验,推断零假设不成立,
在犯错误的概率不超过 的前提下认为 与 有关,故 错误;
对于 ,
即 ,故 D 正确. 故选 AD.
10.ABD 对于 在矩形 中, 为线段 的中点, ,
,故 A 正确.
对于 ,由题意,得 .
,即 .
,
解得 ,故 B 正确, C 错误.
对于 ,
,故 D 正确. 故选 ABD.
11. 对于 ,即 ,
数列 是首项为 10,公差为 -2 的等差数列, , 则 ,故 A 正确.
对于 ,由 ,得 . 又 ,故 正确.
对于 ,由 ,得 ,两边同时除以 ,得 ,
将以上 个式子相加,得 .
,又 ,即 ,
,则有 ,
当 时, ,故 C 正确.
对于 ,由 ,得 . 当 时, ,
则 ,当 时,也成立,
,故 D 错误. 故选 ABC.
12.186 恰有 3 名女生入选的选法有 种,
恰有 4 名女生入选的选法有 种,恰有 5 名女生入选的选法有 种,
所以选出的 5 人中至少有 3 名女生的选法有 种.
13.47 设 的中点分别为 ,连接 ,如图.
,设 ,则 ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立, 四边形 面积的最大值为 47 .
14. 设 ，则在 中，由正弦定理，得 ，
在 中，由正弦定理，得 ， .
,解得 .
.
15. 解:(1)设事件 “选派出的两名医生恰好是一名女医生，一名男医生”,事件 “选定的是甲医疗队”，
事件 “选定的是乙医疗队”,则
3 分由贝叶斯公式, 若选派出的两名医生恰好是一名女医生, 一名男医生, 则这两名医生来自甲医疗队的概率为
. 6 分
(2)由题意， 的所有可能取值为0,1,2,3， 7 分
11 分
所以 的数学期望 . 13 分
16.(1)解:由题意知函数 的定义域为 .
2 分
若 ,则 ,解得 ,所以 在 上单调递增;
若 ,则 ,解得 ,所以 在 上单调递减. 6 分
综上,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 7 分
(2)证明: 由于 ,
则要证明 ,只需证 . 8 分
设 ,则 ,
所以当 时, ; 当 时, ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 . 11 分
设函数 ,
所以 在 上的最大值为 . 13 分
因为 ,所以 ,即 . 15 分
在 中, 分别为 的中点, .
又 四边形 为平行四边形,
. 2 分
平面 平面 ,
平面 . 4 分
(2)解:如图，取 的中点 ，连接 . ， .
平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 ,即 ,则 . 5 分
平面 平面 .
又 平面 平面 平面 .
平面 平面 . 6 分
又 平面 .
. 又 两两互相垂直.
以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 7 分
的面积为 .
则 ,
.
设 ,则 . 9 分设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 11 分
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 . 13 分
平面 与平面 的夹角为 ,
,即 ,解得 ,
为 的中点,故 . 15 分
18. 解: (1) 设 . 由题意,得 ,离心率 .
. 2 分
又 的面积为 ,
则有
椭圆 的方程为 . 5 分
(2)由题意， ， 直线 与 的斜率存在， 点 ， 不能为椭圆 的上、下顶点.
设 ， .
当直线 的斜率不存在时,设直线 .
联立方程 消去 ,整理得 ,化简得 ,
且 .
,即 ,解得 ,不合题意. 7 分
当直线 的斜率存在时,设直线 .
联立方程 消去 ,整理得 ,
,化简得 ,
且 . 9 分
,即 ,
整理得 .
,整理得 .
. 由 ,即 ,
整理得 ，解得 . 12 分
坐标原点 到直线 的距离 . 13 分
设 ,则 .
当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增.
. 16 分
又 ,
即坐标原点 到直线 距离的取值范围是 . 17 分
19.(1)解:由 ，得 ， ， ， ， ， ， 2 分以上等式同向相加,得 ,
,即 . 5 分
(2)证明: ，且 ，则数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
. 6 分
当 时，数列 是递减的等差数列，则总存在正整数 ， ，这与 矛盾，
恒成立,即 . 7 分
,
, 8 分
. 9 分
随 的增大而增大, 总存在正整数 使 ,
即数列 中存在小于 2 的项. 11 分
(3)证明: ,
, 13 分
随 的增大而增大,且当 时, , 15 分由( 2 )知，c>0，故对任意的 ，总存在正整数 使 ，
存在正整数 ,使得 . 17 分
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