2025-2026学年江西省九江市高二下学期数学3月月考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年江西省九江市高二下学期数学3月月考试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 213.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
2025-2026 学年度高二年级下学期 3 月月考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 数列 的一个通项公式 ( )
A. B. C. D.
2. 等比数列 的公比为 2,则 ( )
A. B. C. 4 D. 2
3. 已知正项等比数列 ( )
A. B. C. D.
4. 若数列 满足 , ,则 ( )
A. B. C. D. 2
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6. 已知等差数列 的项数为奇数,其中所有奇数项之和为 220,所有偶数项之和为 200,则数 列项数为 ( )
A. 9 B. 19 C. 21 D. 11
7. 已知数列 满足 ,若对于任意的 都有 成立,则正整数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 的前 项和是
C. 数列 是等差数列 D. 数列 的前 10 项和是
10. 已知 为等差数列,前 项和为 , , ,则下列结论正确的有
A. B. 当且仅当 时, 最小
C. 数列 为等差数列 D. 满足 的最大整数 为 14
11. 南宋数学家杨辉 “善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”. 在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比， 推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式, 后人经常利用 “三角垛” 解决现实中的堆垛问题. 现有一堆货物, 从上向下数, 第一层有 1 个货物, 第二层比第一层多 2 个, 第三层比第二层多 3 个,以此类推,记第 层货物的个数为 ,前 层货物的总数为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 集合 中共有 25 个奇数
C. 设 ,则 的前 100 项和为 2550
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
13. 已知数列 是公比为 的正项等比数列,且 ,若 ,则 _____.
14. 在正项数列 中,对任意 ,若 为单调递增数列,则 的取值范围是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 其中第 15 题 13 分, 第 16 题 15 分, 第 17 题 15 分、第 18 题、第 19 题 17 分.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 的公比 .
(1)求数列 的通项公式;
(2) 令 ,数列 的前 项和为 ,求证: .
16. 如图,四边形 是正方形, 平面 ,点 分别为棱 和 的中点.
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式与前 项和 ;
(2)求数列 的前 项和 .
18. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和,已知 ,数列 满足 ,且
(1) 求 的通项公式.
(2)证明: 数列 是等比数列.
(3)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动, 抽奖规则是: 有放回地从装有大小相同的 4 个红球和 2 个黑球的袋中任意抽取一个, 若第一次抽到红球则奖励 40 元的奖券, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券; 第二次开始, 每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的 2 倍, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券. 记顾客甲第 次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 .
(1)求 及 的分布列;
(2)写出 与 的递推关系式,并证明 为等比数列;
(3)若顾客甲一共有 6 次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望(参考数据:
2025-2026 学年度高二年级下学期 3 月月考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 数列 的一个通项公式 ( )
A. B. C. D.
解 选 A.
对数列的前几项变形,找出规律,从而写出数列的一个通项公式. 数列 , ,可写为 .
所以数列的一个通项公式 .
2. 等比数列 的公比为 2,则 ( )
A. B. C. 4 D. 2
解 选 D.
利用等比数列通项公式 可得: .
3. 已知正项等比数列 ( )
A. B. C. D.
解 选 C.
设等比数列 的公比为 . 由 可得 ,又 ,所以 . 又由 可得 ,解得 . 所以 . 故选 C.
4. 若数列 满足 , ,则 ( )
A. B. C. D. 2
解 选 D.
由 ,得 , , . 所以数列 以 4 为周期. 余 1,故 .
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
解 选 A.
由题意可知, 是等比数列,则 ,即 , 故 .
6. 已知等差数列 的项数为奇数,其中所有奇数项之和为 220,所有偶数项之和为 200,则数列项数为 ( )
A. 9 B. 19 C. 21 D. 11
解 选 C.
设等差数列 共 项,则其中奇数项有 项,偶数项有 项,且各成等差数列. 奇数项和为 ,偶数项和为 . 因为 ,所以 ,解得 . 所以 ,即等差数列 的项数为 21 .
7. 已知数列 满足 ,若对于任意的 都有 成立,则正整数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
解 选 B.
由题意数列 为递增数列,所以
则 且 ,又 为正整数,由 知, ,当 时, ,符合 ,同理 均符合,当 时, ,不符合 ,故正整数 的取值范围是 .
8. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
解 选 B.
已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,则当 时, ,整理得 ,所以 ,又当 时, ,所以数列 是以 为首项,3 为公差的等差数列,则 ,故 . 所以 ,当 时, ,则 ,当 时, ,所以 ,综上可得: ,若对任意 , 恒成立,则 ,故实数 的取值范围是 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 的前 项和是
C. 数列 是等差数列 D. 数列 的前 10 项和是
解 选 AC.
由题可得 ,则 ,所以数列 是等比数列,故 正确; ,故 B 不正确; 已知 , ,故 是等差数列,故 正确; 则 ,故 错误.
10. 已知 为等差数列,前 项和为 ,则下列结论正确的有
A. B. 当且仅当 时, 最小
C. 数列 为等差数列 D. 满足 的最大整数 为 14
解 选 ACD.
对于 ,由等差数列性质可得 ,故 正确; 对于 ,故 , 由二次函数的性质可知, 或 时 最小, 错误; 对于 , 故 ,故 为等差数列,且公差为 1, C 正确; 对于 ,令 ,则 ,解得: ,故 的最大整数值为 正确.
11. 南宋数学家杨辉 “善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”. 在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比， 推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式, 后人经常利用 “三角垛” 解决现实中的堆垛问题. 现有一堆货物，从上向下数，第一层有 1 个货物，第二层比第一层多 2 个，第三层比第二层多 3 个,以此类推,记第 层货物的个数为 ,前 层货物的总数为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 集合 中共有 25 个奇数
C. 设 ,则 的前 100 项和为 2550
D.
解 选 ACD.
对于 ,依题意 ,且 ,所以当 时, 从而 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,此时 为奇数; 同理当 时, 为奇数; 当 时, 为偶数; 当 时, 为偶数,所以集合 中共有 24 个奇数,故 B 错误;
对于 ,设 的前 项和为 ,因为 ,则
故 C 正确;
对于 ,由 ,知
故 ,所以
故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
解 填 .
设等差数列 的公差为 ,因为 .
则 ,解得 ,所以 .
13. 已知数列 是公比为 的正项等比数列,且 ,若 ,则
解 填 4046 .
由数列 是公比为 的正项等比数列,故 . ,故 ,即有 .
由 ,则当 时,有 4,故 ,故
故 .
14. 在正项数列 中,对任意 ,若 为单调递增数列,则 的取值范围是_____.
解 填 .
令 ,则 ,由 ,累加得 , 故 .
因为 为单调递增数列,所以 恒成立,则
化简得 ,即 ,因为 ,所以 ,解得 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 其中第 15 题 13 分, 第 16 题 15 分, 第 17 题 15 分、第 18 题、第 19 题 17 分.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 的公比 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
解 (1) 设等比数列 的首项为 ,公比为 ,由题意得
解得 或 ,因为 ,所以 ,代入可得 ,所以 .
(2) ,则 .
16. 如图,四边形 是正方形, 平面 ,点 分别为棱 和 的中点.
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
解(1)因为四边形 为正方形,且 平面 ,所以 两两互相垂直. 以点 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 .
所以 .
所以 ,所以 ,即 .
(2)设平面 的法向量 ，则
取 ,可得 ,所以平面 的一个法向量为 ,又 , 设直线 与平面 所成角为 ,则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式与前 项和 ；
(2)求数列 的前 项和 .
解 (1) 因为 (1)
所以当 时, .
当 时, (2)
由式 (1) 一式 (2) 整理得 ,因为 符合上式,所以 .
所以数列 是以 1 为首项, 为公差的等差数列.
所以 .
(2) 因为 ,所以 .
因为 .
所以 ,所以 .
18. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和,已知 ,数列 满足 ,且
(1)求 的通项公式.
(2)证明: 数列 是等比数列.
(3)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
解 (1) 设等差数列 的公差为
由 可得
解得 或 (舍去)
所以 .
(2)由(1)可知 ，则
由 ,可得 ,所以
所以数列 是差 为首项, 为公比的等比数列.
(3) 由 (1) 可得
设 的前 项和为 ,则
当 为奇数时, 随着 的增大而减小,可得 .
当 为偶数时, 随着 的增大而增大,可得 .
所以 的最大值为 ,最小值为 .
19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动, 抽奖规则是: 有放回地从装有大小相同的 4 个红球和 2 个黑球的袋中任意抽取一个, 若第一次抽到红球则奖励 40 元的奖券, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券; 第二次开始, 每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的 2 倍, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券. 记顾客甲第 次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 .
(1)求 及 的分布列;
(2)写出 与 的递推关系式,并证明 为等比数列;
(3)若顾客甲一共有 6 次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望(参考数据: 5.62).
解 (1) 依题意知,抽到一个红球的概率为 ,抽到一个黑球的概率为 .
显然 的值为 20,40,则 .
所以 ,又 的值为20,40,80.
则 .
所以 的分布列为
20 40 80
1 2 9 4 9
(2)依题意，当 时，甲第 次抽到红球所得的奖券数额为 ，对应概率为 .
抽到黑球所得的奖券数额为 20 元,对应概率为 ,因此当 时，
则 ,即 .
又 ,故数列 是首项为 、公比为 的等比数列.
(3) 由 (2) 得 ,即 .
顾客甲抽奖 6 次，所得奖券数额期望为
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 数列 的一个通项公式 ( )
A. B. C. D.
2. 等比数列 的公比为 2,则 ( )
A. B. C. 4 D. 2
3. 已知正项等比数列 ( )
A. B. C. D.
4. 若数列 满足 , ,则 ( )
A. B. C. D. 2
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6. 已知等差数列 的项数为奇数,其中所有奇数项之和为 220,所有偶数项之和为 200,则数 列项数为 ( )
A. 9 B. 19 C. 21 D. 11
7. 已知数列 满足 ,若对于任意的 都有 成立,则正整数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 的前 项和是
C. 数列 是等差数列 D. 数列 的前 10 项和是
10. 已知 为等差数列,前 项和为 , , ,则下列结论正确的有
A. B. 当且仅当 时, 最小
C. 数列 为等差数列 D. 满足 的最大整数 为 14
11. 南宋数学家杨辉 “善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”. 在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比， 推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式, 后人经常利用 “三角垛” 解决现实中的堆垛问题. 现有一堆货物, 从上向下数, 第一层有 1 个货物, 第二层比第一层多 2 个, 第三层比第二层多 3 个,以此类推,记第 层货物的个数为 ,前 层货物的总数为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 集合 中共有 25 个奇数
C. 设 ,则 的前 100 项和为 2550
D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____.
13. 已知数列 是公比为 的正项等比数列,且 ,若 ,则 _____.
14. 在正项数列 中,对任意 ,若 为单调递增数列,则 的取值范围是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 其中第 15 题 13 分, 第 16 题 15 分, 第 17 题 15 分、第 18 题、第 19 题 17 分.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 的公比 .
(1)求数列 的通项公式;
(2) 令 ,数列 的前 项和为 ,求证: .
16. 如图,四边形 是正方形, 平面 ,点 分别为棱 和 的中点.
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式与前 项和 ;
(2)求数列 的前 项和 .
18. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和,已知 ,数列 满足 ,且
(1) 求 的通项公式.
(2)证明: 数列 是等比数列.
(3)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动, 抽奖规则是: 有放回地从装有大小相同的 4 个红球和 2 个黑球的袋中任意抽取一个, 若第一次抽到红球则奖励 40 元的奖券, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券; 第二次开始, 每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的 2 倍, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券. 记顾客甲第 次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 .
(1)求 及 的分布列;
(2)写出 与 的递推关系式,并证明 为等比数列;
(3)若顾客甲一共有 6 次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望(参考数据:
2025-2026 学年度高二年级下学期 3 月月考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 数列 的一个通项公式 ( )
A. B. C. D.
解 选 A.
对数列的前几项变形,找出规律,从而写出数列的一个通项公式. 数列 , ,可写为 .
所以数列的一个通项公式 .
2. 等比数列 的公比为 2,则 ( )
A. B. C. 4 D. 2
解 选 D.
利用等比数列通项公式 可得: .
3. 已知正项等比数列 ( )
A. B. C. D.
解 选 C.
设等比数列 的公比为 . 由 可得 ,又 ,所以 . 又由 可得 ,解得 . 所以 . 故选 C.
4. 若数列 满足 , ,则 ( )
A. B. C. D. 2
解 选 D.
由 ,得 , , . 所以数列 以 4 为周期. 余 1,故 .
5. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
解 选 A.
由题意可知, 是等比数列,则 ,即 , 故 .
6. 已知等差数列 的项数为奇数,其中所有奇数项之和为 220,所有偶数项之和为 200,则数列项数为 ( )
A. 9 B. 19 C. 21 D. 11
解 选 C.
设等差数列 共 项,则其中奇数项有 项,偶数项有 项,且各成等差数列. 奇数项和为 ,偶数项和为 . 因为 ,所以 ,解得 . 所以 ,即等差数列 的项数为 21 .
7. 已知数列 满足 ,若对于任意的 都有 成立,则正整数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
解 选 B.
由题意数列 为递增数列,所以
则 且 ,又 为正整数,由 知, ,当 时, ,符合 ,同理 均符合,当 时, ,不符合 ,故正整数 的取值范围是 .
8. 已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,若对任意 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
解 选 B.
已知数列 的前 项和为 ,且满足 , ,则当 时, ,整理得 ,所以 ,又当 时, ,所以数列 是以 为首项,3 为公差的等差数列,则 ,故 . 所以 ,当 时, ,则 ,当 时, ,所以 ,综上可得: ,若对任意 , 恒成立,则 ,故实数 的取值范围是 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 ,则 ( )
A. 数列 是等比数列 B. 数列 的前 项和是
C. 数列 是等差数列 D. 数列 的前 10 项和是
解 选 AC.
由题可得 ,则 ,所以数列 是等比数列,故 正确; ,故 B 不正确; 已知 , ,故 是等差数列,故 正确; 则 ,故 错误.
10. 已知 为等差数列,前 项和为 ,则下列结论正确的有
A. B. 当且仅当 时, 最小
C. 数列 为等差数列 D. 满足 的最大整数 为 14
解 选 ACD.
对于 ,由等差数列性质可得 ,故 正确; 对于 ,故 , 由二次函数的性质可知, 或 时 最小, 错误; 对于 , 故 ,故 为等差数列,且公差为 1, C 正确; 对于 ,令 ,则 ,解得: ,故 的最大整数值为 正确.
11. 南宋数学家杨辉 “善于把已知形状、大小的几何图形的面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”. 在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形类比， 推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式, 后人经常利用 “三角垛” 解决现实中的堆垛问题. 现有一堆货物，从上向下数，第一层有 1 个货物，第二层比第一层多 2 个，第三层比第二层多 3 个,以此类推,记第 层货物的个数为 ,前 层货物的总数为 ,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 集合 中共有 25 个奇数
C. 设 ,则 的前 100 项和为 2550
D.
解 选 ACD.
对于 ,依题意 ,且 ,所以当 时, 从而 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,此时 为奇数; 同理当 时, 为奇数; 当 时, 为偶数; 当 时, 为偶数,所以集合 中共有 24 个奇数,故 B 错误;
对于 ,设 的前 项和为 ,因为 ,则
故 C 正确;
对于 ,由 ,知
故 ,所以
故 D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
解 填 .
设等差数列 的公差为 ,因为 .
则 ,解得 ,所以 .
13. 已知数列 是公比为 的正项等比数列,且 ,若 ,则
解 填 4046 .
由数列 是公比为 的正项等比数列,故 . ,故 ,即有 .
由 ,则当 时,有 4,故 ,故
故 .
14. 在正项数列 中,对任意 ,若 为单调递增数列,则 的取值范围是_____.
解 填 .
令 ,则 ,由 ,累加得 , 故 .
因为 为单调递增数列,所以 恒成立,则
化简得 ,即 ,因为 ,所以 ,解得 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 其中第 15 题 13 分, 第 16 题 15 分, 第 17 题 15 分、第 18 题、第 19 题 17 分.
15. 已知等比数列 的前 项和为 ,已知 ,且 的公比 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ，数列 的前 项和为 ，求证: .
解 (1) 设等比数列 的首项为 ,公比为 ,由题意得
解得 或 ,因为 ,所以 ,代入可得 ,所以 .
(2) ,则 .
16. 如图,四边形 是正方形, 平面 ,点 分别为棱 和 的中点.
(1) 求证: ;
(2) 求直线 与平面 所成角的正弦值.
解(1)因为四边形 为正方形,且 平面 ,所以 两两互相垂直. 以点 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
则 .
所以 .
所以 ,所以 ,即 .
(2)设平面 的法向量 ，则
取 ,可得 ,所以平面 的一个法向量为 ,又 , 设直线 与平面 所成角为 ,则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17. 已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式与前 项和 ；
(2)求数列 的前 项和 .
解 (1) 因为 (1)
所以当 时, .
当 时, (2)
由式 (1) 一式 (2) 整理得 ,因为 符合上式,所以 .
所以数列 是以 1 为首项, 为公差的等差数列.
所以 .
(2) 因为 ,所以 .
因为 .
所以 ,所以 .
18. 记 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和,已知 ,数列 满足 ,且
(1)求 的通项公式.
(2)证明: 数列 是等比数列.
(3)若数列 满足 ，求 的前 项和的最大值、最小值.
解 (1) 设等差数列 的公差为
由 可得
解得 或 (舍去)
所以 .
(2)由(1)可知 ，则
由 ,可得 ,所以
所以数列 是差 为首项, 为公比的等比数列.
(3) 由 (1) 可得
设 的前 项和为 ,则
当 为奇数时, 随着 的增大而减小,可得 .
当 为偶数时, 随着 的增大而增大,可得 .
所以 的最大值为 ,最小值为 .
19. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动, 抽奖规则是: 有放回地从装有大小相同的 4 个红球和 2 个黑球的袋中任意抽取一个, 若第一次抽到红球则奖励 40 元的奖券, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券; 第二次开始, 每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的 2 倍, 抽到黑球则奖励 20 元的奖券. 记顾客甲第 次抽奖所得的奖券数额 的数学期望为 .
(1)求 及 的分布列;
(2)写出 与 的递推关系式,并证明 为等比数列;
(3)若顾客甲一共有 6 次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望(参考数据: 5.62).
解 (1) 依题意知,抽到一个红球的概率为 ,抽到一个黑球的概率为 .
显然 的值为 20,40,则 .
所以 ,又 的值为20,40,80.
则 .
所以 的分布列为
20 40 80
1 2 9 4 9
(2)依题意，当 时，甲第 次抽到红球所得的奖券数额为 ，对应概率为 .
抽到黑球所得的奖券数额为 20 元,对应概率为 ,因此当 时，
则 ,即 .
又 ,故数列 是首项为 、公比为 的等比数列.
(3) 由 (2) 得 ,即 .
顾客甲抽奖 6 次，所得奖券数额期望为
同课章节目录