2025-2026学年下学期湖北鄂州高三数学3月质量监测试卷（含答案）

2026 年鄂州市高三(3 月)质量监测 数 学 试 卷
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求.
1. 复数 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 为质数, ,则
A. B. C. D.
3. 双曲线 的离心率为 ，则 的值为
A. B. C. 2 D. 4
4. 已知 ,则
A. 32 B. 31 C. -31 D. 1
5. 已知函数 为奇函数,且 为偶函数,当 时,有 ,则
A. 2025 B. -2025
C. D.
6. 已知数列 的首项 ,且满足 ,则数列
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减
7. 已知等边三角形 的边长是 是三角形 所在平面内的动点,且 , 则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知非负实数 满足 ,则 的最小值为
A. 8 B. C. 7 D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 下列关于函数 的说法正确的有
A. 函数 的最小正周期为
B. 要得到函数 的图象,只需将函数 的图象向左平移 个单位长度
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 函数 在区间 上单调递减
10. 已知函数 为 的极大值点， ，则
A. B. C. D.
11. 平面上一动点 到原点 的距离与到直线 的距离之和为常数 ,点 的轨迹为曲线 ,点 在曲线 上,则
A.
B.
C. 面积的最大值为 9
D. 从曲线内 任取一整点 (横纵坐标均为整数),该点位于圆 内的概率大于
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 已知10名同学的跳远成绩(单位:m)排序后下:3.51，3.62，3.78，3.81，3.92， 4.01, 4.09, 4.22, 4.31, 4.45, 则这组数据的第 60 百分位数是_____.
13. 某湿地公园正在修建一个云星塔, 其主体工程现已完成, 由于还没有完全完工, 周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底 同一水平面内共线的三个点 ,且在 处测得塔顶端 的仰角分别为 , ，同时测得 ， (如下图)，则塔的高度为_____m。
14. 如图，经过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点 (点 在第一象限),直线 的倾斜角为 ,经过点 和原点 的直线与 的准线 交于点 .
(1)当 时， _____；(2) 绕直线 旋转一周所形成的几何体体积最小时,直线 的斜率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中,内角 所对的边分别为 的面积为 是线段 上一点,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ， 平分 ，求 .
16. (15 分)
如图, 在多面体 中,四边形 是边长为 2 的正方形, ,且 为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角.
17. (15分)
在区块链技术支持的加密资产网络中, 设有两个智能合约钱包 (甲钱包与乙钱包). 每个钱包初始配置有 1 枚 “黑币” (代表高波动性资产) 与 2 枚 “白币” (代表稳定资产), 为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议:每次从两不钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包. 记该协议重复执行 次后，甲钱包中 “黑币” 的数量为 ，甲钱包中恰好有 1 枚 “黑币” 的概率为 .
(1)求 ；
(2)证明:数列 是等比数列,并求出数列 的通项公式:
(3)求 .
18.(17分)
已知动圆 与圆 外切，同时与圆 相内切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；
(2)设曲线 与 轴交于 两点(A，在 左侧)，过 的动直线交 于 两点,直线 交直线 于 两点,证明:
(i) 以 为直径的圆 恒过定点,并求出定点坐标:
(ii) 直线 与圆 相切.
19.(17分)
已知函数
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时， ，求 的取值范围:
(3)已知点 ，按照如下方式依次构造点 :过点 作曲线 的切线与 轴交于点 ,令 为过点 且斜率为 0 的直线与曲线 的交点,记 的面积为 ,证明: .
高三三月考试数学试卷参考答案
202603
题号 一、选择题 (单选) 二、选择题(多选)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
题号 12 13 14
答案 4.05 60 3 15
而
所以
故
即
(或者坐标法,略)
8. 因为 为非负实数,且 ,欲求 的最小值, 即求线段 上的点到 轴的距离与到原点距离之和最小,而原点关于线段的对称点为 ,即求线段上的点 到 与到 轴距离之和最小,显然就是 到 轴的距离 8 .
11. 设动点 ,由题得到
而点 在此曲线上,所以 ,选项 正确;
由于 ,显然
而 ,所以
所以 ,从而 ,故 ,选项 错误;
的面积 为 点到直线 (即直线 ) 的距离)
要使得 的面积最大,即 最大,即 点到 距离最大,由曲线 的定义,此时 点到原点距离最小,由上面分析可知, 最小为 3,所以 的最大值为 3,所以 的面积的最大值为 9,选项 正确;
对于选项 ,位于圆 内的整点即
共有 25 个点,
可以证明: ,易知 在曲线 外,
所以,曲线 内的整点,一定少于区域 内的整点,该区域内的整点共有 81 个, 故其概率大于 ,选项 正确
14. (第一空 2 分,第二空 3 分) (1) 由题可证 ,于是可得 ,
而 ,即 ,同理
故
(2)由题知 绕 旋转一周所形成几何体的体积为:
令
则
又
分析可知,当 时, 最大,几何体的体积最小,
由同角三角函数关系得 ，于是 . 即直线 的斜率为 .
15. 解: (1) 由条件 ,利用正弦定理可得
.2 分
因为 ,所以
代入上式: . .4 分
整理得: ,又 ,
故 即 ,又 ,所以 . .6 分
(2)由三角形面积公式知 ,可得 . .7 分
又
由余弦定理 ,得
. .9 分
于是可得 或 . .10 分
因为 平分 ,由角平分线性质,
,且 ,
所以 . .12 分
故 的长度为 或 .13 分
16. 证明: (1) 设 ,连 ,则
又 为线段 的中点,
所以 , .2 分
又 ,即
故 ,所以四边形 为平行四边形, .4 分
故 ，而 平面 ， 平面
故 平面 .6 分
(2)延长 交 于 ,则 为 的中点,连
由 ,可知
由(1)知 故
所以 . .7 分
因为 平面
所以 平面
又 平面
所以平面 平面 .9 分
又平面 平面 平面
所以 平面
又 ,所以 平面 . .10 分
如图建立空间直角坐标系,则
.11 分
设平面 的法向量 则
即
不妨令 ,则 即 .12 分
易知 平面 ,故平面 的法向量 .13 分
设两平面所成的角为 ,则 .14 分所以 .15 分
(几何法: 易知 平面 ,过点 作 ,连接 ,则 即为平面 与平面 的夹角， ，所以 ，即平面 与平面 的夹角为 )
17. 解: (1) 由题意得 .3 分
(2)当 时,设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为 ，则没有“黑币”的概率为
.5 分
.6 分
又 ,故 为等比数列 .8 分
故
. 10 分
(3)由题 的可能取值为0,1,2 .11 分
其概率分布列为
0 1 2
.13 分
依题意, 即 . 于是
故 .15 分
18. 解: (1) 圆 化为标准方程为 ,圆心 ,半径
圆 化为标准方程为 ,圆心 ,半径 .1 分
设动圆圆心 ，其半径为 .
由题意，圆 与圆 外切，与圆 内切，故
两式相加得 .3 分
即动点 到两定点 与 的距离之和为常数 12,且
满足椭圆的定义，于是其方程为: .5 分
(2)曲线 与 轴交于 两点,由方程令 ,得 ,即 , 点 为椭圆的右焦点 .6 分
(i) 设过点 的动直线 的方程为: ,
代入椭圆方程 整理得:
设 则
.8 分
不妨记 ,则
直线 的方程为: ,与直线 交于点 ,则
同理,直线 与直线 交于点 ,则 .10 分
而 . .12 分
在以 为直径的圆 上. 即圆 过定点
由对称性知,圆 还过定点 ;
所以圆 过定点 和 .13 分
19. 解: (1) 当 时, .1 分
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 单调递增, .3 分
所以 . .4 分
(2)解法一: ,
.5 分
记 ,
(i) 当 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,所以 时, ,即 ,
所以 在 上单调递减,又 ,
所以 恒成立，故 合题意； .6 分
(ii) 当 时,因为 ,所以 在 上单调递减,
又 ,所以 时, ,同 可得 恒成立,
故 合题意; .7 分
(iii) 当 时，因为 ，所以 在 上单调递减，
此时
所以,当 时, ,
所以 在 单调递增,又 ,
所以 ,即
所以 在 单调递增,又 ,
所以 ,不合题意 .9 分
(iiii) 当 时,显然 为 上的增函数,又 ,
所以 时, ,即 ,
所以 在 上单调递增,又 ,
所以 恒成立，故 不合题意；
综上所述，实数 的取值范围为 .10 分
(3)由题意，点 在曲线 上，设
已知 ,即 ,
过 的切线方程为: .11 分
与 轴交点 的坐标为
过 且斜率为 0 的直线为 ,与曲线 的交点 满足
,所以 是以 1 为首项, 为公比的等比数列,
因此 .13 分
所以 的坐标为 的坐标为 ,
的底边 的长度为 ,高为 1,故面积
于是 ,则 , .14 分
所以要证 即证
而 (2) 中 时,任意 时,有 恒成立,
故有 时, 恒成立,
令 ,则有 .16 分
所以
求和得
所以原不等式成立 .17 分