2025-2026学年下学期山西天一大联考高三数学3月联考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期山西天一大联考高三数学3月联考试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知等差数列 的公差为 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 五个数的平均数为 50,则这五个数的中位数为
A. 45 B. 47.5 C. 50 D. 52.5
4. 已知 均为单位向量,且满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
5. 已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知某圆台的上底面面积为 ,下底面面积为 ,轴截面的面积为 48,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
7. 的展开式中 的系数为
A. -24 B. -20 C. 20 D. 24
8. 已知函数 ,若 当且仅当 时成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ,则
A.
B. 的虚部为 1
C. 存在 ,使得
D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限
10. 记 为数列 的前 项和,已知 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B. 是等比数列
C. 设 ,则 D. 设 ,则
11. 记双曲线 的左、右焦点分别为 ,右顶点为 ,以 为圆心, 为半径的圆 与 的右支交于 两点,则下列说法正确的是
A. 若原点 在圆 上,则
B. 若原点 在圆 上,则
C. 若 的左顶点在圆 上,则
D. 若 的左顶点在圆 上,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 _____.
13. 若 ，则 _____.
14. 过直线 上一动点 的作抛物线 的两条切线，两条切线与 轴分别交于点 ，则 的外接圆面积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中, .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面 ， ， 为 的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 的动直线与 交于另一点 ,过点 且与 平行的直线与 交于 两点,直线 与 不重合.
(1)当点 在直线 上时,求 ;
(2)记 的中点为 的中点为 ，坐标原点为 ，证明: 三点共线.
18. (17 分)
甲、乙、丙三名同学进行传球游戏，有 1 个红球和 1 个绿球，每一轮中，持有球的人都将手中的球传出,若某人持有 1 个球,就将此球等可能地传给另外两人中的一人,若某人持有 2 个球, 就在这一轮中将 2 个球分别传出, 每个球都等可能地传给另外两人中的一人, 2 个球的去向互不影响, 每个球一轮中只传递一次. 游戏开始时, 2 个球都在甲手中.
(1)求 2 轮后 2 个球恰好都回到甲手中的概率；
(2)设 轮后红球在甲手中的概率为 ，求 ；
(3)设 轮后甲手中球的个数为 ， 的期望为 ，求 .
19. (17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， ，求 的取值范围；
(3)若存在两个不同的正数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围.
高三数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 A
由 即 ,得 ,所以 },故 }
2. 答案 B
由 ,得 ,得 ,故 .
3. 答案
由题意知 ,得 ,若 ,则这五个数为45,50,50,50,55,中位数为 50 . 若 ,不妨设 ,则 ,这五个数的中位数仍是 50 .
4. 答案
由题意知 ,解得 ,于是
5. 答案
由题意得 ,所以 ,又 ,所以 的最小值为 .
6. 答案
记圆台的上底面半径为 ,下底面半径为 ,高为 ,则 可得 而 ,解得 ,故圆台的体积 .
7. 答案
,所以原展开式中 的系数为 .
8. 答案
显然 ,可得 ,于是 . 当 时, , 单调递增,此时显然符合要求; 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减，根据题意知 ，得 ，此时 ，满足条件；当 时， 在 上单调递增,在 上单调递减,则需 ,即 ,得 . 综上, 的取值范围是 .
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分.
9. 答案 AD
对于 ,显然 ,于是 ,故 正确;
对于 ,其虚部为 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,若其在复平面内对应的点在第四象限,则 不等式组无解,故 正确.
10. 答案 BCD
对于 ,当 时, ,于是 ,故 错误;
对于 ,两式相减,得 ,可知 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,易知当 时, ,于是 ,故 , 故 D 正确.
11. 答案 ABD
对于 ,记 的半焦距为 ,若原点 在圆 上,则 ,此时 ,而 , 所以 ,于是 ,而 ,于是 ,可得 ,故 正确;
对于 ,此时圆 ,联立得 可得 ,由 ,得 ,而 ,故 ,故 B 正确； 对于 ,圆 ,联立得 ,可得 ,所以 ,又 ,所以由余弦定理得 ,故 C 错误, D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
令 ,得 ,令 ,得 ,所以 ,于是 .
13. 答案 3
.
14. 答案
的焦点为 ,抛物线方程可改写为 ,则 ,设两条切线分别为 ,切点分别为 ,则 ,令 ,可得 . 联立 的方程,可得 ,所以 ,则 ,所以 ,同理 , 则 的外接圆以 为直径,又 ,所以 外接圆面积的最小值为
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由 ,得 , (2 分)
于是 . (7 分)
(2)由 ，得 ， (9 分)
由正弦定理得 ,可得 , (11 分)
故 的面积 . (13 分)
16.. (1) 取 的中点为 ,连接 .
因为四边形 是菱形,所以 ,
因为 分别是 的中点,所以 ,所以 . (1 分)
由 ,得 ,
而平面 平面 ,平面 平面 平面 ,故 平面 . (3 分)
又 平面 ,所以 . (4 分)
又 ,所以 平面 . (5 分)
故 . (6 分)
(2)由题知 ,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 ,如图, (8 分)
则 ,
于是 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即 可取 . (13 分) 设直线 与平面 所成的角为 ,
则 . (15 分)
17. (1) 由题意知 . (1 分)
设 .
当点 在直线 上时,直线 的斜率为 1,所以 . (2 分)
联立得 可得 ,不妨设 ,可得 , (4 分)
于是 . (6 分)
(2)易知直线 的斜率不为 0，故设 ，
联立得 可得 ,
则 ,
于是 . (10 分)
由 ,联立得 可得 ,
设 ,则 ,
于是 . (13 分)
因为 ,所以 三点共线. (15 分)
18. (1) 2 轮传球后,红球回到甲手中的概率为 , (2 分)
由题意知,红球与绿球的传递相互独立,所以 2 轮传球后,绿球在甲手中的概率也是 . (3 分)
所以 2 轮传球后 2 个球恰好都回到甲手中的概率为 . (5 分)
(2)考虑红球在第 轮到第 轮的位置变化:
若第 轮后红球在甲手中,则第 轮后红球一定不在甲手中,若第 轮后红球不在甲手中,无论球在乙和丙谁的手中,传回甲的概率均为 ,所以 . (8 分)
整理得 ,又 ,所以 , 即 . (或写成 ) (11 分)
(3)因为红球与绿球的传递相互独立，所以 服从二项分布 ，
(14 分)
所以
(17 分)
19. (1) 当 时, ,
所以 ,又 ,
所以所求的切线方程为 . (3 分)
(2)由题意，当 时， ，即 . (4 分)
设函数 ,则 ,
令 ,解得 ,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增. (6 分)
所以当 时, 取得最小值, ,
所以 ,即 的取值范围是 . (8 分)
(3) 方法一: 依题意, 因为 ,所以 ,
整理可得 且 所以
即函数 的图象与直线 至少有两个交点. (10 分)
,设函数 ,则 ,
求导易知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且 ,
若 ,则 单调递减, 至多有 1 个零点,不符合题意; (11 分)
若 ,即 ,则函数 存在两个零点,记为 ,且 ,
其中 , (12 分)
所以 在区间 和 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以 的极小值为 ,极大值为 . (13 分) 再比较 与 的大小:
设 ,则 ,
所以 单调递减, ,即 ,从而 . (15 分) 因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 的图象与直线 在区间 内各有一个交点,因此 符合题意.
综上, 的取值范围是 . (17 分)
方法二: 由题意得 ,因为 ,所以 .
不妨设 ,则 ,两边取对数,得 ,
所以 , (10 分)
所以 . (11 分)
设 ,则 , (12 分)
设 ,则 (根据不等式 ),
故 单调递增, ,所以 在 上单调递增, (14 分)
所以 在 上单调递增,又当 时, ,所以 ,
故 的取值范围是 . (15 分)
注:方法二中求端点值时使用了“洛必达法则”，故扣 2 分.
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知等差数列 的公差为 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知 五个数的平均数为 50,则这五个数的中位数为
A. 45 B. 47.5 C. 50 D. 52.5
4. 已知 均为单位向量,且满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
5. 已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知某圆台的上底面面积为 ,下底面面积为 ,轴截面的面积为 48,则该圆台的体积为
A. B. C. D.
7. 的展开式中 的系数为
A. -24 B. -20 C. 20 D. 24
8. 已知函数 ,若 当且仅当 时成立,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ,则
A.
B. 的虚部为 1
C. 存在 ,使得
D. 在复平面内对应的点不可能在第四象限
10. 记 为数列 的前 项和,已知 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B. 是等比数列
C. 设 ,则 D. 设 ,则
11. 记双曲线 的左、右焦点分别为 ,右顶点为 ,以 为圆心, 为半径的圆 与 的右支交于 两点,则下列说法正确的是
A. 若原点 在圆 上,则
B. 若原点 在圆 上,则
C. 若 的左顶点在圆 上,则
D. 若 的左顶点在圆 上,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 _____.
13. 若 ，则 _____.
14. 过直线 上一动点 的作抛物线 的两条切线，两条切线与 轴分别交于点 ，则 的外接圆面积的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 中, .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面 ， ， 为 的中点.
(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 的动直线与 交于另一点 ,过点 且与 平行的直线与 交于 两点,直线 与 不重合.
(1)当点 在直线 上时,求 ;
(2)记 的中点为 的中点为 ，坐标原点为 ，证明: 三点共线.
18. (17 分)
甲、乙、丙三名同学进行传球游戏，有 1 个红球和 1 个绿球，每一轮中，持有球的人都将手中的球传出,若某人持有 1 个球,就将此球等可能地传给另外两人中的一人,若某人持有 2 个球, 就在这一轮中将 2 个球分别传出, 每个球都等可能地传给另外两人中的一人, 2 个球的去向互不影响, 每个球一轮中只传递一次. 游戏开始时, 2 个球都在甲手中.
(1)求 2 轮后 2 个球恰好都回到甲手中的概率；
(2)设 轮后红球在甲手中的概率为 ，求 ；
(3)设 轮后甲手中球的个数为 ， 的期望为 ，求 .
19. (17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， ，求 的取值范围；
(3)若存在两个不同的正数 ，使得 ，且 ，求 的取值范围.
高三数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 A
由 即 ,得 ,所以 },故 }
2. 答案 B
由 ,得 ,得 ,故 .
3. 答案
由题意知 ,得 ,若 ,则这五个数为45,50,50,50,55,中位数为 50 . 若 ,不妨设 ,则 ,这五个数的中位数仍是 50 .
4. 答案
由题意知 ,解得 ,于是
5. 答案
由题意得 ,所以 ,又 ,所以 的最小值为 .
6. 答案
记圆台的上底面半径为 ,下底面半径为 ,高为 ,则 可得 而 ,解得 ,故圆台的体积 .
7. 答案
,所以原展开式中 的系数为 .
8. 答案
显然 ,可得 ,于是 . 当 时, , 单调递增,此时显然符合要求; 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减，根据题意知 ，得 ，此时 ，满足条件；当 时， 在 上单调递增,在 上单调递减,则需 ,即 ,得 . 综上, 的取值范围是 .
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分.
9. 答案 AD
对于 ,显然 ,于是 ,故 正确;
对于 ,其虚部为 ,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,若其在复平面内对应的点在第四象限,则 不等式组无解,故 正确.
10. 答案 BCD
对于 ,当 时, ,于是 ,故 错误;
对于 ,两式相减,得 ,可知 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 B 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,故 正确; 对于 ,易知当 时, ,于是 ,故 , 故 D 正确.
11. 答案 ABD
对于 ,记 的半焦距为 ,若原点 在圆 上,则 ,此时 ,而 , 所以 ,于是 ,而 ,于是 ,可得 ,故 正确;
对于 ,此时圆 ,联立得 可得 ,由 ,得 ,而 ,故 ,故 B 正确； 对于 ,圆 ,联立得 ,可得 ,所以 ,又 ,所以由余弦定理得 ,故 C 错误, D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
令 ,得 ,令 ,得 ,所以 ,于是 .
13. 答案 3
.
14. 答案
的焦点为 ,抛物线方程可改写为 ,则 ,设两条切线分别为 ,切点分别为 ,则 ,令 ,可得 . 联立 的方程,可得 ,所以 ,则 ,所以 ,同理 , 则 的外接圆以 为直径,又 ,所以 外接圆面积的最小值为
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由 ,得 , (2 分)
于是 . (7 分)
(2)由 ，得 ， (9 分)
由正弦定理得 ,可得 , (11 分)
故 的面积 . (13 分)
16.. (1) 取 的中点为 ,连接 .
因为四边形 是菱形,所以 ,
因为 分别是 的中点,所以 ,所以 . (1 分)
由 ,得 ,
而平面 平面 ,平面 平面 平面 ,故 平面 . (3 分)
又 平面 ,所以 . (4 分)
又 ,所以 平面 . (5 分)
故 . (6 分)
(2)由题知 ,以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 ,如图, (8 分)
则 ,
于是 . (11 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即 可取 . (13 分) 设直线 与平面 所成的角为 ,
则 . (15 分)
17. (1) 由题意知 . (1 分)
设 .
当点 在直线 上时,直线 的斜率为 1,所以 . (2 分)
联立得 可得 ,不妨设 ,可得 , (4 分)
于是 . (6 分)
(2)易知直线 的斜率不为 0，故设 ，
联立得 可得 ,
则 ,
于是 . (10 分)
由 ,联立得 可得 ,
设 ,则 ,
于是 . (13 分)
因为 ,所以 三点共线. (15 分)
18. (1) 2 轮传球后,红球回到甲手中的概率为 , (2 分)
由题意知,红球与绿球的传递相互独立,所以 2 轮传球后,绿球在甲手中的概率也是 . (3 分)
所以 2 轮传球后 2 个球恰好都回到甲手中的概率为 . (5 分)
(2)考虑红球在第 轮到第 轮的位置变化:
若第 轮后红球在甲手中,则第 轮后红球一定不在甲手中,若第 轮后红球不在甲手中,无论球在乙和丙谁的手中,传回甲的概率均为 ,所以 . (8 分)
整理得 ,又 ,所以 , 即 . (或写成 ) (11 分)
(3)因为红球与绿球的传递相互独立，所以 服从二项分布 ，
(14 分)
所以
(17 分)
19. (1) 当 时, ,
所以 ,又 ,
所以所求的切线方程为 . (3 分)
(2)由题意，当 时， ，即 . (4 分)
设函数 ,则 ,
令 ,解得 ,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增. (6 分)
所以当 时, 取得最小值, ,
所以 ,即 的取值范围是 . (8 分)
(3) 方法一: 依题意, 因为 ,所以 ,
整理可得 且 所以
即函数 的图象与直线 至少有两个交点. (10 分)
,设函数 ,则 ,
求导易知 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,且 ,
若 ,则 单调递减, 至多有 1 个零点,不符合题意; (11 分)
若 ,即 ,则函数 存在两个零点,记为 ,且 ,
其中 , (12 分)
所以 在区间 和 上单调递减,在区间 上单调递增,
所以 的极小值为 ,极大值为 . (13 分) 再比较 与 的大小:
设 ,则 ,
所以 单调递减, ,即 ,从而 . (15 分) 因为 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以 的图象与直线 在区间 内各有一个交点,因此 符合题意.
综上, 的取值范围是 . (17 分)
方法二: 由题意得 ,因为 ,所以 .
不妨设 ,则 ,两边取对数,得 ,
所以 , (10 分)
所以 . (11 分)
设 ,则 , (12 分)
设 ,则 (根据不等式 ),
故 单调递增, ,所以 在 上单调递增, (14 分)
所以 在 上单调递增,又当 时, ,所以 ,
故 的取值范围是 . (15 分)
注:方法二中求端点值时使用了“洛必达法则”，故扣 2 分.
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