2025-2026学年下学期新疆乌鲁木齐地区高三数学3月二模试卷（含答案）

乌鲁木齐地区 2026 年高三年级第二次质量监测 数学(问卷)
(卷面分值:150分; 考试时间:120分钟)
注意事项:
1．本试卷分为问卷(4页)和答卷(4页)，答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上.
2. 答题前,先将答卷密封线内的项目(或答题卡中的相关信息)填写清楚.
第 I 卷(选择题 共58分)
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在复平面内, (1+i)对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆,其一个顶点是 ,一个焦点是 ,以下为椭圆顶点的是
A. B. C. D.
4. 的展开式中 的系数是
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
5. 已知函数 的图象关于直线 对称,则 的一个对称中心为
A. B. C. D.
6. 曲线 过坐标原点的切线方程为
A. B. C. D.
7. 已知函数 定义域为 ,若 为奇函数,则
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 为右焦点,过 作一条渐近线的垂线,垂足为 , 交另一条渐近线于点 ,点 在 轴两侧, ,则双曲线的离心率是
A. B. C. 2 D. 3
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 及平面 ,下列命题中正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知圆 和圆 ,则下列直线与两圆都相切的是
A. B.
C. D.
11. 将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次,则
A. 三次点数均为偶数的概率是
B. 三次点数和为 9 的概率是
C. 事件“三次点数有且仅有一次为 6 ”与事件“三次点数之和为 9 ”相互独立
D. 在三次点数互不相同的条件下,点数之和为 9 的概率是
第II卷(非选择题 共92 分)
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计 15 分.
12. 已知函数 ,若 ,则 的值为_____.
13. 已知向量 为单位向量，且 ，若 ，则 _____.
14. 若正整数 满足 ，则 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共5 小题, 共计 77 分、解答应在答卷的相应各题中写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13分)某高校为调查学生对AI知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动，满分100分. 答题完成后，工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据.
分数 学 历人数 [60, 70) [90,100]
本科及以下 37 33 12 10 5 3
本科以上 22 28 18 14 11 7
(I)试估计样本得分的第 75 百分位数；
(II)若得分不小于60分，则认为学生对AI知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉；
熟悉程度 学历 合计
本科及以下 本科以上
熟悉
不熟悉
合计
根据样本数据补全上面的 列联表,并依据小概率值 的独立性检验,能否认为熟悉程度与参与人员学历有关系.
附:
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16. (15分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 ( ).
(I)求数列 的通项公式；
(II) 若 ,求数列 的前 项和 .
17.(15分) 在 中, 在 上,记 .
(I) 求 ;
(II) 若 ，求 .
18. (17分)如图，在三棱锥 中， 平面 ， .
(I)求证:平面 平面 ；
(II)设 ,点 均在球 的球面上.
(i) 当 时,求球 的表面积;
(ii) 设球 的球面与直线 交于点 (异于点 ),求直线 与平面 所成角最大时 的值.
19.(17分)已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ,且与 轴, 轴分别交于 , 两个动点,设动点 的轨迹为 .
(I) 求 的方程;
(II)已知正 的三个顶点在 上.
(i)若 中点 的坐标为 ,求点 的坐标;
(ii) 求满足 点纵坐标为 1 的 的个数,并说明理由.
乌鲁木齐地区 2026 年高三年级第二次质量监测 数学 (答案)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分.
1~4 BCAC 5~8 DDBB
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BD 10. BCD 11. ABD
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12.10
13. 14.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应在答卷的相应各题中写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
(I) 200 个样本中分数大于等于 70 分的有 50 人，小于等于 70 分的有 150 人，估计样本得分第 75 百分位数为 70 ; ...5 分
(II)
熟悉程度 学历 合计
本科学历及以下 本科学历以上
熟悉 30 50 80
不熟悉 70 50 120
合计 100 100 200
零假设 : 熟悉程度与学历无关联,
根据小概率值 的独立性检验,推断 : 不成立。即认为熟悉程度与学历有关联.
...13 分
16. (15 分)
( I ) 设数列 的公差为 ,当 时, ,解得: ,
...7 分
(II) 是以 3 为首项,9 为公比的等比数列, .
17. (15 分)
( I ) 根据正弦定理,在 中: , 两式相比得: ,
,即 : ...7 分
(II) 根据余弦定理:
,解得: ,
为直角三角形,在 中 . 15 分
18.(17分)
平面 平面 ,
(1) 4 分
平面
平面 平面
(II) (i) 以 的中点为坐标原点, 过 作平面 的垂线分别为 轴, 轴, 轴建系,当 时, ,设球 ,
由 得 外接球 的表面积 分
(ii) 由 ,可得 ,
由 ,得 ,
由 为球 的直径,
,
设平面 的法向量为 ,则 ,解得 ,
设直线 与平面 所成角为 ,则 ,
设 ,则 ,
即 时, ,
直线 与平面 所成角最大时 . ...17 分
19.(17分)
(I) 由题意得 为直径, ,
的方程为 . ...4 分
(II) (i) 设 的斜率为 ,
,作差得 ,
方程为 代入 ,得 ,
中垂线所在直线方程为 代入 ,得 ,或 , 时, ,此时 不是等边三角形,舍去. 时, ,此时 是等边三角形,符合题意. 综上可得, 点坐标为 . ...9 分
(ii) ,设直线 的方程为 ,可知 ,代入 ,得
,①
设 ,
,设 中点 ,
要使 为等边三角形,即
②
,即
整理得, ③
由②③消去 得, ,即
当 时, 不合题意,舍去.
当 时,令
在为增函数, ,方程 在 存在唯一的实根,
由 ③知 ,满足
所以存在唯一满足条件的正三角形 . ...17 分
以上各题的其他解法, 限于篇幅, 从略, 请酌情给分.