江西省赣州市信丰县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

江西省赣州市信丰县2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（）
A. B. C. D.
3.若关于x的一元二次方程x2-2x-k＝0没有实数根，则k的取值范围是 （ ）
A. k＞-1 B. k≥-1 C. k＜-1 D. k≤-1
4.抛物线y＝x2＋4x＋a2＋5（a是常数）的顶点在（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（　　）
A. B. C. D.
6.如图,在33的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为( )
A. - B. - C. - D. -
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
7.如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动停在黑砖的概率为 ．
8.已知点P（2，-3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b= ．
9.深圳沙井某服装厂2018年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2020年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 ．
10.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=12，则△PDE的周长为 .
11.盒中有6枚黑棋和n枚白棋，从中随机取一枚棋子，恰好是白棋的概率为，则 n的值为 ．
12.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，.当为直角三角形时，旋转角的度数为 .
13.已知方程的两根是，则 ．
三、解答题：本题共10小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题4分)
如果一个扇形的半径是6，圆心角的度数为，求扇形的面积．
15.(本小题4分)
如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC，∠B＝60°，求CD的长．
16.(本小题7分)
如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，．
(1) 求的度数；
(2) 求证：是的切线．
17.(本小题7分)
某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．
(1) “随机抽取1人，甲恰好被抽中”是 事件；A．不可能 B．必然 C．随机
(2) 若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．
18.(本小题7分)
如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．
(1) 求主桥拱所在圆的半径；
(2) 若水面下降1米，求此时水面的宽度．
19.(本小题12分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．

(1) 画出关于x轴对称的，并写出点的坐标；
(2) 画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3) 在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
20.(本小题8分)
我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
(1) 求的值；
(2) 已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示.
(1) 求y与x之间的函数关系式.
(2) 在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克.
(3) 当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？
22.(本小题8分)
如图1，四边形内接于，为直径，点C作于点E，连接．
(1) 求证：；
(2) 若是的切线，，连接，如图2．
①证明四边形是菱形；
②当时，求与围成阴影部分的面积．
23.(本小题12分)
已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标；
(3) 在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】1
9.【答案】8(1-x)2=5.12
10.【答案】24
11.【答案】2
12.【答案】或或
13.【答案】
14.【答案】解：S 扇形==6π．
15.【答案】解：，∠BAC=90°，
，，
∴BC=2AB，
，
∴，
、，
由旋转的性质知，，
是等边三角形，
，
则．

16.【答案】【小题1】
解：∵
∴．
【小题2】
解：证明，如下：
∵，，
∴，
∴，
∵是半径，
∴，
即是的切线．

17.【答案】【小题1】
C
【小题2】
从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：
它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，则，
则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为．

18.【答案】【小题1】
如图，以O为圆心，连接，
由题意可得，D为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴主桥拱所在圆的半径；
【小题2】
由题意得，水面下降为，连接，
∵水面下降1米，
∴，
则，
∴，即水面的宽度为．

19.【答案】【小题1】
解：如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
【小题2】
如图所示：即为所求，
∴由图象可得；
【小题3】
由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，
∵，
∴点A旋转到点所经过的路径长为．

20.【答案】【小题1】
解：∵，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．

21.【答案】【小题1】
解：根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系，
设函数关系式为y＝kx+b，将(12，74)、(28，66)代入关系式可得
解得k＝﹣， b＝80，
所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣ x+80.
【小题2】
根据题意可列方程(- x+80)(x+80)=7000，
化简得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60，
因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2＝60不符题意舍去，
答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克.
【小题3】
根据题意可列函数关系式w＝(﹣ x+80)(x+80)＝﹣( x﹣40)2+7200.
令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160，
所以当x＝40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y＝﹣ x+80＝60
答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克.

22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：①∵，
∴，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
②由①知，四边形是菱形，
∴，
∴，
由①知，，
在中，，
∴，
∴与围成阴影部分的面积为
．

23.【答案】【小题1】
解：把点，代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为；
【小题2】
解：∵当时，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
最大值为：；
∴；
【小题3】
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当为对角线时，
∵，，设，，
∴，解得：，
∴；
当为对角线时，如图，
同理可得：，解得：，
∴；
如图，当为对角线时，
同理可得：，解得：，
∴；
综上：点M的坐标为或或．

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