安徽安庆市第七中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

安徽安庆市第七中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个特殊三角函数值中，最大的是（）
A. B. C. D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是（）
A. 相等的圆周角所对的弦相等 B. 相等的弧所对的弦相等
C. 相等的弦所对的弧相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等
5.如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 与y轴交于点
C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为
7.如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A. B. C. D.
8.抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，与相交于点F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，P是的中点，M是直线上的一动点，线段绕着点P逆时针旋转，得到线段，连接，．下列结论错误的是（ ）
A. 线段的最小值是 B. 线段的最小值是3
C. 面积的最小值是 D. 线段的最小值是
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.若，则的值等于 ．
12.如图，四边形是的内接四边形，已知，则 ．
13.如图，在中，，，点D为外一点，连接，点E，F分别为的中点，若，则 ．
14.在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．
(1) 抛物线的对称轴为直线 ；
(2) 点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为 ．
三、解答题：本题共9小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标．
16.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=20，EB=4，求弦CD的长.
17.(本小题10分)
已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．
(1) 以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为；
(2) 以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出．
18.(本小题10分)
如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系．其中，为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子的高为6 m，宽为1 m，出口到的距离为4 m．
(1) 求段所在的反比例函数的表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2) 出口到轴的距离的长是多少？
19.(本小题10分)
如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E．
(1) 求证：为的切线；
(2) 连接，若，求的长．
20.(本小题10分)
综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1) 求的长；
(2) 求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
21.(本小题15分)
某水果超市销售一种苹果，这种苹果的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种苹果的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该种苹果每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示；
(1) 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) 求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式；
(3) 当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题15分)
如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上．
(1) 求的值；
(2) 如图2，延长交于点G，交于点H．
①求证：；
②求的值．
23.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点A．
(1) 若抛物线的对称轴为直线，且点A的坐标为，求抛物线的表达式；
(2) 若抛物线的顶点在直线上．
①求的最小值；
②若，点在抛物线上，点P与点Q关于原点对称．连接，求以为边，为对角线的平行四边形的面积．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】125
13.【答案】
14.【答案】【小题1】
1
【小题2】

15.【答案】解：当抛物线与x轴相交时，，
∴，即，
∴，
解得，，
∴该抛物线与x轴的交点坐标为，．

16.【答案】解：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD，OC=OB=AB=10，
∴OE=OB-EB=10-4=6，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===8，
∴CD=2CE=16．
17.【答案】【小题1】
解：如图所示．
【小题2】
解：如图所示．

18.【答案】【小题1】
解：设段所在的反比例函数的表达式为，
∵梯子的高为6米，宽为1米，
∴点在该函数图象上，
∴，得，
∴段所在的反比例函数的表达式为．
【小题2】
解：由题意可得，点C的横坐标为，
将代入，得，
即出口C到x轴的距离的长时米

19.【答案】【小题1】
证明：连接，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的半径，
为的切线．
【小题2】
连接，如图．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：根据题意，得，，
∴，
∴；
【小题2】
解：∵ E为的中点
∴，
由题意，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
答：B，D之间的距离为．

21.【答案】【小题1】
解：由图象得，y与x之间满足一次函数关系，
设y与x之间的函数关系式为，
把，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小题2】
解：每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式为；
【小题3】
解：由（2）知，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，．
∴当销售价为20元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．

22.【答案】【小题1】
解：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
由折叠可知，
∴，
∴；
【小题2】
①证明：∵四边形是矩形，
∴．
由折叠可知，
∵，
∴．
由（1）可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
②解：由折叠可知．
∵，
∴．
由①知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：抛物线的对称轴为直线．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
将代入，得，
∴抛物线的表达式为；
【小题2】
解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
将代入，得，
∴，
∴当时，c取得最小值，最小值为3，
当时，，
∴，
∵c的最小值为3，
∴的最小值为3；
②∵点在抛物线上，
∴，
代入，得，
整理，得．
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
当时，，解得，
∴．
∵点P与点Q关于原点对称，
∴，
∴．

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