河南许昌市襄城县第三高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

河南许昌市襄城县第三高级中学等校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
2.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知是等比数列，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列的通项公式为，前项和为，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在上，是上的动点，为直线上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则( )
A. B. C. D.
7.若数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.若当时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知是公差为的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最大值为
C. 若，则
D. 若，则
11.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有架无人机，有甲、乙、丙、丁条街道需要巡检，若架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是( )
A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有种不同的巡检方案
B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有种不同的巡检方案
C. 若给无人机按编号，它们排队依次起飞，其中号、号两架无人机不相邻，则共有种不同的顺序
D. 若给无人机按编号，已知甲、乙两街各至少需要架无人机，丙、丁两街各至少需要架无人机，则共有种不同的巡检方案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在点处的切线与直线平行，则实数 ．
13.已知数列满足且，若是等比数列，则 ．
14.已知，点，我们把满足的点的轨迹称为双纽线，如图所示，设，则的最大值为 ，的最大值为 两空均用字母表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
证明：
；
．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求及；
若数列是等比数列，求．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，点在棱上．
证明：；
求的最小值及取最小值时平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆经过点．
求的方程；
过点且斜率为的直线与交于，两点．
(ⅰ)若，求的面积；
(ⅱ)若直线外的点满足，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
讨论在上的零点个数；
若当时，在上的所有零点之积为，证明：，且．
附：当时，．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：
；
．
16.解：设的公差为．
由，得，解得
，．
由知，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以
所以．

17.解：方法一：因为是正方体，所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
设，则，
所以，则．
方法二：连接，由是正方体，可得平面，，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以．
由方法一可知，，
所以，
当时取等号，所以的最小值为，此时为的中点．
而．
设平面的法向量为，
则，即，取，得
设平面的法向量为，
则，即，取，得
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：由经过点，得，
又因为经过点，所以，，
所以的方程为．
设，，由题意知，直线的方程为，
与联立，得，
由，得，
，
(ⅰ)当时，
，
又点到直线的距离，
所以的面积
(ⅱ)由题意知．
因为，所以．
取的中点，连接，
则，，
因为，
所以，
整理得，
当时，，当且仅当时取等号，所以，
当时，，
当且仅当时取等号，所以，
所以的取值范围是．
19.解：由题意有：，，
令，得，
所以的单调递减区间为．
因为在上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是；
当时，由，得，所以只有个零点．
当时在上单调递增，
令，得，则在上单调递减，在上单调递增，
因为，且，所以，
又因为，
所以在上有个零点，在上有个零点，该零点为
综上，当时在上有个零点，当时在上有个零点；
由知，当时有个零点，其中个为，
另一个零点在区间上，记为，则
因为，
设函数，则在上单调递增，
所以，
所以当时，，
即，所以当时，，所以，
所以，
所以．

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