河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

河南省南阳市部分校2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（北师大版）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
2.已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为( )
A. B. C. D.
3.数列，，，，，的通项公式可以为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式为，前项和为，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
5.在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则( )参考数据：若，则，．
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，点在上，是上的动点，为直线：上一定点，到的距离为，若取得最小值时点与重合，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知甲盒中有个白球、个黑球，乙盒中有个黑球，所有球除颜色外均相同，每次从甲盒中随机取出个球放入乙盒中，当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球已知第次取出的球放入乙盒后停止取球，则第次取出的是个白球的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于变量，，经过随机抽样获得成对数据，且，利用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，且与的相关系数，则下列结论正确的是( )
A. 越大，与的线性相关性越强
B. 若，则
C. 若，则
D. 若样本点都在回归直线上，则
10.已知是公差为的等差数列，其前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最大值为
C. 若，，则
D. 若，则
11.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有架无人机，有甲、乙、丙、丁条街道需要巡检，若架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是( )
A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有种不同的巡检方案
B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有种不同的巡检方案
C. 若给无人机按编号，它们排队依次起飞，其中号、号两架无人机不相邻，则共有种不同的顺序
D. 若给无人机按编号，已知甲、乙两街道各至少需要架无人机，丙、丁两街道各至少需要架无人机，则共有种不同的巡检方案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为等差数列，，，则 ．
13.已知点，，，则点到直线的距离为 ．
14.已知，点，，我们把满足的点的轨迹称为双纽线，如图所示，设，则的最大值为 ，的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某团队为评估两种治沙方法的植被恢复效果，在某沙漠地区随机选取个样地进行试验方法：传统草方格沙障个样地，通过铺设草方格固定流沙；方法：新型化学黏合剂固沙个样地，通过喷洒化学黏合剂增强沙粒粘性试验结束后，记录植被恢复情况，得到如下列联表：
治沙方法 植被恢复成功个 植被恢复失败个 合计
方法
方法
合计
是否有的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关？
若从试验中植被恢复失败的样地中随机抽取个，求至少有个使用方法的概率．
附：．
16.本小题分
某社区推行“绿色生活积分”活动某家庭每月的积分按等差数列增长已知第个月的积分为分，第个月的积分为分设该家庭第个月的积分为，前个月的积分之和为．
求和．
若连续个月的积分之和不低于分，则这个月中的最后一个月可获评“绿色示范家庭”求第几个月时该家庭能首次获评，并计算这个月的总积分．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，点在棱上．
证明：；
求的最小值及取最小值时平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：经过点，．
求的方程；
过点且斜率为的直线与交于，两点．
(ⅰ)若，求的面积；
(ⅱ)若直线外的点满足，求实数的取值范围．
19.本小题分
为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答个题目，回答时从个类题目、个类题目中选择个回答，类题目每个答对得分，类题目每个答对得分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个类题目答对的概率均为，每个类题目答对的概率均为．
若小王从类题目中随机选择个回答，记小王答对的题目个数为，求的分布列．
若小王从所有题目中随机选择个回答，
(ⅰ)记小王选取的类题目数为，求；
(ⅱ)试确定的值，使得类题目无论选择几个总得分的期望不变．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：由列联表得：，

已知临界值，因为，
故有的把握认为植被恢复成功与治沙方法有关．
失败样地共个，其中方法个，方法个．
总抽取数：，全为方法：，
故所求概率为
16.解：设等差数列的首项为，公差为，
由题可得：，解得：
所以通项公式：
前项和公式：
设连续个月为第、、个月，则这个月的积分之和为：，
根据题意：，
解得：
因为为正整数，所以，即第个月时首次获评，
这个月的总积分：
17.解：连接，
因为点在棱上，
所以有平面，又因为平面，
所以，
因为是正方形，
所以，又因为平面，
所以平面，而平面，
所以；
建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以当时，有最小值；
设平面的法向量为，
，
所以，令，得，
设平面的法向量为，
，
所以，令，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：因为椭圆：经过点，将点，代入椭圆方程可得：，解得．
所以椭圆的方程为．
由题意当，直线的表达式为：，
联立，化简整理得，解得或，
即，，则．
(ⅱ)由题，直线的表达式可设为：
联立，化简整理得，
，得或，
设，则有，，
则中点，
则线段的垂直平分线表达式为：，
由点满足，所以，即在线段的垂直平分线上，
从而有，即，
当时，当且仅当时取“”
当时，当且仅当时取“”
所以当时，，当时，
又直线的斜率存在，从而，
所以的取值范围为．

19.解：由题意可取，
则，，
，，
所以的分布列为
由题意可取，
则，，
，，
所以；
(ⅱ)设小王选择类题目数为，则类题目数为，
由题意小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布，
故题目得分的期望为，
题目得分的期望为，
所以得分的总期望为，
因为类题目无论选择几个总得分的期望不变，
所以得分的总期望与无关，
所以，解得，
所以当时，类题目无论选择几个总得分的期望不变．
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