2026年中考数学选择、填空类压轴题275题（PDF版，含答案）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学选择、填空类压轴题275题（PDF版，含答案） |
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| 格式 | |||
| 文件大小 | 7.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-28 00:00:00 | ||
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文档简介
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
目录
类型 1：几何综合 60 题………………………………………1
类型 2：几何最值 44 题………………………………………15
类型 3：几何多结论 30 题……………………………………26
类型 4：二次函数图像与系数及性质综合 40 题……………36
类型 5：反比例函数综合题+k 的几何意义 40 题……………48
类型 6：动点产生的函数图像 18 题…………………………60
类型 7：圆综合 21 题…………………………………………66
类型 8：新定义+数论+代数推理 22 题………………………72
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型一：几何综合题 60 题★
1．（2025 湖北）如图，折叠正方形 ABCD的一边 BC，使点C落在 BD上的点 F 处，折痕 BE 交 AC于点
G．若DE = 2 2 ，则CG的长是 ( )
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．2 2 1
EF
2．（2025 深圳）如图，将正方形 ABCD沿 EF 折叠，使得点 A与对角线的交点O重合，EF 为折痕，则
CG
的值为 ( )
1 1 2 2
A． B． C． D．
4 2 2 3
3．（2025 重庆）如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E是 BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE
翻折到正方形 ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交 AB于点G． ADG和 DAG的平分线DH ，
AH 相交于点H ，连接GH，则△DGH的面积为 ( )
5 5 5 5 5 5
A． B． C． D．
8 4 8 4
4．（2025 连云港）如图，在△ ABC中， ACB =90 ， CAB =30 ，AD平分 CAB，BE ⊥ AD，E为垂
AD
足，则 的值为 ( )
BE
7 3 5 8 3
A．2 3 B． C． 3 D．
3 2 3
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
5．（2025 广东）如图，在矩形 ABCD中， E，F 是 BC边上的三等分点，连接DE， AF 相交于点G，连
接CG．若 AB =8， BC =12，则 tan GCF的值是 ( )
10 1 3 10 2
A． B． C． D．
10 3 10 3
6．（2025 烟台）如图，在△ ABC中， ACB =90 ，AC = BC，AD是角平分线．点 E从点 A出发，沿 AB
方向向点 B运动，连接CE，点 F 在 BC上，且 CEF = 45 ．设 AE = x，FD = y，若 y关于 x的函数图象
过点 (0,2 2)，则该图象上最低点的坐标为 ( )
1 3 2 3 1 2
A． ( ， 2) B． ( ， 2) C． ( ，3 2 2) D． ( ，3 2 2)
2 2 2 2 2 2
7．（2025 河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形
OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有 A，B，C三个整点，
则平移后点 E的对应点坐标为 ( )
7 11 8 23 3 3 9
A． ( , ) B． ( , ) C． ( ,2) D． ( , )
5 5 5 10 2 2 4
8．（2024 重庆）如图，在正方形 ABCD的边CD上有一点 E，连接 AE，把 AE绕点 E逆时针旋转90 ，得
FG
到 FE ，连接CF并延长与 AB的延长线交于点G．则 的值为 ( )
CE
3 2 3 3
A． 2 B． 3 C． D．
2 2
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9．（2024 自贡）如图，在矩形 ABCD中， AF 平分 BAC，将矩形沿直线 EF 折叠，使点 A，B分别落在
边 AD、BC上的点 A ， B 处， EF ， A F分别交 AC于点G， H ．若GH = 2，HC =8，则 BF 的长为
( )
20 2 20 3 5 3
A． B． C． D．5
9 9 2
10．（2024 淮安）如图，在 ABCD中，AB = 2 ，BC =3， B = 60 ，P是BC边上的动点 (BP 1)，将△
ABP沿 AP翻折得△ AB P，射线 PB 与射线 AD交于点 E．下列说法不正确的是 ( )
A．当 AB ⊥ AB时， B A = B E
B．当点 B 落在 AD上时，四边形 ABPB 是菱形
C．在点 P运动的过程中，线段 AE的最小值为 2
1
D．连接 BB ，则四边形 ABPB 的面积始终等于 AP BB
2
11．（2024 呼和浩特）如图，在 ABD中， ABD =30 ， A=105 ，将 ABD沿 BD翻折180 得到 CBD，
将线段DC绕点D顺时针旋转30 得到线段DF，点 E为 AB的中点，连接 EF ，ED．若 EF =1，则 BED
的面积是 ( )
1+ 3 2+ 3 2+ 3 1+ 3
A． B． C． D．
4 4 2 2
12．（2025 成都）如图，在△ ABC中， AB = AC，点D在 AC边上， AD = 3，CD = 2， CBD = 45 ，则
tan ACB的值为 ；点 E在 BC的延长线上，连接DE，若 CED = ABD，则CE的长为 ．
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13．（2025 江西）如图，在矩形纸片 ABCD中，沿着点 A折叠纸片并展开， AB的对应边为 AB ，折痕与
边 BC交于点 P．当 AB 与 AB， AD中任意一边的夹角为15 时， APB的度数可以是 ．
14．（2025 山西）如图，在四边形 ABCD中，AD / /BC， B =90 ，AB =8，BC = 4，点 E在边 AB上，
AE =3，连接CE，且 DCE = BCE．点F 在 BC的延长线上，连接DF．若DF =DC，则线段CF的长
为 ．
15．（2025 陕西）如图，在 ABCD中，AB = 6，AD = 8， B = 60 ．动点M ，N分别在边 AB，AD上，
且 AM = AN，以MN为边作等边△MNP，使点 P始终在 ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，
DN的长为 ．
16．（2025 河南）定义：有两个内角的差为 90 的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ ABC中，
AB = AC = 5， BC =8，点 P为边 BC上一点，若△ APC为“反直角三角形”，则 BP的长为 ．
17．（2025 内蒙古）如图，在菱形 ABCD中，AB = 4 5，对角线 BD的长为 16，E是 AD的中点，F 是 BD
上一点，连接 EF ．若 BF =3，则 EF 的长为 ．
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18．（2025 广西）如图，点 A，D在BC同侧， AB = BC =CA= 2，BD =CD = 2 ，则 AD = ．
19．（2025 黑龙江）如图，在矩形 ABCD中， AD = 6 ， CAD = 60 ，点 E是边CD的中点，点F 是对角
线 AC上一动点，作点C关于直线 EF 的对称点 P，若PE ⊥ AC，则CF的长为 ．
20．（2025 辽宁）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点O，AC =8，BD =12，点 E在线段
OA上，AE = 2，点 F 在线段OC上，OF =1，连接 BE ，点G为 BE 的中点，连接FG，则FG的长为 ．
AB 5 1
21．（2025 兰州）如图，黄金矩形 ABCD中 = ，以宽 AB为边在其内部作正方形 ABFE，得到四
AD 2
边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH ，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点 E，G，L为
圆心作 AF,FH ,HK，曲线 AFHK 叫做“黄金螺线”．若 AD = 2 ，则“黄金螺线” AFHK 的长为 ．（结
果用 表示）
22．（2025 贵州）如图，在矩形 ABCD中，点 E， F ，M 分别在 AB，DC， AD边上，BE = 2CF，FM
分别交对角线 BD、线段DE于点G，H ，且H 是DE的中点．若CF = 2， ABD =30 ，则HG的长为 ．
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23．（2024 成都）如图，在 Rt ABC中， C = 90 ， AD是 ABC的一条角平分线， E为 AD中点，连接
BE ．若BE = BC，CD = 2，则 BD = ．
5 5
24．（2024 深圳）如图，在△ ABC中，AB = BC， tan B = ，D为BC上一点，若满足CD = BD，过
12 8
CE
D作DE ⊥ AD交 AC延长线于点 E，则 = ．
AC
25．（2024 苏州）如图，△ ABC中， ACB =90 ，CB =5 ，CA=10，点D， E分别在 AC， AB边上，
AE = 5AD，连接DE，将△ ADE 沿DE翻折，得到△ FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC
面积的 2 倍，则 AD = ．
26．（2024 山西）如图，在 ABCD中， AC为对角线， AE ⊥ BC于点 E，点 F 是 AE延长线上一点，且
ACF = CAF，线段 AB，CF的延长线交于点G．若 AB = 5 ， AD = 4 ， tan ABC = 2 ，则BG的长
为 ．
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27．（2024 天津）如图，正方形 ABCD的边长为3 2 ，对角线 AC，BD相交于点O，点 E在CA的延长线
上，OE =5，连接DE．
（Ⅰ）线段 AE的长为 ；
（Ⅱ）若 F 为DE的中点，则线段 AF 的长为 ．
28．（2024 呼和浩特）如图，正方形 ABCD的面积为 50，以 AB为腰作等腰 ABF， AB = AF ， AE平分
DAF交DC于点G，交 BF 的延长线于点 E，连接DE．若 BF = 2 ，则DG = ．
29．（2024 淄博）如图，在边长为 10 的菱形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点O，点 E在BC延长线
OF 5
上，OE与CD相交于点 F ．若 ACD = 2 OEC， = ，则菱形 ABCD的面积为 ．
FE 6
30．（2024 哈尔滨）如图，矩形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点O，延长 BC至点G，连接DG，
1
CDG = AOB，点 E为 DG的中点，连接OE交CD于点 F ，若 AO = 6EF，DE = 2 3 ，则 DF 的长
4
为 ．
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31．（2024 济南）如图，在矩形纸片 ABCD中，AB = 2，AD = 2 ，E为边 AD的中点，点 F 在边CD上，
连接 EF ，将△DEF 沿 EF 翻折，点D的对应点为D ，连接 BD ．若 BD = 2，则DF = ．
32．（2024 盐城）如图，在△ ABC中， ACB =90 ，AC = BC = 2 2 ，点D是 AC的中点，连接BD，将
△ BCD绕点 B旋转，得到△ BEF．连接CF，当CF / /AB时，CF = ．
33．（2024 无锡）如图，在△ ABC中，AC = 2 ，AB =3，直线CM / /AB，E是 BC上的动点（端点除外），
射线 AE交CM 于点 D．在射线 AE上取一点 P，使得 AP = 2ED，作 PQ / /AB，交射线 AC于点Q．设
AQ = x， PQ = y．当 x = y时，CD = ；在点 E运动的过程中， y关于 x的函数表达式为 ．
34．（2024 眉山）如图，菱形 ABCD的边长为 6， BAD =120 ，过点D作DE ⊥ BC，交BC的延长线于
点 E，连结 AE分别交 BD，CD于点 F ，G，则 FG的长为 ．
35．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片 ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕 EF ，连
接 BF ．再将矩形纸片折叠，使点 B落在 BF 上的点H 处，折痕为 AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B
的一个五等分点， AB = 4 ，则BC的长为 ．
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36．（2024 南充）如图，在矩形 ABCD中，E为 AD边上一点， ABE = 30 ，将 ABE沿 BE 折叠得 FBE，
连接CF，DF，若CF平分 BCD， AB = 2 ，则DF的长为 ．
37．（2023 南京）如图，在菱形纸片 ABCD中，点 E在边 AB上，将纸片沿CE折叠，点 B落在 B 处，CB ⊥ AD，
垂足为 F ．若CF = 4cm，FB =1cm，则 BE = cm．
38．（2023 绵阳）如图，在 ABC中， ACB =90 ， AC =8，将 ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△
A ，满足 ，过点 B作 ，垂足为 E，连接 AE，若1B1C A1B1 / /AC BE ⊥ A1C S ABE = 3S ，则 AB的长为 ． ACE
39．（2023 襄阳）如图，在 ABC中，AB = AC，点D是 AC的中点，将 BCD沿 BD折叠得到 BED，连
接 AE．若DE ⊥ AB于点 F ，BC =10，则 AF 的长为 ．
40．（2023 成都）如图，在Rt ABC中， ABC =90 ，CD平分 ACB交 AB于点D，过D作DE / /BC交
AG 7
AC于点 E，将 DEC沿DE折叠得到 DEF ，DF交 AC于点G．若 = ，则 tan A= ．
GE 3
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3
41．（2023 深圳）如图，在 ABC中，AB = AC，tanB = ，点D为 BC上一动点，连接 AD，将 ABD沿
4
S
AD翻折得到 三角形AGE ADE，DE交 AC于点G，GE DG，且 AG :CG = 3:1，则 = ．
S三角形ADG
42．（2023 济南）如图，将菱形纸片 ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕
CP交 AD于点 P．若 ABC =30 ， AP = 2 ，则 PE 的长等于 ．
43．（2023 杭州）如图，在 ABC中，AB = AC， A 90 ，点D，E，F 分别在边 AB，BC，CA上，
BC CF
连接DE，EF ，FD，已知点 B和点 F 关于直线DE对称．设 = k，若 AD = DF ，则 = （结果
AB FA
用含 k的代数式表示）．
1
44．（2023 苏州）如图， BAC =90 ，AB = AC = 3 2 ，过点C作CD⊥ BC，延长CB到 E，使 BE = CD，
3
连接 AE， ED．若 ED = 2AE，则 BE = ．（结果保留根号）
45．（2023 山西）如图，在四边形 ABCD中， BCD = 90 ，对角线 AC，BD相交于点O．若 AB = AC = 5，
BC = 6， ADB = 2 CBD，则 AD的长为 ．
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46．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ ABC的面积，折叠△ BDE得到△ FDE， AC分别与DF，EF 相
交于G， H 两点．若DG =m， EH = n，用含m， n的式子表示GH的长是 ．
47．（2023 扬州）如图，已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E、F 分别在边 AD、BC上，将正方形沿着EF
翻折，点 B恰好落在CD边上的点 B 处，如果四边形 ABFE与四边形EFCD的面积比为3:5，那么线段FC
的长为 ．
48．（2023 滨州）如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，点 E，F 分别是线段OB，OA上的
点，若 AE = BF ， AB =5， AF =1，BE =3，则 BF 的长为 ．
49．（2023 大连）如图，正方形 ABCD中，AB =3，点 E在 BC的延长线上，且CE = 2．连接 AE， DCE
的平分线与 AE相交于点 F ，连接DF，则DF的长为 ．
50．（2023 新疆）如图，在 ABCD中，AB = 6，BC =8， ABC =120 ，点 E是 AD上一动点，将 ABE
沿 BE 折叠得到△ A BE，当点 A 恰好落在EC上时，DE的长为 ．
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51．（2023 哈尔滨）如图，在正方形 ABCD中，点 E在CD上，连接 AE，BE ，F 为 BE 的中点，连接CF，
29 DE 3
若CF = ， = ，则 AE的长为 ．
2 EC 2
52．（2023 营口）如图，在 ABC中， BAC =90 ，AB = AC，将 AC绕着点C按顺时针旋转60 得到CD，
AE
连接 BD交 AC于点 E，则 = ．
ED
53．（2023 朝阳）在矩形 ABCD中， AB =5， BC = 6，点M 是边 AD上一点（点M 不与点 A，D重合），
连接CM ，将△CDM 沿CM 翻折得到△CNM ，连接 AN，DN ．当△ AND为等腰三角形时，DM 的长
为 ．
54．（2023 呼和浩特）如图，正方形 ABCD的边长为 2 5 ，点 E是CD的中点， BE 与 AC交于点M ， F
是 AD上一点，连接 BF 分别交 AC，AE于点G，H ，且 BF ⊥ AE，连接MH ，则 AH = ，MH = ．
55．（2023 盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形，AB = 6，BC = 6，点 E为边 BC的中点，点F 为边 AD上
一点，将四边形 ABEF沿 EF 折叠，点 A的对应点为点 A ，点 B的对应点为点 B ，过点 B 作 B H ⊥ BC于
点 H ，若B H = 2 2 ，则 FD的长是 ．
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56．（2025 绥化）在边长为 7 的等边三角形 ABC中，点D在 AB上，BD = 2．点M 是直线BC上的一个动
点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接 BN．当△ BND为直角三角形时，则
CM 的长是 ．
57．（2025 威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可
拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为 n，四边形EFGH的面积等于四边形 ABCD
m
面积的 2 倍，则 = ．
n
58．（2024 武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形 ABCD．直线MP交正方形 ABCD的两边于点
E， F ，记正方形 ABCD的面积为 S ，正方形MNPQ的面积为 S .若BE = kAE(k 1) ，则用含1 2 k的式子表
S
示 1 的值是 ．
S2
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59．（2024 安徽）如图，现有正方形纸片 ABCD，点 E，F 分别在边 AB，BC上．沿垂直于 EF 的直线折
叠得到折痕MN，点 B，C分别落在正方形所在平面内的点 B ，C 处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且 BEF = ，则 C NM = （用含 的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H 分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平
面内的点D 处，然后还原．若点D 在线段B C 上，且四边形EFGH是正方形，AE = 4 ，EB =8，MN与
GH的交点为 P，则 PH 的长为 ．
60．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是 1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形 ( DAE， ABF， BCG， CDH )和中间一个小正方形 EFGH拼
成的大正方形 ABCD中， ABF BAF ，连接 BE ．设 BAF = ， BEF = ，若正方形EFGH与正方
形 ABCD的面积之比为1:n， tan = tan2 ，则 n = ( .
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★类型二：几何最值问题 44 题★
1．（2025 安徽）如图，在四边形 ABCD中， A= ABC =90 ， AB = 4 ，BC =3， AD =1，点 E为边
AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90 得到线段DF，连接 FB， FC， EC，则下列结论错误
的是 ( )
A．EC ED的最大值是2 5 B． FB的最小值是 10
C． EC + ED的最小值是4 2 D．FC的最大值是 13
2．（2025 自贡）如图，正方形 ABCD边长为 6，以对角线 BD为斜边作Rt△ BED， E = 90 ，点F 在
DE上，连接 BF ．若2BE =3DF，则 BF 的最小值为 ( )
A．6 B． 6 2 5 C．3 5 D．4 5 2 2
3．（2025 宜宾）如图，在Rt△ ABC中， ACB =90 ， AC = 4 ， BC = 5．过点 A作直线 l / /BC，点E
1
是直线 l上一动点，连结EC，过点 E作EF ⊥CE，连结CF使 tan ECF = .当 BF 最短时，则 AE的长
2
度为 ( )
A． 5 B．4 C． 2 5 D．2 13
4．（2025 资阳）如图，在四边形 ABCD中，AB / /DC，AD⊥DC，AB = 4 ，AD =DC = 2，E是线段 AD
的中点，F 是线段 AB上的一个动点．现将△ AEF 沿 EF 所在直线翻折得到△ A EF（如图的所有点在同一
平面内），连接 A B， A C，则△ A BC面积的最小值为 ( )
A．2 2 B．3 2 C． 10 2 D．4 2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
5．（2024 苏州）如图，矩形 ABCD中， AB = 3 ， BC =1，动点 E， F 分别从点 A，C同时出发，以每
秒 1 个单位长度的速度沿 AB，CD向终点 B，D运动，过点 E，F 作直线 l，过点 A作直线 l的垂线，
垂足为G，则 AG的最大值为 ( )
3
A． 3 B． C．2 D．1
2
6．（2024 泸州）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD中，点 E， F 分别是边 AB，BC上的动点，且满足
1
AE = BF ， AF 与DE交于点O，点M 是DF的中点，G是边 AB上的点， AG = 2GB，则OM + FG的
2
最小值是 ( )
A．4 B．5 C．8 D．10
7．（2024 泰安）如图，菱形 ABCD中， B = 60 ，点 E是 AB边上的点， AE = 4 ， BE =8，点F 是 BC
上的一点，△EGF是以点G为直角顶点， EFG为30 角的直角三角形，连结 AG．当点F 在直线 BC
上运动时，线段 AG的最小值是 ( )
A．2 B． 4 3 2 C． 2 3 D．4
8．（2024 宜宾）如图，在 ABC中， AB = 3 2 ， AC = 2 ，以 BC为边作Rt BCD， BC = BD，点D与
点 A在BC的两侧，则 AD的最大值为 ( )
A． 2+ 3 2 B． 6+ 2 2 C．5 D．8
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
9．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为 4（单位： dm)的正方形纸片
ABCD，他在边 AB和 AD上分别取点 E和点M ，使 AE = BE， AM =1，又在线段MD上任取一点N
（点N可与端点重合），再将△EAN沿 NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA，小王同学通过多1
次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点 A在以 E为圆心的圆弧上运动； 1
②当DA达到最大值时， A到直线 AD的距离达到最大；③1 1 DA的最小值为 ；④1 2 5 2 DA达到最小值1
时，MN = 5 5 ．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023 自贡）如图，分别经过原点O和点 A(4,0)的动直线 a， b夹角 OBA=30 ，点M 是OB中
点，连接 AM ，则 sin OAM 的最大值是 ( )
3+ 6 3 6 5
A． B． C． D．
6 2 3 6
11．（2023 泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB的一条直角边OB在 x轴上，点 A的坐标为
( 6,4) ；Rt COD中， COD = 90 ，OD = 4 3， D = 30 ，连接BC，点M 是 BC中点，连接
AM ．将Rt COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 AM 的最小值是 ( )
A．3 B． 6 2 4 C． 2 13 2 D．2
12．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB = 3 5 ，点C为平面内一动点，
3
BC = ，连接 AC，点M 是线段 AC上的一点，且满足CM :MA=1:2 ．当线段OM 取最大值时，点M
2
的坐标是 ( )
3 6 3 6 6 12 6 12
A． ( ， ) B． ( 5 ， 5) C． ( ， ) D． ( 5 ， 5)
5 5 5 5 5 5 5 5
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
13．（2023 盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形， AB = 10 ， AD = 4 2 ，点 P是边 AD上一点（不与点
A，D重合），连接 PB， PC，点M ，N分别是 PB，PC的中点，连接MN， AM ，DN，点E在边
AD上，ME / /DN，则 AM +ME的最小值是 ( )
A．2 3 B．3 C．3 2 D．4 2
14．（2025 连云港）如图，在菱形 ABCD中， AC = 4 ， BD = 2， E为线段 AC上的动点，四边形DAEF
为平行四边形，则 BE + BF 的最小值为 ．
15．（2025 自贡）如图，在平面直角坐标系 xOy中， Rt△ ABC的顶点C， A分别在 x轴， y轴正半轴
上， ACB =90 ， BAC =30 ， BC = 2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值
为 ．
16．（2025 烟台）如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60 ，对角线 AC = 6cm．点M 从点 A出发，沿 AC
方向以1cm / s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以 3cm / s的速度向点D运动，当
一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 AN，DM 交于点 P．在此过程中，点 P的运动路径长为
cm．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
17．（2025 扬州）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC = 4 3 ，点 E是 BC边上的动点，将△ ABE沿直
1
线 AE翻折得到△ APE，过点 P作 PF ⊥ AD，垂足为F ，点Q是线段 AP上一点，且 AQ = PF ．当点
2
E从点 B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ．
18．（2025 内江）如图，在△ ABC中， A= 45 ， B = 60 ， AB = 2 2 ，点D、 E、 F 分别是边
BC、 AB、 AC上的动点，则△DEF 周长的最小值是 ．
19．（2025 内江）如图，在矩形 ABCD中， AB =8， AD = 6 ，点 E、 F 分别是边 AD、CD上的动点，
连接 BE 、 EF ，点G为 BE 的中点，点H 为 EF 的中点，连接GH，则GH的最大值是 ．
20．（2025 广安）如图，在等腰Rt△ ABC中， BAC =90 ， AB = AC = 4，D是 BC边上的一个动点，
连接 AD，则 AD的最小值为 ．
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21．（2025 山东）如图，在 Rt△ ABC中， ABC =90 ， AB = 6， BC =8．点P为边 AC上异于 A的一
点，以 PA， PB为邻边作 PAQB，则线段 PQ的最小值是 ．
22．（2025 宜宾）如图，在 Rt△ ABC中， ABC =90 ， BC = 6，将射线CA绕点C顺时针旋转90 到
CA，在射线CA上取一点D，连结 AD，使得△ ACD面积为 24，连结 BD，则 BD的最大值是 ． 1 1
23．（2025 黑龙江）如图，已知△ ABC中， ACB =90 ， AC = 7 ， BC = 9，点M 是△ ABC内部一
1
点，连接 AM 、 BM 、CM，若CM =3，则 AM + BM 的最小值为 ．
3
24．（2024 扬州）如图，已知两条平行线 l 、 l ，点 A是 l 上的定点， AB ⊥ l 于点 B，点C、D分别是1 2 1 2
l ， l 上的动点，且满足 AC = BD，连接CD交线段 AB 于点 E ，BH ⊥CD于点 H ，则当 BAH 最大1 2
时， sin BAH的值为 ．
25．（2024 河南）如图，在 Rt△ ABC中， ACB =90 ，CA=CB = 3，线段CD绕点C在平面内旋转，
过点 B 作 AD的垂线，交射线 AD于点 E ．若CD =1，则 AE 的最大值为 ，最小值为 ．
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26．（2024 烟台）如图，在 ABCD中， C =120 ， AB =8， BC =10， E 为边CD的中点，F 为边
AD上的一动点，将 DEF 沿 EF 翻折得△D EF ，连接 AD ， BD ，则 ABD 面积的最小值为 ．
3
27．（2024 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点 A在直线 y = x上，且点 A的横坐标为 4，直角三角
4
板的直角顶点C落在 x轴上，一条直角边经过点 A，另一条直角边与直线OA交于点 B ，当点C在 x轴
上移动时，线段 AB 的最小值为 ．
1
28．（2024 黑龙江）如图，在Rt ABC中， ACB =90 ， tan BAC = ， BC = 2， AD =1，线段 AD
2
绕点 A旋转，点 P 为CD的中点，则 BP的最大值是 ．
29．（2024 海南）如图，矩形纸片 ABCD中， AB = 6，BC =8，点 E 、 F 分别在边 AD、 BC上，将
纸片 ABCD沿 EF 折叠，使点D的对应点D 在边BC上，点C的对应点为C ，则DE 的最小值
为 ，CF 的最大值为 ．
30．（2024 连云港）如图，在△ ABC中， C = 90 ， B =30 ， AC = 2 ．点 P 在边 AC上，过点 P 作
PD ⊥ AB，垂足为D，过点D作DF ⊥ BC，垂足为 F ．连接 PF ，取 PF 的中点 E ．在点 P 从点 A
到点C的运动过程中，点 E 所经过的路径长为 ．
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31．（2024 宜宾）如图，正方形 ABCD的边长为 1，M 、 N是边BC、CD上的动点．若 MAN = 45 ，
则MN的最小值为 ．
32．（2024 宜宾）如图，在平行四边形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 4 ， E 、 F 分别是边CD、 AD上的
动点，且CE = DF．当 AE +CF的值最小时，则CE = ．
5
33．（2024 广元）如图，在 ABC中， AB =5， tan C = 2，则 AC + BC的最大值为 ．
5
34．（2023 广元）如图， ACB = 45 ，半径为 2 的 O与角的两边相切，点 P 是 O上任意一点，过
点 P 向角的两边作垂线，垂足分别为 E ， F ，设 t = PE + 2PF，则 t的取值范围是 ．
35．（2022 广元）如图，直尺 AB 垂直竖立在水平面上，将一个含 45 角的直角三角板CDE的斜边DE
靠在直尺的一边 AB 上，使点 E 与点 A重合，DE =12cm．当点D沿DA方向滑动时，点 E 同时从点
A出发沿射线 AF 方向滑动．当点D滑动到点 A时，点C运动的路径长为 cm．
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1
36．（2023 达州）在△ ABC中， AB = 4 3， C = 60 ，在边BC上有一点 P ，且BP = AC，连接
2
AP ，则 AP 的最小值为
37．（2023 南通）如图，四边形 ABCD的两条对角线 AC， BD互相垂直， AC = 4 ， BD = 6，则
AD+BC的最小值是 ．
38．（2023 泸州）如图， E ， F 是正方形 ABCD的边 AB 的三等分点， P 是对角线 AC上的动点，当
AP
PE + PF 取得最小值时， 的值是 ．
PC
39．（2023 德州）如图，在四边形 ABCD中， A=90 ， AD / /BC， AB =3， BC = 4，点 E 在 AB
上，且 AE =1． F ，G为边 AD上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为
．
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1
40．（2023 自贡）如图，直线 y = x + 2 与 x轴， y轴分别交于 A， B 两点，点D是线段 AB 上一动
3
4
点，点H 是直线 y = x + 2上的一动点，动点 E(m,0) ， F(m + 3,0) ，连接 BE ，DF ，HD ．当
3
BE + DF 取最小值时，3BH +5DH的最小值是 ．
41．（2023 随州）如图，在矩形 ABCD中， AB =5， AD = 4 ，M 是边 AB 上一动点（不含端点），将△
ADM 沿直线DM 对折，得到△NDM．当射线CN 交线段 AB 于点 P 时，连接DP，则△CDP的面积
为 ；DP的最大值为 ．
42．（2023 黑龙江）如图，在菱形 ABCD中， AB =3， ABC = 60 ，点 E ， F 分别是边BC和对角线
AC上的动点，且BE =CF，连接 AE ， BF 相交于点M ，点 P 是 BC边上的一个动点，连接 PM ，
PD，则 PM + PD的最小值是 ．
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43．（2020 成都）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC =3， E ， F 分别为 AB ，CD边的中点．动
点 P 从点 E 出发沿 EA向点 A运动，同时，动点Q从点 F 出发沿 FC向点C运动，连接 PQ，过点 B
作 BH ⊥ PQ于点H ，连接DH ．若点 P 的速度是点Q的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A的过
程中，线段 PQ长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．
44．（2020 扬州）如图，在 ABCD中， B = 60 ， AB =10， BC =8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连
1
接 ED并延长至点 F ，使得DF = DE，以EC、 EF 为邻边构造 EFGC，连接EG，则EG的最小值
4
为 ．
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★类型三：几何多结论题 30 题★
1．（2025 天津）四边形 ABCD中， AD / /BC， B =90 ， AB =8cm， AD =10cm，BC =16cm．动点M
从点 B 出发，以 2cm / s的速度沿边 BA、边 AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm / s的
速度沿边CB向终点 B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间
为 t s．当 t = 2s时，点M ， N的位置如图所示．有下列结论：①当 t = 6s时，CN =DM ；
②当1 t 2时，△ BMN的最大面积为 26cm2 ；③ t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2 ．其中，
正确结论的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点 F 在 BC边上（不与点 B 、C重合），点 E 在CB的延
长线上，且 BE = BF，连接 AC、 AE 、 AF ，过点 E 作EG ⊥ AF于点G，分别交 AB 、 AC、DC
于点M 、 H 、 N．则下列结论：①MN = AF；② EAH = EHA；③EN BF = EC HN；④若
2
BF :FC = 3: 4，则 tan FAC = ；⑤图中共有 5 个等腰三角形．其中正确的结论是 ( )
5
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
3．（2024 北京）如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60 ，O为对角线的交点．将菱形 ABCD绕点O逆时
针旋转90 得到菱形 A B C D ，两个菱形的公共点为 E ， F ，G， H ．对八边形BFB GDHD E给出下
面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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4．（2024 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点H 在 AD边上（不与点 A、D重合）， BHF = 90 ，
HF 交正方形外角的平分线DF 于点 F ，连接 AC交 BH 于点M ，连接 BF 交 AC于点G，交CD于
点 N，连接 BD．则下列结论：① HBF = 45 ；②点G是 BF 的中点；③若点H 是 AD的中点，则
10 1 11
sin NBC = ；④BN = 2BM；⑤若 AH = HD，则 S BND = S AHM ．其中正确的结论是 ( )
10 2 2
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
5．（2024 东营）如图，在正方形 ABCD中， AC与 BD交于点O，H 为 AB 延长线上的一点，且
BH = BD，连接DH ，分别交 AC， BC于点 E ， F ，连接 BE ，则下列结论：
CF 3
① = ；② tan H = 3 1；③ BE 平分 CBD；④ 2AB
2 = DE DH ．
BF 2
其中正确结论的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．（2024 宁夏）如图，在Rt ABC中， ABC =90 ， AB = 3cm， BC = 2cm，点 A在直线 l 上，点 B ，1
C在直线 l 上，2 l1 / /l ，动点 P 从点 A出发沿直线 l 以1cm / s的速度向右运动，设运动时间为 t ． 2 1 s
下列结论：①当 t = 2s时，四边形 ABCP的周长是10cm；②当 t = 4s时，点 P 到直线 l 的距离等于5cm； 2
③在点 P 运动过程中， PBC的面积随着 t的增大而增大；④若点D， E 分别是线段PB， PC的中点，
在点 P 运动过程中，线段DE 的长度不变．其中正确的是 ( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
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7．（2024 呼和浩特）下列说法中，正确的个数有 ( )
①二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象经过 (2,1)， ( 4,1) 两点，m， n是关于 x的一元二次方程
ax2 +bx + c k = 0(0 k 1)的两个实数根，且m n，则 4 m n 2恒成立．
②在半径为 r的 O中，弦 AB ，CD互相垂直于点 P ，当OP =m时，则 AB2 +CD2 = 8r2 4m2 ．
③ ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ABC =90 ，点 A的坐标为 (1,0)，点 B 的坐标为
k
(0,5) ，点C是反比例函数 y = (k 0)的图象上一点，则 k = 30．
x
④已知矩形的一组邻边长是关于 x的一元二次方程 x2 2(a +1)x + a2 1= 0 的两个实数根，且矩形的周长
值与面积值相等，则矩形的对角线长是 4 6 ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为 4（单位： dm)的正方形纸片
ABCD，他在边 AB 和 AD上分别取点 E 和点M ，使 AE = BE， AM =1，又在线段MD上任取一点N
（点N可与端点重合），再将△EAN沿 NE所在直线折叠得到△EAN，随后连接DA，小王同学通过多1 1
次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点 A在以 E 为圆心的圆弧上运动； 1
②当DA达到最大值时， A到直线 AD的距离达到最大；③DA的最小值为2 5 2；④1 1 1 DA达到最小1
值时，MN = 5 5 ．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由
四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 ABCD中， AB =10．下列三个结论：①若
3
tan ADF = ，则 EF = 2 ；②若Rt ABG的面积是正方形EFGH面积的 3 倍，则点F 是 AG的三等分
4
点；③将 ABG绕点 A逆时针旋转90 得到 ADG ，则BG 的最大值为5 5 +5．其中正确的是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
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10．（2024 达州）如图，△ ABC是等腰直角三角形， ABC =90 ， AB = 4 ，点D， E 分别在 AC，
AE
BC边上运动，连结 AE ， BD交于点 F
2
，且始终满足 AD = CE，则下列结论：① = 2 ；②
2 BD
DFE =135 ；③△ ABF面积的最大值是 4 2 4；④CF 的最小值是2 10 2 2 ．正确的是 ( )
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．（2023 绥化）如图，在正方形 ABCD中，点 E 为边CD的中点，连接 AE ，过点 B 作 BF ⊥ AE于点
F ，连接 BD交 AE 于点G， FH 平分 BFG交 BD于点 H ．则下列结论中，正确的个数为 ( )
① AB2 = BF AE② S :S = 2:3 ③当 AB = a时，BD2 BD HD = a2 BGF BAF
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
12．（2023 眉山）如图，在正方形 ABCD中，点 E 是CD上一点，延长CB至点 F ，使BF = DE，连结
AE ， AF ， EF ， EF 交 AB 于点K ，过点 A作 AG ⊥ EF，垂足为点H ，交CF 于点G，连结
HD，HC．下列四个结论：① AH =HC；②HD =CD；③ FAB = DHE；④ AK HD = 2HE2 ．其中
正确结论的个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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13．（2023 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点 E ， F 分别是 AB ， BC上的动点，且 AF ⊥ DE，垂
足为G，将△ ABF沿 AF 翻折，得到△ AMF， AM 交DE 于点 P ，对角线 BD交 AF 于点H ，连接
HM ，CM ，DM ， BM ，下列结论正确的是 ( )
① AF = DE；②BM / /DE；③若CM ⊥ FM，则四边形 BHMF是菱形；④当点 E 运动到 AB 的中点，
tan BHF = 2 2 ；⑤EP DH = 2AG BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
14．（2023 东营）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E ， F 分别在边DC， BC上，且BF =CE，
AE 平分 CAD，连接DF ，分别交 AE ， AC于点G，M ． P 是线段 AG上的一个动点，过点 P
作 PN ⊥ AC，垂足为N，连接 PM ．有下列四个结论：① AE 垂直平分DM ；② PM + PN的最小值为
3 2 ；③CF 2 =GE AE；④ S ADM = 6 2 ．其中正确的是 ( )
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
15．（2021 深圳）在正方形 ABCD中， AB = 2 ， E 是 BC的中点，在BC延长线上取点F 使
EF = ED，过点 F 作 FG ⊥ ED交 ED于点M ，交 AB 于点G，交CD于点N，以下结论中：①
1 CM 1 5 +1
tan GFB = ；②NM = NC；③ = ；④ S = ．正确的个数是 ( )
2 EG 2 四边形GBEM 2
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
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16．（2022 黑龙江）如图，正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点O，点 F 是CD上一点，
OE ⊥OF交 BC于点 E ，连接 AE ， BF 交于点 P ，连接OP．则下列结论：① AE ⊥ BF；②
4
OPA= 45 ；③ AP BP = 2OP；④若 BE :CE = 2:3，则 tan CAE = ；⑤四边形OECF的面积是正
7
1
方形 ABCD面积的 ．其中正确的结论是 ( )
4
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
17．（2021 绥化）如图所示，在矩形纸片 ABCD中， AB =3， BC = 6，点 E 、 F 分别是矩形的边
AD、 BC上的动点，将该纸片沿直线 EF 折叠．使点 B 落在矩形边 AD上，对应点记为点G，点 A
落在M 处，连接 EF 、 BG、 BE ， EF 与BG交于点 N．则下列结论成立的是 ( )
3 5 9 7
① BN = AB；②当点G与点D重合时，EF = ；③ GNF的面积 S的取值范围是 S ；
2 4 2
5 3 13
④当CF = 时， S ．
2 MEG
=
4
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
18．（2025 南充）如图， AC为正方形 ABCD的对角线，CE 平分 ACB，交 AB 于点 E ，把△CBE绕
点 B 逆时针方向旋转90 得到△ ABF，延长CE 交 AF 于点M ，连接DM ，交 AC于点N．给出下列
AN
结论：①CM ⊥ AF；②CF = AF；③ CMD = 45 ；④ = 2 1．以上结论正确的是 ．（填写
CN
序号）
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19．（2025 遂宁）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD的对角线 BD上取一点 E ，使 BAE =15 ，连结
CE并延长至点 F ，连结 BF ，使BF = BC，CF 与 AB 相交于点H ．有下列结论：① AE =CE；
AH
② BE + AE = EF ；③ = 2 3 1；④点M 是 BC边上一动点，连结HM ，将△BHM 沿HM 翻折，点
HB
B 7 + 3 2落在点 P 处，连结 BP交HM 于点Q，连结 DQ，则DQ的最小值为 ．
2
其中正确的结论有 ．（填序号）
20．（2025 眉山）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 AD上运动（不与点 A、D重合），
CDP = 45 ，点 F 在射线DP上，且 AE :DF =1: 2 ，连接 BF ，交CD于点G，连接EB、 EF 、
2
EG．下列结论：① 2 2 2sin BFE = ；② AE +CG = EG ；③△DEF 的面积最大值是 2；④若
2
1
AE = AD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 ．
3
21．（2025 长春）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点O．点 E 在线段OA
上，连结 BE ，作CF ⊥ BE于点 F ，交OB于点 P ．给出下面四个结论：
① OCP = OBE；②OE =OP；③当CE =CB时， BP = EF ；④点 A与点 F 之间的距离的最小值为
2 5 2．上述结论中，正确结论的序号有 ．
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22．（2024 遂宁）如图，在正方形纸片 ABCD中， E 是 AB 边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点 B
落在点 P 处，延长CP交 AD于点Q，连结 AP 并延长交CD于点 F ．给出以下结论：① AEP为等腰
3
三角形；② F 为CD的中点；③ AP :PF = 2:3；④ cos DCQ = ．其中正确结论是 （填序号）．
4
23．（2024 济宁）如图，△ ABC中， AB = AC， BAC =90 ， AD是△ ABC的角平分线．
（1）以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC于点 E ， F ．
（2）以点 A为圆心， BE 长为半径画弧，交 AC于点G．
（3）以点G为圆心， EF 长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H ．
（4）画射线 AH ．
（5）以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交射线 AH 于点M ．
（6）连接MC，MB．MB分别交 AC， AD于点 N， P ．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
AM 3
① BD =CD；② ABM =15 ③ APN = ANP；④ = ；⑤MC2 =MN MB．
AD 2
24．（2023 日照）如图，矩形 ABCD中， AB = 6， AD = 8，点 P 在对角线 BD上，过点 P 作
MN ⊥ BD，交边 AD， BC于点M ， N，过点M 作ME ⊥ AD 交 BD于点 E ，连接 EN ，BM ，
DN．下列结论：
96
① EM = EN；②四边形MBND的面积不变；③当 AM :MD =1: 2时， S MPE = ；④BM +MN +ND的
25
最小值是 20．其中所有正确结论的序号是 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
25．（2023 南充）如图，在等边 ABC中，过点C作射线CD⊥ BC，点M ， N分别在边 AB ，BC
上，将 ABC沿MN折叠，使点 B 落在射线CD上的点 B 处，连接 AB ，已知 AB = 2 ．给出下列四个
结论：①CN + NB 为定值；②当BN = 2NC时，四边形BMB N为菱形；③当点N与C重合时，
7 21
AB M =18 ；④当 AB 最短时，MN = ．其中正确的结论是 .（填写序号）
20
26．（2023 湖北）如图， BAC， DEB和 AEF都是等腰直角三角形， BAC = DEB = AEF =90 ，
点 E 在 ABC内， BE AE，连接DF 交 AE 于点G，DE 交 AB 于点H ，连接CF ．给出下面四个
结论：① DBA= EBC；② BHE = EGF；③ AB = DF ；④ AD =CF．其中所有正确结论的序号
是 ．
27．（2023 大庆）如图，在 ABC中，将 AB 绕点 A顺时针旋转 至 AB ，将 AC绕点 A逆时针旋转
至 AC (0 180 ,0 180 ) ，得到△ AB C ，使 BAC + B AC =180 ，我们称△ AB C 是
ABC的“旋补三角形“，△ AB C 的中线 AD叫做 ABC的“旋补中线”，点 A叫做“旋补中心”．下列
结论正确的有 ．
① ABC与△ AB C 面积相同；②BC = 2AD；③若 AB = AC，连接BB 和CC ，则
B BC + CC B =180 ；④若 AB = AC， AB = 4 ， BC = 6，则B C =10 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
28．（2023 牡丹江）如图，在正方形 ABCD中， E 在边CD上， BE 交对角线 AC于点 F ，CM ⊥ BE
于M ， CME的平分线所在直线分别交CD， AC于点 N， P ，连接FN ．
下列结论：① S NPF :S NPC = FM :MC；②CM = PN ；③EN CD = EC CF；④若 EM =1，MB = 4，
则 PM = 2 ．其中正确的是 ．
29．（2023 遂宁）如图，以 ABC的边 AB 、 AC为腰分别向外作等腰直角 ABE、 ACD，连结 ED、
BD、 EC，过点 A的直线 l分别交线段DE 、 BC于点M 、N．以下说法：①当 AB = AC = BC时，
AED =30 ；②EC = BD；③若 AB =3， AC = 4 ， BC = 6，则DE = 2 3 ；④当直线 l ⊥ BC时，点
M 为线段DE 的中点．正确的有 ．（填序号）
30．（2022 青岛）如图，已知 ABC， AB = AC， BC =16， AD⊥ BC， ABC的平分线交 AD于点 E ，
且 DE = 4 ．将 C沿GM 折叠使点C与点 E 恰好重合．下列结论正确的有： ．（填写序号）
10
① BD = 8；②点 E 到 AC的距离为 3；③EM = ；④EM / /AC．
3
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型 4：二次函数图像与系数及二次函数综合 40题★
1．（2025 南充）已知某函数图象关于 y轴对称，当0 x 2 时， y = x2 2x；当 x 2时， y = 2x 4．若直
线 y = x + b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是 ( )
1 9 1 1 1
A． b 0 B． b C． b 0 D．b 或b 0
4 4 4 4 4
2．（2025 遂宁）如图，已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c为常数，且a 0) 的对称轴是直线 x =1，且
抛物线与 x轴的一个交点坐标是 (4,0)，与 y轴交点坐标是 (0,m) 且2 m 3．有下列结论：①abc 0；②
9 27
9a 3b+ c 0；③ y ；④关于 的一元二次方程ax2最大值 x + (b 1)x + c 2 = 0必有两个不相等实
4 8
根；⑤若点 A(x ，1 y1)， B(x ， y )，2 2 C(x ， y )在抛物线3 3 y = ax
2 + bx + c上，且
3
n x n+1 x ，当 时，则 的取值范围为 n 0． 1 2 n+ 2 x3 n+3 y1 y3 y2 n 2
其中正确的有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．（2025 烟台）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c的部分图象与 x轴的一个交点 A位于 ( 2,0) 和 ( 1,0)之
间，顶点 P 的坐标为 (1,n)．下列结论：①abc 0；②对于任意实数m，都有am2 +bm a b 0；③
3
3b 2c；④若该二次函数的图象与 x轴的另一个交点为 B ，且△PAB是等边三角形，则 n = ．其中
a
所有正确结论的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
4．（2025 广安）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a， b， c为常数， a 0) 的图象交 x轴于 A， B 两点，
点 A的坐标是 ( 1,0)，点 B 的坐标是 (n,0)，有下列结论：①abc 0；② 4a + c 2b；③关于 x的方程
b n 1
ax2 + bx + c = 0的解是 x1 = 1， x = n；④ = ．其中正确的有 ( ) 2 2a 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（2025 德阳）已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a， b， c是常数，a 0) 过点 (1,0)， (m,0) ，且 2 m 3，
该抛物线与直线 y = kx + c(k ， c是常数， k 0) 相交于 A(x ，1 y ， ， 两点（点 A在点 B 左1) B(x2 y2 )
b
侧）．下列说法：①bc 0；②3a +b 0；③点 A 是点 A关于直线 x = 的对称点，则3 AA 4；
2a
④当 x = 4时，不等式 ax2 + (b k)x 0的解集为0 x 4．其中正确的结论个数是 ( ) 2
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025 宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于 A、C两
点，与 y轴交于 B 点，顶点为D，对称轴为 x = 2，其中 A(2,0)， B(0,c) ，且 3 c 2．以下结论：①
2
abc 0；② b 1；③△ ACD是钝角三角形；④若方程ax2 + (b 2)x + c = 0 的两根为 x 、
3 1
x (x x ) ，则 2 x1 4 2 7 ， 6 x2 4 + 2 7 ．其中正确结论有 ( ) 2 1 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
7．（2025 齐齐哈尔）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于两点 ( 1,0)， (x ， 0) ，且1
2 x 3．下列结论：①abc 0；② 2a + c 0；③4a b+ 2c 0；④若1 m和 n是关于 x的一元二次方程
a(x+1)(x x )+ c = 0(a 0)的两根，且m n，则m 1， n 2；⑤关于1 x的不等式
2 cax + bx + c x + c(a 0) 的解集为0 x x ．其中正确结论的个数是 ( ) 1
x1
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025 绥化）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c与 x轴交于点 A(3,0) 、 B( 1,0)，与 y轴交于点C(0,m) ，
8
其中 4 m 3．则下列结论：①a c 0 ；②方程 ax2 + bx + c 5 = 0没有实数根；③ b 2 ；
3
a + b + c
④ 0 ．其中错误的个数有 ( )
b a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
a
9．（2024 福建）已知二次函数 y = x2 2ax + a(a 0) 的图象经过 A( , y1) ， B(3a, y )两点，则下列判断正
2 2
确的是 ( )
A．可以找到一个实数 a，使得 y a B．无论实数 a取什么值，都有1 y1 a
C．可以找到一个实数 a，使得 y 0 D．无论实数 a取什么值，都有2 y2 0
10．（2024 泸州）已知二次函数 y = ax2 + (2a 3)x + a 1(x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，
则实数 a的取值范围为 ( )
9 3 9 3
A．1 a B． 0 a C． 0 a D．1 a
8 2 8 2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
11．（2024 连云港）已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c是常数， a 0) 的顶点为 (1, 2)．小烨同学得出以
下结论：① abc 0；②当 x 1时， y随 x的增大而减小；③若 ax2 + bx + c = 0 的一个根为 3，则
1
a = ；④抛物线 y = ax2 + 2是由抛物线 y = ax2 + bx + c向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到
2
的．其中一定正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
12．（2024 眉山）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于点 A(3,0) ，与 y轴交于点 B ，
对称轴为直线 x =1，下列四个结论：①bc 0；②3a+ 2c 0；③ax2 +bx a +b；④若 2 c 1，则
8 4
a + b + c ，其中正确结论的个数为 ( )
3 3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
13．（2024 宜宾）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象交 x轴于点 A( 3,0) 、B(1,0)，交 y轴于点
C．以下结论：① a +b+ c = 0；② a +3b+ 2c 0；③当以点 A、 B 、C为顶点的三角形是等腰三角
2 97
形时， c = 7 ；④当 c = 3时，在 AOC内有一动点 P ，若OP = 2，则CP + AP的最小值为 ．其中
3 3
正确结论有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
14．（2024 遂宁）如图，已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c为常数，且a 0) 的对称轴为直线 x = 1，
且该抛物线与 x轴交于点 A(1,0)，与 y轴的交点 B 在 (0, 2) ， (0, 3)之间（不含端点），则下列结论正确的
有多少个 ( )
2
① abc 0；②9a 3b+ c 0；③ a 1；④若方程ax2 + bx + c = x +1两根为m，n(m n) ，则
3
3 m 1 n．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 广元）如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c过点C(0, 2)与 x轴交点的横坐标分别为 x ， x ，且1 2
1 x 0， 2 x 3，则下列结论：①a b+ c 0；②方程 ax2 + bx + c + 2 = 0有两个不相等的实数1 2
2
根；③ a+b 0；④ a ；⑤b2 4ac 4a2.其中正确的结论有 ( )
3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
16．（2024 日照）已知二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点
2
( 1,0)，对称轴为直线 x = 2．对于下列结论：①abc 0；②a+ c =b；③多项式ax + bx + c可因式分解
为 2(x +1)(x 5) ；④当m 9a时，关于 x的方程 ax + bx + c = m无实数根．其中正确的个数有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
3
17．（2024 广安）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a， b， c为常数，a 0) 的图象与 x轴交于点 A( ，
2
1
0) ，对称轴是直线 x = ，有以下结论：①abc 0；②若点 ( 1, y ) 和点 (2, y )都在抛物线上，则
2 1 2
2 1 1
y y ；③ am + bm a b(m为任意实数）；④3a+ 4c = 0，其中正确的有 ( ) 1 2 4 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
18．（2024 绥化）二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x = 1，则下列结
b
论中：① 0 ；② am2 + bm a b(m为任意实数）；③3a+ c 1；④若M (x， y)、1 N(x ， y)是抛物线c 2
上不同的两个点，则 x + x 3．其中正确的结论有 ( ) 1 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
19．（2024 雅安）已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有两实根 x ， ，且abc 0，则下列结论1 = 1 x2 = 3
中正确的有 ( )
4c
① 2a+b = 0；②抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点坐标为 (1, ) ；③a 0；④若m(am + b) 4a + 2b，则
3
0 m 1．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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20．（2024 齐齐哈尔）如图，二次函数 y = ax2 +bx + 2(a 0) 的图象与 x轴交于 ( 1,0)， (x ， 0) ，其中1
2 x 3．结合图象给出下列结论：①ab 0；②a b = 2；③当 x 1时， y随 x的增大而减小； 1
2 4
④关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + 2 = 0(a 0)的另一个根是 ；⑤b的取值范围为1 b ．其中正
a 3
确结论的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1
21．（2024 资阳）已知二次函数 y = x2 + bx与 y = x2 bx的图象均过点 A(4,0)和坐标原点O，这两个
2 2
函数在0 x 4时形成的封闭图象如图所示， P 为线段OA的中点，过点 P 且与 x轴不重合的直线与封闭
图象交于 B，C两点．给出下列结论：
①b = 2；②PB = PC；③以O， A， B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点 B的横坐标为 1，点Q在 y轴上 (Q， B，C三点不共线），则△ BCQ周长的最小值为5+ 13 ．
其中，所有正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 x轴交于 A、 B两点，
A( 3,0) ， B(1,0)，与 y轴交点C的纵坐标在 3 ~ 2之间，根据图象判断以下结论：①abc2 0；②
4 2 2 5
b 2；③若 ax1 bx1 = ax2 bx2 且 x x ，则 ；④直线 y = cx + c与抛物线1 2 x1 + x2 = 2
3 6
1
y = ax2 + bx + c的一个交点 (m， n)(m 0) ，则m = ．其中正确的结论是 ( )
2
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
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23．（2024 西宁）点 A(x ， y )， B(x ， y )是抛物线 y = ax2 4ax +1(a是常数，且a 0) 上的两个1 1 2 2
点．下列结论：①抛物线与 y轴的交点是 (0,1)；②抛物线的对称轴是直线 x = 2；③当 y = y 时，1 2 =1
AB = 4 ；④当 x x 2时， y y ；⑤当0 x 2时， y有最大值是 1．其中正确结论的个数是 ( ) 1 2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2023 丹东）抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 x轴的一个交点为 A( 3,0) ，与 y轴交于点C，点D是
抛物线的顶点，对称轴为直线 x = 1，其部分图象如图所示，则以下 4 个结论：①abc 0；② E(x ，1
， ， 是抛物线 y = ax2y ) F(x y ) + bx(a 0) 上的两个点，若1 2 2 x x ，且 x + x 2，则1 2 1 2 y1 y ；③在2 x
3
轴上有一动点 P，当 PC + PD的值最小时，则点 P的坐标为 ( ,0) ；④若关于 x的方程
7
ax2 +b(x 2) + c = 4(a 0) 无实数根，则b的取值范围是b 1．其中正确的结论有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
25．（2023 盐城）如图，关于 x的函数 y的图象与 x轴有且仅有三个交点，分别是 ( 3,0)， ( 1,0) ，
(3,0)，对此，小华认为：①当 y 0 时， 3 x 1；②当 x 3时， y有最小值；③点P(m, m 1) 在
函数 y的图象上，符合要求的点 P只有 1 个；④将函数 y的图象向右平移 1 个或 3 个单位长度经过原
点．其中正确的结论有 ( )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
26．（2023 衢州）已知二次函数 y = ax2 4ax(a是常数， a 0) 的图象上有 A(m, y 和1) B(2m, y 两点．若2 )
点 A， B都在直线 y = 3a的上方，且 y y ，则 的取值范围是 ( ) 1 2 m
3 4 4 3
A．1 m B． m 2 C． m D．m 2
2 3 3 2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
27．（2023 湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数 y = k1x(k 0)的图象与反比例函数1
k
y = 2 (k 0) 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为 1，点 A(t, p) 和点B(t + 2,q) 在函数2 y = k 的1x
x
k
图象上 (t 0 且 t 2)，点C(t,m) 和点D(t + 2,n) 在函数 y = 2 的图象上．当 p m与q n的积为负数
x
时， t的取值范围是 ( )
7 1 7 3
A． t 3或 t 1 B． t 3 或1 t
2 2 2 2
C． 3 t 2或 1 t 0 D． 3 t 2 或0 t 1
28．（2023 泸州）已知二次函数 y = ax2 2ax +3（其中 x是自变量），当0 x 3时对应的函数值 y均为
正数，则 a的取值范围为 ( )
A．0 a 1 B． a 1或 a 3
C． 3 a 0或 0 a 3 D． 1 a 0 或0 a 3
5
29．（2023 南充）抛物线 y = x2 + kx + k 与 x轴的一个交点为 A(m,0) ，若 2 m 1，则实数 k的取值
4
范围是 ( )
21 21 9 9
A． k 1 B． k 或 k 1 C． 5 k D． k 5或 k
4 4 8 8
30．（ 22025 凉山州）二次函数 y = ax + bx + c的部分图象如图所示，其对称轴为 x = 2，且图象经过点
(6,0) ，则下列结论错误的是 ( )
． 2 2A bc 0 B． 4a+b = 0 C．若 ax1 +bx1 = ax2 +bx2 且 x1 x ，则2 x 1 + x2 = 4
．若 ， 2D ( 1, y1) (3, y )两点都在抛物线 y = ax + bx + c的图象上，则 2 y2 y1
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31．（2025 资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 y轴相交
于点 A(0,2)，且抛物线的对称轴为直线 x = 1．给出以下 4 个结论：①abc 0；②对于任意实数m，
am2 + bm + c + a的值不小于 2；③若 P是对称轴上的一点，则OP+ AP的最小值为 2 2 ；
④若点 (x ， y )， (x ， y )在抛物线上，满足1 1 2 2 x1 x 且2 x1 + x ，则一定有 ． 2 + 2 0 y1 y2
其中，所有正确结论的序号为 ．
32．（2024 武汉）抛物线 y = ax2 +bx + c(a， b， c是常数， a 0) 经过 ( 1,1) ， (m,1) 两点，且
2
0 m 1．下列四个结论：①b 0 ；②若0 x 1，则a(x 1) +b(x 1) + c 1；③若 a = 1，则关于 x
1
的一元二次方程 ax2 + bx + c = 2无实数解；④点 A(x ， y )， B(x ， y )在抛物线上，若 x1 + x2 ，1 1 2 2
2
1
x x ，总有 y y ，则 0 m ．其中正确的是 （填写序号）． 1 2 1 2
2
33．（2024 烟台）已知二次函数 y = ax2 + bx + c的 y与 x的部分对应值如表：
x 4 3 1 1 5
y 0 5 9 5 27
下列结论：
① abc 0；②关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 9 有两个相等的实数根；③当 4 x 1时， y的取值
范围为 0 y 5；④若点 (m, y )， ( m 2, y ) 均在二次函数图象上，则 y = y ；⑤满足1 2 1 2
ax2 + (b +1)x + c 2的 x的取值范围是 x 2或 x 3．其中正确结论的序号为 ．
34．（ 22024 南充）已知抛物线C1 : y = x +mx +m与 x轴交于两点 A， B(A在 B的左侧），抛物线
C2 : y = x
2 + nx + n(m n)与 x轴交于两点C，D(C在D的左侧），且 AB =CD．下列四个结论：①C 与1
C 交点为 ( 1,1)；②m+ n = 4；③mn 0；④ A，D两点关于 ( 1,0)对称．其中正确的结论是 2 .
（填写序号）
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1
35．（2024 德阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点 A的坐标为 ( ， n) ，与 x轴的一个交点位于 0 和
3
1 之间，则以下结论：①abc 0；②5b+ 2c 0 ；③若抛物线经过点 ( 6, y ， ，则 ；④若1) (5, y2 ) y1 y2
关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 4无实数根，则n 4．其中正确结论是 （请填写序号）．
36．（2024 巴中）若二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象向右平移 1 个单位长度后关于 y轴对称．则下
列说法正确的序号为 ．
b 3 5
① = 2；②当 2 2a 时，代数式 a + b 5b + 8的最小值为 3；③对于任意实数m，不等式
a 2 2
am2 +bm a+b 0一定成立；④P(x ， ，1 y1) Q(x ，2 y2 )为该二次函数图象上任意两点，且 x ，当1 x2
x 时，一定有 ． 1 + x2 + 2 0 y1 y2
37．（2024 通辽）关于抛物线 y = x2 2mx +m2 +m 4(m是常数），下列结论正确的是 （填写所有
正确结论的序号）．
①当m = 0时，抛物线的对称轴是 y轴；②若此抛物线与 x轴只有一个公共点，则m= 4；
③若点 A(m 2, y1) ， B(m+1, y2)在抛物线上，则 y ；④无论 为何值，抛物线的顶点到直线 y = x1 y2 m
的距离都等于2 2 ．
1
38．（2023 无锡）二次函数 y = x2 + (2m 1)x + 2m(m ) ，有下列结论：①该函数图象过定点 ( 1,2)；
2
3
②当m =1时，函数图象与 x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在 y轴的右侧；④当1 m 时，点
2
1
P(x ， ，1 y1) Q(x ，2 y )是曲线上两点，若 3 x 2， x2 0，则2 1 y1 y ． 2
2
其中，正确结论的序号为 ．
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39．（2023 青岛）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c的图象与正比例函数 y = kx的图象相交于 A， B两点，
已知点 A的横坐标为 3，点 B的横坐标为 2，二次函数图象的对称轴是直线 x = 1．下列结论：①
2 1
abc 0；②3b+ 2c 0 ；③关于 x的方程 ax + bx + c = kx的两根为 x1 = 3， x = 2；④ k = a．其中正2
2
确的是 ．（只填写序号）
40．（2023 宜宾）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 A( 3,0) ，顶点为M ( 1,m)，且抛物线与 y轴的交
点 B在 (0, 2) 与 (0, 3)之间（不含端点），则下列结论：①当 3 x 1时， y 0 ；②当 ABM 的面积为
3 3 3
时， a = ；③当 ABM 为直角三角形时，在 AOB内存在唯一一点 P，使得 PA+ PO+ PB的值最
2 2
小，最小值的平方为18+9 3 ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
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★类型 5：反比例系数 K的几何意义 40 题★
1．（2025 北京）如图，在平面直角坐标系 xOy中， A， B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形
1
OACB是矩形，函数 y = (x 0) 的图象与边 AC交于点M ，与边 BC交于点N (M ，N不重合）．给出下
x
面四个结论：①△COM 与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON
一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2025 广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” ABCDEFG的所有线段均与 x轴平行或垂
k 3
直，且满足BC =DE = FG =1，点 A，C， E，G均在双曲线 y = 的一支上．若点 A的坐标为 (4, ) ，
x 2
则第三级阶梯的高 EF = ( )
7 5
A．4 B．3 C． D．
2 2
k
3．（2025 烟台）如图，菱形OABC的顶点 A在 x轴正半轴上，OA= 3，反比例函数 y = (x 0) 的图象
x
过点C和菱形的对称中心M ，则 k的值为 ( )
A．4 B． 4 2 C．2 D．2 2
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k
4．（2025 绥化）如图，反比例函数 y = 经过 A、C两点，过点 A作 AB ⊥ y轴于点 B，过点C作
x
CD⊥ x轴于点D，连接OA、OC、 AC．若 S ，ACO = 4 CD :OB =1:3，则 k的值是 ( )
A． 12 B． 9 C． 6 D． 3
k
5．（2025 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 A、点 B都在双曲线 y = (k 0)上，且点 A在点 B
x
的右侧，点 A的横坐标为 1， AOB = ABO = 45 ，则 k的值为 ( )
5 5 1 5 +1
A． 2 B． C． D．
2 2 2
9
6．（2025 贵州）如图，一次函数 y = x(x 0) 与反比例函数 y = (x 0) 的图象交于点C，过反比例函数图
x
象上点 A作 x轴垂线，垂足为点D，交 y = x的图象于点 B，点 A的横坐标为 1．有以下结论：
①线段 AB的长为 8；②点C的坐标为 (3,3) ；③当 x 3时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
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4
7．（2025 宜宾）如图，O是坐标原点，反比例函数 y = (x 0) 与直线 y = 2x交于点 A，点 B在
x
4
y = (x 0) 的图象上，直线 AB与 y轴交于点C，连结OB，若 AB = 3AC，则OB的长为 ( )
x
5 2 130
A． 10 B． C． 34 D．
2 2
k k
8．（2024 宿迁）如图，点 A在双曲线 y = (x 0) 上，连接 AO并延长，交双曲线1 y2 = (x 0)于点
x 4x
B，点C为 x轴上一点，且 AO = AC，连接BC，若△ ABC的面积是 6，则 k的值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024 淄博）如图所示，正方形 ABCD与 AEFG（其中边BC， EF 分别在 x， y轴的正半轴上）的
k
公共顶点 A在反比例函数 y = 的图象上，直线DG与 x， y轴分别相交于点M ，N．若这两个正方形
x
15
的面积之和是 ，且MD = 4GN．则 k的值是 ( )
2
A．5 B．1 C．3 D．2
k
10．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点 A(4,2)在函数 y = (k 0, x 0) 的图
x
k
象上．将直线OA沿 y轴向上平移，平移后的直线与 y轴交于点 B，与函数 y = (k 0, x 0) 的图象交于
x
点C．若BC = 5 ，则点 B的坐标是 ( )
A． (0, 5) B． (0,3) C． (0,4) D． (0 ， 2 5)
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k
11．（2024 宜宾）如图，等腰三角形 ABC中， AB = AC，反比例函数 y = (k 0)的图象经过点 A、 B及
x
AN
AC的中点M ， BC / /x轴， AB与 y轴交于点N．则 的值为 ( )
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
k
12．（2024 牡丹江）矩形OBAC在坐标系中的位置如图所示，反比例函数 y = 的图象与 AB边交于点
x
D，与 AC边交于点 F ，与OA交于点 E，OE = 2AE，若四边形ODAF的面积为 2，则 k的值是 ( )
2 3 4 8
A． B． C． D．
5 5 5 5
13．（2024 通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形 ABCDEF的中心，EF / /x轴，点E在双
k
曲线 y = (k为常数， k 0) 上，将正六边形 ABCDEF向上平移 3个单位长度，点D恰好落在双曲线
x
上，则 k的值为 ( )
A．4 3 B．3 3 C． 2 3 D．3
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a b
14．（2024 德州）如图，点 A，C在反比例函数 y = 的图象上，点 B，D在反比例函数 y = 的图象
x x
上， AB / /CD / / y轴，若 AB =3，CD = 2， AB与CD的距离为 5，则a b的值为 ( )
A． 2 B．1 C．5 D．6
k 1
15．（2023 广西）如图，过 y = (x 0) 的图象上点 A，分别作 x轴， y轴的平行线交 y = 的图象于
x x
B，D两点，以 AB， AD为邻边的矩形 ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S ，1 S ，2
5
S ， S ，若 S + S + S = ，则 k的值为 ( ) 3 4 2 3 4
2
A．4 B．3 C．2 D．1
k
16．（2023 长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B在函数 y = (k 0, x 0) 的图象上，分别以 A、
x
B为圆心，1 为半径作圆，当 A与 x轴相切、 B与 y轴相切时，连接 AB， AB = 3 2 ，则 k的值为 (
)
A．3 B．3 2 C．4 D．6
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17．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、 B分别在 y、 x轴上，BC ⊥ x轴，点M 、N
k
分别在线段BC、 AC上， BM =CM ， NC = 2AN，反比例函数 y = (x 0) 的图象经过M 、N两点， P
x
为 x轴正半轴上一点，且OP :BP =1: 4， APN的面积为 3，则 k的值为 ( )
45 45 144 72
A． B． C． D．
4 8 25 25
4 2
18．（2025 威海）如图，点 A在反比例函数 y = 的图象上，点 B在反比例函数 y = 的图象上，连接
x x
OA，OB， AB．若 AO⊥ BO，则 tan BAO = ．
3
19．（2025 吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 y = 的图象交于 A， B
x
两点，分别以点 A，点 B为圆心，画半径为 1 的 A和 B．当 A， B分别与 x轴相切时，切点分别
为点C和点D，连接 AC， BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 )
k
20．（2025 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = x 1的图象与反比例函数 y = (k 0)
x
的图象在第二象限内交于点 A，与 x轴交于点 B，点C坐标为 (0,3)，连接 AC， BC，若 AC = BC，则
实数 k的值为 ．
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21．（2024 绥化）如图，已知点 A( 7,0)， B(x,10) ，C( 17, y) ，在平行四边形 ABCO中，它的对角线
k
OB与反比例函数 y = (k 0)的图象相交于点D，且OD :OB =1:4，则 k = ．
x
22．（2024 甘南州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在 x轴、 y轴的
k
正半轴上，反比例函数 y = 的图象与 AB相交于点M ，与 BC相交于点 N，若点 B的坐标为 (4,2) ，△
x
15
MON的面积是 ，则 k的值为 ．
4
4
23．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB为菱形， sin AOC = ，且点 A落在反比
5
3 k
例函数 y = (x 0) 上，点 B落在反比例函数 y = (x 0) 上，则 k = ．
x x
k
24．（2024 广元）已知 y = 3x与 y = (x 0) 的图象交于点 A(2,m) ，点 B为 y轴上一点，将 OAB沿
x
k
OA翻折，使点 B恰好落在 y = (x 0) 上点C处，则 B点坐标为 ．
x
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k
25．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 (1,0)，点 B在反比例函数 y = (x 0) 的图
x
象上，BC ⊥ x轴于点C， BAC =30 ，将△ ABC沿 AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的
图象上，则 k的值为 ．
k
26．（2024 广州）如图，平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的顶点 B在函数 y = (x 0) 的图象上，
x
A(1,0)，C(0,2) ．将线段 AB沿 x轴正方向平移得线段 A B （点 A平移后的对应点为 A ) ， A B 交函数
k
y = (x 0) 的图象于点D，过点D作DE ⊥ y轴于点 E，则下列结论：① k = 2；②△OBD的面积等于四
x
边形 ABDA 的面积；③ A E 的最小值是 2 ；④ B BD = BB O．其中正确的结论有 ．（填写所有
正确结论的序号）
27．（2024 日照）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A(4,0)，C(0,4 2) 是矩形OABC的顶点，点
M ， N分别为边 AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点 B的对应点 B 在边OA的中点
k
处，点C的对应点C 在反比例函数 y = (k 0)的图象上，则 k = ．
x
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28．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B的坐标分别为 (5,0) ， (2,6) ，过点B作
k
BC / /x轴交 y轴于点C，点D为线段 AB上的一点，且 BD = 2AD，反比例函数 y = (x 0) 的图象经过
x
点D交线段BC于点 E，则四边形ODBE的面积是 ．
29．（2023 衢州）如图，点 A， B在 x轴上，分别以OA， AB为边，在 x轴上方作正方形OACD，
k
ABEF，反比例函数 y = (k 0)的图象分别交边CD， BE 于点 P，Q．作PM ⊥ x轴于点M ，QN ⊥ y
x
轴于点N．若OA= 2AB，Q为 BE 的中点，且阴影部分面积等于 6，则 k的值为 ．
k
30．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A， B都在反比例函数 y = (x 0) 的图象上，延
x
长 AB交 y轴于点C，过点 A作 AD ⊥ y轴于点D，连接 BD并延长，交 x轴于点 E，连接CE．若
AB = 2BC， BCE的面积是 4.5，则 k的值为 ．
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a
31．（2023 宁波）如图，点 A， B分别在函数 y = (a 0)图象的两支上 (A在第一象限），连结 AB交 x
x
b
轴于点C．点D， E在函数 y = (b 0, x 0)图象上， AE / /x轴，BD / / y轴，连结DE， BE ．若
x
AC = 2BC， ABE的面积为 9，四边形 ABDE的面积为 14，则a b的值为 ， a的值为 ．
32．（2023 安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点 A在 x轴的正半轴上， AB = 2 ，
k
AOB =30 ，反比例函数 y = (k 0)的图象经过斜边OB的中点C．（1） k = ；
x
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若 2 2DB / /AC，则OB BD 的值为 ．
k
33．（2023 连云港）如图，矩形OABC的顶点 A在反比例函数 y = (x 0) 的图象上，顶点 B、C在第一
x
2
象限，对角线 AC / /x轴，交 y轴于点D．若矩形OABC的面积是 6， cos OAC = ，则 k = ．
3
k
34．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = (k为大于 0 的常数， x 0)图象上的两点
x
A(x ， y ， ， ，满足 ，1 1) B(x2 y2 ) x2 = 2x1 ABC的边 AC / /x轴，边BC / / y轴，若 OAB的面积为 6，则
ABC的面积是 ．
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k
35．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B在反比例函数 y = (x 0) 的图象上．点 A的坐
x
标为 (m, 2) ．连接OA，OB， AB．若OA= AB， OAB =90 ，则 k的值为 ．
36．（2023 新疆）如图，在平面直角坐标系中， OAB为直角三角形， A=90 ， AOB =30 ，
k
OB = 4．若反比例函数 y = (k 0)的图象经过OA的中点C，交 AB于点D，则 k = ．
x
2
37．（2023 达州）如图，一次函数 y = 2x与反比例函数 y = 的图象相交于 A、 B两点，以 AB为边作等
x
k
边三角形 ABC，若反比例函数 y = 的图象过点C，则 k的值为 ．
x
38．（2023 深圳）如图， Rt△OAB与 Rt△OBC位于平面直角坐标系中， AOB = BOC = 30 ，
k
BA⊥OA，CB⊥OB，若 AB = 3，反比例函数 y = (k 0)恰好经过点C，则 k = ．
x
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39．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点 A在 y轴正半轴上，点C， F 均在 x轴正
半轴上，点D在边BC上， BC = 2CD， AB =3．若点 B， E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比
例函数的表达式是 ．
40．（2023 内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于 x轴，以MN为对称轴作△
ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F ，点D的对应点 B恰好落在反比例函数
k 1
y = (x 0) 的图象上，点O、 E的对应点分别是点C、 A，若点 A为OE的中点，且 S ，则 的EAF = k
x 4
值为 ．
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★类型 6：动点产生的函数图像 18 题★
1．（2025 齐齐哈尔）如图，在菱形 ABCD中， A= 60 ， AB = 4 ，动点 E从点 A出发沿边 AB→BC匀
速运动，运动到点C时停止，过点 E作 AD的垂线 l，在点 E运动过程中，垂线 l扫过菱形（即阴影部
分）的面积为 y，点 E运动的路程为 x(x 0) ．下列图象能反映 y与 x之间函数关系的是 ( )
A． B．
C． D．
2．（2025 浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图 1，
点 P是一个固定观测点，运动点Q从 A处出发，沿笔直公路 AB向目的地 B处运动．设 AQ为 x（单位：
km)(0 x n) ， PQ2 为 （单位： km2y )．如图 2， y关于 x的函数图象与 y轴交于点C，最低点
D(m,81) ，且经过 E(1,225)和 F (n, 225) 两点．下列选项正确的是 ( )
A．m =12 B． n = 24 C．点C的纵坐标为 240 D．点 (15,85) 在该函数图象上
3．（2025 眉山）如图 1，在Rt△ ABC中， C = 90 ，点D在 AC上，CD = 2 ，动点 P在 Rt△ ABC的
边上沿C→B→ A方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，到达点 A时停止，以DP为边作正方形
DPEF ．设点 P的运动时间为 t秒，正方形DPEF 的面积为 S．当点 P由点 B运动到点 A时，如图 2， S
是关于 t的二次函数．在 3 个时刻 t ， t ， t (t t t )对应的正方形DPEF 的面积均相等．下列 4 个结1 2 3 1 2 3
论：①当 t =1时， S = 3；②点 P在线段 BA上时 S = 2t2 16t + 34 ；③ AD = 4 2 ；④ t + t = 4．其中正1 2
确结论的个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
4．（2025 甘肃）如图 1，在等腰直角三角形 ABC中， ACB =90 ，点D为边 AB的中点．动点P从点
A出发，沿边 AC→CB方向匀速运动，运动到点 B时停止．设点 P的运动路程为 x，△ APD的面积为
y， y与 x的函数图象如图 2 所示，当点 P运动到CB的中点时， PD的长为 ( )
A．2 B．2.5 C． 2 2 D．4
5．（2025 新疆）一辆快车从 A地匀速驶向 B地，一辆慢车从 B地匀速驶向 A地，两车同时出发，各自到
达目的地后停止．两车之间的距离 s(km) 与行驶时间 t(h) 之间的函数关系如图所示，下列错误的是 ( )
A．两车出发 2h后相遇 B． A， B两地相距280km
3
C．快车比慢车早 h到达目的地 D．快车的速度为80km / h，慢车的速度为60km / h
2
6．（2025 山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 y（厘米 / 天）和光照强度 x
（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围 (200 x 1000)内， y与 x近似成一次函数关系；在中
高光照强度范围 (x 1000)内， y与 x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论
正确的是 ( )
A．当 x 1000时， y随 x的增大而减小 B．当 x = 2000时， y有最大值
C．当 y 0.6时， x 1000 D．当 y = 0.4时， x = 600
7．（2025 兰州）如图，在正方形 ABCD中，AB = 2cm，对角线 AC，BD相交于点O，动点 P从点O出发
沿O→ A→B方向以 2cm / s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm / s的速度运动．当点
Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为 x(s) ，△CPQ的面积为 y(cm2 )，则点 P分别在OA，
AB上运动时， y与 x的函数关系分别是 ( )
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
8．（2024 济南）如图 1，△ ABC是等边三角形，点D在边 AB上， BD = 2，动点 P以每秒 1 个单位长度
的速度从点 B出发，沿折线BC CA匀速运动，到达点 A后停止，连接DP．设点 P的运动时间为 t(s) ，
DP2 为 y．当动点 P沿BC匀速运动到点C时， y与 t的函数图象如图 2 所示．有以下四个结论：①
AB =3；②当 t = 5时， y =1；③当4 t 6时，1 y 3；④动点 P沿 BC CA匀速运动时，两个时刻 t ，1
t (t t )分别对应 y 和 y ，若 t + t = 6，则 y y ．其中正确结论的序号是 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
9．（2024 安徽）如图，在Rt△ ABC中， ABC =90 ， AB = 4 ， BC = 2， BD是边 AC上的高．点E，
F 分别在边 AB， BC上（不与端点重合），且DE ⊥ DF ．设 AE = x，四边形DEBF 的面积为 y，则 y关
于 x的函数图象为 ( )
A． B． C． D．
10．（2024 烟台）如图，水平放置的矩形 ABCD中， AB = 6cm， BC =8cm，菱形 EFGH的顶点E，G
在同一水平线上，点G与 AB的中点重合，EF = 2 3cm， E = 60 ，现将菱形EFGH以1cm / s的速度沿
BC方向匀速运动，当点 E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形 ABCD重叠部分
的面积 S(cm2 )与运动时间 t(s) 之间的函数关系图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
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11．（2024 威海）同一条公路连接 A， B，C三地， B地在 A，C两地之间．甲、乙两车分别从 A地、
B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙
两车之间的距离 y(km) 与时间 x(h) 的函数关系．下列结论正确的是 ( )
8
A．甲车行驶 h与乙车相遇 B． A，C两地相距220km
3
C．甲车的速度是70km / h D．乙车中途休息 36 分钟
12．（2024 甘肃）如图 1，动点 P从菱形 ABCD的点 A出发，沿边 AB→BC匀速运动，运动到点C时停
止．设点 P的运动路程为 x， PO的长为 y， y与 x的函数图象如图 2 所示，当点 P运动到BC中点时，
PO的长为 ( )
A．2 B．3 C． 5 D．2 2
13．（2024 淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从 A地匀速出发，甲健
步走向 B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，
跑步到达 B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离 y(m) 与
甲出发的时间 x(min)之间的函数关系．那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为
20min；②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；③甲、乙两人第二次相遇的时间
是在甲出发后100min；④ A， B两地之间的距离是11200m．其中正确的结论有 ( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
14．（2024 齐齐哈尔）如图，在等腰Rt ABC中， BAC =90 ， AB =12 ，动点 E， F 同时从点 A出
发，分别沿射线 AB和射线 AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点 E停止运动时，点F 也随之停止
运动，连接 EF ，以 EF 为边向下作正方形EFGH，设点 E运动的路程为 x(0 x 12) ，正方形EFGH和
等腰Rt ABC重合部分的面积为 y．下列图象能反映 y与 x之间函数关系的是 ( )
A． B． C． D．
15．（2024 内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同
学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用 x表示
时间， y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：（1）体育场离该同学家 2.5 千米．（2）该同学
在体育场锻炼了 15 分钟．（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的 2 倍．（4）若该同学骑行的平均
速度是跑步平均速度的 1.5 倍，则 a的值是 3.75．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023 常州）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，
沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进
行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 2 50m的折返跑，用时18s．在整个过程中，他的速度大小
v(m / s) 随时间 t(s) 变化的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
17．（2025 湖北）如图 1，在△ ABC中， C = 90 ， BC = 4cm， AB = n cm．动点 P，Q均以1cm / s
的速度从点C同时出发，点 P沿折线C→B→ A向点 A运动，点Q沿边CA向点 A运动．当点Q运动到
点 A时，两点都停止运动．△ PCQ的面积 S（单位： cm2 )与运动时间 t（单位： s) 的关系如图 2 所示．
（1）m = ；（2） n = ．
18．（2023 烟台）如图 1，在 ABC中，动点 P从点 A出发沿折线 AB→BC→CA匀速运动至点 A后停
止．设点 P的运动路程为 x，线段 AP的长度为 y，图 2 是 y与 x的函数关系的大致图象，其中点F 为曲
线DE的最低点，则 ABC的高CG的长为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型 7：圆综合 21 题★
1．（2025 湖南）如图，北京市某处 A位于北纬40 （即 AOC = 40 )，东经116 ，三沙市海域某处 B位
于北纬15 （即 BOC =15 ) ，东经116 ．设地球的半径约为 R千米，则在东经116 所在经线圈上的点
A和点 B之间的劣弧长约为 ( )
5 1 5 2
A． R（千米） B． R（千米） C． R（千米） D． R（千米）
72 12 36 9
2．（2025 山西）如图，在△ ABC中， BAC =90 ， AB = AC，分别以点 B，C为圆心、BC的长为半
径画弧，与 BA，CA的延长线分别交于点D， E．若BC = 4，则图中阴影部分的面积为 ( )
A． 2 4 B． 4 4 C．8 8 D．4 8
3．（2025 南充）如图， AB是 O的直径， AD ⊥ AB于点 A，OD交 O于点C， AE ⊥OD于点E，交
O于点 F ， F 为弧 BC的中点， P为线段 AB上一动点，若CD = 4，则 PE + PF 的最小值是 ( )
A．4 B． 2 7 C．6 D．4 3
3
4．（2025 德阳）如图， O的直径 AB =10，DE是弦， AB ⊥ DE，CEB = EBD， sin BAC = ， AD
5
的延长线与CB的延长线相交于点 F ，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中
正确的个数是 ( )
11 10
① DBF =3 DAB；②CG是 O的切线；③ B， E两点间的距离是 10 ；④DF = ．
9
A．1 B．
目录
类型 1：几何综合 60 题………………………………………1
类型 2：几何最值 44 题………………………………………15
类型 3：几何多结论 30 题……………………………………26
类型 4：二次函数图像与系数及性质综合 40 题……………36
类型 5：反比例函数综合题+k 的几何意义 40 题……………48
类型 6：动点产生的函数图像 18 题…………………………60
类型 7：圆综合 21 题…………………………………………66
类型 8：新定义+数论+代数推理 22 题………………………72
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型一：几何综合题 60 题★
1．（2025 湖北）如图，折叠正方形 ABCD的一边 BC，使点C落在 BD上的点 F 处，折痕 BE 交 AC于点
G．若DE = 2 2 ，则CG的长是 ( )
A． 2 B．2 C． 2 +1 D．2 2 1
EF
2．（2025 深圳）如图，将正方形 ABCD沿 EF 折叠，使得点 A与对角线的交点O重合，EF 为折痕，则
CG
的值为 ( )
1 1 2 2
A． B． C． D．
4 2 2 3
3．（2025 重庆）如图，正方形 ABCD的边长为 2，点 E是 BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE
翻折到正方形 ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交 AB于点G． ADG和 DAG的平分线DH ，
AH 相交于点H ，连接GH，则△DGH的面积为 ( )
5 5 5 5 5 5
A． B． C． D．
8 4 8 4
4．（2025 连云港）如图，在△ ABC中， ACB =90 ， CAB =30 ，AD平分 CAB，BE ⊥ AD，E为垂
AD
足，则 的值为 ( )
BE
7 3 5 8 3
A．2 3 B． C． 3 D．
3 2 3
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
5．（2025 广东）如图，在矩形 ABCD中， E，F 是 BC边上的三等分点，连接DE， AF 相交于点G，连
接CG．若 AB =8， BC =12，则 tan GCF的值是 ( )
10 1 3 10 2
A． B． C． D．
10 3 10 3
6．（2025 烟台）如图，在△ ABC中， ACB =90 ，AC = BC，AD是角平分线．点 E从点 A出发，沿 AB
方向向点 B运动，连接CE，点 F 在 BC上，且 CEF = 45 ．设 AE = x，FD = y，若 y关于 x的函数图象
过点 (0,2 2)，则该图象上最低点的坐标为 ( )
1 3 2 3 1 2
A． ( ， 2) B． ( ， 2) C． ( ，3 2 2) D． ( ，3 2 2)
2 2 2 2 2 2
7．（2025 河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形
OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有 A，B，C三个整点，
则平移后点 E的对应点坐标为 ( )
7 11 8 23 3 3 9
A． ( , ) B． ( , ) C． ( ,2) D． ( , )
5 5 5 10 2 2 4
8．（2024 重庆）如图，在正方形 ABCD的边CD上有一点 E，连接 AE，把 AE绕点 E逆时针旋转90 ，得
FG
到 FE ，连接CF并延长与 AB的延长线交于点G．则 的值为 ( )
CE
3 2 3 3
A． 2 B． 3 C． D．
2 2
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9．（2024 自贡）如图，在矩形 ABCD中， AF 平分 BAC，将矩形沿直线 EF 折叠，使点 A，B分别落在
边 AD、BC上的点 A ， B 处， EF ， A F分别交 AC于点G， H ．若GH = 2，HC =8，则 BF 的长为
( )
20 2 20 3 5 3
A． B． C． D．5
9 9 2
10．（2024 淮安）如图，在 ABCD中，AB = 2 ，BC =3， B = 60 ，P是BC边上的动点 (BP 1)，将△
ABP沿 AP翻折得△ AB P，射线 PB 与射线 AD交于点 E．下列说法不正确的是 ( )
A．当 AB ⊥ AB时， B A = B E
B．当点 B 落在 AD上时，四边形 ABPB 是菱形
C．在点 P运动的过程中，线段 AE的最小值为 2
1
D．连接 BB ，则四边形 ABPB 的面积始终等于 AP BB
2
11．（2024 呼和浩特）如图，在 ABD中， ABD =30 ， A=105 ，将 ABD沿 BD翻折180 得到 CBD，
将线段DC绕点D顺时针旋转30 得到线段DF，点 E为 AB的中点，连接 EF ，ED．若 EF =1，则 BED
的面积是 ( )
1+ 3 2+ 3 2+ 3 1+ 3
A． B． C． D．
4 4 2 2
12．（2025 成都）如图，在△ ABC中， AB = AC，点D在 AC边上， AD = 3，CD = 2， CBD = 45 ，则
tan ACB的值为 ；点 E在 BC的延长线上，连接DE，若 CED = ABD，则CE的长为 ．
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13．（2025 江西）如图，在矩形纸片 ABCD中，沿着点 A折叠纸片并展开， AB的对应边为 AB ，折痕与
边 BC交于点 P．当 AB 与 AB， AD中任意一边的夹角为15 时， APB的度数可以是 ．
14．（2025 山西）如图，在四边形 ABCD中，AD / /BC， B =90 ，AB =8，BC = 4，点 E在边 AB上，
AE =3，连接CE，且 DCE = BCE．点F 在 BC的延长线上，连接DF．若DF =DC，则线段CF的长
为 ．
15．（2025 陕西）如图，在 ABCD中，AB = 6，AD = 8， B = 60 ．动点M ，N分别在边 AB，AD上，
且 AM = AN，以MN为边作等边△MNP，使点 P始终在 ABCD的内部或边上．当△MNP的面积最大时，
DN的长为 ．
16．（2025 河南）定义：有两个内角的差为 90 的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ ABC中，
AB = AC = 5， BC =8，点 P为边 BC上一点，若△ APC为“反直角三角形”，则 BP的长为 ．
17．（2025 内蒙古）如图，在菱形 ABCD中，AB = 4 5，对角线 BD的长为 16，E是 AD的中点，F 是 BD
上一点，连接 EF ．若 BF =3，则 EF 的长为 ．
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18．（2025 广西）如图，点 A，D在BC同侧， AB = BC =CA= 2，BD =CD = 2 ，则 AD = ．
19．（2025 黑龙江）如图，在矩形 ABCD中， AD = 6 ， CAD = 60 ，点 E是边CD的中点，点F 是对角
线 AC上一动点，作点C关于直线 EF 的对称点 P，若PE ⊥ AC，则CF的长为 ．
20．（2025 辽宁）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点O，AC =8，BD =12，点 E在线段
OA上，AE = 2，点 F 在线段OC上，OF =1，连接 BE ，点G为 BE 的中点，连接FG，则FG的长为 ．
AB 5 1
21．（2025 兰州）如图，黄金矩形 ABCD中 = ，以宽 AB为边在其内部作正方形 ABFE，得到四
AD 2
边形CDEF是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH ，四边形KEGL也是黄金矩形．依次以点 E，G，L为
圆心作 AF,FH ,HK，曲线 AFHK 叫做“黄金螺线”．若 AD = 2 ，则“黄金螺线” AFHK 的长为 ．（结
果用 表示）
22．（2025 贵州）如图，在矩形 ABCD中，点 E， F ，M 分别在 AB，DC， AD边上，BE = 2CF，FM
分别交对角线 BD、线段DE于点G，H ，且H 是DE的中点．若CF = 2， ABD =30 ，则HG的长为 ．
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23．（2024 成都）如图，在 Rt ABC中， C = 90 ， AD是 ABC的一条角平分线， E为 AD中点，连接
BE ．若BE = BC，CD = 2，则 BD = ．
5 5
24．（2024 深圳）如图，在△ ABC中，AB = BC， tan B = ，D为BC上一点，若满足CD = BD，过
12 8
CE
D作DE ⊥ AD交 AC延长线于点 E，则 = ．
AC
25．（2024 苏州）如图，△ ABC中， ACB =90 ，CB =5 ，CA=10，点D， E分别在 AC， AB边上，
AE = 5AD，连接DE，将△ ADE 沿DE翻折，得到△ FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC
面积的 2 倍，则 AD = ．
26．（2024 山西）如图，在 ABCD中， AC为对角线， AE ⊥ BC于点 E，点 F 是 AE延长线上一点，且
ACF = CAF，线段 AB，CF的延长线交于点G．若 AB = 5 ， AD = 4 ， tan ABC = 2 ，则BG的长
为 ．
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27．（2024 天津）如图，正方形 ABCD的边长为3 2 ，对角线 AC，BD相交于点O，点 E在CA的延长线
上，OE =5，连接DE．
（Ⅰ）线段 AE的长为 ；
（Ⅱ）若 F 为DE的中点，则线段 AF 的长为 ．
28．（2024 呼和浩特）如图，正方形 ABCD的面积为 50，以 AB为腰作等腰 ABF， AB = AF ， AE平分
DAF交DC于点G，交 BF 的延长线于点 E，连接DE．若 BF = 2 ，则DG = ．
29．（2024 淄博）如图，在边长为 10 的菱形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点O，点 E在BC延长线
OF 5
上，OE与CD相交于点 F ．若 ACD = 2 OEC， = ，则菱形 ABCD的面积为 ．
FE 6
30．（2024 哈尔滨）如图，矩形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点O，延长 BC至点G，连接DG，
1
CDG = AOB，点 E为 DG的中点，连接OE交CD于点 F ，若 AO = 6EF，DE = 2 3 ，则 DF 的长
4
为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
31．（2024 济南）如图，在矩形纸片 ABCD中，AB = 2，AD = 2 ，E为边 AD的中点，点 F 在边CD上，
连接 EF ，将△DEF 沿 EF 翻折，点D的对应点为D ，连接 BD ．若 BD = 2，则DF = ．
32．（2024 盐城）如图，在△ ABC中， ACB =90 ，AC = BC = 2 2 ，点D是 AC的中点，连接BD，将
△ BCD绕点 B旋转，得到△ BEF．连接CF，当CF / /AB时，CF = ．
33．（2024 无锡）如图，在△ ABC中，AC = 2 ，AB =3，直线CM / /AB，E是 BC上的动点（端点除外），
射线 AE交CM 于点 D．在射线 AE上取一点 P，使得 AP = 2ED，作 PQ / /AB，交射线 AC于点Q．设
AQ = x， PQ = y．当 x = y时，CD = ；在点 E运动的过程中， y关于 x的函数表达式为 ．
34．（2024 眉山）如图，菱形 ABCD的边长为 6， BAD =120 ，过点D作DE ⊥ BC，交BC的延长线于
点 E，连结 AE分别交 BD，CD于点 F ，G，则 FG的长为 ．
35．（2024 连云港）如图，将一张矩形纸片 ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕 EF ，连
接 BF ．再将矩形纸片折叠，使点 B落在 BF 上的点H 处，折痕为 AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B
的一个五等分点， AB = 4 ，则BC的长为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
36．（2024 南充）如图，在矩形 ABCD中，E为 AD边上一点， ABE = 30 ，将 ABE沿 BE 折叠得 FBE，
连接CF，DF，若CF平分 BCD， AB = 2 ，则DF的长为 ．
37．（2023 南京）如图，在菱形纸片 ABCD中，点 E在边 AB上，将纸片沿CE折叠，点 B落在 B 处，CB ⊥ AD，
垂足为 F ．若CF = 4cm，FB =1cm，则 BE = cm．
38．（2023 绵阳）如图，在 ABC中， ACB =90 ， AC =8，将 ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△
A ，满足 ，过点 B作 ，垂足为 E，连接 AE，若1B1C A1B1 / /AC BE ⊥ A1C S ABE = 3S ，则 AB的长为 ． ACE
39．（2023 襄阳）如图，在 ABC中，AB = AC，点D是 AC的中点，将 BCD沿 BD折叠得到 BED，连
接 AE．若DE ⊥ AB于点 F ，BC =10，则 AF 的长为 ．
40．（2023 成都）如图，在Rt ABC中， ABC =90 ，CD平分 ACB交 AB于点D，过D作DE / /BC交
AG 7
AC于点 E，将 DEC沿DE折叠得到 DEF ，DF交 AC于点G．若 = ，则 tan A= ．
GE 3
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3
41．（2023 深圳）如图，在 ABC中，AB = AC，tanB = ，点D为 BC上一动点，连接 AD，将 ABD沿
4
S
AD翻折得到 三角形AGE ADE，DE交 AC于点G，GE DG，且 AG :CG = 3:1，则 = ．
S三角形ADG
42．（2023 济南）如图，将菱形纸片 ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕
CP交 AD于点 P．若 ABC =30 ， AP = 2 ，则 PE 的长等于 ．
43．（2023 杭州）如图，在 ABC中，AB = AC， A 90 ，点D，E，F 分别在边 AB，BC，CA上，
BC CF
连接DE，EF ，FD，已知点 B和点 F 关于直线DE对称．设 = k，若 AD = DF ，则 = （结果
AB FA
用含 k的代数式表示）．
1
44．（2023 苏州）如图， BAC =90 ，AB = AC = 3 2 ，过点C作CD⊥ BC，延长CB到 E，使 BE = CD，
3
连接 AE， ED．若 ED = 2AE，则 BE = ．（结果保留根号）
45．（2023 山西）如图，在四边形 ABCD中， BCD = 90 ，对角线 AC，BD相交于点O．若 AB = AC = 5，
BC = 6， ADB = 2 CBD，则 AD的长为 ．
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46．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ ABC的面积，折叠△ BDE得到△ FDE， AC分别与DF，EF 相
交于G， H 两点．若DG =m， EH = n，用含m， n的式子表示GH的长是 ．
47．（2023 扬州）如图，已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E、F 分别在边 AD、BC上，将正方形沿着EF
翻折，点 B恰好落在CD边上的点 B 处，如果四边形 ABFE与四边形EFCD的面积比为3:5，那么线段FC
的长为 ．
48．（2023 滨州）如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，点 E，F 分别是线段OB，OA上的
点，若 AE = BF ， AB =5， AF =1，BE =3，则 BF 的长为 ．
49．（2023 大连）如图，正方形 ABCD中，AB =3，点 E在 BC的延长线上，且CE = 2．连接 AE， DCE
的平分线与 AE相交于点 F ，连接DF，则DF的长为 ．
50．（2023 新疆）如图，在 ABCD中，AB = 6，BC =8， ABC =120 ，点 E是 AD上一动点，将 ABE
沿 BE 折叠得到△ A BE，当点 A 恰好落在EC上时，DE的长为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
51．（2023 哈尔滨）如图，在正方形 ABCD中，点 E在CD上，连接 AE，BE ，F 为 BE 的中点，连接CF，
29 DE 3
若CF = ， = ，则 AE的长为 ．
2 EC 2
52．（2023 营口）如图，在 ABC中， BAC =90 ，AB = AC，将 AC绕着点C按顺时针旋转60 得到CD，
AE
连接 BD交 AC于点 E，则 = ．
ED
53．（2023 朝阳）在矩形 ABCD中， AB =5， BC = 6，点M 是边 AD上一点（点M 不与点 A，D重合），
连接CM ，将△CDM 沿CM 翻折得到△CNM ，连接 AN，DN ．当△ AND为等腰三角形时，DM 的长
为 ．
54．（2023 呼和浩特）如图，正方形 ABCD的边长为 2 5 ，点 E是CD的中点， BE 与 AC交于点M ， F
是 AD上一点，连接 BF 分别交 AC，AE于点G，H ，且 BF ⊥ AE，连接MH ，则 AH = ，MH = ．
55．（2023 盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形，AB = 6，BC = 6，点 E为边 BC的中点，点F 为边 AD上
一点，将四边形 ABEF沿 EF 折叠，点 A的对应点为点 A ，点 B的对应点为点 B ，过点 B 作 B H ⊥ BC于
点 H ，若B H = 2 2 ，则 FD的长是 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
56．（2025 绥化）在边长为 7 的等边三角形 ABC中，点D在 AB上，BD = 2．点M 是直线BC上的一个动
点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接 BN．当△ BND为直角三角形时，则
CM 的长是 ．
57．（2025 威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可
拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为 n，四边形EFGH的面积等于四边形 ABCD
m
面积的 2 倍，则 = ．
n
58．（2024 武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形 ABCD．直线MP交正方形 ABCD的两边于点
E， F ，记正方形 ABCD的面积为 S ，正方形MNPQ的面积为 S .若BE = kAE(k 1) ，则用含1 2 k的式子表
S
示 1 的值是 ．
S2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
59．（2024 安徽）如图，现有正方形纸片 ABCD，点 E，F 分别在边 AB，BC上．沿垂直于 EF 的直线折
叠得到折痕MN，点 B，C分别落在正方形所在平面内的点 B ，C 处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且 BEF = ，则 C NM = （用含 的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H 分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平
面内的点D 处，然后还原．若点D 在线段B C 上，且四边形EFGH是正方形，AE = 4 ，EB =8，MN与
GH的交点为 P，则 PH 的长为 ．
60．（2023 杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是 1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形 ( DAE， ABF， BCG， CDH )和中间一个小正方形 EFGH拼
成的大正方形 ABCD中， ABF BAF ，连接 BE ．设 BAF = ， BEF = ，若正方形EFGH与正方
形 ABCD的面积之比为1:n， tan = tan2 ，则 n = ( .
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型二：几何最值问题 44 题★
1．（2025 安徽）如图，在四边形 ABCD中， A= ABC =90 ， AB = 4 ，BC =3， AD =1，点 E为边
AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90 得到线段DF，连接 FB， FC， EC，则下列结论错误
的是 ( )
A．EC ED的最大值是2 5 B． FB的最小值是 10
C． EC + ED的最小值是4 2 D．FC的最大值是 13
2．（2025 自贡）如图，正方形 ABCD边长为 6，以对角线 BD为斜边作Rt△ BED， E = 90 ，点F 在
DE上，连接 BF ．若2BE =3DF，则 BF 的最小值为 ( )
A．6 B． 6 2 5 C．3 5 D．4 5 2 2
3．（2025 宜宾）如图，在Rt△ ABC中， ACB =90 ， AC = 4 ， BC = 5．过点 A作直线 l / /BC，点E
1
是直线 l上一动点，连结EC，过点 E作EF ⊥CE，连结CF使 tan ECF = .当 BF 最短时，则 AE的长
2
度为 ( )
A． 5 B．4 C． 2 5 D．2 13
4．（2025 资阳）如图，在四边形 ABCD中，AB / /DC，AD⊥DC，AB = 4 ，AD =DC = 2，E是线段 AD
的中点，F 是线段 AB上的一个动点．现将△ AEF 沿 EF 所在直线翻折得到△ A EF（如图的所有点在同一
平面内），连接 A B， A C，则△ A BC面积的最小值为 ( )
A．2 2 B．3 2 C． 10 2 D．4 2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
5．（2024 苏州）如图，矩形 ABCD中， AB = 3 ， BC =1，动点 E， F 分别从点 A，C同时出发，以每
秒 1 个单位长度的速度沿 AB，CD向终点 B，D运动，过点 E，F 作直线 l，过点 A作直线 l的垂线，
垂足为G，则 AG的最大值为 ( )
3
A． 3 B． C．2 D．1
2
6．（2024 泸州）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD中，点 E， F 分别是边 AB，BC上的动点，且满足
1
AE = BF ， AF 与DE交于点O，点M 是DF的中点，G是边 AB上的点， AG = 2GB，则OM + FG的
2
最小值是 ( )
A．4 B．5 C．8 D．10
7．（2024 泰安）如图，菱形 ABCD中， B = 60 ，点 E是 AB边上的点， AE = 4 ， BE =8，点F 是 BC
上的一点，△EGF是以点G为直角顶点， EFG为30 角的直角三角形，连结 AG．当点F 在直线 BC
上运动时，线段 AG的最小值是 ( )
A．2 B． 4 3 2 C． 2 3 D．4
8．（2024 宜宾）如图，在 ABC中， AB = 3 2 ， AC = 2 ，以 BC为边作Rt BCD， BC = BD，点D与
点 A在BC的两侧，则 AD的最大值为 ( )
A． 2+ 3 2 B． 6+ 2 2 C．5 D．8
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
9．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为 4（单位： dm)的正方形纸片
ABCD，他在边 AB和 AD上分别取点 E和点M ，使 AE = BE， AM =1，又在线段MD上任取一点N
（点N可与端点重合），再将△EAN沿 NE所在直线折叠得到△EA1N，随后连接DA，小王同学通过多1
次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点 A在以 E为圆心的圆弧上运动； 1
②当DA达到最大值时， A到直线 AD的距离达到最大；③1 1 DA的最小值为 ；④1 2 5 2 DA达到最小值1
时，MN = 5 5 ．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023 自贡）如图，分别经过原点O和点 A(4,0)的动直线 a， b夹角 OBA=30 ，点M 是OB中
点，连接 AM ，则 sin OAM 的最大值是 ( )
3+ 6 3 6 5
A． B． C． D．
6 2 3 6
11．（2023 泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB的一条直角边OB在 x轴上，点 A的坐标为
( 6,4) ；Rt COD中， COD = 90 ，OD = 4 3， D = 30 ，连接BC，点M 是 BC中点，连接
AM ．将Rt COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 AM 的最小值是 ( )
A．3 B． 6 2 4 C． 2 13 2 D．2
12．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB = 3 5 ，点C为平面内一动点，
3
BC = ，连接 AC，点M 是线段 AC上的一点，且满足CM :MA=1:2 ．当线段OM 取最大值时，点M
2
的坐标是 ( )
3 6 3 6 6 12 6 12
A． ( ， ) B． ( 5 ， 5) C． ( ， ) D． ( 5 ， 5)
5 5 5 5 5 5 5 5
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
13．（2023 盘锦）如图，四边形 ABCD是矩形， AB = 10 ， AD = 4 2 ，点 P是边 AD上一点（不与点
A，D重合），连接 PB， PC，点M ，N分别是 PB，PC的中点，连接MN， AM ，DN，点E在边
AD上，ME / /DN，则 AM +ME的最小值是 ( )
A．2 3 B．3 C．3 2 D．4 2
14．（2025 连云港）如图，在菱形 ABCD中， AC = 4 ， BD = 2， E为线段 AC上的动点，四边形DAEF
为平行四边形，则 BE + BF 的最小值为 ．
15．（2025 自贡）如图，在平面直角坐标系 xOy中， Rt△ ABC的顶点C， A分别在 x轴， y轴正半轴
上， ACB =90 ， BAC =30 ， BC = 2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值
为 ．
16．（2025 烟台）如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60 ，对角线 AC = 6cm．点M 从点 A出发，沿 AC
方向以1cm / s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以 3cm / s的速度向点D运动，当
一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 AN，DM 交于点 P．在此过程中，点 P的运动路径长为
cm．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
17．（2025 扬州）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC = 4 3 ，点 E是 BC边上的动点，将△ ABE沿直
1
线 AE翻折得到△ APE，过点 P作 PF ⊥ AD，垂足为F ，点Q是线段 AP上一点，且 AQ = PF ．当点
2
E从点 B运动到点C时，点Q运动的路径长是 ．
18．（2025 内江）如图，在△ ABC中， A= 45 ， B = 60 ， AB = 2 2 ，点D、 E、 F 分别是边
BC、 AB、 AC上的动点，则△DEF 周长的最小值是 ．
19．（2025 内江）如图，在矩形 ABCD中， AB =8， AD = 6 ，点 E、 F 分别是边 AD、CD上的动点，
连接 BE 、 EF ，点G为 BE 的中点，点H 为 EF 的中点，连接GH，则GH的最大值是 ．
20．（2025 广安）如图，在等腰Rt△ ABC中， BAC =90 ， AB = AC = 4，D是 BC边上的一个动点，
连接 AD，则 AD的最小值为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
21．（2025 山东）如图，在 Rt△ ABC中， ABC =90 ， AB = 6， BC =8．点P为边 AC上异于 A的一
点，以 PA， PB为邻边作 PAQB，则线段 PQ的最小值是 ．
22．（2025 宜宾）如图，在 Rt△ ABC中， ABC =90 ， BC = 6，将射线CA绕点C顺时针旋转90 到
CA，在射线CA上取一点D，连结 AD，使得△ ACD面积为 24，连结 BD，则 BD的最大值是 ． 1 1
23．（2025 黑龙江）如图，已知△ ABC中， ACB =90 ， AC = 7 ， BC = 9，点M 是△ ABC内部一
1
点，连接 AM 、 BM 、CM，若CM =3，则 AM + BM 的最小值为 ．
3
24．（2024 扬州）如图，已知两条平行线 l 、 l ，点 A是 l 上的定点， AB ⊥ l 于点 B，点C、D分别是1 2 1 2
l ， l 上的动点，且满足 AC = BD，连接CD交线段 AB 于点 E ，BH ⊥CD于点 H ，则当 BAH 最大1 2
时， sin BAH的值为 ．
25．（2024 河南）如图，在 Rt△ ABC中， ACB =90 ，CA=CB = 3，线段CD绕点C在平面内旋转，
过点 B 作 AD的垂线，交射线 AD于点 E ．若CD =1，则 AE 的最大值为 ，最小值为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
26．（2024 烟台）如图，在 ABCD中， C =120 ， AB =8， BC =10， E 为边CD的中点，F 为边
AD上的一动点，将 DEF 沿 EF 翻折得△D EF ，连接 AD ， BD ，则 ABD 面积的最小值为 ．
3
27．（2024 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点 A在直线 y = x上，且点 A的横坐标为 4，直角三角
4
板的直角顶点C落在 x轴上，一条直角边经过点 A，另一条直角边与直线OA交于点 B ，当点C在 x轴
上移动时，线段 AB 的最小值为 ．
1
28．（2024 黑龙江）如图，在Rt ABC中， ACB =90 ， tan BAC = ， BC = 2， AD =1，线段 AD
2
绕点 A旋转，点 P 为CD的中点，则 BP的最大值是 ．
29．（2024 海南）如图，矩形纸片 ABCD中， AB = 6，BC =8，点 E 、 F 分别在边 AD、 BC上，将
纸片 ABCD沿 EF 折叠，使点D的对应点D 在边BC上，点C的对应点为C ，则DE 的最小值
为 ，CF 的最大值为 ．
30．（2024 连云港）如图，在△ ABC中， C = 90 ， B =30 ， AC = 2 ．点 P 在边 AC上，过点 P 作
PD ⊥ AB，垂足为D，过点D作DF ⊥ BC，垂足为 F ．连接 PF ，取 PF 的中点 E ．在点 P 从点 A
到点C的运动过程中，点 E 所经过的路径长为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
31．（2024 宜宾）如图，正方形 ABCD的边长为 1，M 、 N是边BC、CD上的动点．若 MAN = 45 ，
则MN的最小值为 ．
32．（2024 宜宾）如图，在平行四边形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 4 ， E 、 F 分别是边CD、 AD上的
动点，且CE = DF．当 AE +CF的值最小时，则CE = ．
5
33．（2024 广元）如图，在 ABC中， AB =5， tan C = 2，则 AC + BC的最大值为 ．
5
34．（2023 广元）如图， ACB = 45 ，半径为 2 的 O与角的两边相切，点 P 是 O上任意一点，过
点 P 向角的两边作垂线，垂足分别为 E ， F ，设 t = PE + 2PF，则 t的取值范围是 ．
35．（2022 广元）如图，直尺 AB 垂直竖立在水平面上，将一个含 45 角的直角三角板CDE的斜边DE
靠在直尺的一边 AB 上，使点 E 与点 A重合，DE =12cm．当点D沿DA方向滑动时，点 E 同时从点
A出发沿射线 AF 方向滑动．当点D滑动到点 A时，点C运动的路径长为 cm．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
1
36．（2023 达州）在△ ABC中， AB = 4 3， C = 60 ，在边BC上有一点 P ，且BP = AC，连接
2
AP ，则 AP 的最小值为
37．（2023 南通）如图，四边形 ABCD的两条对角线 AC， BD互相垂直， AC = 4 ， BD = 6，则
AD+BC的最小值是 ．
38．（2023 泸州）如图， E ， F 是正方形 ABCD的边 AB 的三等分点， P 是对角线 AC上的动点，当
AP
PE + PF 取得最小值时， 的值是 ．
PC
39．（2023 德州）如图，在四边形 ABCD中， A=90 ， AD / /BC， AB =3， BC = 4，点 E 在 AB
上，且 AE =1． F ，G为边 AD上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为
．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
1
40．（2023 自贡）如图，直线 y = x + 2 与 x轴， y轴分别交于 A， B 两点，点D是线段 AB 上一动
3
4
点，点H 是直线 y = x + 2上的一动点，动点 E(m,0) ， F(m + 3,0) ，连接 BE ，DF ，HD ．当
3
BE + DF 取最小值时，3BH +5DH的最小值是 ．
41．（2023 随州）如图，在矩形 ABCD中， AB =5， AD = 4 ，M 是边 AB 上一动点（不含端点），将△
ADM 沿直线DM 对折，得到△NDM．当射线CN 交线段 AB 于点 P 时，连接DP，则△CDP的面积
为 ；DP的最大值为 ．
42．（2023 黑龙江）如图，在菱形 ABCD中， AB =3， ABC = 60 ，点 E ， F 分别是边BC和对角线
AC上的动点，且BE =CF，连接 AE ， BF 相交于点M ，点 P 是 BC边上的一个动点，连接 PM ，
PD，则 PM + PD的最小值是 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
43．（2020 成都）如图，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， BC =3， E ， F 分别为 AB ，CD边的中点．动
点 P 从点 E 出发沿 EA向点 A运动，同时，动点Q从点 F 出发沿 FC向点C运动，连接 PQ，过点 B
作 BH ⊥ PQ于点H ，连接DH ．若点 P 的速度是点Q的速度的 2 倍，在点 P 从点 E 运动至点 A的过
程中，线段 PQ长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．
44．（2020 扬州）如图，在 ABCD中， B = 60 ， AB =10， BC =8，点 E 为边 AB 上的一个动点，连
1
接 ED并延长至点 F ，使得DF = DE，以EC、 EF 为邻边构造 EFGC，连接EG，则EG的最小值
4
为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型三：几何多结论题 30 题★
1．（2025 天津）四边形 ABCD中， AD / /BC， B =90 ， AB =8cm， AD =10cm，BC =16cm．动点M
从点 B 出发，以 2cm / s的速度沿边 BA、边 AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm / s的
速度沿边CB向终点 B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间
为 t s．当 t = 2s时，点M ， N的位置如图所示．有下列结论：①当 t = 6s时，CN =DM ；
②当1 t 2时，△ BMN的最大面积为 26cm2 ；③ t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2 ．其中，
正确结论的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点 F 在 BC边上（不与点 B 、C重合），点 E 在CB的延
长线上，且 BE = BF，连接 AC、 AE 、 AF ，过点 E 作EG ⊥ AF于点G，分别交 AB 、 AC、DC
于点M 、 H 、 N．则下列结论：①MN = AF；② EAH = EHA；③EN BF = EC HN；④若
2
BF :FC = 3: 4，则 tan FAC = ；⑤图中共有 5 个等腰三角形．其中正确的结论是 ( )
5
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
3．（2024 北京）如图，在菱形 ABCD中， BAD = 60 ，O为对角线的交点．将菱形 ABCD绕点O逆时
针旋转90 得到菱形 A B C D ，两个菱形的公共点为 E ， F ，G， H ．对八边形BFB GDHD E给出下
面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
4．（2024 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点H 在 AD边上（不与点 A、D重合）， BHF = 90 ，
HF 交正方形外角的平分线DF 于点 F ，连接 AC交 BH 于点M ，连接 BF 交 AC于点G，交CD于
点 N，连接 BD．则下列结论：① HBF = 45 ；②点G是 BF 的中点；③若点H 是 AD的中点，则
10 1 11
sin NBC = ；④BN = 2BM；⑤若 AH = HD，则 S BND = S AHM ．其中正确的结论是 ( )
10 2 2
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
5．（2024 东营）如图，在正方形 ABCD中， AC与 BD交于点O，H 为 AB 延长线上的一点，且
BH = BD，连接DH ，分别交 AC， BC于点 E ， F ，连接 BE ，则下列结论：
CF 3
① = ；② tan H = 3 1；③ BE 平分 CBD；④ 2AB
2 = DE DH ．
BF 2
其中正确结论的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．（2024 宁夏）如图，在Rt ABC中， ABC =90 ， AB = 3cm， BC = 2cm，点 A在直线 l 上，点 B ，1
C在直线 l 上，2 l1 / /l ，动点 P 从点 A出发沿直线 l 以1cm / s的速度向右运动，设运动时间为 t ． 2 1 s
下列结论：①当 t = 2s时，四边形 ABCP的周长是10cm；②当 t = 4s时，点 P 到直线 l 的距离等于5cm； 2
③在点 P 运动过程中， PBC的面积随着 t的增大而增大；④若点D， E 分别是线段PB， PC的中点，
在点 P 运动过程中，线段DE 的长度不变．其中正确的是 ( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
7．（2024 呼和浩特）下列说法中，正确的个数有 ( )
①二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象经过 (2,1)， ( 4,1) 两点，m， n是关于 x的一元二次方程
ax2 +bx + c k = 0(0 k 1)的两个实数根，且m n，则 4 m n 2恒成立．
②在半径为 r的 O中，弦 AB ，CD互相垂直于点 P ，当OP =m时，则 AB2 +CD2 = 8r2 4m2 ．
③ ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且 ABC =90 ，点 A的坐标为 (1,0)，点 B 的坐标为
k
(0,5) ，点C是反比例函数 y = (k 0)的图象上一点，则 k = 30．
x
④已知矩形的一组邻边长是关于 x的一元二次方程 x2 2(a +1)x + a2 1= 0 的两个实数根，且矩形的周长
值与面积值相等，则矩形的对角线长是 4 6 ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．（2024 德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为 4（单位： dm)的正方形纸片
ABCD，他在边 AB 和 AD上分别取点 E 和点M ，使 AE = BE， AM =1，又在线段MD上任取一点N
（点N可与端点重合），再将△EAN沿 NE所在直线折叠得到△EAN，随后连接DA，小王同学通过多1 1
次实践得到以下结论：①当点N在线段MD上运动时，点 A在以 E 为圆心的圆弧上运动； 1
②当DA达到最大值时， A到直线 AD的距离达到最大；③DA的最小值为2 5 2；④1 1 1 DA达到最小1
值时，MN = 5 5 ．你认为小王同学得到的结论正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由
四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 ABCD中， AB =10．下列三个结论：①若
3
tan ADF = ，则 EF = 2 ；②若Rt ABG的面积是正方形EFGH面积的 3 倍，则点F 是 AG的三等分
4
点；③将 ABG绕点 A逆时针旋转90 得到 ADG ，则BG 的最大值为5 5 +5．其中正确的是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
10．（2024 达州）如图，△ ABC是等腰直角三角形， ABC =90 ， AB = 4 ，点D， E 分别在 AC，
AE
BC边上运动，连结 AE ， BD交于点 F
2
，且始终满足 AD = CE，则下列结论：① = 2 ；②
2 BD
DFE =135 ；③△ ABF面积的最大值是 4 2 4；④CF 的最小值是2 10 2 2 ．正确的是 ( )
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
11．（2023 绥化）如图，在正方形 ABCD中，点 E 为边CD的中点，连接 AE ，过点 B 作 BF ⊥ AE于点
F ，连接 BD交 AE 于点G， FH 平分 BFG交 BD于点 H ．则下列结论中，正确的个数为 ( )
① AB2 = BF AE② S :S = 2:3 ③当 AB = a时，BD2 BD HD = a2 BGF BAF
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
12．（2023 眉山）如图，在正方形 ABCD中，点 E 是CD上一点，延长CB至点 F ，使BF = DE，连结
AE ， AF ， EF ， EF 交 AB 于点K ，过点 A作 AG ⊥ EF，垂足为点H ，交CF 于点G，连结
HD，HC．下列四个结论：① AH =HC；②HD =CD；③ FAB = DHE；④ AK HD = 2HE2 ．其中
正确结论的个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
13．（2023 黑龙江）如图，在正方形 ABCD中，点 E ， F 分别是 AB ， BC上的动点，且 AF ⊥ DE，垂
足为G，将△ ABF沿 AF 翻折，得到△ AMF， AM 交DE 于点 P ，对角线 BD交 AF 于点H ，连接
HM ，CM ，DM ， BM ，下列结论正确的是 ( )
① AF = DE；②BM / /DE；③若CM ⊥ FM，则四边形 BHMF是菱形；④当点 E 运动到 AB 的中点，
tan BHF = 2 2 ；⑤EP DH = 2AG BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
14．（2023 东营）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E ， F 分别在边DC， BC上，且BF =CE，
AE 平分 CAD，连接DF ，分别交 AE ， AC于点G，M ． P 是线段 AG上的一个动点，过点 P
作 PN ⊥ AC，垂足为N，连接 PM ．有下列四个结论：① AE 垂直平分DM ；② PM + PN的最小值为
3 2 ；③CF 2 =GE AE；④ S ADM = 6 2 ．其中正确的是 ( )
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
15．（2021 深圳）在正方形 ABCD中， AB = 2 ， E 是 BC的中点，在BC延长线上取点F 使
EF = ED，过点 F 作 FG ⊥ ED交 ED于点M ，交 AB 于点G，交CD于点N，以下结论中：①
1 CM 1 5 +1
tan GFB = ；②NM = NC；③ = ；④ S = ．正确的个数是 ( )
2 EG 2 四边形GBEM 2
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
16．（2022 黑龙江）如图，正方形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点O，点 F 是CD上一点，
OE ⊥OF交 BC于点 E ，连接 AE ， BF 交于点 P ，连接OP．则下列结论：① AE ⊥ BF；②
4
OPA= 45 ；③ AP BP = 2OP；④若 BE :CE = 2:3，则 tan CAE = ；⑤四边形OECF的面积是正
7
1
方形 ABCD面积的 ．其中正确的结论是 ( )
4
A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
17．（2021 绥化）如图所示，在矩形纸片 ABCD中， AB =3， BC = 6，点 E 、 F 分别是矩形的边
AD、 BC上的动点，将该纸片沿直线 EF 折叠．使点 B 落在矩形边 AD上，对应点记为点G，点 A
落在M 处，连接 EF 、 BG、 BE ， EF 与BG交于点 N．则下列结论成立的是 ( )
3 5 9 7
① BN = AB；②当点G与点D重合时，EF = ；③ GNF的面积 S的取值范围是 S ；
2 4 2
5 3 13
④当CF = 时， S ．
2 MEG
=
4
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
18．（2025 南充）如图， AC为正方形 ABCD的对角线，CE 平分 ACB，交 AB 于点 E ，把△CBE绕
点 B 逆时针方向旋转90 得到△ ABF，延长CE 交 AF 于点M ，连接DM ，交 AC于点N．给出下列
AN
结论：①CM ⊥ AF；②CF = AF；③ CMD = 45 ；④ = 2 1．以上结论正确的是 ．（填写
CN
序号）
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
19．（2025 遂宁）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD的对角线 BD上取一点 E ，使 BAE =15 ，连结
CE并延长至点 F ，连结 BF ，使BF = BC，CF 与 AB 相交于点H ．有下列结论：① AE =CE；
AH
② BE + AE = EF ；③ = 2 3 1；④点M 是 BC边上一动点，连结HM ，将△BHM 沿HM 翻折，点
HB
B 7 + 3 2落在点 P 处，连结 BP交HM 于点Q，连结 DQ，则DQ的最小值为 ．
2
其中正确的结论有 ．（填序号）
20．（2025 眉山）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 AD上运动（不与点 A、D重合），
CDP = 45 ，点 F 在射线DP上，且 AE :DF =1: 2 ，连接 BF ，交CD于点G，连接EB、 EF 、
2
EG．下列结论：① 2 2 2sin BFE = ；② AE +CG = EG ；③△DEF 的面积最大值是 2；④若
2
1
AE = AD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 ．
3
21．（2025 长春）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点O．点 E 在线段OA
上，连结 BE ，作CF ⊥ BE于点 F ，交OB于点 P ．给出下面四个结论：
① OCP = OBE；②OE =OP；③当CE =CB时， BP = EF ；④点 A与点 F 之间的距离的最小值为
2 5 2．上述结论中，正确结论的序号有 ．
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22．（2024 遂宁）如图，在正方形纸片 ABCD中， E 是 AB 边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点 B
落在点 P 处，延长CP交 AD于点Q，连结 AP 并延长交CD于点 F ．给出以下结论：① AEP为等腰
3
三角形；② F 为CD的中点；③ AP :PF = 2:3；④ cos DCQ = ．其中正确结论是 （填序号）．
4
23．（2024 济宁）如图，△ ABC中， AB = AC， BAC =90 ， AD是△ ABC的角平分线．
（1）以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC于点 E ， F ．
（2）以点 A为圆心， BE 长为半径画弧，交 AC于点G．
（3）以点G为圆心， EF 长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H ．
（4）画射线 AH ．
（5）以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交射线 AH 于点M ．
（6）连接MC，MB．MB分别交 AC， AD于点 N， P ．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
AM 3
① BD =CD；② ABM =15 ③ APN = ANP；④ = ；⑤MC2 =MN MB．
AD 2
24．（2023 日照）如图，矩形 ABCD中， AB = 6， AD = 8，点 P 在对角线 BD上，过点 P 作
MN ⊥ BD，交边 AD， BC于点M ， N，过点M 作ME ⊥ AD 交 BD于点 E ，连接 EN ，BM ，
DN．下列结论：
96
① EM = EN；②四边形MBND的面积不变；③当 AM :MD =1: 2时， S MPE = ；④BM +MN +ND的
25
最小值是 20．其中所有正确结论的序号是 ．
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25．（2023 南充）如图，在等边 ABC中，过点C作射线CD⊥ BC，点M ， N分别在边 AB ，BC
上，将 ABC沿MN折叠，使点 B 落在射线CD上的点 B 处，连接 AB ，已知 AB = 2 ．给出下列四个
结论：①CN + NB 为定值；②当BN = 2NC时，四边形BMB N为菱形；③当点N与C重合时，
7 21
AB M =18 ；④当 AB 最短时，MN = ．其中正确的结论是 .（填写序号）
20
26．（2023 湖北）如图， BAC， DEB和 AEF都是等腰直角三角形， BAC = DEB = AEF =90 ，
点 E 在 ABC内， BE AE，连接DF 交 AE 于点G，DE 交 AB 于点H ，连接CF ．给出下面四个
结论：① DBA= EBC；② BHE = EGF；③ AB = DF ；④ AD =CF．其中所有正确结论的序号
是 ．
27．（2023 大庆）如图，在 ABC中，将 AB 绕点 A顺时针旋转 至 AB ，将 AC绕点 A逆时针旋转
至 AC (0 180 ,0 180 ) ，得到△ AB C ，使 BAC + B AC =180 ，我们称△ AB C 是
ABC的“旋补三角形“，△ AB C 的中线 AD叫做 ABC的“旋补中线”，点 A叫做“旋补中心”．下列
结论正确的有 ．
① ABC与△ AB C 面积相同；②BC = 2AD；③若 AB = AC，连接BB 和CC ，则
B BC + CC B =180 ；④若 AB = AC， AB = 4 ， BC = 6，则B C =10 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
28．（2023 牡丹江）如图，在正方形 ABCD中， E 在边CD上， BE 交对角线 AC于点 F ，CM ⊥ BE
于M ， CME的平分线所在直线分别交CD， AC于点 N， P ，连接FN ．
下列结论：① S NPF :S NPC = FM :MC；②CM = PN ；③EN CD = EC CF；④若 EM =1，MB = 4，
则 PM = 2 ．其中正确的是 ．
29．（2023 遂宁）如图，以 ABC的边 AB 、 AC为腰分别向外作等腰直角 ABE、 ACD，连结 ED、
BD、 EC，过点 A的直线 l分别交线段DE 、 BC于点M 、N．以下说法：①当 AB = AC = BC时，
AED =30 ；②EC = BD；③若 AB =3， AC = 4 ， BC = 6，则DE = 2 3 ；④当直线 l ⊥ BC时，点
M 为线段DE 的中点．正确的有 ．（填序号）
30．（2022 青岛）如图，已知 ABC， AB = AC， BC =16， AD⊥ BC， ABC的平分线交 AD于点 E ，
且 DE = 4 ．将 C沿GM 折叠使点C与点 E 恰好重合．下列结论正确的有： ．（填写序号）
10
① BD = 8；②点 E 到 AC的距离为 3；③EM = ；④EM / /AC．
3
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★类型 4：二次函数图像与系数及二次函数综合 40题★
1．（2025 南充）已知某函数图象关于 y轴对称，当0 x 2 时， y = x2 2x；当 x 2时， y = 2x 4．若直
线 y = x + b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是 ( )
1 9 1 1 1
A． b 0 B． b C． b 0 D．b 或b 0
4 4 4 4 4
2．（2025 遂宁）如图，已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c为常数，且a 0) 的对称轴是直线 x =1，且
抛物线与 x轴的一个交点坐标是 (4,0)，与 y轴交点坐标是 (0,m) 且2 m 3．有下列结论：①abc 0；②
9 27
9a 3b+ c 0；③ y ；④关于 的一元二次方程ax2最大值 x + (b 1)x + c 2 = 0必有两个不相等实
4 8
根；⑤若点 A(x ，1 y1)， B(x ， y )，2 2 C(x ， y )在抛物线3 3 y = ax
2 + bx + c上，且
3
n x n+1 x ，当 时，则 的取值范围为 n 0． 1 2 n+ 2 x3 n+3 y1 y3 y2 n 2
其中正确的有 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．（2025 烟台）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c的部分图象与 x轴的一个交点 A位于 ( 2,0) 和 ( 1,0)之
间，顶点 P 的坐标为 (1,n)．下列结论：①abc 0；②对于任意实数m，都有am2 +bm a b 0；③
3
3b 2c；④若该二次函数的图象与 x轴的另一个交点为 B ，且△PAB是等边三角形，则 n = ．其中
a
所有正确结论的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
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4．（2025 广安）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a， b， c为常数， a 0) 的图象交 x轴于 A， B 两点，
点 A的坐标是 ( 1,0)，点 B 的坐标是 (n,0)，有下列结论：①abc 0；② 4a + c 2b；③关于 x的方程
b n 1
ax2 + bx + c = 0的解是 x1 = 1， x = n；④ = ．其中正确的有 ( ) 2 2a 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．（2025 德阳）已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a， b， c是常数，a 0) 过点 (1,0)， (m,0) ，且 2 m 3，
该抛物线与直线 y = kx + c(k ， c是常数， k 0) 相交于 A(x ，1 y ， ， 两点（点 A在点 B 左1) B(x2 y2 )
b
侧）．下列说法：①bc 0；②3a +b 0；③点 A 是点 A关于直线 x = 的对称点，则3 AA 4；
2a
④当 x = 4时，不等式 ax2 + (b k)x 0的解集为0 x 4．其中正确的结论个数是 ( ) 2
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025 宜宾）如图，O是坐标原点，已知二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于 A、C两
点，与 y轴交于 B 点，顶点为D，对称轴为 x = 2，其中 A(2,0)， B(0,c) ，且 3 c 2．以下结论：①
2
abc 0；② b 1；③△ ACD是钝角三角形；④若方程ax2 + (b 2)x + c = 0 的两根为 x 、
3 1
x (x x ) ，则 2 x1 4 2 7 ， 6 x2 4 + 2 7 ．其中正确结论有 ( ) 2 1 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
7．（2025 齐齐哈尔）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于两点 ( 1,0)， (x ， 0) ，且1
2 x 3．下列结论：①abc 0；② 2a + c 0；③4a b+ 2c 0；④若1 m和 n是关于 x的一元二次方程
a(x+1)(x x )+ c = 0(a 0)的两根，且m n，则m 1， n 2；⑤关于1 x的不等式
2 cax + bx + c x + c(a 0) 的解集为0 x x ．其中正确结论的个数是 ( ) 1
x1
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025 绥化）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c与 x轴交于点 A(3,0) 、 B( 1,0)，与 y轴交于点C(0,m) ，
8
其中 4 m 3．则下列结论：①a c 0 ；②方程 ax2 + bx + c 5 = 0没有实数根；③ b 2 ；
3
a + b + c
④ 0 ．其中错误的个数有 ( )
b a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
a
9．（2024 福建）已知二次函数 y = x2 2ax + a(a 0) 的图象经过 A( , y1) ， B(3a, y )两点，则下列判断正
2 2
确的是 ( )
A．可以找到一个实数 a，使得 y a B．无论实数 a取什么值，都有1 y1 a
C．可以找到一个实数 a，使得 y 0 D．无论实数 a取什么值，都有2 y2 0
10．（2024 泸州）已知二次函数 y = ax2 + (2a 3)x + a 1(x是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，
则实数 a的取值范围为 ( )
9 3 9 3
A．1 a B． 0 a C． 0 a D．1 a
8 2 8 2
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11．（2024 连云港）已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c是常数， a 0) 的顶点为 (1, 2)．小烨同学得出以
下结论：① abc 0；②当 x 1时， y随 x的增大而减小；③若 ax2 + bx + c = 0 的一个根为 3，则
1
a = ；④抛物线 y = ax2 + 2是由抛物线 y = ax2 + bx + c向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到
2
的．其中一定正确的是 ( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
12．（2024 眉山）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的图象与 x轴交于点 A(3,0) ，与 y轴交于点 B ，
对称轴为直线 x =1，下列四个结论：①bc 0；②3a+ 2c 0；③ax2 +bx a +b；④若 2 c 1，则
8 4
a + b + c ，其中正确结论的个数为 ( )
3 3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
13．（2024 宜宾）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象交 x轴于点 A( 3,0) 、B(1,0)，交 y轴于点
C．以下结论：① a +b+ c = 0；② a +3b+ 2c 0；③当以点 A、 B 、C为顶点的三角形是等腰三角
2 97
形时， c = 7 ；④当 c = 3时，在 AOC内有一动点 P ，若OP = 2，则CP + AP的最小值为 ．其中
3 3
正确结论有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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14．（2024 遂宁）如图，已知抛物线 y = ax2 +bx + c(a、 b、 c为常数，且a 0) 的对称轴为直线 x = 1，
且该抛物线与 x轴交于点 A(1,0)，与 y轴的交点 B 在 (0, 2) ， (0, 3)之间（不含端点），则下列结论正确的
有多少个 ( )
2
① abc 0；②9a 3b+ c 0；③ a 1；④若方程ax2 + bx + c = x +1两根为m，n(m n) ，则
3
3 m 1 n．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 广元）如图，已知抛物线 y = ax2 + bx + c过点C(0, 2)与 x轴交点的横坐标分别为 x ， x ，且1 2
1 x 0， 2 x 3，则下列结论：①a b+ c 0；②方程 ax2 + bx + c + 2 = 0有两个不相等的实数1 2
2
根；③ a+b 0；④ a ；⑤b2 4ac 4a2.其中正确的结论有 ( )
3
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
16．（2024 日照）已知二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点
2
( 1,0)，对称轴为直线 x = 2．对于下列结论：①abc 0；②a+ c =b；③多项式ax + bx + c可因式分解
为 2(x +1)(x 5) ；④当m 9a时，关于 x的方程 ax + bx + c = m无实数根．其中正确的个数有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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3
17．（2024 广安）如图，二次函数 y = ax2 +bx + c(a， b， c为常数，a 0) 的图象与 x轴交于点 A( ，
2
1
0) ，对称轴是直线 x = ，有以下结论：①abc 0；②若点 ( 1, y ) 和点 (2, y )都在抛物线上，则
2 1 2
2 1 1
y y ；③ am + bm a b(m为任意实数）；④3a+ 4c = 0，其中正确的有 ( ) 1 2 4 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
18．（2024 绥化）二次函数 y = ax2 +bx + c(a 0) 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x = 1，则下列结
b
论中：① 0 ；② am2 + bm a b(m为任意实数）；③3a+ c 1；④若M (x， y)、1 N(x ， y)是抛物线c 2
上不同的两个点，则 x + x 3．其中正确的结论有 ( ) 1 2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
19．（2024 雅安）已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有两实根 x ， ，且abc 0，则下列结论1 = 1 x2 = 3
中正确的有 ( )
4c
① 2a+b = 0；②抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点坐标为 (1, ) ；③a 0；④若m(am + b) 4a + 2b，则
3
0 m 1．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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20．（2024 齐齐哈尔）如图，二次函数 y = ax2 +bx + 2(a 0) 的图象与 x轴交于 ( 1,0)， (x ， 0) ，其中1
2 x 3．结合图象给出下列结论：①ab 0；②a b = 2；③当 x 1时， y随 x的增大而减小； 1
2 4
④关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + 2 = 0(a 0)的另一个根是 ；⑤b的取值范围为1 b ．其中正
a 3
确结论的个数是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1
21．（2024 资阳）已知二次函数 y = x2 + bx与 y = x2 bx的图象均过点 A(4,0)和坐标原点O，这两个
2 2
函数在0 x 4时形成的封闭图象如图所示， P 为线段OA的中点，过点 P 且与 x轴不重合的直线与封闭
图象交于 B，C两点．给出下列结论：
①b = 2；②PB = PC；③以O， A， B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点 B的横坐标为 1，点Q在 y轴上 (Q， B，C三点不共线），则△ BCQ周长的最小值为5+ 13 ．
其中，所有正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2024 牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 x轴交于 A、 B两点，
A( 3,0) ， B(1,0)，与 y轴交点C的纵坐标在 3 ~ 2之间，根据图象判断以下结论：①abc2 0；②
4 2 2 5
b 2；③若 ax1 bx1 = ax2 bx2 且 x x ，则 ；④直线 y = cx + c与抛物线1 2 x1 + x2 = 2
3 6
1
y = ax2 + bx + c的一个交点 (m， n)(m 0) ，则m = ．其中正确的结论是 ( )
2
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
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23．（2024 西宁）点 A(x ， y )， B(x ， y )是抛物线 y = ax2 4ax +1(a是常数，且a 0) 上的两个1 1 2 2
点．下列结论：①抛物线与 y轴的交点是 (0,1)；②抛物线的对称轴是直线 x = 2；③当 y = y 时，1 2 =1
AB = 4 ；④当 x x 2时， y y ；⑤当0 x 2时， y有最大值是 1．其中正确结论的个数是 ( ) 1 2 1 2
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2023 丹东）抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 x轴的一个交点为 A( 3,0) ，与 y轴交于点C，点D是
抛物线的顶点，对称轴为直线 x = 1，其部分图象如图所示，则以下 4 个结论：①abc 0；② E(x ，1
， ， 是抛物线 y = ax2y ) F(x y ) + bx(a 0) 上的两个点，若1 2 2 x x ，且 x + x 2，则1 2 1 2 y1 y ；③在2 x
3
轴上有一动点 P，当 PC + PD的值最小时，则点 P的坐标为 ( ,0) ；④若关于 x的方程
7
ax2 +b(x 2) + c = 4(a 0) 无实数根，则b的取值范围是b 1．其中正确的结论有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
25．（2023 盐城）如图，关于 x的函数 y的图象与 x轴有且仅有三个交点，分别是 ( 3,0)， ( 1,0) ，
(3,0)，对此，小华认为：①当 y 0 时， 3 x 1；②当 x 3时， y有最小值；③点P(m, m 1) 在
函数 y的图象上，符合要求的点 P只有 1 个；④将函数 y的图象向右平移 1 个或 3 个单位长度经过原
点．其中正确的结论有 ( )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
26．（2023 衢州）已知二次函数 y = ax2 4ax(a是常数， a 0) 的图象上有 A(m, y 和1) B(2m, y 两点．若2 )
点 A， B都在直线 y = 3a的上方，且 y y ，则 的取值范围是 ( ) 1 2 m
3 4 4 3
A．1 m B． m 2 C． m D．m 2
2 3 3 2
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27．（2023 湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数 y = k1x(k 0)的图象与反比例函数1
k
y = 2 (k 0) 的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为 1，点 A(t, p) 和点B(t + 2,q) 在函数2 y = k 的1x
x
k
图象上 (t 0 且 t 2)，点C(t,m) 和点D(t + 2,n) 在函数 y = 2 的图象上．当 p m与q n的积为负数
x
时， t的取值范围是 ( )
7 1 7 3
A． t 3或 t 1 B． t 3 或1 t
2 2 2 2
C． 3 t 2或 1 t 0 D． 3 t 2 或0 t 1
28．（2023 泸州）已知二次函数 y = ax2 2ax +3（其中 x是自变量），当0 x 3时对应的函数值 y均为
正数，则 a的取值范围为 ( )
A．0 a 1 B． a 1或 a 3
C． 3 a 0或 0 a 3 D． 1 a 0 或0 a 3
5
29．（2023 南充）抛物线 y = x2 + kx + k 与 x轴的一个交点为 A(m,0) ，若 2 m 1，则实数 k的取值
4
范围是 ( )
21 21 9 9
A． k 1 B． k 或 k 1 C． 5 k D． k 5或 k
4 4 8 8
30．（ 22025 凉山州）二次函数 y = ax + bx + c的部分图象如图所示，其对称轴为 x = 2，且图象经过点
(6,0) ，则下列结论错误的是 ( )
． 2 2A bc 0 B． 4a+b = 0 C．若 ax1 +bx1 = ax2 +bx2 且 x1 x ，则2 x 1 + x2 = 4
．若 ， 2D ( 1, y1) (3, y )两点都在抛物线 y = ax + bx + c的图象上，则 2 y2 y1
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
31．（2025 资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线 y = ax2 +bx + c(a 0) 与 y轴相交
于点 A(0,2)，且抛物线的对称轴为直线 x = 1．给出以下 4 个结论：①abc 0；②对于任意实数m，
am2 + bm + c + a的值不小于 2；③若 P是对称轴上的一点，则OP+ AP的最小值为 2 2 ；
④若点 (x ， y )， (x ， y )在抛物线上，满足1 1 2 2 x1 x 且2 x1 + x ，则一定有 ． 2 + 2 0 y1 y2
其中，所有正确结论的序号为 ．
32．（2024 武汉）抛物线 y = ax2 +bx + c(a， b， c是常数， a 0) 经过 ( 1,1) ， (m,1) 两点，且
2
0 m 1．下列四个结论：①b 0 ；②若0 x 1，则a(x 1) +b(x 1) + c 1；③若 a = 1，则关于 x
1
的一元二次方程 ax2 + bx + c = 2无实数解；④点 A(x ， y )， B(x ， y )在抛物线上，若 x1 + x2 ，1 1 2 2
2
1
x x ，总有 y y ，则 0 m ．其中正确的是 （填写序号）． 1 2 1 2
2
33．（2024 烟台）已知二次函数 y = ax2 + bx + c的 y与 x的部分对应值如表：
x 4 3 1 1 5
y 0 5 9 5 27
下列结论：
① abc 0；②关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 9 有两个相等的实数根；③当 4 x 1时， y的取值
范围为 0 y 5；④若点 (m, y )， ( m 2, y ) 均在二次函数图象上，则 y = y ；⑤满足1 2 1 2
ax2 + (b +1)x + c 2的 x的取值范围是 x 2或 x 3．其中正确结论的序号为 ．
34．（ 22024 南充）已知抛物线C1 : y = x +mx +m与 x轴交于两点 A， B(A在 B的左侧），抛物线
C2 : y = x
2 + nx + n(m n)与 x轴交于两点C，D(C在D的左侧），且 AB =CD．下列四个结论：①C 与1
C 交点为 ( 1,1)；②m+ n = 4；③mn 0；④ A，D两点关于 ( 1,0)对称．其中正确的结论是 2 .
（填写序号）
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
1
35．（2024 德阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点 A的坐标为 ( ， n) ，与 x轴的一个交点位于 0 和
3
1 之间，则以下结论：①abc 0；②5b+ 2c 0 ；③若抛物线经过点 ( 6, y ， ，则 ；④若1) (5, y2 ) y1 y2
关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 4无实数根，则n 4．其中正确结论是 （请填写序号）．
36．（2024 巴中）若二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0)的图象向右平移 1 个单位长度后关于 y轴对称．则下
列说法正确的序号为 ．
b 3 5
① = 2；②当 2 2a 时，代数式 a + b 5b + 8的最小值为 3；③对于任意实数m，不等式
a 2 2
am2 +bm a+b 0一定成立；④P(x ， ，1 y1) Q(x ，2 y2 )为该二次函数图象上任意两点，且 x ，当1 x2
x 时，一定有 ． 1 + x2 + 2 0 y1 y2
37．（2024 通辽）关于抛物线 y = x2 2mx +m2 +m 4(m是常数），下列结论正确的是 （填写所有
正确结论的序号）．
①当m = 0时，抛物线的对称轴是 y轴；②若此抛物线与 x轴只有一个公共点，则m= 4；
③若点 A(m 2, y1) ， B(m+1, y2)在抛物线上，则 y ；④无论 为何值，抛物线的顶点到直线 y = x1 y2 m
的距离都等于2 2 ．
1
38．（2023 无锡）二次函数 y = x2 + (2m 1)x + 2m(m ) ，有下列结论：①该函数图象过定点 ( 1,2)；
2
3
②当m =1时，函数图象与 x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在 y轴的右侧；④当1 m 时，点
2
1
P(x ， ，1 y1) Q(x ，2 y )是曲线上两点，若 3 x 2， x2 0，则2 1 y1 y ． 2
2
其中，正确结论的序号为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
39．（2023 青岛）如图，二次函数 y = ax2 + bx + c的图象与正比例函数 y = kx的图象相交于 A， B两点，
已知点 A的横坐标为 3，点 B的横坐标为 2，二次函数图象的对称轴是直线 x = 1．下列结论：①
2 1
abc 0；②3b+ 2c 0 ；③关于 x的方程 ax + bx + c = kx的两根为 x1 = 3， x = 2；④ k = a．其中正2
2
确的是 ．（只填写序号）
40．（2023 宜宾）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c经过点 A( 3,0) ，顶点为M ( 1,m)，且抛物线与 y轴的交
点 B在 (0, 2) 与 (0, 3)之间（不含端点），则下列结论：①当 3 x 1时， y 0 ；②当 ABM 的面积为
3 3 3
时， a = ；③当 ABM 为直角三角形时，在 AOB内存在唯一一点 P，使得 PA+ PO+ PB的值最
2 2
小，最小值的平方为18+9 3 ．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型 5：反比例系数 K的几何意义 40 题★
1．（2025 北京）如图，在平面直角坐标系 xOy中， A， B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形
1
OACB是矩形，函数 y = (x 0) 的图象与边 AC交于点M ，与边 BC交于点N (M ，N不重合）．给出下
x
面四个结论：①△COM 与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON
一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2025 广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” ABCDEFG的所有线段均与 x轴平行或垂
k 3
直，且满足BC =DE = FG =1，点 A，C， E，G均在双曲线 y = 的一支上．若点 A的坐标为 (4, ) ，
x 2
则第三级阶梯的高 EF = ( )
7 5
A．4 B．3 C． D．
2 2
k
3．（2025 烟台）如图，菱形OABC的顶点 A在 x轴正半轴上，OA= 3，反比例函数 y = (x 0) 的图象
x
过点C和菱形的对称中心M ，则 k的值为 ( )
A．4 B． 4 2 C．2 D．2 2
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
k
4．（2025 绥化）如图，反比例函数 y = 经过 A、C两点，过点 A作 AB ⊥ y轴于点 B，过点C作
x
CD⊥ x轴于点D，连接OA、OC、 AC．若 S ，ACO = 4 CD :OB =1:3，则 k的值是 ( )
A． 12 B． 9 C． 6 D． 3
k
5．（2025 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 A、点 B都在双曲线 y = (k 0)上，且点 A在点 B
x
的右侧，点 A的横坐标为 1， AOB = ABO = 45 ，则 k的值为 ( )
5 5 1 5 +1
A． 2 B． C． D．
2 2 2
9
6．（2025 贵州）如图，一次函数 y = x(x 0) 与反比例函数 y = (x 0) 的图象交于点C，过反比例函数图
x
象上点 A作 x轴垂线，垂足为点D，交 y = x的图象于点 B，点 A的横坐标为 1．有以下结论：
①线段 AB的长为 8；②点C的坐标为 (3,3) ；③当 x 3时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
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4
7．（2025 宜宾）如图，O是坐标原点，反比例函数 y = (x 0) 与直线 y = 2x交于点 A，点 B在
x
4
y = (x 0) 的图象上，直线 AB与 y轴交于点C，连结OB，若 AB = 3AC，则OB的长为 ( )
x
5 2 130
A． 10 B． C． 34 D．
2 2
k k
8．（2024 宿迁）如图，点 A在双曲线 y = (x 0) 上，连接 AO并延长，交双曲线1 y2 = (x 0)于点
x 4x
B，点C为 x轴上一点，且 AO = AC，连接BC，若△ ABC的面积是 6，则 k的值为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024 淄博）如图所示，正方形 ABCD与 AEFG（其中边BC， EF 分别在 x， y轴的正半轴上）的
k
公共顶点 A在反比例函数 y = 的图象上，直线DG与 x， y轴分别相交于点M ，N．若这两个正方形
x
15
的面积之和是 ，且MD = 4GN．则 k的值是 ( )
2
A．5 B．1 C．3 D．2
k
10．（2024 长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点 A(4,2)在函数 y = (k 0, x 0) 的图
x
k
象上．将直线OA沿 y轴向上平移，平移后的直线与 y轴交于点 B，与函数 y = (k 0, x 0) 的图象交于
x
点C．若BC = 5 ，则点 B的坐标是 ( )
A． (0, 5) B． (0,3) C． (0,4) D． (0 ， 2 5)
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
k
11．（2024 宜宾）如图，等腰三角形 ABC中， AB = AC，反比例函数 y = (k 0)的图象经过点 A、 B及
x
AN
AC的中点M ， BC / /x轴， AB与 y轴交于点N．则 的值为 ( )
AB
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 4 5 5
k
12．（2024 牡丹江）矩形OBAC在坐标系中的位置如图所示，反比例函数 y = 的图象与 AB边交于点
x
D，与 AC边交于点 F ，与OA交于点 E，OE = 2AE，若四边形ODAF的面积为 2，则 k的值是 ( )
2 3 4 8
A． B． C． D．
5 5 5 5
13．（2024 通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形 ABCDEF的中心，EF / /x轴，点E在双
k
曲线 y = (k为常数， k 0) 上，将正六边形 ABCDEF向上平移 3个单位长度，点D恰好落在双曲线
x
上，则 k的值为 ( )
A．4 3 B．3 3 C． 2 3 D．3
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
a b
14．（2024 德州）如图，点 A，C在反比例函数 y = 的图象上，点 B，D在反比例函数 y = 的图象
x x
上， AB / /CD / / y轴，若 AB =3，CD = 2， AB与CD的距离为 5，则a b的值为 ( )
A． 2 B．1 C．5 D．6
k 1
15．（2023 广西）如图，过 y = (x 0) 的图象上点 A，分别作 x轴， y轴的平行线交 y = 的图象于
x x
B，D两点，以 AB， AD为邻边的矩形 ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S ，1 S ，2
5
S ， S ，若 S + S + S = ，则 k的值为 ( ) 3 4 2 3 4
2
A．4 B．3 C．2 D．1
k
16．（2023 长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A、 B在函数 y = (k 0, x 0) 的图象上，分别以 A、
x
B为圆心，1 为半径作圆，当 A与 x轴相切、 B与 y轴相切时，连接 AB， AB = 3 2 ，则 k的值为 (
)
A．3 B．3 2 C．4 D．6
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
17．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、 B分别在 y、 x轴上，BC ⊥ x轴，点M 、N
k
分别在线段BC、 AC上， BM =CM ， NC = 2AN，反比例函数 y = (x 0) 的图象经过M 、N两点， P
x
为 x轴正半轴上一点，且OP :BP =1: 4， APN的面积为 3，则 k的值为 ( )
45 45 144 72
A． B． C． D．
4 8 25 25
4 2
18．（2025 威海）如图，点 A在反比例函数 y = 的图象上，点 B在反比例函数 y = 的图象上，连接
x x
OA，OB， AB．若 AO⊥ BO，则 tan BAO = ．
3
19．（2025 吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 y = 的图象交于 A， B
x
两点，分别以点 A，点 B为圆心，画半径为 1 的 A和 B．当 A， B分别与 x轴相切时，切点分别
为点C和点D，连接 AC， BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 )
k
20．（2025 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = x 1的图象与反比例函数 y = (k 0)
x
的图象在第二象限内交于点 A，与 x轴交于点 B，点C坐标为 (0,3)，连接 AC， BC，若 AC = BC，则
实数 k的值为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
21．（2024 绥化）如图，已知点 A( 7,0)， B(x,10) ，C( 17, y) ，在平行四边形 ABCO中，它的对角线
k
OB与反比例函数 y = (k 0)的图象相交于点D，且OD :OB =1:4，则 k = ．
x
22．（2024 甘南州）如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的两边OA、OC分别在 x轴、 y轴的
k
正半轴上，反比例函数 y = 的图象与 AB相交于点M ，与 BC相交于点 N，若点 B的坐标为 (4,2) ，△
x
15
MON的面积是 ，则 k的值为 ．
4
4
23．（2024 深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB为菱形， sin AOC = ，且点 A落在反比
5
3 k
例函数 y = (x 0) 上，点 B落在反比例函数 y = (x 0) 上，则 k = ．
x x
k
24．（2024 广元）已知 y = 3x与 y = (x 0) 的图象交于点 A(2,m) ，点 B为 y轴上一点，将 OAB沿
x
k
OA翻折，使点 B恰好落在 y = (x 0) 上点C处，则 B点坐标为 ．
x
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k
25．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 (1,0)，点 B在反比例函数 y = (x 0) 的图
x
象上，BC ⊥ x轴于点C， BAC =30 ，将△ ABC沿 AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的
图象上，则 k的值为 ．
k
26．（2024 广州）如图，平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的顶点 B在函数 y = (x 0) 的图象上，
x
A(1,0)，C(0,2) ．将线段 AB沿 x轴正方向平移得线段 A B （点 A平移后的对应点为 A ) ， A B 交函数
k
y = (x 0) 的图象于点D，过点D作DE ⊥ y轴于点 E，则下列结论：① k = 2；②△OBD的面积等于四
x
边形 ABDA 的面积；③ A E 的最小值是 2 ；④ B BD = BB O．其中正确的结论有 ．（填写所有
正确结论的序号）
27．（2024 日照）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A(4,0)，C(0,4 2) 是矩形OABC的顶点，点
M ， N分别为边 AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点 B的对应点 B 在边OA的中点
k
处，点C的对应点C 在反比例函数 y = (k 0)的图象上，则 k = ．
x
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28．（2024 内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B的坐标分别为 (5,0) ， (2,6) ，过点B作
k
BC / /x轴交 y轴于点C，点D为线段 AB上的一点，且 BD = 2AD，反比例函数 y = (x 0) 的图象经过
x
点D交线段BC于点 E，则四边形ODBE的面积是 ．
29．（2023 衢州）如图，点 A， B在 x轴上，分别以OA， AB为边，在 x轴上方作正方形OACD，
k
ABEF，反比例函数 y = (k 0)的图象分别交边CD， BE 于点 P，Q．作PM ⊥ x轴于点M ，QN ⊥ y
x
轴于点N．若OA= 2AB，Q为 BE 的中点，且阴影部分面积等于 6，则 k的值为 ．
k
30．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A， B都在反比例函数 y = (x 0) 的图象上，延
x
长 AB交 y轴于点C，过点 A作 AD ⊥ y轴于点D，连接 BD并延长，交 x轴于点 E，连接CE．若
AB = 2BC， BCE的面积是 4.5，则 k的值为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
a
31．（2023 宁波）如图，点 A， B分别在函数 y = (a 0)图象的两支上 (A在第一象限），连结 AB交 x
x
b
轴于点C．点D， E在函数 y = (b 0, x 0)图象上， AE / /x轴，BD / / y轴，连结DE， BE ．若
x
AC = 2BC， ABE的面积为 9，四边形 ABDE的面积为 14，则a b的值为 ， a的值为 ．
32．（2023 安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点 A在 x轴的正半轴上， AB = 2 ，
k
AOB =30 ，反比例函数 y = (k 0)的图象经过斜边OB的中点C．（1） k = ；
x
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若 2 2DB / /AC，则OB BD 的值为 ．
k
33．（2023 连云港）如图，矩形OABC的顶点 A在反比例函数 y = (x 0) 的图象上，顶点 B、C在第一
x
2
象限，对角线 AC / /x轴，交 y轴于点D．若矩形OABC的面积是 6， cos OAC = ，则 k = ．
3
k
34．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 y = (k为大于 0 的常数， x 0)图象上的两点
x
A(x ， y ， ， ，满足 ，1 1) B(x2 y2 ) x2 = 2x1 ABC的边 AC / /x轴，边BC / / y轴，若 OAB的面积为 6，则
ABC的面积是 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
k
35．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A， B在反比例函数 y = (x 0) 的图象上．点 A的坐
x
标为 (m, 2) ．连接OA，OB， AB．若OA= AB， OAB =90 ，则 k的值为 ．
36．（2023 新疆）如图，在平面直角坐标系中， OAB为直角三角形， A=90 ， AOB =30 ，
k
OB = 4．若反比例函数 y = (k 0)的图象经过OA的中点C，交 AB于点D，则 k = ．
x
2
37．（2023 达州）如图，一次函数 y = 2x与反比例函数 y = 的图象相交于 A、 B两点，以 AB为边作等
x
k
边三角形 ABC，若反比例函数 y = 的图象过点C，则 k的值为 ．
x
38．（2023 深圳）如图， Rt△OAB与 Rt△OBC位于平面直角坐标系中， AOB = BOC = 30 ，
k
BA⊥OA，CB⊥OB，若 AB = 3，反比例函数 y = (k 0)恰好经过点C，则 k = ．
x
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
39．（2023 陕西）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点 A在 y轴正半轴上，点C， F 均在 x轴正
半轴上，点D在边BC上， BC = 2CD， AB =3．若点 B， E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比
例函数的表达式是 ．
40．（2023 内江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于 x轴，以MN为对称轴作△
ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F ，点D的对应点 B恰好落在反比例函数
k 1
y = (x 0) 的图象上，点O、 E的对应点分别是点C、 A，若点 A为OE的中点，且 S ，则 的EAF = k
x 4
值为 ．
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
★类型 6：动点产生的函数图像 18 题★
1．（2025 齐齐哈尔）如图，在菱形 ABCD中， A= 60 ， AB = 4 ，动点 E从点 A出发沿边 AB→BC匀
速运动，运动到点C时停止，过点 E作 AD的垂线 l，在点 E运动过程中，垂线 l扫过菱形（即阴影部
分）的面积为 y，点 E运动的路程为 x(x 0) ．下列图象能反映 y与 x之间函数关系的是 ( )
A． B．
C． D．
2．（2025 浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图 1，
点 P是一个固定观测点，运动点Q从 A处出发，沿笔直公路 AB向目的地 B处运动．设 AQ为 x（单位：
km)(0 x n) ， PQ2 为 （单位： km2y )．如图 2， y关于 x的函数图象与 y轴交于点C，最低点
D(m,81) ，且经过 E(1,225)和 F (n, 225) 两点．下列选项正确的是 ( )
A．m =12 B． n = 24 C．点C的纵坐标为 240 D．点 (15,85) 在该函数图象上
3．（2025 眉山）如图 1，在Rt△ ABC中， C = 90 ，点D在 AC上，CD = 2 ，动点 P在 Rt△ ABC的
边上沿C→B→ A方向以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，到达点 A时停止，以DP为边作正方形
DPEF ．设点 P的运动时间为 t秒，正方形DPEF 的面积为 S．当点 P由点 B运动到点 A时，如图 2， S
是关于 t的二次函数．在 3 个时刻 t ， t ， t (t t t )对应的正方形DPEF 的面积均相等．下列 4 个结1 2 3 1 2 3
论：①当 t =1时， S = 3；②点 P在线段 BA上时 S = 2t2 16t + 34 ；③ AD = 4 2 ；④ t + t = 4．其中正1 2
确结论的个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共 8 类 275 题★
4．（2025 甘肃）如图 1，在等腰直角三角形 ABC中， ACB =90 ，点D为边 AB的中点．动点P从点
A出发，沿边 AC→CB方向匀速运动，运动到点 B时停止．设点 P的运动路程为 x，△ APD的面积为
y， y与 x的函数图象如图 2 所示，当点 P运动到CB的中点时， PD的长为 ( )
A．2 B．2.5 C． 2 2 D．4
5．（2025 新疆）一辆快车从 A地匀速驶向 B地，一辆慢车从 B地匀速驶向 A地，两车同时出发，各自到
达目的地后停止．两车之间的距离 s(km) 与行驶时间 t(h) 之间的函数关系如图所示，下列错误的是 ( )
A．两车出发 2h后相遇 B． A， B两地相距280km
3
C．快车比慢车早 h到达目的地 D．快车的速度为80km / h，慢车的速度为60km / h
2
6．（2025 山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 y（厘米 / 天）和光照强度 x
（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围 (200 x 1000)内， y与 x近似成一次函数关系；在中
高光照强度范围 (x 1000)内， y与 x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论
正确的是 ( )
A．当 x 1000时， y随 x的增大而减小 B．当 x = 2000时， y有最大值
C．当 y 0.6时， x 1000 D．当 y = 0.4时， x = 600
7．（2025 兰州）如图，在正方形 ABCD中，AB = 2cm，对角线 AC，BD相交于点O，动点 P从点O出发
沿O→ A→B方向以 2cm / s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm / s的速度运动．当点
Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为 x(s) ，△CPQ的面积为 y(cm2 )，则点 P分别在OA，
AB上运动时， y与 x的函数关系分别是 ( )
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
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8．（2024 济南）如图 1，△ ABC是等边三角形，点D在边 AB上， BD = 2，动点 P以每秒 1 个单位长度
的速度从点 B出发，沿折线BC CA匀速运动，到达点 A后停止，连接DP．设点 P的运动时间为 t(s) ，
DP2 为 y．当动点 P沿BC匀速运动到点C时， y与 t的函数图象如图 2 所示．有以下四个结论：①
AB =3；②当 t = 5时， y =1；③当4 t 6时，1 y 3；④动点 P沿 BC CA匀速运动时，两个时刻 t ，1
t (t t )分别对应 y 和 y ，若 t + t = 6，则 y y ．其中正确结论的序号是 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
9．（2024 安徽）如图，在Rt△ ABC中， ABC =90 ， AB = 4 ， BC = 2， BD是边 AC上的高．点E，
F 分别在边 AB， BC上（不与端点重合），且DE ⊥ DF ．设 AE = x，四边形DEBF 的面积为 y，则 y关
于 x的函数图象为 ( )
A． B． C． D．
10．（2024 烟台）如图，水平放置的矩形 ABCD中， AB = 6cm， BC =8cm，菱形 EFGH的顶点E，G
在同一水平线上，点G与 AB的中点重合，EF = 2 3cm， E = 60 ，现将菱形EFGH以1cm / s的速度沿
BC方向匀速运动，当点 E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形 ABCD重叠部分
的面积 S(cm2 )与运动时间 t(s) 之间的函数关系图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
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11．（2024 威海）同一条公路连接 A， B，C三地， B地在 A，C两地之间．甲、乙两车分别从 A地、
B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙
两车之间的距离 y(km) 与时间 x(h) 的函数关系．下列结论正确的是 ( )
8
A．甲车行驶 h与乙车相遇 B． A，C两地相距220km
3
C．甲车的速度是70km / h D．乙车中途休息 36 分钟
12．（2024 甘肃）如图 1，动点 P从菱形 ABCD的点 A出发，沿边 AB→BC匀速运动，运动到点C时停
止．设点 P的运动路程为 x， PO的长为 y， y与 x的函数图象如图 2 所示，当点 P运动到BC中点时，
PO的长为 ( )
A．2 B．3 C． 5 D．2 2
13．（2024 淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从 A地匀速出发，甲健
步走向 B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，
跑步到达 B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离 y(m) 与
甲出发的时间 x(min)之间的函数关系．那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为
20min；②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；③甲、乙两人第二次相遇的时间
是在甲出发后100min；④ A， B两地之间的距离是11200m．其中正确的结论有 ( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
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14．（2024 齐齐哈尔）如图，在等腰Rt ABC中， BAC =90 ， AB =12 ，动点 E， F 同时从点 A出
发，分别沿射线 AB和射线 AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点 E停止运动时，点F 也随之停止
运动，连接 EF ，以 EF 为边向下作正方形EFGH，设点 E运动的路程为 x(0 x 12) ，正方形EFGH和
等腰Rt ABC重合部分的面积为 y．下列图象能反映 y与 x之间函数关系的是 ( )
A． B． C． D．
15．（2024 内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同
学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用 x表示
时间， y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：（1）体育场离该同学家 2.5 千米．（2）该同学
在体育场锻炼了 15 分钟．（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的 2 倍．（4）若该同学骑行的平均
速度是跑步平均速度的 1.5 倍，则 a的值是 3.75．其中正确结论的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（2023 常州）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，
沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进
行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次 2 50m的折返跑，用时18s．在整个过程中，他的速度大小
v(m / s) 随时间 t(s) 变化的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
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17．（2025 湖北）如图 1，在△ ABC中， C = 90 ， BC = 4cm， AB = n cm．动点 P，Q均以1cm / s
的速度从点C同时出发，点 P沿折线C→B→ A向点 A运动，点Q沿边CA向点 A运动．当点Q运动到
点 A时，两点都停止运动．△ PCQ的面积 S（单位： cm2 )与运动时间 t（单位： s) 的关系如图 2 所示．
（1）m = ；（2） n = ．
18．（2023 烟台）如图 1，在 ABC中，动点 P从点 A出发沿折线 AB→BC→CA匀速运动至点 A后停
止．设点 P的运动路程为 x，线段 AP的长度为 y，图 2 是 y与 x的函数关系的大致图象，其中点F 为曲
线DE的最低点，则 ABC的高CG的长为 ．
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★类型 7：圆综合 21 题★
1．（2025 湖南）如图，北京市某处 A位于北纬40 （即 AOC = 40 )，东经116 ，三沙市海域某处 B位
于北纬15 （即 BOC =15 ) ，东经116 ．设地球的半径约为 R千米，则在东经116 所在经线圈上的点
A和点 B之间的劣弧长约为 ( )
5 1 5 2
A． R（千米） B． R（千米） C． R（千米） D． R（千米）
72 12 36 9
2．（2025 山西）如图，在△ ABC中， BAC =90 ， AB = AC，分别以点 B，C为圆心、BC的长为半
径画弧，与 BA，CA的延长线分别交于点D， E．若BC = 4，则图中阴影部分的面积为 ( )
A． 2 4 B． 4 4 C．8 8 D．4 8
3．（2025 南充）如图， AB是 O的直径， AD ⊥ AB于点 A，OD交 O于点C， AE ⊥OD于点E，交
O于点 F ， F 为弧 BC的中点， P为线段 AB上一动点，若CD = 4，则 PE + PF 的最小值是 ( )
A．4 B． 2 7 C．6 D．4 3
3
4．（2025 德阳）如图， O的直径 AB =10，DE是弦， AB ⊥ DE，CEB = EBD， sin BAC = ， AD
5
的延长线与CB的延长线相交于点 F ，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中
正确的个数是 ( )
11 10
① DBF =3 DAB；②CG是 O的切线；③ B， E两点间的距离是 10 ；④DF = ．
9
A．1 B．
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