1.3 直角三角形 第2课时 课件(共22张PPT) 新北师大版八年级数学下册

(共22张PPT)
1.3 直角三角形
第一章
三角形的证明及其应用
第2课时
2.判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（　）里填写理由；如果不全等，在（　）里打“×”：
（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ ）
（3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ）
（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′　 （　 ）
1.判定一般三角形全等的条件有哪几种？
SSS、SAS、ASA 、 AAS.
ASA
SAS
×
？
证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图:
A
B
C
A′
B′
C′
A′
B′
C′
)
)
)
①
②
③
由图①和图②可知,这两个三角形全等;
由图①和图③可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
问题(1)：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗
问题(2)：如果其中一组等边的对角都是直角，那么这两个三角形全等吗？请你画一画，并与同伴进行交流.
探究：直角三角形全等的判定
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢
(1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗
能，如图画一个直角三角形，标记为△ABC，其中 ∠C=90 .标出直角符号在点 C 处.
设已知的斜边为c，已知的一条直角边为 a.
在草图上标注：斜边 AB=c，直角边 AC=a.
C
B
A
c
a
(2)你是按照怎样的步骤画这个草图的 先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。
①先定直角顶点： 先画一个直角，确定直角顶点 C 和两条直角边所在的射线。
②截取已知直角边： 在其中一条射线上，用圆规截取已知长度的直角边（例如 BC=a），确定第二个顶点 B。
③确定斜边端点： 以点 B 为圆心，以已知斜边长度 c 为半径画弧，这条弧会与另一条直角边所在的射线交于一点，这个点就是第三个顶点A。
④连接成三角形： 连接 A、B 两点。
C
B
A
c
a
梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边用尺规作这个三角形”的方法和步骤。
如图，已知线段a，c（ac
a
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
1.作射线CN.
2.过点C作射线CN的垂线CM.
3.在射线CM上截取CB=a.
4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线 CN于点 A.
5.连接 AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
C N
M
B
A
把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较、它们一定全等吗
可以发现:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
请你尝试证明这一结论.
转化为几何语言
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′ .
B
A
C
B′
A′
C′
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）.
B
A
C
B′
A′
C′
“斜边、直角边”判定方法
知识归纳
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
∵
1.如图，AC⊥BC于点 C，BD⊥AD于点D，要根据“HL”直接证明Rt△ABC 与Rt△BAD全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB=∠DBA B. AB=BD
C．∠ABC=∠BAD D．BC=AD
D
如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角 ∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
例1
解：根据题意，可知
∠BAC= ∠EDF=90°，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）
∴ ∠CBA= ∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠DEF+ ∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余）
∴ ∠CBA+ ∠EFD=90°.
如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
例2
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形．
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∵
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
1.如图所示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是 (　　)A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=ADC.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确
B
2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 (　　)A.一个锐角和斜边分别相等B.两条直角边分别相等C.两个锐角分别相等D.斜边和一条直角边分别相等
C
3.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A. AC=DF，BC=EF C.∠A=∠D，AB=DE
B. AC=DF，AB= DE D.∠B=∠E，BC=EF
B
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE=AD,DF⊥AB于点F，AF=CE，连接BD，若AB=10,CE=2，则线段BE的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
B
5.如下图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△______≌△______，其判定依据是_______，
还有△______≌△______，其判定依据是_____．
ABC
DCB
HL
ABO
DCO
AAS
6.如图，在Rt△ADB，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=10，则AD+ DE的值为 .
10
7.如图所示，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O.
求证:OB=OC.
证明: 在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC.
8.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∵
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD＝EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，∵
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
9.如图，BE⊥CD，垂足为E，DF交BE于A，AE=CE.
(1)求证：BE=DE；
(2)求∠CFD的度数．
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DAE，
∴∠B=∠D，
∵∠BEC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D+∠C=90°，
∴∠CFD=180° ∠C ∠D=90°.
（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠AED=90°，
在Rt△BCE和Rt△DAE中，
AE=CE
AD=BC，
∴Rt△BCE≌Rt△DAE(HL)，
∴BE=DE；
∵
直角三角形2
HL
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
作业布置
1.必做题：习题1.3第3~6题。
2.探究性作业：习题1.3第9题。
感谢聆听!