1.4 线段的垂直平分线 第1课时 课件(共16张PPT) 新北师大版八年级数学下册

(共16张PPT)
4.线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
第一章
三角形的证明
1 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
B
2 什么叫线段的垂直平分线？
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O.
你发现了什么
我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.
A(B)
B
O
A
B
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：
请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点。
求证：PA = PB。
A
B
C
M
N
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°。
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）。
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）。
如果点P与点C重合，那么结论显然成立。
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
方法技巧
利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
C
尝试思考
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
它是真命题吗？你能证明吗？
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA=PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
P
考虑点P是否在线段AB上。
证明：∵ PA=PB，
∴ 点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上。
①当点P在线段AB上时：
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点，且 PA=PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C.
∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例1.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
O
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线
(两点确定一条直线).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
例1.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝ ∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
C
A
B
O
D
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
性质定理
判定定理
A
B
C
M
N
P
变式训练
1. 如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，分别交BC，AC于D，E两点，∠B =80°，∠C=35°，则∠BAD的度数为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.65°
B
变式训练
2. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴
点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴
AO = BO.
感谢聆听!