江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
2.已知是上的连续可导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
3.圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知等差数列的前项和为，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.两条平行直线：与：之间的距离( )
A. B. C. D.
6.已知公差不为的等差数列的第，，，项依次构成一个等比数列，则等于( )
A. B. C. D.
7.将圆横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
8.设，若函数，有大于零的极值点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设数列是等比数列，下列说法正确的有( )
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
11.已知椭圆：的左右顶点为、，点为椭圆上异于左右顶点的一点，过点向轴作垂线，垂足为，下列说法正确的有( )
A. B. 存在点使得
C. 当点运动到短轴端点时最大 D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调增区间为______．
13.直线与圆相交于，两点，则弦长的最小值为 ．
14.设为实数，若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为．
求椭圆的标准方程；
过右焦点斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的周长与面积．
17.本小题分
设数列满足：，且对任意的，都有．
求证：为等比数列；
求数列的前项和；
求数列的前项和．
18.本小题分
抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是．
求的值及抛物线的准线方程；
过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线的准线上，且轴；点为中点，过点向轴作垂线交抛物线于点．
求证：，，三点共线．
抛物线上点处的切线与平行．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的最小值；
若，求实数的取值范围；
若有两个不同的零点，，求证：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：已知函数，
当时，函数，定义域为，
，
令，则或；令，则，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因此在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为，
综上，函数的极小值为，极大值为；
若函数有三个不同的零点，则方程有三个不等的实数根，
即有三个不等的实数根，即直线与函数的图象有三个不同的交点．
令，则，
令，则或；令，则，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
且在处取得极小值；在处取得极大值，
简图如下：
因此实数的取值范围是．
16.解：由题意，设椭圆的方程为．
可得，，解得，则，
故椭圆的标准方程为．
由题意得的周长为．
而由题意得：，联立，消去整理得，
设，，
则由韦达定理得，
则，
于是 ．
17.解：证明：因为，且对任意的，都有，
设，则，
则，
故是首项为，公比为的等比数列，即为等比数列；
，．
所以；
因为，，
令，
则，
得：，
所以，所以．
18.解：因为抛物线的焦点为，为坐标原点，
点是抛物线上的一点，到焦点的距离是，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
所以抛物线的准线方程为，
将代入抛物线方程得，解得；
证明：由题意可知，直线斜率一定存在，
设直线斜率为，设，，
因为点在抛物线的准线上，且轴，则，
因为直线过点，则直线方程为，
联立，整理得，
，，，即，
易知直线，的斜率均存在，
直线斜率，
直线斜率，
即，所以，，三点共线．
由知，
因为点为中点，则点横坐标为，由题意知点的横坐标也为，
代入抛物线方程可得，
易知在处的切线斜率存在，设切线方程为，
联立，得，
所以，解得，
即抛物线上点处的切线斜率与直线斜率相等，
所以抛物线上点处的切线与平行．
19.解：当时，的定义域为，
，又恒成立，
所以在上为增函数，
又，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以为极小值点，此时的最小值为．
因为，，
且，所以在为增函数，
当时，，当时，，
所以存在唯一零点使得，且，
即，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以为极小值点，也是最小值点．
，
，当且仅当时等号成立，
所以，当时等号成立，
由于，所以，所以，
故的范围为；
证明：由，得，
设，则，故单调递增，
于是，即，等价于，
设，，
在单调递增，在单调递减，极大值为，
因有两个零点，故，不妨设，且，
要证，只需证，
因，，且在单调递减，故只需证，
代入，只需证，
设，，
则，
求导得，
，故，则，于是，
在单调递增，故F，即，
因此，结合在单调递减，得，即．