(共24张PPT)
第八章自主检测
满分：100分 限时：40分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025福建中考)下列实数中,最小的数是 ( )
A.-1 B.0 C. D.2
A
解析 ∵1< <2,∴-1<0< <2,∴最小的数为-1.故选A.
2.(2024甘肃临夏州中考)下列各数中,是无理数的是 ( )
A. B.
C. D.0.131 33
A
解析 A. 是无理数;B. 是有理数;C. =3,是有理数;
D.0.131 33是有理数.故选A.
3.(2025湖南永州蓝山期中)下列说法正确的是( )
A. 的算术平方根是7
B.8的立方根是±2
C.4的平方根是±2
D.9的平方根是3
C
解析 A. =7的算术平方根是 ,故A错误;B.8的立方根是
2,故B错误;C.4的平方根是±2,故C正确;D.9的平方根是±3,故D
错误.故选C.
4.(2025贵州遵义期中)下列计算正确的是 ( )
A. =±9 B. =3
C. =0.2 D.| -2|= -2
D
解析 A. =9;B. ≠3;C. ≠0.2;D.| -2|= -2.故选D.
5.(2025山东日照五莲期末)若实数x,y,z满足 +(y-2)2+|z+2|
=0,则xyz的算术平方根是 ( )
A.3 B.±4 C.±3 D.4
D
解析 ∵ +(y-2)2+|z+2|=0,
∴x+4=0,y-2=0,z+2=0,
∴x=-4,y=2,z=-2,∴xyz=-4×2×(-2)=16.
∵16的算术平方根是4,∴xyz的算术平方根为4.故选D.
6.(2025湖北潜江月考)若整数m,n满足m< ,n> ,则n-m的最
小值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.无法确定
B
解析 ∵整数m< ,2< <3,∴m的最大值为2,
∵整数n> ,3< <4,∴n的最小值为4,
当m取最大值2,n取最小值4时,n-m有最小值,
∴n-m的最小值为4-2=2.故选B.
7.已知a,b为有理数,满足2a+3 b-6+3 -15 =0,则a+b的值
为 ( )
A.-7 B.7 C.5 D.-5
B
解析 ∵2a+3 b-6+3 -15 =0,
∴2a-6+ (3b+3-15)=0.
∵a,b为有理数,∴2a-6=0,3b+3-15=0,
解得a=3,b=4,∴a+b=7.故选B.
8.(2025河南安阳期中)如图,面积为3的正方形的顶点A在数轴
上,且点A表示的数为1,观察作图痕迹可得点B所表示的数为
( )
C
A. -1 B. +1
C.1- D.
解析 因为正方形的面积为3,所以正方形的边长为 .
由作图痕迹可知AB= ,因为点A表示的数是1,所以B点到原
点的距离为 -1.因为点B在原点的左边,所以点B表示的数是
1- ,故选C.
易错警示
(1)错把点B到原点的距离当成点B表示的数;(2)忘记点B在原
点的左边.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025广东梅州期中) 的平方根是__________;- 的相反数
是________.
±2
解析 因为 =4,4的平方根为±2,所以 的平方根是±2.
- 的相反数是 .
10.【学科特色·多解法】若 =-5,则 =_________.
5
解析 【解法一】求具体数值法:
∵ =-5,∴a=(-5)3=-125,
∴-a=125,∴ = =5.
【解法二】立方根的性质法:∵a与-a互为相反数,
∴它们的立方根也互为相反数,∴ =- =5.
11.(2025山东威海期中)已知 ≈1.158, ≈3.661,则
≈_____________.(保留小数点后两位)
11.58
解析 被开方数的小数点向右移动2位,其算术平方根的小数
点向右移动1位,∵ ≈1.158,∴ ≈11.58.
12.如图,小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上,若小
正方形的面积为1,大正方形的面积为5,则图中阴影部分的面
积为_________.
解析 因为大正方形的面积为5,所以大正方形的边长为 .
因为小正方形的面积为1,所以小正方形的边长为1,所以阴影
部分的面积= ×(1+ )×1-1= + -1= .
三、解答题(共40分)
13.(2025湖北黄石期中)(8分)把下列各数填入相应的集合内.
3 , ,0, , ,-0.212 112 111 2,-0.5,3.14.
(1)正实数集合:{ …}.
(2)负实数集合:{ …}.
(3)有理数集合:{ …}.
(4)无理数集合:{ …}.
解析 (1)正实数集合: 3 , , ,3.14,… .
(2)负实数集合:{ ,-0.212 112 111 2,-0.5,…}.
(3)有理数集合: 3 ,0, ,-0.212 112 111 2,-0.5,3.14,… .
(4)无理数集合: , ,… .
14.【学科特色·教材变式P56T2】(2025辽宁大连期末)(6分)计算:
(1) - - +|2- |.
(2)2 -3 + ( +4).
解析 (1) - - +|2- |
=3- -(-3)+ -2= + .
(2)2 -3 + ( +4)
=2 -3 +5+4 =3 +5.
15.(2025湖北咸宁期中)(8分)求下列各式中的x的值.
(1) =4.
(2)3(x+2)3+81=0.
解析 (1)开平方,得 x+1=±2,
则 x+1=-2或 x+1=2,
移项,合并同类项,得 x=-3或 x=1,
系数化为1,得x=-6或x=2.
(2)移项,得3(x+2)3=-81,
整理,得(x+2)3=-27,
开立方,得x+2=-3,
移项,合并同类项,得x=-5.
16.(2025福建福州长乐月考)(8分)已知一个正数x的两个不同
平方根分别为a+3和2a-6,b+3的立方根是-2.
(1)求a,b的值.
(2)求x-b-2的平方根.
解析 (1)∵一个正数x的两个不同平方根分别为a+3和2a-6,
∴a+3+2a-6=0,解得a=1.
∵b+3的立方根是-2,∴b+3=(-2)3=-8,
∴b=-11.
(2)由(1)得a=1,b=-11,∴x=(a+3)2=16,
∴x-b-2=16-(-11)-2=25,
∴x-b-2的平方根为±5.
17.(2025广西南宁期中改编)(10分)在综合实践课上,某同学想
把一个用铁丝围成的面积为100 cm2的正方形区域修改为面
积为75 cm2的长方形区域,且长、宽之比为5∶3.
(1)求原来正方形区域的边长.
(2)铁丝够用吗 请通过计算说明你的判断.
解析 (1)原来正方形区域的边长为 =10 cm.
(2)铁丝够用.理由如下:
由(1)得这根铁丝的长为10×4=40 cm,
由修改后的长方形区域的长、宽之比为5∶3,设长方形区域
的长为5x cm,宽为3x cm,所以5x·3x=75,
即15x2=75,解得x= (负值舍去),
∴长方形区域的周长为2(5× +3× )=16 (cm).
∵22<5<2.52,∴2< <2.5.
∴32<16 <40,∴铁丝够用.(共28张PPT)
第八章 实数
8.2 立方根
立方根的概念
1.化简 的结果为 ( )
A.- B. C.± D.-
A
解析 =- .故选A.
2.(2025陕西榆林神木期中)若x3=125,则x的值为( )
A.5 B.3 C.4 D.6
A
解析 ∵x3=125,∴x= =5.故选A.
3.(2025河南郑州期中改编)下列说法正确的是( )
A.64的立方根是±4
B.-27没有立方根
C.立方根等于本身的数是0和1
D. =0.2
D
解析 A.64的立方根是4,故原说法错误;B.-27有立方根,为-3,
故原说法错误;C.立方根等于本身的数是0,1和-1,故原说法错
误;D. =0.2,故原说法正确.故选D.
4.(2025江西吉安期末)已知a的立方根为- ,则a的值为_______.
-
解析 ∵a的立方根为- ,∴a= =- .
5.【学科特色·易错题】 的立方根是_________.
2
解析 =8,则 的立方根= =2.
易错警示
本题容易误求成64的立方根,忽略“ ”的运算.
6.求下列各数的立方根:
(1)216. (2)-0.125. (3) . (4)- .
解析 (1)∵63=216,∴216的立方根是6.
(2)∵(-0.5)3=-0.125,
∴-0.125的立方根是-0.5.
(3)∵ = ,∴ 的立方根是 .
(4)∵ =- ,∴- 的立方根是- .
7.求下列各式的值:
(1) . (2) . (3) .
解析 (1) 表示-512的立方根,是-8,即 =-8.
(2) 表示 的立方根,是 ,即 = .
(3) 表示- 的立方根,是- ,
即 =- .
8.求下列各式中x的值:
(1)(2025北京首师大附中期中) +3=1.
(2)(2025云南昆明月考)64(x+1)3=-125.
解析 (1)移项,合并同类项,得 =-2,
系数化为1,得x3=-8.
开立方,得x= =-2.
(2)整理,得(x+1)3=- .
开立方,得x+1= =- ,解得x=- .
立方根的性质
9.(2025河北邢台期中) 的相反数是 ( )
A. B.
C.- D.
B
解析 ∵ =- ,∴ 的相反数是 ,故
选B.
10.下列式子不正确的是 ( )
A. =- B. =a
C.( )3=a D.(- )3=a
D
解析 由立方根的性质知(- )3=-a,故选项D中的式子不正
确,符合题意.故选D.
11.计算: =_________;( )3=__________; =_______.
-
10
6
解析 =6;( )3=10; =- .
12.比较下列各组数的大小:
(1) 与2. (2) 与2.5.
(3)- 与- .
解析 (1)因为( )3=13,23=8,13>8,
所以 >2.
(2)因为( )3=15,2.53=15.625,15<15.625,
所以 <2.5.
(3)因为( )3=85, =91.125,85<91.125,所以 < ,所以
- >- .
用计算器求一个数的立方根
13.用计算器求下列各式的值(结果保留小数点后三位):
(1) ≈______.
(2) ≈______.
(3)± ≈______.
(1)10.477 (2)-1.783 (3)±0.773
解析 (1) ≈10.477.
(2) ≈-1.783.
(3)± ≈±0.773.
14.【学科特色·易错题】(2025河南商丘永城期中,★★☆)已
知 =a2,则a的值为 ( )
A.0 B.1 C.±1 D.0或±1
D
解析 ∵ =a2,即一个非负数的立方根是它本身,∴这样的
数有0,1,当a2=1时,a=±1,当a2=0时,a=0,∴a的值为0或±1.故
选D.
15.(2025陕西咸阳月考,★★☆)若(a+3)2+ =0,则a+b的立
方根为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2 025
A
解析 ∵(a+3)2+ =0,(a+3)2≥0, ≥0,
∴a+3=0,b-2=0,∴a=-3,b=2,
∴a+b=-3+2=-1,∴ = =-1,
∴a+b的立方根为-1.故选A.
16.(★★☆)若一个正数x的两个不同平方根是 和
,则 的值为_______.
-2
解析 ∵一个正数x的两个不同平方根是 和 ,
∴ + =0,∴17-a+3a-1=0,
∴a=-8,∴ = =-2.
17.(2025广东汕头期中,★★☆)计算:-12 027+ ×(-3)2+(-6)÷
.
解析 原式=-1+4×9+(-6)÷(-2)=-1+36+3=38.
18.(2025陕西渭南韩城期中,★★☆)有两个正方体水箱,第一
个正方体水箱的棱长是6 dm,第二个正方体水箱的体积比第
一个水箱的体积的3倍还多81 dm3,则第二个水箱的表面积为
多少dm2
解析 因为第一个正方体水箱的体积为63=216(dm3),
所以第二个正方体水箱的体积为3×216+81=729(dm3),
所以第二个正方体水箱的棱长为 =9(dm),
所以第二个正方体水箱的表面积为92×6=486(dm2).
19.【学科特色·教材变式P50探究】(2025河南商丘月考,★★
★)观察下列规律并回答问题:
=-0.13, =-1.3,
=-13,……
(1) =______, =______.
(2)已知 =2.35,若 =0.235,用含x的代数式表示y,则y=_____
____.
(3)当a≥0时,根据上述规律比较 与a的大小情况.
解析 (1)∵ =-0.13, =-1.3, =-13,…
…
∴被开方数的小数点向右(或向左)移动3位,则其立方根的小
数点向右(或向左)移动1位,
∴ =-130,
= =-1 300,
故答案为-130;-1 300.
(2)∵ =0.235, =2.35,且2.35=0.235×10,
∴x=1 000y,∴y= ,
故答案为 .
(3) =0, =1,
由(1)的规律得 =0.1, =10.
①当a=0时, = =0,此时 =a;
②当0
a;
③当a=1时, = =1,此时 =a;
④当a>1时, 综上,当a=0或a=1时, =a;当0a;
当a>1时,
20.【新课标·运算能力】【新考向·代数推理】数学家华罗庚
在一次出国访问途中,看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道
智力题:求59 319的立方根,华罗庚脱口而出“39”,邻座的乘
客十分惊奇,忙问其中的奥妙.你知道华罗庚是怎样迅速地求
出计算结果的吗 请你按下面的步骤试一试.
第一步:∵ =10, =100,且1 000<59 319<1 000 0
00,∴10< <100,即59 319的立方根是一个两位数;
第二步:∵59 319的个位上的数字是9,而93=729,∴能确定
的个位上的数字是9;
第三步:如果划除59 319后面的三位数,得到数59,而33<59<43,
∴27 000<59 319<64 000,∴30< <40,∴ 的十位
上的数字是3,∴59 319的立方根是39.
根据上面的材料,解答下面的问题:
(1)填空:1 331的立方根是一个____位数,其个位上的数字是___.
(2)仿照上面的方法求238 328的立方根a,并验证a是238 328的
立方根.
解析 (1)∵1 000<1 331<1 000 000,
∴10< <100,∴ 是一个两位数,
∵13=1,∴ 的个位上的数字是1,
故答案为两;1.
(2)∵ =10, =100,且1 000<238 328<1 000 000,
∴10< <100,即238 328的立方根是一个两位数,∵238
328的个位上的数字是8,而23=8,∴能确定 的个位上
的数字是2,如果划除238 328后面的三位数,得到数238,而216
<238<343,∴216 000<238 328<343 000,
∴ < < ,
∴60< <70,
∴ 的十位上的数字是6,
∴238 328的立方根是62.
验证:62×62×62=238 328.(共27张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第2课时 算术平方根
算术平方根
1.(2024四川攀枝花中考)2的算术平方根是 ( )
A.2 B.±2 C. D.±
C
解析 2的算术平方根是 .故选C.
2.下列各数中,不是某个数的算术平方根的是 ( )
A.-11 B.0 C.6 D.2
A
解析 一个数的算术平方根是非负数,所以不是某个数的算
术平方根的是-11.故选A.
3.(2025河南周口川汇期中)“16的算术平方根是4”,可用式
子表示为 ( )
A.(±4)2=16 B. =4
C.± =±4 D.- =-4
B
解析 “16的算术平方根是4”,可用式子表示为 =4.故选
B.
4.(2025河南濮阳期中改编)下列说法正确的是( )
A. 表示5的算术平方根
B.- 表示3的算术平方根
C.29的算术平方根为±
D.169是13的算术平方根
A
解析 A. 表示5的算术平方根,故A说法正确;B.- 是3的算
术平方根的相反数,故B说法错误;C.29的算术平方根为 ,
故C说法错误;D.13是169的算术平方根,故D说法错误.故选A.
5.(2024广东中考)完全相同的4个正方形面积之和是100,则正
方形的边长是 ( )
A.2 B.5
C.10 D.20
B
解析 根据题意得正方形的边长为 = =5.故选B.
6.【新考向·数学文化】平方根节是一些地区数学爱好者的节
日,这个节日的月份和日期的数正好是当年年份最后两位数
的算术平方根,例如:2016年4月4日.请你写出本世纪内你喜欢
的一个平方根节(题中所举例子除外):________________
________.
不唯一)
2025年5月5日(答案
解析 2 025的最后两位数是25,25的算术平方根是5.故2025
年5月5日符合题意.(答案不唯一)
7.(2024上海中考)已知 =1,则x=_________.
1
解析 ∵ =1,∴2x-1=1,∴x=1.
8.【学科特色·易错题】(2025河南周口商水期末) 的算术平
方根是_________.
解析 因为 =3,所以 的算术平方根是 .
易错警示
易错求成9的算术平方根.注意求 的算术平方根,不是求a2
的算术平方根.此类题要先求出 的值,再求 的算术平方
根.
9.【跨体育与健康·体重指数】(2025山东临沂临沭期中)日常
生活中,青少年体重指数(BMI)是评价青少年营养状况、胖瘦
程度的一个指标,其公式为BMI=体重(kg)/[身高(m)]2.已知小
红的体重为45 kg,她的BMI值为20,则她的身高是________m.
1.5
解析 由题意知,身高2= = ,
则小红的身高为 = =1.5(m).
10.求下列各数的算术平方根:
(1)900. (2)1 . (3)-(-3). (4)1.69.
(5)(-4)2.
解析 (1) =30.
(2) = = .
(3)∵-(-3)=3,∴-(-3)的算术平方根是 .
(4) =1.3.
(5) = =4.
11.(2025四川广安月考)求下列各式的值:
(1)± . (2)- .
(3) . (4) .
解析 (1)± =± =±10.
(2)- =- =-6.
(3) = = = .
(4) = = =15.
方法总结
对于含有根号的式子,计算时要注意两点:(1)分清类型,是求平
方根,算术平方根,还是负的平方根;(2)学会转化,被开方数是
小数的要转化为分数,是带分数的要转化为假分数.
12.(2025安徽合肥包河期中,★★☆)连续两个正整数,较大数
的算术平方根是a,则较小数的算术平方根是 ( )
A.a-1 B.a2-1 C. D.
D
解析 ∵较大数的算术平方根是a,∴较大数为a2,
∵两个数是连续的两个正整数,∴较小数为a2-1,
∴较小数的算术平方根是 .故选D.
13.(★★☆)请写出一个正整数m的值使得 是整数:m=
____________________.
2(答案不唯一)
解析 ∵ =4是整数,符合要求,∴8m可以为16,
故m的值可以为2.(答案不唯一)
14.(2025广东中山三鑫学校月考,★★☆)若x,y为有理数,且|x-2|+
(y+1)2=0,则 的值为_________.
1
解析 由题意可得x-2=0,y+1=0,
∴x=2,y=-1,∴ = =1.
15.(2025河北邢台期末,★★☆)在数学实践课上,老师拿出五
个边长为1的小正方形摆在桌上(如图1),让同学们挑战如何将
这些零散的正方形裁剪后重新拼接成一个大正方形.嘉嘉看
着桌上的图形,反复比划裁剪的线条,终于成功将图形剪开并
拼成了如图2所示的正方形,则拼成的大正方形的边长为_____.
解析 ∵题图1的面积为5×1×1=5,∴题图2中的大正方形面积
为5,∴拼成的大正方形的边长为 .
16.(★★☆)已知 =x, =2,z是49的算术平方根,求2x+y-z的
算术平方根.
解析 ∵ =x,∴x=5.
∵ =2,∴y=4.
∵z是49的算术平方根,∴z=7,
∴2x+y-z=2×5+4-7=7,
∴2x+y-z的算术平方根是 .
17.【跨物理·电流】(2025山西临汾月考,★★☆)电流通过导
线时会产生热量,满足Q=I2Rt(I>0),其中Q为产生的热量(单
位:J),I为电流(单位:A),R为导线电阻(单位:Ω),t为通电时间(单
位:s).
(1)当导线电阻为5 Ω,电流为3 A时,通电时间为2 s所产生的热
量是多少
(2)当导线电阻为6 Ω,通电时间为3 s时,所产生的热量是72 J,
这时的电流是多少
解析 (1)当t=2 s,R=5 Ω,I=3 A时,Q=I2Rt=32×5×2=90(J),
∴通电时间为2 s所产生的热量是90 J.
(2)∵Q=I2Rt且I>0,∴I= ,
当Q=72 J,R=6 Ω,t=3 s时,I= =2(A),
∴这时的电流是2 A.
18.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025北京海
淀期中)数组{a,b,c}中,a,b,c为三个互不相等的正整数,若一个
数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数,则称这个
数组为“完美数组”.例如,数组{3,12,27},经过计算可知
=6, =9, =18,所以数组{3,12,27}为“完美
数组”.
(1){2,8,18}______“完美数组”,{3,9,27}______“完美数
组”.(填“是”或“不是”)
(2)若{5,20,m}为“完美数组”,其中有两个数乘积的算术平
方根为20,求m的值.
解析 (1)∵ =4, =6, =12,
∴{2,8,18}是“完美数组”.
∵ = ,不是整数,∴{3,9,27}不是“完美数组”.
故答案为是;不是.
(2)∵{5,20,m}为“完美数组”,其中有两个数乘积的算术平
方根为20,∴m为正整数,
当 =20,即5m=400时,m=80,
此时 =10, =40,符合题意;
当 =20,即20m=400时,m=20(不符合题意,舍去).故m=80.
微专题 三大常用非负数——绝对值、
平方、算术平方根
方法指引 非负数的性质:(1)有限个非负数的和、积和商(除
数不为零)仍为非负数;(2)若有限个非负数的和为零,则每一个
非负数必为零.
1.若 +|b-3|=0,则ab=_________.
8
解析 ∵ +|b-3|=0,∴a-2=0,b-3=0,
∴a=2,b=3,∴ab=23=8.
2.(2024四川成都中考)若m,n为有理数,且(m+4)2+ =0,则
(m+n)2的值为_________.
1
解析 ∵(m+4)2+ =0,
∴m+4=0,n-5=0,∴m=-4,n=5,
∴(m+n)2=(-4+5)2=12=1.
3.若|a-3|+(5+b)2+ =0,则代数式 的值为_______.
-
解析 ∵|a-3|≥0,(5+b)2≥0, ≥0,且|a-3|+(5+b)2+ =0,
∴a-3=0,5+b=0,c+1=0,∴a=3,b=-5,c=-1,
∴ = =- .(共12张PPT)
专项突破3 与平方根有关的
解题技巧
巧用算术平方根的非负性求值
1.(2025河南许昌期末)已知y= + -3, =3,求xz-y
的值.
解析 由题意得x-2≥0,2-x≥0,
∴x-2=0,∴x=2,∴y=-3.
∵ =3,∴z+1=27,∴z=26,
∴xz-y=2×26-(-3)=55.
巧用正数的平方根求值
2.(2025河北唐山期中)已知a-1和5-2a都是非负数m的平方根,
求m的值.
佳佳的解题过程如下:
解:∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根,
∴a-1+5-2a=0,解得a=4,∴a-1=3,
∴m的值为9.
佳佳的解题过程正确吗 如果不正确,请你写出正确的解题过
程.
解析 佳佳的解题过程不正确.
∵a-1和5-2a都是非负数m的平方根,
∴分两种情况讨论:
当a-1+5-2a=0时,解得a=4,
∴a-1=3,∴m的值为9;
当a-1=5-2a时,解得a=2,
∴a-1=1,∴m的值为1.
综上,m的值为1或9.
3.已知正实数x的两个不相等的平方根为a和a+b.
(1)当b=6时,求x的值.
(2)若a2x+(a+b)2x=8,求x的值.
解析 (1)∵正实数x的两个不相等的平方根是a和a+b,∴a+a+
b=0.∵b=6,∴2a+6=0,∴a=-3.
∴x=a2=(-3)2=9.
(2)∵正实数x的两个不相等的平方根是a和a+b,
∴(a+b)2=x,a2=x,∵a2x+(a+b)2x=8,∴x2+x2=8,∴x2=4,∵x>0,∴x=2.
巧用算术平方根的最小值求值
4.(2025吉林长春八十七中月考)当x=_________时, -7取最小
值,其最小值为_______.
-7
3
解析 ∵ ≥0,∴当x-3取最小值0时, -7取最小值-7,
此时x=3,∴当x=3时, -7取最小值,其最小值为-7.
5.代数式3- 的最大值是_________.
3
解析 ∵ ≥0,∴3- ≤3,
∴代数式3- 的最大值是3.
巧用平方根的概念解方程
6.(2025广东汕尾陆丰东海二中月考)求下列各式中x的值.
(1)(x-3)2=121. (2)(2x+7)2-9=0.
解析 (1)开平方,得x-3=±11,
所以x-3=11或x-3=-11,
解得x=14或x=-8.
(2)移项,得(2x+7)2=9,
开平方,得2x+7=±3,
所以2x+7=3或2x+7=-3,
解得x=-2或x=-5.
7.(2025河南安阳月考)
(1)阅读理解:在七年级上册的学习中,我们已经学习了一元一
次方程,如果方程中只含有一个未知数,并且未知数的最高次
数是2,且等号两边都是整式,这样的方程我们就称之为一元二
次方程,请根据平方根的定义解一元二次方程x2-5=0.
(2)知识延伸:解一元二次方程4(1-2x)2-24=0.子涵同学把(1-2x)
看作一个整体,利用所学平方根的知识解出了本题,相信你也
能做出来,请写出你的解题过程.
(3)迁移应用:由乘方的意义可知,x4= =x2·x2=(x2)2,请你解
方程81x4-256=0.
解析 (1)移项,得x2=5,解得x=± .
(2)移项,得4(1-2x)2=24,
整理,得(1-2x)2=6,
开平方,得1-2x=± ,
解得x= 或x= .
(3)移项,得81x4=256,
整理,得x4= ,
开平方,得x2= 或x2=- (舍去),
开平方,得x= 或x=- .(共14张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第1课时 平方根
平方根
1.(2024四川内江中考)16的平方根是 ( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
D
解析 ∵(±4)2=16,∴16的平方根是±4.故选D.
2.(2025山西晋中期中)“ 的平方根是± ”用数学式子表示
为 ( )
A. =± B. =
C.± =± D.- =-
C
解析 “ 的平方根是± ”用数学式子表示为± =± .
故选C.
3.【学科特色·易错题】(2025山东临沂期中) 的平方根
是 ( )
A. B.- C. D.±
D
解析 = , 的平方根是± .故选D.
易错警示
(1)求 的平方根要先求出 的值,再求 的平方
根.
(2)一个正数的平方根有两个.
4.(2025福建厦门月考)下列说法中,正确的是( )
A.∵3的平方是9,∴9的平方根是3
B.∵-5的平方是25,∴-5是25的一个平方根
C.∵任何数的平方都是正数,∴任何数的平方根都是正数
D.∵负数的平方是正数,∴负数的平方根都是正数
B
解析 A.∵±3的平方是9,∴9的平方根是±3,故该选项说法不
正确;B.∵-5的平方是25,∴-5是25的一个平方根,故该选项说
法正确;C.0的平方是0,不是正数,故该选项说法不正确;D.负数
没有平方根,故该选项说法不正确.故选B.
5.下列各数有平方根吗 如果有,求出它的平方根;如果没有,请
说明理由.
(1)-81. (2)2 500. (3)0.
(4)1.44. (5)2 . (6)|-4|.
解析 (1)-81没有平方根.理由:-81是负数,负数没有平方根.
(2)2 500有平方根,它的平方根是±50.
(3)0有平方根,它的平方根是0.
(4)1.44有平方根,它的平方根是±1.2.
(5)2 有平方根,∵2 = = ,∴2 的平方根是± .
(6)|-4|有平方根,∵|-4|=4,∴|-4|的平方根是± =±2.
6.【学科特色·教材变式P42T3】(2025北京师大附中月考)求
下列各式中x的值.
(1)2x2-8=0. (2)(x-1)2=36.
解析 (1)移项,得2x2=8,
系数化为1,得x2=4,
开平方,得x=2或x=-2.
(2)开平方,得x-1=±6,
即x-1=6或x-1=-6,
解得x=7或x=-5.
7.(2025河北唐山路北期中,★★☆)25的平方根与1的差为
( )
A.4 B.-4 C.-4或6 D.4或-6
D
解析 ∵25的平方根是± =±5,∴25的平方根与1的差为
5-1=4或-5-1=-6.故选D.
8.(2025安徽铜陵期中,★★☆)已知3是x-1的一个平方根,-5是
x-2y+1的一个平方根,则x+y=_________.
3
解析 ∵3是x-1的一个平方根,∴x-1=32=9,∴x=10.
∵-5是x-2y+1的一个平方根,∴10-2y+1=(-5)2=25,∴y=-7,∴x+y
=10+(-7)=3.
9.【学科特色·方程思想】(★★☆)已知2a+3是一个正数,它的
一个平方根比另一个平方根大2,则a的值为_______.
-1
解析 设正数2a+3的正的平方根为x,则另一个平方根为x-2,
所以x+x-2=0,解得x=1,
∴2a+3=12=1,解得a=-1.
10.(★★☆)若(18+2a)2+|4b-60|=0,则b-2a的平方根是_______.
±
解析 因为(18+2a)2+|4b-60|=0,
所以18+2a=0,4b-60=0,解得a=-9,b=15,
所以b-2a=15-2×(-9)=33,
所以b-2a的平方根是± .
11.(2025广东东莞月考,★★☆)已知某正数m的两个不同的平
方根是2a-3和a-12,求这个正数m的值.
解析 ∵正数m的两个不同的平方根是2a-3和a-12,∴2a-3+a-
12=0,∴a=5,
∴m=(2a-3)2=(2×5-3)2=49.(共14张PPT)
第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第1课时 实数的概念及分类
无理数
1.(2025广东广州中考)下列四个选项中,是负无理数的是
( )
A.- B.-1 C.0 D.3
A
解析 - 是负无理数;-1是负整数,属于有理数;0是整数,属于
有理数;3是正整数,属于有理数.故选A.
2.(2025河南濮阳期中)下面的说法正确的是 ( )
A.无限小数都是有理数 B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数 D.无理数都是带根号的数
B
解析 A.无限循环小数是有理数,故原说法错误;B.无理数都
是无限小数,正确;C.带根号的数不一定是无理数,如 =2是有
理数,故原说法错误;D.无理数不一定是带根号的数,如π是无
理数,故原说法错误.故选B.
3.【学科特色·教材变式P54T2】(1)求81和125的平方根及立
方根.
(2)在81和125的平方根及立方根中,哪些是有理数 哪些是无
理数
解析 (1)81的平方根为± =±9,立方根为 ;125的平方根
为± ,立方根为5.
(2)±9,5为有理数; ,± 为无理数.
实数及其分类
4.(2025湖南湘潭岳塘期中)在实数:3.141 59, ,1.010 010 00
1…(相邻两个1之间0的个数依次增加1),0. ,π, 中,有理数
有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
解析 有理数有3.141 59, ,0. , ,共4个.故选D.
5.(2025江苏苏州期末)把下列各数分别填在相应的横线上:0.1
25, , ,0,- , ,- ,-0.030 030 003…(相邻两个3之间依次
多一个0).
有理数:____.
无理数:____.
正实数:____.
负实数:____.
解析 有理数:0.125, ,0,- .
无理数: ,- , ,-0.030 030 003…(相邻两个3之间依次多一
个0).
正实数:0.125, , .
负实数: ,- ,- ,-0.030 030 003…(相邻两个3之间依次多一
个0).
实数与数轴上点的关系
6.(2025北京密云一模)如图,实数 在数轴上对应的点可能是
( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
C
解析 ∵4<7<9,∴2< <3,∴C点符合题意.
7.(2025江苏南京月考)若一个正数的平方根在数轴上分别对
应A,B两点,且AB=6,则这个正数为( )
A.36 B.9 C.0 D.12
B
解析 ∵一个正数的平方根在数轴上分别对应A,B两点,且AB
=6,∴这个正数的两个平方根分别为3和-3,∴这个正数为32=9.
故选B.
实数的大小比较
8.(2025陕西榆林期中)把下列实数表示在数轴上,并将它们用
“<”连接起来.
-2, ,|-3|, .
解析 ∵|-3|=3, ≈1.414,
∴各数表示在数轴上,如下:
∴-2< < <|-3|.
9.(2025山东聊城临清二模,★★☆)已知m是 的整数部分,n
是 的小数部分,则m-n的值为___________.
4-
解析 ∵ < < ,∴2< <3,∴m=2,n= -2,
∴m-n=2-( -2)=4- .
10.(2025北京西城期中,★★☆)如图所示,在4×4的正方形网格
中,每个小正方形边长都是1,画出边长为无理数的两个正方
形,且使其每个顶点都在小正方形的顶点上,并写出所画正方
形的边长.
解析 答案不唯一,如图所示:
(共25张PPT)
第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
第2课时 实数的性质及运算
实数的性质
1.(2025河南信阳模拟)实数 的相反数是 ( )
A. B.2 C.- D.
C
解析 实数 的相反数是- .故选C.
2.(2025江苏泰州二模)下列实数中,没有倒数的是 ( )
A.-1 B.0 C. D.π
B
解析 0没有倒数.故选B.
3.2-π的绝对值是 ( )
A.2-π B.π-2
C.2 D.π
B
解析 |2-π|=π-2.故选B.
4.(2025山东临沂二模)下列各数中,绝对值最大的是 ( )
A. B.- C.2 D.-3
A
解析 | |= , = ,|2|=2,|-3|=3,
∵ >3>2> ,∴绝对值最大的是 .故选A.
5.将下列各数的相反数和绝对值填入相应的空格中.
相反数 绝对值
1.7-
解析 填表如下:
相反数 绝对值
-
-
1.7- -1.7 -1.7
实数的运算
6.下列计算正确的是 ( )
A.(- )2+( )3=0 B. × =9
C. + = D.|-2|- =4
D
解析 A.(- )2+( )3=2+2=4,故原计算错误;B. × =3,故
原计算错误;C. + =2 ≠ ,原计算错误;D.|-2|- =2-
(-2)=4,原计算正确.故选D.
7.【学科特色·多解法】与-( - )的和为0的是 ( )
A. + B.- -
C.- + D. -
D
解析 【解法一】两数相加:A.-( - )+ + =- +
+ + =2 ,不符合题意;
B.-( - )- - =- + - - =-2 ,不符合题意;
C.-( - )- + =- + - + =-2 +2 ,不符合
题意;
D.-( - )+ - =- + + - =0,符合题意.故选D.
【解法二】找相反数:因为-( - )与 - 互为相反数,所
以它们的和为0.
8.根据如图所示的计算程序,若开始输入的x值为- ,则输出
的y值为 ( )
A.- -5 B.1 C.-1 D.3
D
解析 ∵1<2,∴1< ,∴- <-1,
∴y=(- )2+1=2+1=3.故选D.
9.计算(结果保留小数点后两位):
(1) +π. (2) × . (3)2 - .
解析 (1) +π≈2.236+3.142≈5.38.
(2) × ≈1.732×1.414≈2.45.
(3)2 - ≈2×1.442-1.260≈1.62.
10.【学科特色·教材变式P56T2】计算:
(1)5 - . (2) -( +2 ).
(3) × .
(4)2( - )-|2 - |.
解析 (1)5 - =(5-1) =4 .
(2) -( +2 )= - -2 =(1-2) - =- - .
(3) × = × - × =11-1=10.
(4)2( - )-|2 - |
=2 -2 -2 + =- .
11.(2025湖北荆门期中,★★☆)下列各组数中,互为相反数的
是 ( )
A.- 与 B. 与-
C.|- |与 D. 与( )2
A
解析 A.- =-3, =3,故- 与 互为相反数;
B. =-2,- =-2,两数相等;
C.|- |= ,两数相等;
D. =2,( )2=2,两数相等.故选A.
12.(★★☆)如图,数轴上点A,B表示的数分别是1, ,且B,C两
点到点A的距离相等,则点C表示的数是( )
A. B.1- C.2- D.3-
C
解析 ∵数轴上点A,B表示的数分别是1, ,
∴AB= -1,
∵B,C两点到点A的距离相等,
∴AC=AB= -1,∴点C表示的数是1-( -1)=1- +1=2- .故
选C.
13.(2025山东临沂河东期中,★★☆)如图,通过画边长为1的正
方形,就能准确地把 表示在数轴上点A1处,记A1右侧最近的
整数点为B1,以点B1为圆心,A1B1的长为半径画半圆,交数轴于
点A2,记A2右侧最近的整数点为B2,以点B2为圆心,A2B2的长为半
径画半圆,交数轴于点A3,则点A3表示的实数为 ( )
D
A. -1 B. C.4- D.2+
解析 由题意得OA1= ,
∵1< <2,∴点B1表示的数为2,∴B1A2=2- ,
∴点A2表示的数为2+2- =4- ,
∵2<4- <3,∴点B2表示的数为3,
∴B2A3=3-4+ = -1,
∴点A3表示的实数为3+ -1=2+ .故选D.
14.(★★☆)计算:
(1)-12 025- + +| -2|.
(2) ( -1)-| -2|+| - |.
解析 (1)-12 025- + +| -2|
=-1-(2-1)+3+2- =-1-1+3+2- =3- .
(2) ( -1)-| -2|+| - |
=3- -2+ + - =1+ - .
15.(2025贵州贵阳南明期中,★★☆)已知 和 互为
相反数,且y+4的平方根是它本身,求xy的立方根.
解析 ∵ 和 互为相反数,
∴x-1+3-2x=0,解得x=2.
∵y+4的平方根是它本身,∴y+4=0,
∴y=-4,∴xy=2×(-4)=-8,
∵-8的立方根是-2,∴xy的立方根是-2.
16.【学科特色·教材变式P57T8】(2025河北唐山路北期中,★
★☆)如图,长方形内两个正方形的面积分别为9 cm2,5 cm2.
(1)求长方形的周长.
(2)求图中两块阴影部分的面积和.
解析 (1)∵两个正方形的面积分别为9 cm2,5 cm2,∴大正方
形的边长为 =3 cm,小正方形的边长为 cm,
∴长方形的周长为2(3+ +3)=(12+2 )cm.
(2)∵长方形由两个正方形和两块阴影部分组成,∴两块阴影
部分的面积和为3(3+ )-9-5=(3 -5)cm2.
17.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】对任意一个实
数x,定义:[x]表示不超过x的最大整数,{x}表示x的非负纯小数
部分,即x=[x]+{x}(0≤{x}<1).例: =[ ]+{ },其中[ ]=2,
{ }= -2;- =[- ]+{- },其中[- ]=-3,{- }=3- .
(1)[10- ]=______.
(2)若x=8+ ,y=2+ ,求({x}-{y})2+[x]-{x}+ 的值.
解析 (1)∵3< <4,∴6<10- <7,∴[10- ]=6.故答案为
6.
(2)∵2< <3,∴10<8+ <11,4<2+ <5,
∴{x}=8+ -10= -2,[x]=10,
{y}=2+ -4= -2,∴{x}-{y}=0,
∴原式=02+10-( -2)+
=0+10- +2+ =12.(共14张PPT)
第八章 实数
8.1 平方根
第3课时 算术平方根的估算
算术平方根的估算
1.(2024天津中考)估算 的值在 ( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
C
解析 ∵ < < ,∴3< <4,∴ 的值在3和4之间.故
选C.
2.【学科特色·夹逼法】(2025天津中考)估计1+ 的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
C
解析 ∵ < < ,∴2< <3,
∴3<1+ <4,∴1+ 的值在3和4之间.故选C.
方法解读
“夹逼法”中所谓的“夹”就是从两边确定范围,而“逼”
就是一点点加强限制,使其所处的范围越来越小,从而达到我
们想达到的精确程度.
3.【新考向·结论开放题】(2025北京海淀二模)写出一个比
小的正整数:________________.
3(答案不唯一)
解析 ∵ < < ,∴3< <4,∴比 小的正整数有3,2,
1,任选一个即可,答案不唯一.
4.(2025福建福州期中)已知 ≈10.68, ≈3.38,则
≈____________.
33.8
解析 被开方数的小数点每移动2位,其算术平方根的小数点
向相应的方向移动一位,由此可知 ≈33.8.
5.比较下列各组数的大小:
(1) 与9. (2) 与 .
解析 (1)因为92=81,所以 =9.
因为82>81,所以 > ,即 >9.
(2)因为1< <2,所以0< -1<1,所以 < .
用计算器求一个正有理数的算术平方根
6.用计算器计算 - ,结果精确到0.01是 ( )
A.0.30 B.0.31 C.0.32 D.0.33
C
解析 - ≈0.32.故选C.
7.(2025广西玉林期中,★★☆) 介于两个连续的整数a与
b之间,则2a+b的值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 ∵4<5<9,∴2< <3,∴3< +1<4,∴ < <2,∵
介于两个连续的整数a与b之间,∴a=1,b=2,∴2a+b=2×1
+2=4.故选A.
8.【学科特色·教材变式P44探究】(2025北京二中期中,★★
☆)根据表中的信息判断,下列语句正确的是 ( )
C
x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16
x2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256
A. =1.59
B.235的算术平方根比15.3小
C.只有3个正整数n满足15.5< <15.6
D.根据表中数据的变化趋势,可以推断出16.12将比256大3.19
解析 A.根据题表中的信息可知 =15.9,∴ =1.5
9,故该选项不正确;B.根据题表中的信息可知 =15.3<
,∴235的算术平方根比15.3大,故该选项不正确;C.根据
题表中的信息可知15.52=240.25241或242或243,∴只有3个正整数n满足15.5< <15.6,故该选
项正确;D.根据题表中的信息无法得到16.12的值,∴不能推断
出16.12将比256大3.19,故该选项不正确.故选C.
9.【新考向·数学文化】(2025湖南常德期中,★★☆)我国南宋
时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公
式,即三角形的三边长分别为a,b,c,记p= ,那么其面积S
= .如果某个三角形的三边长分别为2,4,4,
其面积S介于整数n和n+1之间,那么n的值是_________.
3
解析 将三角形的三边长代入p= ,得p= =5,∴S
= = ,
∵3< <4,S介于整数n和n+1之间,∴n=3.
10.(2025陕西西安高陵期中,★★☆)某班欲装饰教室黑板旁
边的班级事务栏,准备从一块面积为36平方分米的正方形工
料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形工件,用于设计
班级事务栏的标题.
(1)求正方形工料的边长.
(2)若要求裁下的长方形工件的长、宽之比为4∶3,请问能否
裁出满足要求的长方形工件
解析 (1)设正方形工料的边长为x分米,
由题意得x2=36,解得x=6(x=-6舍去).
答:正方形工料的边长为6分米.
(2)能裁出满足要求的长方形工件.理由如下:
设长方形工件的长为4a分米,宽为3a分米,
由题意得4a·3a=24,解得a= (a=- 舍去),
∴4a=4 ,3a=3 ,
∴长方形工件的长为4 分米,宽为3 分米.
∵1.52=2.25, < < ,
∴1< <1.5,∴4<4 <6.
∵原正方形工料的边长为6分米,
∴能裁出满足要求的长方形工件.
