(共16张PPT)
专项突破4 坐标系中的图形
面积问题
利用补形法求图形面积
1.(2025山东济南天桥期中改编)如图,在平面直角坐标系中,已
知△ABC各顶点在格点上.
(1)直接写出△ABC的三个顶点的坐标:A______;B______;C____
_____.
(2)求△ABC的面积.
解析 (1)(2,2);(3,0);(5,4).
(2)如图,△ABC的面积=长方形CDEF的面积-3个直角三角形
的面积,
∴S△ABC=3×4- ×1×2- ×2×3- ×2×4=4.
利用分割法求图形面积
2.在如图所示的平面直角坐标系中,A,B,C,D都是正方形网格
中的格点(即网格线的交点).
(1)写出点B与点C的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
解析 (1)B(-2,3),C(3,5).
(2)四边形ABCD可以分割成两个直角三角形和一个直角梯形.
= ×2×3+ ×2×5+ ×(3+5)×5=28.
利用图形面积求点的坐标
3.【学科特色·教材变式P70T9】在平面直角坐标系中,已知
O(0,0),B(1,3).
(1)若点A在x轴上,且S△AOB=4,求满足条件的点A的坐标.
(2)若点A在y轴上,且S△AOB=5,求满足条件的点A的坐标.
(3)若点A在坐标轴上,且S△AOB=2,求满足条件的点A的坐标.
解析 (1)∵点A在x轴上,
∴S△OAB= ×OA×3=4,解得OA= ,
∴点A的坐标为 或 .
(2)∵点A在y轴上,∴S△OAB= ×OA×1=5,
解得OA=10,
∴点A的坐标为(0,10)或(0,-10).
(3)若点A在x轴上,则S△OAB= ×OA×3=2,
解得OA= ,∴点A的坐标为 或 ;
若点A在y轴上,则S△OAB= ×OA×1=2,
解得OA=4,∴点A的坐标为(0,4)或(0,-4).
综上所述,点A的坐标为 或 或(0,4)或(0,-4).
4.【学科特色·分类讨论思想】(2025湖北武汉江汉期中)已知
点A(a,0),B(0,b),且|a+1|+ =0.
(1)直接写出A,B两点坐标.
(2)将线段AB平移至线段CD(点A与C对应,点B与D对应).
①如图1,若点D的坐标为(m,m),点C在y轴上,求线段AD与y轴
的交点E的坐标.
②如图2,若点D的坐标为(6,0),点P在坐标轴上,三角形APB的
面积是三角形PCD面积的2倍,直接写出P点坐标.
解析 (1)∵|a+1|≥0, ≥0,且|a+1|+ =0,∴a+1=0,b-3
=0,∴a=-1,b=3,
∴A(-1,0),B(0,3).
(2)①由平移可得m=1,∴D(1,1),
连接OD,如图,
∵S三角形AOD=S三角形AOE+S三角形EOD,
∴ ×1×1= ×1×OE+ ×OE×1,
∴OE= ,∴E .
②由题意可得线段AB向右平移6个单位,向下平移3个单位得
到线段CD,∴C(5,-3),
如图,当点P在x轴上时(此时点P只
能在点O的右边),设P(m,0),
此时三角形APB的AP边上的高与三角形PCD的PD边上的高
是相等的,
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍,
∴AP=2DP,∴m+1=2|m-6|,
解得m=13或 ,∴点P的坐标为(13,0)或 .
当点P在y轴上时,设P(0,n),
(i)如图,当点P在直线CD上方时(此时点P只能在点O的下方),
连接OC,
∴S三角形APB= BP·OA= (3-n)= - n,
S三角形PCD=S三角形OCD+S三角形OCP-S三角形OPD
= ×6×3+ ×(-n)×5- ×6×(-n)=9+ n,
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍,
∴ - n=2 ,解得n=-11,∴P(0,-11);
(ii)如图,当点P在直线CD下方时,连接OC,
∴S三角形APB= BP·OA= (3-n)= - n,
S三角形PCD=S三角形OPD-(S三角形OCD+S三角形OCP)
= ×6×(-n)- ×6×3+ ×(-n)×5 =- n-9,
∵三角形APB的面积是三角形PCD面积的2倍,
∴ - n=2 ,解得n=-39,∴P(0,-39).
综上,点P的坐标为(13,0)或 或(0,-11)或(0,-39).(共22张PPT)
第九章 平面直角坐标系
9.2 坐标方法的简单应用
9.2.1 用坐标表示地理位置
用坐标表示地理位置
1.(2024贵州中考)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校
创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”
“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使
“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限
为( )
A
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 以“新”为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则
“技”在第一象限.故选A.
2.(2025山西吕梁离石期中)戏曲小组成员利用周末时间去剧
团进行实践学习活动,出发前欣欣将各个剧团的位置标注在
平面直角坐标系中,如图,点A表示“对子戏剧团”的位置,坐
标为(-1,3),点B表示“咳咳腔剧团”的位置,坐标为(2,2).
(1)根据以上信息,请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐
标系.
(2)若“弦子腔剧团”的坐标为(0,-2),请在平面直角坐标系中
标出“弦子腔剧团”的位置,并标注为点D.
(3)当欣欣在标点C(图中已标注)“壶关秧歌剧团”的位置时,
横、纵坐标看反了,则正确的点C应在第______象限.
解析 (1)建立的平面直角坐标系如图所示.
(2)“弦子腔剧团”的位置(点D)如图所示.
(3)∵欣欣在标点C“壶关秧歌剧团”的位置时,横、纵坐标
看反了,图中点C的坐标为(-4,1),∴正确的点C的坐标为(1,-4),
∴正确的点C在第四象限.故答案为四.
用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的
位置
3.(2025河南安阳期中)2025年郑州两会于2月7日~8日召开,以
下最能够准确表示会议召开位置的是( )
A.平顶山东北方向
B.北纬34.76°,东经113.68°
C.金水区
D.距离洛阳136千米处
B
解析 在一个平面内确定一个点的位置,一般需要两个数据.
A,C,D选项都不符合要求;只有B选项北纬34.76°,东经113.68°
可以确定具体位置.故选B.
4.【学科特色·教材变式P74T3】(2025广东湛江期中)下图表
示的是图书室、超市、银行和餐馆的位置关系.
(1)以图书室为参照点,请用表示方向的角和图中所标示的距
离分别表示超市、银行和餐馆的位置.
(2)火车站在图书室的南偏东60°的方向上,并且火车站到图书
室的距离与银行到图书室的距离相等,请在图中画出火车站
的位置.
解析 (1)超市在图书室南偏西70°方向上,且距离图书室2.8
km;银行在图书室北偏东30°方向上,且距离图书室3.2 km;餐
馆在图书室北偏西50°方向上,且距离图书室1.8 km.
(2)如图所示:
5.【新课标·中华优秀传统文化】(2025河南许昌禹州期中,★
★☆)五子棋起源于中国,游戏规则是:双方各执一色,黑棋先
下(为先手),白棋后下,黑白双方轮流交替下子,下在棋盘横线
与竖线的交叉点上,先形成五子连线者获胜.如图,若白棋A的
位置记为(2,1),黑棋B的位置记为(-1,-2),为了阻止黑棋立即获
胜,则白棋必须落子的位置是( )
A.(0,2) B.(1,-1) C.(1,-2) D.(2,-1)
答案 C
解析 建立平面直角坐标系如图所示,
为了阻止黑棋立即获胜,则白棋必须落子的位置是(1,-2).
6.(2025河南新乡期中,★★☆)815A型电子侦察船是我国海上
防御力量重要的组成部分,它能捕捉从短波到超高频的各种
无线电频谱,能监视水下潜艇的动向,还能监视空中低轨道过
顶卫星的动向,其监测范围达到一千千米.如图,雷达显示周围
海域舰艇C,F的位置表示为C(7,120°),F(6,210°),按照此方法
在表示舰艇A,B,D,E的位置时,表示正确的是 ( )
C
A.A(5,30°) B.B(2,180°)
C.D(5,240°) D.E(4,60°)
解析 由题意得,数对中第一个数是自内向外的环数,第二个
数是度数,∴A(6,30°),B(2,90°),D(5,240°),E(4,300°).故选C.
7.【新课标·中华优秀传统文化】(2025福建福州期中,★★☆)
如图所示的是象棋棋盘一部分的示意图,建立平面直角坐标
系,使棋子“马”位于点(1,2),“车”位于点(-2,2).
(1)请根据题意,画出平面直角坐标系xOy,并写出“炮”对应
的点的坐标.
(2)如果“马”再走一步到达第二象限,写出“马”所有可能
出现的新位置对应的点的坐标.(按照象棋规则,棋子“马”只
能沿着棋盘上“ ”或“ ”中长方形的对角线行
走)
解析 (1)根据题意,建立平面直角坐标系,如图:
∴“炮”对应的点的坐标为(3,1).
(2)“马”再走一步到达第二象限,“马”所有可能出现的新
位置如图中的①②所示,对应的点的坐标为(-1,3),(-1,1).
8.【新课标·几何直观】【新考向·新定义题】如图1,将射线OX按逆时针方向旋转β角(0°≤β<360°),得到射线OY,如果点P为射线OY上的一点,且OP=m,那么我们规定用(m,β)表示点P在平面内的位置,并记为P(m,β).例如,图2中,如果OM=5,∠XOM=110°,那么点M在平面内的位置,记为M(5,110°),根据图形,解答下列问题:
(1)如图3,点N在平面内的位置记为N(6,30°),那么ON=______,
∠XON=______.
6
30°
(2)如果点A,B在平面内的位置分别记为A(4,30°),B(3,210°),则
A,B两点间的距离为______.
7
解析 (1)根据点N在平面内的位置记为N(6,30°)可知,ON=6,
∠XON=30°.
(2)如图所示,∵A(4,30°),B(3,210°),
∴∠AOX=30°,∠XOB=360°-210°=150°,
∴∠AOB=∠AOX+∠XOB=180°,
∴OA与OB在同一条直线上,
∵OA=4,OB=3,∴AB=4+3=7.(共28张PPT)
第九章 平面直角坐标系
9.2 坐标方法的简单应用
9.2.2 用坐标表示平移
第2课时 根据坐标变化确定平移方向
根据坐标变化确定平移方向
1.(2025河北邢台期中)下面是点的平移过程:将平面直角坐标
系中的点P(a-3,b+2)向右平移 个单位长度,再向 平移2个
单位长度到点(a,b)的位置,但是部分内容缺失,则以下补充正
确的是 ( )
A. 表示3, 表示上 B. 表示-3, 表示上
C. 表示3, 表示下 D. 表示-3, 表示下
C
解析 因为平移后横坐标+3,纵坐标-2,所以P(a-3,b+2)向右平
移3个单位长度,再向下平移2个单位长度到点(a,b)的位置,∴
表示3, 表示下,故选C.
2.(2025天津北辰期中)在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)平移
到y轴上,则下列方法正确的是 ( )
A.向右平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度
C.向左平移3个单位长度 D.向左平移2个单位长度
A
解析 因为将点P(-3,2)平移到y轴上(y轴上的点的横坐标为
0),所以点P(-3,2)向右平移3个单位长度即可平移到y轴上,故
选A.
3.△ABC内的任意一点M(a,b),经过平移后对应点N的坐标是
(m,n).已知点A(4,3)经过这样的平移后的对应点是D(6,-2),则m
+n-a-b的值为 ( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
D
解析 ∵△ABC内的任意一点M(a,b),经过平移后对应点N的
坐标是(m,n),点A(4,3)经过这样的平移后的对应点是D(6,-2),
∴m-a=6-4=2①,n-b=-2-3=-5②,
①+②得,m+n-a-b=2-5=-3.故选D.
4.(2025河北邯郸期中)在平面直角坐标系中,将A(-4,3),B(-1,2),
C(-4,1),D(-3,2)四个点用线段连接成一个图案,如图所示.
(1)如果原来四个点的纵坐标保持不变,横坐标都加上4,将对应所得的点相应地用线段连接起来,那么所得的图案是由原
来的图案进行了怎样的平移得到的 写出文字说明,并在图上
画出图形.
(2)如果原来四个点的横坐标保持不变,纵坐标都减去3,将对
应所得的点相应地用线段连接起来,那么所得的图案是由原
来的图案进行了怎样的平移得到的 写出文字说明,并在图上
画出图形.
解析 (1)如图所示,所得的图案是由原来的图案向右平移4个
单位得到的.
(2)如图所示,所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得
到的.
5.【学科特色·教材变式P79练习T2】(2025山西阳泉期中)如
图,平行四边形ABCD的顶点A,B,C,D的坐标分别为(-1,4),(-3,
2),(0,2),(2,4),将这四个顶点的横坐标都加2,纵坐标都减去4,分
别得到点A1,B1,C1,D1.
(1)请写出点A1,B1,C1,D1的坐标,并在图中画出平行四边形A1B1C1D1.
(2)请说明平行四边形A1B1C1D1是由平行四边形ABCD沿坐标
轴方向如何平移得到的.
解析 (1)由题意得A1(1,0),B1(-1,-2),C1(2,-2),D1(4,0).如图,平行
四边形A1B1C1D1即为所求作.
(2)由题意得,平行四边形A1B1C1D1是由平行四边形ABCD沿x
轴向右平移2个单位长度,沿y轴向下平移4个单位长度得到的.
6.(2025浙江温州二模,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,平
移△ABC至△A1B1C1的位置.若点A,C的坐标分别为(-2,4),(-1,
1),平移后点A1,C1的坐标分别为(m,5),(2,n),则m+n的值为
( )
D
A.6 B.5 C.4 D.3
解析 ∵点A平移后纵坐标增加1,点C平移后横坐标增加3,∴
平移方式为向右平移3单位长度,向上平移1个单位长度,∴m=
-2+3=1,n=1+1=2,∴m+n=3,故选D.
7.【学科特色·易错题】(2025山东滨州无棣二中月考,★★☆)
如图,第一象限内有P(m-4,n),Q(m,n-3)两点,将线段PQ平移,使
点P,Q分别落在两条坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标
是____________________.
(0,3)或(-4,0)
解析 设平移后点P,Q的对应点分别是P',Q'.分两种情况:①P'
在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,∴点P'
的纵坐标为n+0-(n-3)=3,∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);
②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,∴
点P'的横坐标为m-4+0-m=-4,∴点P平移后的对应点的坐标是
(-4,0).综上可知,点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0).
易错警示
有两种情况:①点P平移后落在y轴上,点Q平移后落在x轴上;②
点P平移后落在x轴上,点Q平移后落在y轴上.本题容易漏解.
8.(2025四川南充期中,★★☆)如图,已知点A(4,3),B(3,1),C(1,
2),若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移得到的,且三角形ABC
中任意一点P(x,y)经过平移后的对应点为P1(x-4,y+2).
(1)在图中画出三角形A1B1C1.
(2)写出点A1的坐标:______.
(3)点M在y轴上,若三角形MOC1的面积
为6,直接写出点M的坐标:______.
解析 (1)∵点P(x,y)经过平移后的对应点为P1(x-4,y+2),∴把
三角形ABC先向左平移4个单位,再向上平移2个单位得三角
形A1B1C1,画出三角形A1B1C1如图.
(2)点A1的坐标为(0,5).故答案为(0,5).
(3)如图,设点M的坐标为(0,m),
∵点C1到y轴的距离等于3,
∴三角形MOC1的面积= ×|m|×3=6,
解得m=4或-4,
∴点M的坐标为(0,4)或(0,-4).
故答案为(0,4)或(0,-4).
归纳总结
平面直角坐标系内,把一个图形各个顶点的横坐标都加上(或
减去)一个正数a,就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长
度;把它各个顶点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,就是把
原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
9.【新课标·几何直观】在平面直角坐标系中,三角形ABC的
顶点坐标分别是A(0,2),B(0,-2),C(2,-2).将三角形ABC向上平移
k(k>0)个单位长度得到三角形A1B1C1,点Q是三角形A1B1C1边上
的动点,其纵坐标为b.若满足b=5的点Q恰有两个,则k的取值范
围是_____________.
3
解析 如图,三角形ABC的顶点坐标分别是A(0,2),B(0,-2),C(2,
-2),此时三角形的边上所有点的纵坐标都小于5;向上平移三
角形,当顶点A(0,2)的对应点到达(0,5)时,三角形的边上只有一
个点的纵坐标等于5;再向上平移三角形,当点B(0,-2)的对应点
未到达(0,5)时,三角形的边上有2个点的纵坐标等于5,当点B
(0,-2)的对应点到达(0,5)时,三角形的边上有无数个点的纵坐
标等于5;再继续向上平移三角形,这时三角形的边上所有点的
纵坐标都大于5.所以3微专题 坐标系与规律探究
1.(2025天津北辰期中)如图,在平面直角坐标系中,A(-1,1),
B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),一动点P从点A出发以每秒2个单位长度
的速度沿A→B→C→D→A→…循环运动,则第100秒时点P的坐
标为 ( )
A
A.(0,-2) B.(1,1)
C.(-1,-2) D.(1,-2)
解析 ∵A(-1,1),B(-1,-2),C(3,-2),D(3,1),∴AB=CD=3,AD=BC=
4,∴四边形ABCD的周长为2AB+2BC=14,∵点P从点A出发以2
个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A→…循环运动,∴点
P运动100秒所走的路程为100×2=200个单位长度,∵200÷14=
14……4,∴点P运动14圈后又运动了4个单位长度,∴第100秒
时点P的坐标为(0,-2),故选A.
2.如图,在平面直角坐标系中,半径均为2个单位长度的半圆O1,
O2,O3,…组成一条平滑的曲线,其中O1(-2,0),O2(2,0),O3(6,0),…
…,在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点,P1(-2-
, ),P2(-2+ , ),P3(2- ,- ),P4(2+ ,- ),P5(6- ,
),P6(6+ , ),……,则点P2 024的坐标为 ( )
C
A.(4 046+ ,- ) B.(4 046- , )
C.(4 042+ ,- ) D.(4 042- , )
解析 ∵O1(-2,0),O2(2,0),O3(6,0),O4(10,0),……,∴On(4n-6,0)(n
≥1),由题意可知,P2 024为半圆O1 012上靠近直径右端点的四等分
点,O1 012(4 042,0),观察题图可知,半圆O1上靠近直径右端点的
四等分点为P2(-2+ , ),半圆O2上靠近直径右端点的四等分
点为P4(2+ ,- ),半圆O3上靠近直径右端点的四等分点为P6
(6+ , ),半圆O4上靠近直径右端点的四等分点为P8(10+ ,
- ),……,以此类推,半圆O1 012上靠近直径右端点的四等分点
为P2 024(4 042+ ,- ),故选C.(共23张PPT)
第九章 平面直角坐标系
9.2 坐标方法的简单应用
9.2.2 用坐标表示平移
第1课时 根据平移方向求点的坐标
点在坐标系中的平移
1.(2025重庆涪陵期中)点P(2,4)向上平移5个单位长度,下列说
法正确的是 ( )
A.点P的横坐标加5,纵坐标不变
B.点P的横坐标不变,纵坐标加5
C.点P的横坐标减5,纵坐标不变
D.点P的横坐标不变,纵坐标减5
B
解析 根据平移的性质可知,点P的横坐标不变,纵坐标加5,故
选B.
2.(2025四川眉山中考)在平面直角坐标系中,将点A(-1,3)向右
平移2个单位到点B,则点B的坐标为 ( )
A.(-3,3) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(-1,5)
C
解析 将点A向右平移2个单位得到的点横坐标加2,纵坐标不
变,所以点B的坐标为(1,3).故选C.
3.(2025湖北武汉武昌期中)若将点P(-1,2)向右平移2个单位长
度,再向下平移3个单位长度,得到点Q,则点Q的坐标为 ( )
A.(-3,-1) B.(1,-1)
C.(1,5) D.(-3,5)
B
解析 ∵将点P(-1,2)向右平移2个单位长度,再向下平移3个
单位长度,得到点Q,∴点Q的坐标为(-1+2,2-3),即(1,-1).故选B.
4.(2024安徽滁州期中)若将点A先向左平移1个单位,再向上平
移4个单位,得到B(-3,2),则点A的坐标为 ( )
A.(-2,6) B.(-4,6)
C.(-2,-2) D.(-4,-2)
C
解析 由题意得点B(-3,2)向下平移4个单位,向右平移1个单
位得到点A,所以点A的坐标为(-3+1,2-4),即(-2,-2),故选C.
5.(2025海南陵水模拟)点M(-1,2)保持不动,将平面直角坐标系
先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,在新坐标
系中,点M的坐标为 ( )
A.(-3,1) B.(1,3) C.(1,-3) D.(-2,0)
A
解析 坐标系向右平移a个单位,坐标系中点的横坐标-a,坐标
系向上平移b个单位,坐标系中点的纵坐标-b,所以平移后点M
的坐标为(-1-2,2-1),即(-3,1).故选A.
图形在坐标系中的平移
6.如图,在平面直角坐标系中,有一长方形ABCD,顶点坐标分
别为A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3).将该长方形向上平移2个单位
长度,再向右平移1个单位长度后,顶点C的对应点C'的坐标为
_____________.
(5,5)
解析 ∵将长方形向上平移2个单位长度,再向右平移1个单
位长度,C(4,3),∴顶点C的对应点C'的坐标为(4+1,3+2),即(5,
5).
7.(2024湖南长沙期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶
点坐标分别为A(2,-1),B(4,3),C(1,2).将△ABC先向左平移4个
单位,再向下平移2个单位得到△A1B1C1.
(1)请在图中画出△A1B1C1.
(2)写出△A1B1C1三个顶点的坐标.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)A1(-2,-3),B1(0,1),C1(-3,0).
8.【学科特色·教材变式P80T5】如图所示,四边形ABCO中,AB
∥OC,BC∥AO,A,C两点的坐标分别为(- , ),(-2 ,0),A,B
两点间的距离等于O,C两点间的距离.
(1)点B的坐标为______.
(2)若将四边形ABCO向下平移2 个单位长度后得到四边形
A'B'C'O',请你写出平移后四边形A'B'C'O'四个顶点的坐标.
解析 (1)∵C点的坐标为(-2 ,0),∴OC=2 .
∵AB∥OC,AB=OC,
∴A,B的纵坐标相等,将A点向左平移2 个单位长度得到B点,
又∵A点的坐标为(- , ),
∴B点的坐标为(- -2 , ),即(-3 , ).
(2)∵将四边形ABCO向下平移2 个单位长度后得到四边形
A'B'C'O',∴A'点的坐标为(- ,- ),B'点的坐标为(-3 ,- ),
C'点的坐标为(-2 ,-2 ),O'点的坐标为(0,-2 ).
9.(2025山东济南期中,★★☆)将点P(-2,m)先向下平移3个单
位长度,再向左平移4个单位长度后得到点Q(n,-1),则nm=______.
36
解析 ∵将点P(-2,m)先向下平移3个单位长度,再向左平移4
个单位长度后得到点Q(n,-1),
∴n=-2-4=-6,m-3=-1,
∴m=2,∴nm=(-6)2=36.
10.(2025山东青岛期中,★★☆)将点P(2m-3,m-2)向下平移2个
单位得到P',且P'在x轴上,那么点P的坐标是_____________.
(5,2)
解析 由题意,点P'的坐标为(2m-3,m-2-2),即(2m-3,m-4).
∵P'在x轴上,∴m-4=0,解得m=4,∴点P的坐标为(5,2).
11.(2025广东江门新会期末,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(2,5),(-1,1),(4,2),将
△ABC向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度得到
△A'B'C'.
(1)画出平移后的△A'B'C',并写出A',B',C'的坐标.
(2)△A'B'C'内部一点P'的坐标为(a,b),写出平移前点P'的对应
点P的坐标.
(3)请在x轴上找一点G,使得△A'C'G的面积为8,求出满足条件
的点G坐标.
解析 (1)如图,△A'B'C'即为所求作.
由图可得A'(-1,1),B'(-4,-3),C'(1,-2).
(2)由题意得,点P的坐标为(a+3,b+4).
(3)如图,分别取格点M,N,设BC'交x轴于点Q,连接QN,BN,C'N,
∵S△BC'N=S△BQN+P△C'QN,
∴ ×2×3= ×3×QM+ ×2×2,∴QM= ,∴OQ= ,
∴点Q的坐标为 .
设点G坐标为(m,0),∵△A'C'G的面积为8,
∴ × ×1+ × ×2=8,
解得m=- 或5,∴点G坐标为 或(5,0).
12.【新课标·推理能力】(2025四川泸州合江期末)如图,在平
面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(3,5),(3,0),将线段AB向
下平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到线段CD,
连接AC,BD.
(1)直接写出坐标:点C(______),点D(______).
(2)M,N分别是线段AB,CD上的动点,点M从点A出发向点B运
动,速度为每秒1个单位长度,点N从点D出发向点C运动,速度
为每秒0.5个单位长度,若两点同时出发,则多少秒时MN∥x轴
(3)点P是直线BD上一个动点,连接PC,PA,当点P在直线BD上
运动时,请直接写出∠CPA与∠PCD,∠PAB的数量关系.
解析 (1)由题意得C(-1,3),D(-1,-2).
(2)设t秒时MN∥x轴,∴5-t=0.5t-2,
解得t= ,∴ 秒时,MN∥x轴.
(3)①如图1,当点P在线段BD上时,∠CPA=∠PCD+∠PAB.
②如图2,当点P在BD的延长线上时,∠PAB=∠PCD+∠CPA.
③如图3,当点P在DB的延长线上时,∠PCD=∠PAB+∠CPA.
(共25张PPT)
第九章自主检测
满分：100分 限时：40分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025山东临沂平邑期中)在平面直角坐标系中,点M(2 024,-
2 025)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
解析 在平面直角坐标系中,点M(2 024,-2 025)在第四象限.故
选D.
2.(2024广西中考)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,
点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为 ( )
A.(3,0) B.(0,2) C.(3,2) D.(1,2)
C
解析 点Q的坐标为(3,2).故选C.
3.(2025陕西西安期末)在平面直角坐标系中,若点P在第二象
限,且点P到x轴的距离为4,到y轴的距离为2,则点P的坐标为
( )
A.(-2,4) B.(4,-2)
C.(-4,2) D.(2,-4)
A
解析 ∵点P在第二象限,且点P到x轴的距离为4,到y轴的距
离为2,∴点P的横坐标是-2,纵坐标是4,∴点P的坐标为(-2,4).
故选A.
4.(2025河南安阳期中)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标
为(3,2),在射线PB上取点C,且PC=PA,则点C的坐标为 ( )
A.(-2,3) B.(-2,-3)
C
C.(3,-1) D.(2,-3)
解析 因为点C在射线PB上,所以点C的横坐标为3.因为PC=
PA,所以PC>PB,点C在第四象限,且CB=3-2=1,所以点C的坐标
为(3,-1).故选C.
5.(2025重庆清华中学段考)在平面直角坐标系中,点A(-1,2)向
右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后,得到点A1,则
点A1位于第______象限 ( )
A.一 B.二 C.三 D.四
D
解析 因为点A(-1,2)向右平移2个单位长度,再向下平移3个
单位长度后,得到点A1,所以点A1的坐标为(-1+2,2-3),即(1,-1),
所以点A1在第四象限,故选D.
6.(2025河南新乡长垣期中)如图,一艘船在A处遇险后向相距
25 n mile,位于B处的救生船报警求助.船员应用方向和距离描
述遇险船相对于救生船的位置为 ( )
A.南偏西25°方向
B.南偏西25°方向,距离为25 n mile
C.北偏东25°方向
B
D.北偏东25°方向,距离为25 n mile
解析 由题意可得,遇险船相对于救生船的位置是南偏西25°
方向,距离为25 n mile,故选B.
7.(2025四川成都期末)如图,点A,B的坐标分别为(1,2),(4,0),将
三角形AOB沿x轴向右平移,得到三角形CDE,已知DB=1,则点
C的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(4,3)
C
C.(4,2) D.(3,2)
解析 ∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4.∵DB=1,∴OD=4-1=3.∴
三角形AOB向右平移了3个单位长度,∵点A的坐标为(1,2),∴
点C的坐标为(1+3,2),即(4,2).
8.【新考向·规律探究题】如图,在平面直角坐标系中有点A(1,
0),第1次点A跳动至点A1(-1,1),第2次点A1跳动至点A2(2,1),第3
次点A2跳动至点A3(-2,2),第4次点A3跳动至点A4(3,2),……,依此
规律跳动下去,则点A2 023与点A2 024之间的距离是 ( )
A
A.2 025 B.2 024 C.2 023 D.2 022
解析 观察发现,第2次跳动至点A2(2,1),第4次跳动至点A4(3,
2),第6次跳动至点A6(4,3),第8次跳动至点A8(5,4),……,第2n次
跳动至点A2n(n+1,n),则第2 024次跳动至点A2 024(1 013,1 012),易
知第2 023次跳动至点A2 023(-1 012,1 012).∴点A2 023与点A2 024之
间的距离=1 013-(-1 012)=2 025.故选A.
二、填空题(每小题6分,共24分)
9.(2025江苏南通启东期中)已知点P的坐标为(1+a,a-3),且点P
为x轴上的一点,则点P的坐标是_____________.
(4,0)
解析 ∵点P的坐标为(1+a,a-3),且点P为x轴上的一点,∴a-3=
0,解得a=3,∴1+a=1+3=4,∴点P的坐标是(4,0).
10.【新考向·数学文化】如图所示的是由七巧板拼成的小船,
若点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为_______.
(-2, -3)
解析 由点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(1,0),建立坐标系如
图,则点C的坐标为(-2,-3).
11.(2025青海西宁期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(a,5),B
(0,b)的距离为4,且直线AB∥x轴,则a+b的算术平方根为______.
3或1
解析 ∵点A(a,5),B(0,b)的距离为4,且直线AB∥x轴,∴|a-0|=4,
b=5,∴a=4或-4.
当a=4时,a+b=4+5=9,
∴a+b的算术平方根为3.
当a=-4时,a+b=(-4)+5=1,∴a+b的算术平方根为1.
综上,a+b的算术平方根为3或1.
12.如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0,10),将
△ABO向右平移4个单位得到△CDF,边CD与y轴交于点E,若图
中阴影部分面积为24,则C点坐标为______________.
(-1,0)
解析 ∵△ABO向右平移4个单位得到△CDF,B(0,10),∴D(4,
10),AC=OF=4,AB=CD,OB=DF=10,由平移可得S△ABO=S△CDF,∴S
阴影=S梯形OEDF= (OE+DF)·OF= (OE+10)×4=24,∴OE=2,设OC=
m,则OA=m+4,∴ =S△ABO-S△CEO= ×10(m+4)- ×2m=24,解得
m=1,∴C(-1,0).
三、解答题(共36分)
13.(2025河北承德兴隆期中)(12分)如图,这是某学校的平面示
意图,大门的位置为(3,-1),食堂的位置为(-2,4).
(1)根据所给的条件在图中建立适当的平面直角坐标系.
(2)在图中标出图书馆(5,4)的位置.
(3)用坐标表示位置:宿舍楼______,实验室______.
解析 (1)建立的平面直角坐标系如图所示.
(2)图书馆的位置如图所示.
(3)由图可知,宿舍楼的坐标为(-3,1),实验室的坐标为(4,3).
14.(2025河南商丘民权期中)(12分)如图,长方形OABC中,O为
平面直角坐标系的原点,A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,5),
点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速
度沿着O—C—B—A—O的路线移动(即沿着长方形移动一周).
(1)写出点B的坐标:(______,______).
(2)当点P移动了4秒时,求点P的坐标.
(3)在点P移动过程中,当点P到x轴的距离为
4个单位长度时,求点P移动的时间.
解析 (1)4;5.
(2)当点P移动了4秒时,点P移动了4×2=8个单位长度,∵C点的
坐标为(0,5),∴OC=5,
∵8-5=3,∴点P在线段BC上,且CP=3,
∴点P的坐标为(3,5).
(3)当点P在OC上时,OP=4,
此时所用时间为4÷2=2(秒);
当点P在AB上时,AP=4,BP=1,∵A点的坐标为(4,0),∴OA=CB=4,
∵C点的坐标为(0,5),∴OC=5,∴OC+CB+BP=5+4+1=10,∴所
用时间为10÷2=5(秒).
综上所述,当点P移动2秒或5秒时,点P到x轴的距离为4个单位
长度.
15.(12分)如图,将三角形ABC平移,得到三角形A1B1C1,三角形
ABC上任意一点P(x0,y0)平移后的对应点为P1(x0-2,y0+3).
(1)A1,B1,C1三点的坐标分别为______,______,______,画出三
角形A1B1C1.
(2)三角形ABC的面积为______.
(3)已知点Q在y轴上,且三角形QAB的
面积等于三角形ABC的面积,
求点Q的坐标.
解析 (1)∵点P(x0,y0)平移后的对应点为P1(x0-2,y0+3),∴三角
形ABC向左平移2个单位,再向上平移3个单位后,得到三角形
A1B1C1,
∴A1(-2,5),B1(2,3),C1(-3,2).
三角形A1B1C1如图所示:
(2)三角形ABC的面积=3×5- ×1×3- ×4×2- ×5×1=7,故答案为7.
(3)设点Q的坐标为(0,y),
则三角形QAB的面积= ×|y-2|×4=7,
解得y= 或y=- ,
∴点Q的坐标为 或 .(共28张PPT)
第九章 平面直角坐标系
9.1 用坐标描述平面内点的位置
9.1.2 用坐标描述简单几何图形
用坐标描述简单的几何图形
1.(2025河北保定期中)方格纸上有A,B两点,若以B为原点建立
平面直角坐标系,则点A的坐标为(3,-2),若以点A为原点建立平
面直角坐标系,则点B的坐标为 ( )
A.(3,2) B.(3,-2)
C.(-3,2) D.(-3,-2)
C
解析 以点B为原点建立平面直角坐标系时,点A的坐标为(3,-
2),若以点A为原点建立平面直角坐标系,则点B在y轴的左侧,
距离y轴3个单位长度处,且在x轴上方,距离x轴2个单位长度
处,所以点B的坐标为(-3,2).故选C.
2.(2025陕西宝鸡期中)在平面直角坐标系中,已知AB∥y轴,且
点A的坐标为(m,2m-1),点B的坐标为(2,4),则点A的纵坐标为
( )
A.4 B.3 C.0 D.-3
B
解析 ∵AB∥y轴,点A的坐标为(m,2m-1),点B的坐标为(2,4),
∴m=2,∴2m-1=2×2-1=3,∴点A的纵坐标为3,故选B.
3.【学科特色·教材变式P67探究】如图,正方形ABCD的边长
为6.在平面直角坐标系中,若取1个单位长度代表长度“1”,
以C为原点,CD所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直
角坐标系,则A点坐标为___________,B点坐标为___________,
D点坐标为______________.
(-6,0)
(0,-6)
(-6,-6)
解析 按要求建立如图所示的平面直角坐标系.
∵正方形ABCD的边长为6,∴A点坐标为(-6,-6),B点坐标为(0,-
6),D点坐标为(-6,0).
4.【新考向·结论开放题】三角形ABC在网格中的位置如图所
示(每个小正方形的边长都是1),请建立适当的平面直角坐标
系,并写出三角形ABC的顶点A,B,C的坐标.
解析 如图所示,
点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,3),点C的坐标为(-1,0).(答
案不唯一)
5.长方形零件如图(单位:mm),建立适当的平面直角坐标系,并
用坐标表示孔心的位置.
解析 答案不唯一,如取1个单位长度代表长度“1 mm”,建
立平面直角坐标系如图所示,
因为孔心到x轴的距离为25 mm,到y轴的距离为15 mm,且孔心
在第一象限,所以孔心的坐标是(15,25).
6.(2025河南驻马店汝南期中)如图,点A,B,C,D,E,F,G为正方形
网格中的7个格点,建立平面直角坐标系,使点B,C的坐标分别
为(-3,-2)和(1,-2).
(1)在图中建立合适的平面直角坐标系.
(2)写出A,B,C,D,E,F,G七个点中在第二象限的点的坐标.
解析 (1)如图所示:
(2)观察(1)中平面直角坐标系可知,七个点中在第二象限的点
是A和G,A(-5,1),G(-2,3).
根据简单几何图形的关键点的坐标,确定简单
几何图形
7.【学科特色·多解法】【学科特色·割补法】(2025天津东丽
期中)四边形的各顶点坐标分别是A(-4,-2),B(3,-2),C(2,2),D(-2,3).
(1)在给出的平面直角坐标系中描出点A,B,C,D.
(2)求出四边形ABCD的面积.
解析 (1)如图.
(2)【解法一】如图,将四边形ABCD分割成2个三角形和1个梯形,所以四边形ABCD的面积= ×2×5+ ×(5+4)×4+ ×1×4=25.
【解法二】如图,将四边形ABCD补成一个大长方形,所以四
边形ABCD的面积=5×7- ×2×5- ×4×1- ×1×4-1×1=25.
8.(2025山西阳泉平定二模,★★☆)如图,已知A(3 ,0),AB=4 ,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C的
坐标为 ( )
A.(4 ,0) B.( ,0)
C.(- ,0) D.(-4 ,0)
C
解析 ∵A(3 ,0),∴OA=3 .由作图可知AC=AB=4 ,∴
OC=AC-OA=4 -3 = ,∵点C在x轴的负半轴上,∴点C的
坐标为(- ,0),故选C.
9.【学科特色·易错题】(2025海南琼海期末,★★☆)已知直线
MN∥x轴,M点的坐标为(2,3),并且线段MN=3,则点N的坐标为
( )
A.(-1,3) B.(5,3)
C.(1,3)或(5,3) D.(-1,3)或(5,3)
D
解析 ∵直线MN∥x轴,且点M的坐标为(2,3),∴点N的纵坐标
为3,∵MN=3,∴点N的横坐标为2+3=5或2-3=-1,∴点N的坐标
为(-1,3)或(5,3).故选D.
易错警示
没有指明点N在点M的左边还是右边,所以要分类讨论,不要漏
解.
10.(2025河北衡水故城月考,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,有A(0,3),B(2,3),C(4,-1)三点,P为直线AB上的动点,当PC的
长度最小时,点P的坐标为 ( )
A.(-1,3) B.(4,3)
C.(3,3) D.(2,2)
B
解析 因为点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(2,3),所以直线AB
平行于x轴,所以直线AB上点的纵坐标都是3.由垂线段最短可
知,当CP⊥AB时,PC取得最小值.因为点C的坐标为(4,-1),所以
点P的坐标为(4,3).故选B.
11.(2025河北沧州盐山期中,★★☆)如图,这是某台阶的一部
分,并且每级台阶的宽都相等,高都相等,且宽与高相等.
(1)若图1中点C的坐标为(0,0),点D的坐标为(2,2),请建立适当
的平面直角坐标系,并写出点B,E,F的坐标.
(2)若图2中点E的坐标为(0,2),点D的坐标为(-2,0),请建立适当
的平面直角坐标系,并写出点B,C,G的坐标.
解析 (1)建立平面直角坐标系如图1所示,
∵每级台阶的宽都相等,高都相等,且宽与高相等,点C的坐标
为(0,0),点D的坐标为(2,2),
∴B(-2,-2),E(4,4),F(6,6).
(2)建立平面直角坐标系如图2所示,
∵每级台阶的宽都相等,高都相等,且宽与高相等,点E的坐标
为(0,2),点D的坐标为(-2,0),
∴B(-6,-4),C(-4,-2),G(4,6).
12.(2025河北唐山期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy
中,已知点A(2,0),B(0,4),点C(x,y)在第三象限.
(1)求S△OAB的值.
(2)若S△OAC=4,S△OBC=6,求点C的坐标.
解析 (1)∵A(2,0),B(0,4),
∴AO=2,BO=4,∴S△ABO= ×2×4=4.
(2)由题意得S△OAC= ×2×(-y)=4,S△OBC= ×4×(-x)=6,
解得x=-3,y=-4,∴C(-3,-4).
方法总结
解第(2)题的关键是以x轴或y轴上的边为底,以点的纵坐标的
绝对值或横坐标的绝对值为高,表示出三角形的面积,从而求
出点的横、纵坐标.
13.【新课标·运算能力】【新考向·规律探究题】如图,在平面
直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),AB=5,对△OAB连续作旋
转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2 025的直角顶点的坐标
为_________________.
(8 100,0)
解析 ∵A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4.由题图可知,△3的直角
顶点的坐标为(4+5+3,0),即(12×1,0);△6的直角顶点的坐标为
(12+4+5+3,0),即(12×2,0);△9的直角顶点的坐标为(12×2+4+5
+3,0),即(12×3,0);……,归纳类推得,△3n的直角顶点的坐标为
(12n,0),其中n为正整数,∵2 025=3×675,∴△2 025的直角顶点的坐
标为(12×675,0),即(8 100,0).(共27张PPT)
第九章 平面直角坐标系
9.1 用坐标描述平面内点的位置
9.1.1 平面直角坐标系的概念
平面直角坐标系及点的坐标
1.下列选项中,平面直角坐标系的画法正确的是 ( )
B
解析 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直
角坐标系,习惯上横轴取向右为正方向,纵轴取向上为正方向.
2.【学科特色·教材变式P66T1】(2025河南许昌期中)如图,在
平面直角坐标系中,描出下列各点:A(4,3),B(-2,3),C(-4,-1),D(2,
-2),并写出图中E,F,G,H,O各点的坐标.
解析 点A,B,C,D如图所示:
图中E,F,G,H,O各点的坐标分别为(5,0),(0,-4),(-1,0),(0,2),(0,0).
象限及点的坐标特征
3.(2025贵州中考)如图,在平面直角坐标系中有A,B,C,D四点,
根据图中各点位置判断,哪一个点在第四象限 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
D
解析 由题图可知,点D在第四象限,故选D.
4.(2025云南昆明期中)在平面直角坐标系中,点M(-2,3)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 由各象限内点的坐标特征可知点M(-2,3)位于第二象
限.故选B.
5.(2025湖北恩施州巴东期中)在平面直角坐标系中,点P位于
第四象限,并且点P到x轴和y轴的距离分别为3,4,则点P的坐标
是 ( )
A.(3,4) B.(4,-3)
C.(3,-4) D.(-3,-4)
B
解析 ∵点P在第四象限,且点P到x轴和y轴的距离分别为3,4,
∴点P的横坐标是4,纵坐标是-3,即点P的坐标为(4,-3).故选B.
6.(2025重庆南川期中)已知点P(a-3,a+4)在x轴上,则点P的坐
标为 ( )
A.(-4,0) B.(3,0) C.(0,7) D.(-7,0)
D
解析 ∵点P(a-3,a+4)在x轴上,∴a+4=0,解得a=-4,∴a-3=-7,
∴点P的坐标为(-7,0).故选D.
7.(2025四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(-2,a2+1)
所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 ∵-2<0,a2+1>0,∴点P所在的象限是第二象限.故选B.
8.【新考向·结论开放题】(2025陕西安康期中)请你写出一个
位于平面直角坐标系中第四象限的点的坐标:______________
_______.
唯一)
(1,-2)(答案不
解析 ∵第四象限内点的横坐标为正数,纵坐标为负数,∴符
合题意的点的坐标可以为(1,-2).(答案不唯一)
9.(2025河南安阳林州期中)在平面直角坐标系中,点(-1,-3)到x
轴的距离为_________个单位长度.
3
解析 在平面直角坐标系中,点(-1,-3)到x轴的距离为3个单位
长度.
总结归纳
点P(a,b)到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.
10.【学科特色·易错题】(2025山东临沂莒南期中)已知点Q(2
m+1,m-2)到x轴和y轴的距离相等,则m等于_____________.
-3或
解析 ∵点Q(2m+1,m-2)到x轴和y轴的距离相等,
∴|m-2|=|2m+1|,
∴m-2=2m+1或m-2=-(2m+1),
解得m=-3或m= .
易错警示
点到两坐标轴的距离相等,包括横坐标和纵坐标相等以及横
坐标和纵坐标互为相反数两种情况,不要漏解.
11.(2025陕西西安高陵期末)在平面直角坐标系中,已知点M(1
-2m,m+1).
(1)若点M在y轴上,求点M的坐标.
(2)若点M在第四象限,且点M到x轴的距离是1,求点M的坐标.
解析 (1)∵点M在y轴上,∴1-2m=0,解得m= ,∴m+1= ,∴点
M的坐标为 .
(2)∵点M在第四象限,且点M到x轴的距离是1,
∴m+1=-1,解得m=-2,∴1-2m=5,
∴点M的坐标为(5,-1).
12.【学科特色·分类讨论思想】(2025河北廊坊六中月考,★
★☆)若点A(a+2,a2-4)在坐标轴上,则点A的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(4,0)
C.(0,0)或(4,0) D.(0,0)或(-4,0)
C
解析 分两种情况:当点A(a+2,a2-4)在x轴上时,a2-4=0,可得a=
±2,∴a+2=4或a+2=0,∴点A的坐标为(4,0)或(0,0);当点A(a+2,
a2-4)在y轴上时,a+2=0,解得a=-2,∴a2-4=0,∴点A的坐标为(0,0).
综上所述,点A的坐标为(0,0)或(4,0),故选C.
13.【学科特色·多解法】(★★☆)如果a是任意实数,则点P(a-
4,a-2)一定不在第______象限 ( )
A.一 B.二 C.三 D.四
D
解析 【解法一】推理法:因为a-4-(a-2)=-2<0,
∴点P的横坐标一定小于点P的纵坐标,
∴点P(a-4,a-2)一定不在第四象限.故选D.
【解法二】分类讨论法:当a>4时,a-4>0,a-2>0,这时点P在第一
象限;当20,这时点P在第二象限;当a<2时,a-
4<0,a-2<0,这时点P在第三象限;当a=4或a=2时,点P在坐标轴
上.所以点P(a-4,a-2)一定不在第四象限.
14.(2025陕西师大附中月考,★★☆)已知点P的坐标为(a,b),其
中a,b均为实数,若a,b满足3a=2b+5,则称点P为“和谐点”.若
点M(m+1,3m-7)是“和谐点”,则点M所在的象限是 ( )
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
D
解析 ∵点M(m+1,3m-7)是“和谐点”,
∴3(m+1)=2(3m-7)+5,解得m=4,
∴m+1=4+1=5,3m-7=3×4-7=12-7=5,
∴M(5,5),∴点M在第一象限.故选D.
15.(2025四川广安中考,★★☆)在平面直角坐标系中,已知点A
的坐标为(a,b),且a,b满足(a-2)2+|b+3|=0,则点A在第______象
限.
四
解析 ∵(a-2)2+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,
∴a=2,b=-3,∴点A的坐标为(2,-3),
∴点A在第四象限.
16.【新考向·规律探究题】(2024黑龙江绥化中考,★★★)如
图,已知A1(1,- ),A2(3,- ),A3(4,0),A4(6,0),A5(7, ),A6(9, ),
A7(10,0),A8(11,- ),…,依此规律,点A2 024的坐标为____________.
(2 891,- )
解析 由题可知,点A1的坐标为(1,- ),点A2的坐标为(3,- ),
点A3的坐标为(4,0),点A4的坐标为(6,0),点A5的坐标为(7, ),点
A6的坐标为(9, ),点A7的坐标为(10,0),点A8的坐标为(11,- ),
点A9的坐标为(13,- ),点A10的坐标为(14,0),点A11的坐标为(16，
0),点A12的坐标为(17, ),点A13的坐标为(19, ),点A14的坐标
为(20,0),……,由此可见,每七个点为一个循环,每增加一个循
环,循环中对应位置的点的横坐标增加10,且纵坐标按- ,
- ,0,0, , ,0循环出现.因为2 024÷7=289……1,所以A2 024的
横坐标为1+289×10=2 891,纵坐标为- ,即点A2 024的坐标为
（2 891,- ).
17.(2025河南濮阳油田十三中期中,★★☆)已知点P(2m-6,m+
2)是平面直角坐标系中的点.
(1)若点P在y轴上,求点P的坐标.
(2)若点P的纵坐标比横坐标大6,求点P在第几象限.
(3)若点P在第二、四象限的角平分线上,求m的值.
解析 (1)因为点P在y轴上,所以2m-6=0,
解得m=3,所以m+2=5,所以点P的坐标为(0,5).
(2)因为点P的纵坐标比横坐标大6,
所以m+2-(2m-6)=6,解得m=2,
所以2m-6=-2,m+2=4,
所以点P的坐标为(-2,4),
所以点P在第二象限.
(3)因为点P在第二、四象限的角平分线上,
所以2m-6+m+2=0,解得m= .
18.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025浙江长
青教育共同体期末)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P
到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、
y轴的距离相等时,称点Q为“角平分线点”.
(1)点A(-3,5)的“长距”为______.
(2)若点B(4-2a,-2)是“角平分线点”,求a的值.
(3)若点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的
坐标为(9-2b,-5),请判断点D是不是“角平分线点”,并说明理由.
解析 (1)∵点A(-3,5)到x轴的距离为5,到y轴的距离为3,3<5,
∴点A的“长距”为5.故答案为5.
(2)∵点B(4-2a,-2)是“角平分线点”,
∴|4-2a|=|-2|,∴4-2a=2或4-2a=-2,
解得a=1或a=3.
(3)点D是“角平分线点”.理由:
∵点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,∴3b-2=
4,解得b=2,
∴9-2b=5,∴点D的坐标为(5,-5),
∴点D到x轴、y轴的距离都是5,
∴点D是“角平分线点”.
