(共23张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
同位角、内错角、同旁内角
1.(2025浙江杭州上城期中)如图,∠1与∠2是 ( )
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角
A
解析 由题图可知,∠1与∠2是两直线被第三条直线所截得
到的两角,且在被截直线的同一侧(上方),在截线的同一侧(右
侧),所以∠1与∠2是同位角,故选A.
2.(2025安徽黄山期中)下列各图中,∠1与∠2是内错角的是
( )
B
解析 两条直线被第三条直线所截形成的八个角中,两个角
分别在截线的两侧,且在两条被截直线之间,具有这样位置关
系的一对角叫作内错角.满足条件的是B选项中的∠1和∠2.
故选B.
3.(2025广东东莞期中)如图,直线CD与∠A的边AE相交成
“4”字模型,则∠A的同旁内角是( )
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
A
解析 因为直线AB,CD被直线AE所截,∠A与∠1在直线AE的
同侧,且在直线AB,CD之间,所以∠A的同旁内角是∠1.故选A.
4.(2025山东菏泽牡丹期中)如图,下列说法中错误的是( )
A.∠1与∠2是同位角
B.∠3与∠4是同位角
C.∠3与∠5是内错角
D.∠3与∠6是同旁内角
A
解析 A.∠1与∠2不是同位角,故该选项说法错误;B.∠3与
∠4是同位角,故该选项说法正确;C.∠3与∠5是内错角,故该选
项说法正确;D.∠3与∠6是同旁内角,故该选项说法正确.故选A.
5.【新课标·中华优秀传统文化】图1为我国古代众多机械发
明之一的绞车,它是古代人民用来提升重物的装置.图2为其平
面示意图,图2中与∠1互为内错角的是 ( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
B
解析 题图2中与∠1互为内错角的是∠3.故选B.
6.(2025广东中山月考)如图,如果∠1=50°,∠2=100°,那么∠3=
__________°,∠3的同位角=__________°,∠3的内错角=
__________°,∠3的同旁内角=___________°.
100
80
80
50
解析 如图,
因为∠1=50°,∠2=100°,所以∠3=∠1=50°,∠6=∠2=100°.
所以∠4=∠5=180°-100°=80°.
所以∠3=50°,∠3的同位角∠4=80°,∠3的内错角∠5=80°,
∠3
的同旁内角∠6=100°.
7.(2025福建泉州期末)如图,与∠C构成同旁内角的角有_________
个.
4
解析 与∠C构成同旁内角的角有∠B,∠A,∠CFD,∠CED,共
4个.
8.【学科特色·教材变式P9T7】如图,∠1与∠D,∠1与∠B,∠3
与∠4,∠B与∠BCD,∠2与∠4分别是哪两条直线被哪一条直
线所截得到的什么角
解析 ∠1与∠D是直线AB和直线CD被直线AD所截得到的
内错角;
∠1与∠B是直线AD和直线BC被直线AB所截得到的同位角;
∠3与∠4是直线AB和直线CD被直线AC所截得到的内错角;
∠B与∠BCD是直线AB和直线CD被直线BC所截得到的同旁
内角;
∠2与∠4是直线AD和直线CD被直线AC所截得到的同旁内
角.
9.【跨体育与健康·灌篮】(2025广东阳江阳东期中,★★☆)图
1是小明在某次篮球比赛灌篮时的剪影,图2是其示意图,下列
说法:①∠1和∠2是对顶角;②∠1和∠6是同位角;③∠3和∠4
是同旁内角;④∠4和∠6是内错角.其中错误的个数为 ( )
B
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 ①∠1和∠2是对顶角,故①正确;②∠1和∠6是同位角,
故②正确;③∠3和∠4不是同旁内角,故③错误;④∠4和∠6不
是内错角,故④错误.所以错误的说法有③④,共2个.故选B.
10.(★★☆)数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”
图形,如图所示(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).从左
至右依次表示( )
A.同旁内角、同位角、内错角
B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角
D.同位角、内错角、同旁内角
D
解析 根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知第一个
题图表示同位角,第二个题图表示内错角,第三个题图表示同
旁内角,故选D.
11.(2025甘肃兰州榆中期中,★★☆)如图,直线AB与直线DE相
交于点F,点C为平面上一点,连接BC,CF,下列说法中正确的个
数是 ( )
①∠1和∠5是同位角;
②∠2和∠5是内错角;
③∠4和∠6是对顶角;
④∠2和∠3是同旁内角;
⑤∠5和∠6互为补角.
B
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 ①∠1和∠5是直线BC、直线DE被直线AB所截得到的
同位角,故①说法正确;②∠2和∠5不是内错角,故②说法不正
确;③∠4和∠6不是对顶角,故③说法不正确;④∠2和∠3是直
线AB、直线BC被直线CF所截得到的同旁内角,故④说法正
确;⑤因为∠5+∠6=180°,所以∠5和∠6互为补角,故⑤说法正
确.综上所述,正确的说法有①④⑤,共3个,故选B.
12.(★★☆)如图,∠1和∠2是直线___________被直线_________所截得到的_______角.图中∠1的内错角有_________个,∠3的同位角有_________个.
4
2
内错
d
a和c
解析 如图,设直线a与直线d相交于点A,直线b与直线c相交
于点B,直线a与直线b相交于点C.
∠1和∠2是直线a和直线c被直线d所截得到的内错角.∠1的
内错角是∠4和∠2,共有2个.∠3的同位角是∠5,∠6,∠7,∠ABC,共有4个.
13.【新课标·推理能力】(2025湖北黄石月考)如图,已知直线
EF与AB交于点M,与CD交于点O,OG平分∠DOF,若∠COM=
120°,∠EMB= ∠COF.
(1)求∠FOG的度数.
(2)写出一个与∠FOG互为同位角的角.
(3)直接写出∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和.
解析 (1)因为∠COM=120°,
所以∠DOF=∠COM=120°,
因为OG平分∠DOF,所以∠FOG= ∠DOF=60°.
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF.
(3)由题图可知∠AMO的同旁内角是∠COM,
∠AMO的内错角是∠MOG,∠DOM,
因为∠COM=120°,∠FOG=60°,
所以∠DOM=180°-∠COM=60°,∠MOG=180°-∠FOG=
120°,所以∠AMO的所有内错角、同旁内角的度数之和为120°+120°+60°=300°.(共36张PPT)
第七章自主检测
满分：100分 限时：40分钟
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2025江西抚州金溪期中)如图所示,∠1和∠2是对顶角的是
( )
D
解析 只有选项D中的∠1与∠2共顶点且角的两边分别互为
反向延长线,是对顶角.故选D.
2.(2025山东泰安泰山期中)下列各图中,∠1与∠2是内错角的
是 ( )
D
解析 若两个角都在两被截直线之间,并且在截线的两旁,则
这样一对角是内错角,选项D中的∠1与∠2满足条件.故选D.
3.下列命题中,假命题的个数为 ( )
①对顶角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④两条直线被
第三条直线所截,同旁内角互补;⑤P是直线l外一点,A,B,C分
别是l上的三点,已知PA=1,PB=2,PC=3,则点P到l的距离一定
是1.
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析 ①对顶角相等,故原命题是真命题;②缺少“在同一平
面内”的条件,故原命题是假命题;③过直线外一点有且只有
一条直线与已知直线平行,故原命题是假命题;④缺少“两直
线平行”的条件,故原命题是假命题;⑤P是直线l外一点,A,B,
C分别是l上的三点,已知PA=1,PB=2,PC=3,则点P到l的距离小
于或等于1,故原命题是假命题.综上,假命题有4个,故选D.
4.(2024内蒙古通辽中考)将三角尺ABC按如图位置摆放,顶点
A落在直线l1上,顶点B落在直线l2上,若l1∥l2,∠1=25°,则∠2的
度数是( )
A.45° B.35° C.30° D.25°
B
解析 如图,∵l1∥l2,∴∠3=∠1=25°,
∴∠2=180°-30°-90°-25°=35°.故选B.
5.(2024四川雅安中考改编)如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB于
O,若∠1=35°,OF平分∠AOD,则∠BOF的度数是 ( )
A.117.5° B.135° C.130° D.120°
A
解析 ∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°,∵∠1=35°,∴∠AOC=55°,∴∠2=∠AOC=55°,∴∠AOD=180°-55°=125°,
∵OF平分∠AOD,
∴∠DOF= ∠AOD=62.5°,∴∠BOF=∠2+∠DOF=117.5°.
故选A.
6.(2025天津滨海新区期中)综合与实践课上,同学们以“平行
中的数量关系”为主题开展数学活动.如图,已知AB∥CD,BF为∠ABE的平分线,DF为∠CDE的平分线,BF和DF相交于点F.若
∠E+8∠M=360°,∠ABM= ∠EBF,则∠CDM和∠MDF之间的数量关系是 ( )
A.∠MDF=2∠CDM B.∠MDF=3∠CDM
C.∠MDF=4∠CDM D.∠MDF=5∠CDM
B
解析 如图,过点E作EQ∥AB,过点M作MP∥AB,
设∠CDM=x,∠ABM=y.∵AB∥CD,∴EQ∥MP∥AB∥CD,
∴∠PMD=∠CDM=x,∠PMB=∠ABM=y,
∠ABE+∠QEB=180°,∠CDE+∠QED=180°,
∴∠ABE+∠QEB+∠CDE+∠QED=360°,
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°,
∴∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE),
∵∠BED+8∠BMD=360°,
∴360°-(∠ABE+∠CDE)+8∠BMD=360°,
∴8∠BMD=∠ABE+∠CDE,
∵∠BMD=∠PMD+∠PMB=x+y,
∴8∠BMD=∠ABE+∠CDE=8x+8y,
∵∠ABM= ∠EBF=y,∴∠EBF=4y.
∵BF为∠ABE的平分线,DF为∠CDE的平分线,
∴∠ABE=2∠EBF=8y,∠CDF=∠EDF,
∵∠ABE+∠CDE=8x+8y,∴∠CDE=8x.
∴∠CDF=∠EDF=4x.
∵∠CDM=x,∴∠MDF=∠CDF-∠CDM=3x,
∴∠MDF=3∠CDM.故选B.
二、填空题(每小题6分,共24分)
7.(2025北京东城期中)如图,从人行横道线上的点P处过马路,
沿线路PB行走距离最短,其依据是_____________.
垂线段最短
解析 因为PB⊥AD,垂足为B,所以沿线路PB行走距离最短,
依据是垂线段最短.
8.某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画,如图,已知
∠BAC=119°,AB∥DE,∠D=80°,则∠ACD=__________°.
19
解析 过点C作CF∥AB,如图,则∠ACF=∠BAC,
∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴∠D+∠DCF=180°,
∵∠BAC=119°,∠D=80°,
∴∠ACF=119°,∠DCF=100°,
∴∠ACD=∠ACF-∠DCF=19°.
9.(2025广东清远连州期中)如图,将直角三角形ABC沿BC方向
平移得到直角三角形DEF,已知CF=6,AG=5,AC=11,则图中阴
影部分的面积为__________.
51
解析 由平移的性质得DF=AC=11,S△ABC=S△DEF,
∵AG=5,∴GC=AC-AG=11-5=6.
∵S阴影+S△GEC=S△GEC+S梯形CFDG,
∴S阴影=S梯形CFDG= (CG+DF)·CF= ×(6+11)×6=51.
10.(2025陕西汉中四中期中)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,
AE平分∠BAD交BC于点E,连接DE,点F为AD上方一点,连接
AF,DF,点M,N分别是BA,CD延长线上的点,已知AE⊥DE,∠1+
∠2=90°,下列结论:①∠F与∠FDN为内错角;②AB∥CD;
③∠AEB+∠ADC=180°;④DE平分∠ADC,其中所有正确结论
的序号为________.
①②④
解析 由题图可知∠F与∠FDN为内错角,故结论①正确;
∵AB⊥BC,AE⊥DE,∴∠1+∠AEB=90°,∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠1=∠DEC,∵∠1+∠2=90°,∴∠DEC+∠2=90°,∴∠C=
180°-(∠DEC+∠2)=180°-90°=90°,∴DC⊥BC,∴AB∥CD,故结论②正确;
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵∠AEB不一定等于
∠BAD,∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°,故结论③错误;
∵AE平分∠BAD,∴∠1=∠EAD,∵∠1+∠AEB=90°,∠EAD+
∠EDA=90°,∴∠AEB=∠EDA,∵∠1+∠2=90°,∴∠AEB=∠2,
∴∠EDA=∠2,∴DE平分∠ADC,故结论④正确.
综上所述,正确的结论为①②④.
三、解答题(共40分)
11.(2025湖北孝感云梦期中)(8分)如图,直线AB,CD相交于
点O,EO⊥CD.
(1)若∠BOD=35°,求∠AOE的度数.
(2)若∠BOD∶∠EOB=1∶2,求∠AOE的度数.
解析 (1)∵EO⊥CD,∴∠COE=90°,
∵∠AOC=∠BOD=35°,
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=35°+90°=125°.
(2)∵∠BOD∶∠EOB=1∶2,
∴设∠BOD=x,∠EOB=2x,
∵EO⊥CD,∴∠EOD=90°,
∴∠BOD+∠EOB=90°,即x+2x=90°,∴x=30°,
∴∠EOB=60°,∴∠AOE=180°-∠EOB=120°.
12.(10分)证明:平行于同一条直线的两条直线平行.
请根据图形写出已知、求证及证明.
已知:
求证:
证明:
解析 答案不唯一,如:
已知:b∥a,c∥a.
求证:b∥c.
证明:作直线l,l与直线a,b,c的交点依次为A,B,C,如图所示,
∵b∥a(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),
∵c∥a(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等),
∴∠2=∠3(等量代换),
∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
13.(2025湖北恩施州期中)(10分)如图,由若干个小正方形构成
的网格(小正方形的边长均为1)中有一个三角形ABC,它的三
个顶点都在格点上,借助网格按要求进行作图.
(1)请你画出AB的平行线CD.
(2)平移三角形ABC,并将三角形ABC的顶点A平移到点E处,点
F和点B对应,点G与点C对应.
(3)三角形EFG的面积为______.
解析 (1)如图,CD为所求作的直线.
(2)如图,△EFG为所求作的三角形.
(3)S△EFG=3×4- ×3×2- ×2×2- ×1×4=5.
14.(2025北京西城期中改编)(12分)如图,AB∥CD,点E,F分别
在直线CD,AB上.
(1)如图1,点G在线段EF上,GH⊥EF交AB于H,则∠DEG+
∠BHG=______°.
(2)如图2,在(1)的条件下,∠CEG的平分线与∠AHG的平分线
交于点M,若∠DEF=62°,求∠EMH的大小.
(3)如图3,∠ENF=90°,若∠AFP=n∠NFP,∠DEQ=n∠NEQ,并
且∠P-∠Q=α,则n=______(用含α的式子表示).
解析 (1)如图,过点G作GI∥AB,
∵AB∥CD,∴GI∥AB∥CD,
∴∠DEG=∠EGI,∠IGH=∠BHG,
∵GH⊥EF,∴∠EGH=90°.
∴∠DEG+∠BHG=∠EGI+∠IGH=∠EGH=90°.
故答案为90.
(2)如图,过点M作MN∥CD,
∵AB∥CD,
∴MN∥AB∥CD,
∴∠CEM=∠EMN,∠AHM=∠HMN,∠EFH=∠DEF=62°,
∵EM平分∠CEF,∠CEF=180°-62°=118°,
∴∠CEM=∠GEM= ∠CEF=59°,
∴∠EMN=∠CEM=59°,
∵GH⊥EF,∴∠FGH=90°,
∴∠IGH=∠GHF=180°-90°-62°=28°,
∴∠AHG=180°-28°=152°,
∵HM平分∠AHG,∴∠HMN=∠MHA= ∠AHG=76°,
∴∠EMH=∠EMN+∠NMH=59°+76°=135°.
(3)如图,过点Q作QI∥CD,过点P作PM∥CD,过点N作NT∥CD,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥QI∥PM∥NT,
∴∠DEN=∠ENT=(n+1)∠NEQ,
∠TNF=∠NFB=180°-(n+1)∠NFP.
∴∠ENF=∠TNF+∠ENT=180°-(n+1)∠NFP+(n+1)∠NEQ=
90°,
∴∠NFP-∠NEQ= .
∵QI∥CD,∴∠DEQ=∠EQI=n∠NEQ,
∵PM∥AB,∴∠MPF=∠PFA=n∠NFP,
∵QI∥PM,∴∠IQP=∠QPM,
∴∠FPQ-∠EQP=∠FPM-∠EQI=n∠NFP-n∠NEQ=α,
∵∠NFP-∠NEQ= ,
∴ =α,∴n= ,
故答案为 .(共32张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
两直线平行,同位角相等
1.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,a与c相交于点M,MN⊥a于
点M,若∠1=140°,则∠2的度数为 ( )
A.30° B.60° C.40° D.50°
D
解析 如图,
∵MN⊥a,∴∠AMN=90°.
∵a∥b,∴∠AMN+∠2=∠1=140°.
∴∠2=140°-90°=50°.故选D.
2.(2025黑龙江齐齐哈尔中考)将一个含30°角的三角尺和直尺
按如图所示的方式摆放,若∠1=50°,则∠2的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
C
解析 如图,
∵a∥b,∴∠3=∠1=50°,∠2=∠4,
∴∠4=180°-60°-∠3=70°,∴∠2=∠4=70°,
故选C.
3.【跨物理·光的反射】(2025广东东莞模拟)光的反射现象遵
循光的反射定律.如图,入射光线BC经过平面镜AE上的点C反
射后,反射光线CD恰好与AB平行,已知∠BCD=120°,∠ACB=
∠DCE,则∠A的度数为 ( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
B
解析 ∵∠BCD=120°,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB=∠DCE= ×(180°-120°)=30°.
∵CD∥AB,∴∠A=∠DCE=30°.故选B.
4.(2025湖南长沙中考)如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分
别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,
则∠GEF的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.70°
B
解析 ∵AB∥CD,∴∠AEG=∠2=50°.
∵∠1=70°,∴∠GEF=180°-∠1-∠AEG=180°-70°-50°=
60°.故选B.
两直线平行,内错角相等
5.(2025河南驻马店汝南期中)一杆古秤在称物时的状态如图,
此时AB∥CD,∠1=75°,则∠2的度数为 ( )
A.75° B.95° C.105° D.115°
C
解析 ∵AB∥CD,∴∠BCD=∠1=75°.
∴∠2=180°-75°=105°,故选C.
6.(2025四川眉山仁寿期中)如图,CD是∠ECB的平分线,且CD
∥AB,∠B=50°,则∠ECD的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
C
解析 ∵CD∥AB,∠B=50°,∴∠DCB=∠B=50°.
∵CD平分∠ECB,∴∠ECD=∠DCB=50°.故选C.
两直线平行,同旁内角互补
7.(2025江苏苏州中考)如图,在A,B两地间修一条笔直的公路,
从A地测得公路的走向为北偏东70°.若A,B两地同时开工,要使
公路准确接通,则∠α的度数应为 ( )
A.100° B.105°
C.110° D.115°
C
解析 如图:
由题意得a∥b,∴70°+∠α=180°,
∴∠α=110°,故选C.
8.(2025陕西榆林二模)如图所示的是某吸管杯的大致结构示
意图,AB∥CD,吸管底部M在CD上,将吸管在P点处折弯,使得
PN∥AB,若∠P=100°,则∠PMD的度数为 ( )
A.50° B.60° C.80° D.90°
C
解析 ∵AB∥CD,PN∥AB,∴PN∥CD.
∴∠P+∠PMD=180°.
∵∠P=100°,∴∠PMD=80°.故选C.
9.【学科特色·多解法】如图,AB∥CD,EF∥CD,∠D=70°,∠E
=50°,点O在AB上,则∠DOE的度数为__________°.
60
解析 【解法一】∵AB∥CD,∠D=70°,∴∠DOB=∠D=70°,
∵EF∥CD,∴EF∥AB,∴∠AOE=∠E=50°,∵∠AOE+∠DOE
+∠DOB=180°,∴∠DOE=60°.
【解法二】∵AB∥CD,∠D=70°,∴∠DOA=180°-∠D=110°.
∵EF∥CD,∴EF∥AB.∴∠AOE=∠E=50°.
∴∠DOE=∠DOA-∠AOE=60°.
10.(2024陕西中考,★★☆)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,
则∠D的度数为 ( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
B
解析 ∵AB∥DC,∴∠B+∠C=180°,
∵BC∥DE,∴∠C=∠D,∴∠B+∠D=180°,
∵∠B=145°,∴∠D=35°,故选B.
11.(2024山东滨州中考,★★☆)一副三角尺如图1摆放,把三角
尺AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2,此时,AB∥OD,则∠1
的大小为__________°.
75
解析 如图,因为AB∥OD,所以∠BOD=∠B=45°,又因为∠D=
30°,所以∠2=180°-30°-45°=105°,所以∠1=180°-∠2=
75°.
12.(2025江苏扬州期末,★★☆)如图,在△ABO中,∠AOB=22°,
△ABO沿BO翻折到△A'BO的位置,然后将△A'BO沿OA'翻折
到△OA'B'的位置,且A'B'∥OA,则∠A=__________°.
44
解析 由翻折得∠AOB=∠A'OB=∠A'OB'=22°,∠A=∠OA'B=
∠OA'B'.∵A'B'∥OA,∴∠OA'B'=∠AOA'=∠AOB+∠A'OB=22°
+22°=44°,∴∠A=∠OA'B'=44°.
13.(2025山西吕梁孝义期中改编,★★☆)健康骑行,绿色出行,
越来越受广大人民群众的喜爱.某自行车的示意图如图所示,
其中AD∥BC,AE∥DC,BE平分∠ABC.若∠ABC=∠BCD=62°,
则∠AEB的度数为___________.
93°
解析 如图,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE= ∠ABC=31°.
∵AD∥BC,∴∠1=∠BCD=62°,
∠BAD=180°-∠ABC=180°-62°=118°.
∵AE∥CD,∴∠EAD=∠1=62°.
∴∠EAB=∠BAD-∠EAD=56°.
∴∠AEB=180°-∠ABE-∠EAB=93°.
14.(2025山东泰安泰山期末改编,★★☆)已知△ABC,EF∥AC
交直线AB于点E,DF∥AB交直线AC于点D.
(1)如图,若点F在边BC上,则∠BAC与∠EFD有怎样的数量关
系 并说明理由.
(2)若点F在边CB的延长线上,(1)中的数量关系还成立吗 若成
立,说明理由;若不成立,又有怎样的数量关系 请在备用图中
画出图形并说明理由.
解析 (1)∠BAC=∠EFD.理由如下:
∵EF∥AC,DF∥AB,
∴∠BAC=∠BEF,∠EFD=∠BEF,
∴∠BAC=∠EFD.
(2)完善图形,如图所示,
(1)中的数量关系不成立,有∠BAC+∠EFD=180°,理由如下:
∵DF∥AB,EF∥AC,
∴∠BAC=∠D,∠D+∠EFD=180°,
∴∠BAC+∠EFD=180°.
15.【新课标·推理能力】【学科特色·教材变式P20T10】【问
题情境】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,结
合图形,试探索这两个角之间的数量关系.
【问题探索】
(1)如图①,AB∥EF,BC∥DE,则∠1与∠2的数量关系为______.
(2)如图②,AB∥EF,BC∥DE,则∠1与∠2的数量关系为______.
(3)由(1)(2)你得出的结论为______.
【问题迁移】
(4)若∠A与∠B的两边分别平行,且∠A比∠B的2倍少15°,求
∠A与∠B的度数.
解析 (1)如图①,∵AB∥EF,∴∠3=∠1.
∵BC∥DE,∴∠3=∠2.∴∠1=∠2.
(2)如图②,∵AB∥EF,∴∠3+∠1=180°,
∵BC∥DE,∴∠3=∠2,∴∠1+∠2=180°.
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两
个角相等或互补.
(4)设∠B=x°,则∠A=(2x-15)°,
由题意得2x-15=x或2x-15+x=180,
解得x=15或x=65,
∴∠A=∠B=15°或∠A=115°,∠B=65°.(共34张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.1 两条直线相交
邻补角及其性质
1.(2025河北廊坊月考)如图,三条直线相交于点O,则∠BOD的
邻补角是 ( )
A.∠BOC和∠AOD
B.∠AOC
C.∠BOF和∠AOE
A
D.∠AOF和∠AOD
解析 有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角互为
邻补角,因为∠BOD是直线AB与CD相交所形成的一个角,所
以∠BOC和∠AOD是∠BOD的邻补角.故选A.
2.(2025河南中考)如图所示,有一个六边形零件,利用图中的量
角器可以量出该零件内角的度数,则所量内角的度数为 ( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
C
解析 由量角器知所量内角的邻补角为60°,所以所量内角为
120°.故选C.
3.【学科特色·方程思想】如果∠AOB和∠BOC互为邻补角,
并且∠AOB比∠BOC大18°,那么∠AOB=__________°.
99
解析 设∠BOC=x°,则∠AOB=(x+18)°.因为∠AOB和∠BOC
互为邻补角,所以∠AOB+∠BOC=180°,即x+x+18=180,解得x=
81.所以∠AOB=(x+18)°=99°.
对顶角及其性质
4.(2025福建厦门期中)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是( ）
B
解析 只有选项B中的∠1和∠2共顶点且两边分别互为反向
延长线,是对顶角,故选B.
5.(2025广东梅州五华期中)如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+
∠2=60°,那么∠1= ( )
A.10° B.20° C.15° D.30°
D
解析 因为∠1=∠2,∠1+∠2=60°,
所以∠1= ×60°=30°.故选D.
6.(2025陕西西安期末)如图,直线AB,CD交于点O,射线OE在
∠AOD内,若∠1+∠2=100°,则∠2+∠3等于 ( )
A.100° B.120° C.130° D.140°
A
解析 因为∠1和∠3是对顶角,所以∠1=∠3.
因为∠1+∠2=100°,所以∠2+∠3=100°.故选A.
7.(2025天津期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分
∠COE,∠AOE=40°,则∠BOD的大小为 ( )
A.40° B.80° C.100° D.140°
A
解析 因为OA平分∠COE,所以∠AOE=∠AOC.
因为∠AOE=40°,所以∠AOC=40°,
所以∠BOD=∠AOC=40°.故选A.
8.(2024广西中考)已知∠1与∠2互为对顶角,∠1=35°,则∠2=
__________°.
35
解析 因为∠1与∠2互为对顶角,所以∠1=∠2,
因为∠1=35°,所以∠2=35°.
9.【学科特色·转化与化归思想】(2025广东广州期中)如图,三
条直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOC+∠BOE+∠DOF=
____________.
180°
解析 因为∠BOD与∠AOC是对顶角,所以∠BOD=∠AOC.
所以∠AOC+∠BOE+∠DOF=∠BOD+∠BOE+∠DOF=180°.
思想解读
转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手
段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的方法.本
题通过∠AOC与∠BOD这对对顶角相等,将分散的三个角的
和转化为一个平角,从而解决问题.
10.【学科特色·教材变式P9T5】(2025江西上饶广信期中)如
图,直线AB,CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)图中∠AOC的对顶角为________,∠BOE的邻补角为____
_____.
(2)若∠AOC=70°,且OE平分∠BOD,求∠AOE的度数.
解析 (1)∠BOD;∠AOE.
(2)因为∠AOC=70°,所以∠BOD=∠AOC=70°,
因为OE平分∠BOD,所以∠BOE= ∠BOD=35°.
因为∠BOE+∠AOE=180°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=145°.
11.【跨物理·光的折射】(2025山东滨州期中,★★☆)如图,当
光线从空气斜射入水中时,光线的传播方向发生了变化,这种
现象叫作光的折射.在图中,直线AB与CD相交于水面上的点F
处,一束光线沿CD斜射向水面,在点F处发生折射,沿FE方向射
入水中.如果∠1=42°,∠2=29°,那么光的传播方向改变了
( )
D
A.42° B.29°
C.21° D.13°
解析 因为∠1=42°,∠1与∠BFD是对顶角,所以∠BFD=∠1=
42°.因为∠2=29°,所以∠DFE=∠DFB-∠2=42°-29°=13°,所以光的传播方向改变了13°,故选D.
12.(2025河北衡水桃城期中,★★☆)如图,点O在直线AB上,∠AOD
=22.5°,∠BOC=45°,OE平分∠BOC,则∠EOC的补角是
( )
A.∠AOC
B.∠AOE和∠DOB
B
C.∠AOE和∠DOB和∠AOC+∠DOE
D.以上都不对
解析 因为∠BOC=45°,OE平分∠BOC,
所以∠BOE=∠COE= ∠BOC=22.5°.
因为∠AOD=22.5°,所以∠BOE=∠COE=∠AOD.
因为∠AOD+∠BOD=180°=∠BOE+∠AOE,
所以∠EOC+∠BOD=180°=∠EOC+∠AOE,
所以∠EOC的补角为∠AOE和∠DOB.故选B.
13.(2025重庆北碚期末,★★☆)如图,点A,O,B在同一条直线
上,∠COD= ∠AOC,OE平分∠BOD,若∠COD=10°,则∠COE
的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
A
解析 因为∠COD= ∠AOC,∠COD=10°,
所以∠AOC=3∠COD=30°.
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=140°.
因为OE平分∠BOD,所以∠DOE= ∠BOD=70°,
所以∠COE=∠COD+∠DOE=80°.故选A.
14.(2025河南南阳期末,★★☆)如图,已知直线AB,CD相交于
点O,OE平分∠BOD,OF平分∠BOC,∠BOE=36°,有下列结论:
①∠AOC=72°;②∠EOF=90°;③∠AOD=2∠COF;④∠AOD=
3∠BOE.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析 因为OE平分∠BOD,∠BOE=36°,
所以∠DOB=2∠BOE=36°×2=72°,
所以∠AOC=∠BOD=72°,故①正确;
因为∠AOC=72°,
所以∠BOC=180°-∠AOC=180°-72°=108°,
因为OF平分∠BOC,
所以∠BOF=∠COF=108°÷2=54°,
所以∠EOF=∠BOE+∠BOF=36°+54°=90°,
故②正确;
因为∠AOD=∠BOC,∠BOF=∠COF,
所以∠AOD=2∠COF,故③正确;
因为∠AOD=∠BOC=108°,∠BOE=36°,
所以∠AOD=3∠BOE,故④正确.
综上所述,正确的结论有4个.
15.【学科特色·易错题】(2025重庆南开中学开学测试,★★☆)如图,已知O为直线AC上一点,以O为起点作射线OB,OD,满足∠AOB=
2∠BOC,且∠BOD= ∠AOB,则∠AOD=__________.
40°或160°
解析 因为∠AOB=2∠BOC,∠AOB+∠BOC=180°,
所以∠AOB= ×180°=120°,∠BOC= ×180°=60°,所以
∠BOD= ∠AOB=80°,
如图1,当点D在AC上方时,∠AOD=∠AOB-∠BOD=40°;
如图2,当点D在AC下方时,∠AOD=360°-∠AOB-∠BOD=160°.
综上所述,∠AOD=40°或160°.
易错警示
本题容易忽略OD在AC下方的情况,导致漏解.
16.【学科特色·分类讨论思想】(2025山西吕梁月考,★★☆)
如图,直线AB,CD相交于点O,三角尺EOF的直角顶点与点O重
合,回答下列问题:
(1)如图,若OE平分∠AOC,判断OF是否平分∠AOD,请说明理由.
(2)绕点O转动三角尺,在三角尺转动的过程中,若∠AOC∶
∠BOC=2∶3,且∠DOF=50°,求∠AOE的度数.
解析 (1)OF平分∠AOD.理由如下:
因为∠EOF=90°,所以∠AOE+∠AOF=90°,∠COE+∠DOF=
180°-∠EOF=90°,所以∠AOE+∠AOF=∠COE+∠DOF,
因为OE平分∠AOC,所以∠AOE=∠COE.
所以∠AOF=∠DOF,所以OF平分∠AOD.
(2)因为∠AOC+∠BOC=180°,且∠AOC∶∠BOC=2∶3,
所以∠AOC=180°× =72°,∠BOC=180°× =108°,
因为∠BOD=∠AOC,∠AOD=∠BOC,
所以∠BOD=72°,∠AOD=108°.
分两种情况:①当OF在CD左侧时,
因为∠DOF=50°,
所以∠AOF=∠AOD-∠DOF=108°-50°=58°,
因为∠AOF+∠AOE=∠EOF=90°,
所以∠AOE=∠EOF-∠AOF=90°-58°=32°;
②如图,当OF在CD右侧时,
因为∠DOF+∠EOD=∠EOF=90°,∠DOF=50°,
所以∠EOD=∠EOF-∠DOF=40°,
因为∠AOD=108°,
所以∠AOE=∠AOD-∠EOD=108°-40°=68°.
综上所述,∠AOE的度数为32°或68°.
17.【新课标·几何直观】(2025山东日照五莲期中)如图,直
线a,b,c,d两两相交,图中共有对顶角( )
A.9对 B.10对 C.11对 D.12对
D
解析 直线a,b相交有两对对顶角,直线d,b相交有两对对顶角,
直线b,c相交有两对对顶角,直线a,c,d相交有六对对顶角,所以
题图中的对顶角有2+2+2+6=12(对),故选D.(共25张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.4 平移
平移及其性质
1.(2025广东东莞期中)下列运动属于平移的是( )
A.冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B.投篮时的篮球运动
C.小华乘手扶电梯从一楼到二楼
D.随风飘动的树叶在空中的运动
C
解析 平移后图形的位置改变,形状、大小、方向不变,符合
条件的是C选项.
2.(2025北京三中期中)能由下图平移得到的图形是 ( )
D
解析 把一个图形平移后,它自身的上、下、左、右各个方
向不会发生改变,满足条件的是D.
3.【跨语文·甲骨文】(2025北京海淀期中改编)甲骨文是汉字
的源头和中华优秀传统文化的根脉,其字形简练,线条瘦劲,结
构均衡对称.下列甲骨文中,能用其中一部分平移得到的是
( )
B
解析 能用其中一部分平移得到的是B选项.
4.(2025河南焦作武陟期中)用四根火柴棒可以摆成如图所示
的“土”字,下列图形中,是通过平移“土”字中的火柴棒而
变成的文字是 ( )
D
解析 ∵平移只改变图形的位置,不改变图形的大小、方向
和形状,∴不管怎么平移,有两根火柴棒的火柴头在右边,有两
根火柴棒的火柴头在上面,只有D选项符合,故选D.
5.如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则
CF的长是 ( )
A.2 B.2.5 C.3 D.5
A
解析 由平移的性质可知,CF=BE=2,故选A.
6.【学科特色·教材变式P30T4】【学科特色·多解法】如图,
在△ABC中,∠ACB=90°,将直角△ABC沿BC向右平移5 cm,得
到△A'B'C',若BC=3 cm,AC=4 cm,则阴影部分的面积为_______.
14 cm2
解析 根据平移的性质,得AA'=BB'=5 cm.
【解法一】看作梯形求面积:
∵BC=3 cm,∴CB'=BB'-BC=5-3=2(cm),
∴阴影部分的面积为 (CB'+AA')·AC= ×(2+5)×4=14(cm2).
【解法二】和差法求面积:阴影部分的面积为S平行四边形ABB'A'-S△ABC
=BB'·AC- BC·AC=5×4- ×3×4=14(cm2).
平移作图
7.(2025河北廊坊霸州月考改编)如图,已知△ABC,平移△ABC,
使点A平移到点M,画出平移后的△MNP(点B的对应点是N),直
接写出线段AM与BN的位置关系与数量关系.
解析 如图所示,△MNP即为所求,AM∥BN,AM=BN.
8.(2025四川泸州龙马谭五校联考)如图,将△ABC向右平移5
个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到对应的△A1B1C1(网
格中每个小正方形的边长为1个单位长度).
(1)画出平移后的△A1B1C1.
(2)求△ABC的面积.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)△ABC的面积为3×3- ×2×3- ×1×2- ×1×3= .
9.(2025云南昆明期中,★★☆)如图,将长为5 cm,宽为3 cm的
长方形ABCD先向右平移2 cm,再向下平移1 cm,得到长方形
A'B'C'D',则阴影部分的面积为 ( )
A.6 cm2 B.12 cm2 C.15 cm2 D.18 cm2
D
解析 由平移的性质可知S长方形ABCD=S长方形A'B'C'D',空白长方形的长
为5-2=3(cm),宽为3-1=2(cm),
则S阴影部分=2×(5×3-3×2)=18(cm2),故选D.
10.(2025广东汕头潮阳实验学校期中,★★☆)如图,正方形中
有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形的边长
是80 cm,则图中阴影图形的周长是( )
A.440 cm B.420 cm
C.380 cm D.460 cm
A
解析 阴影图形的周长=4×80+2×80-2×20=320+160-40=
440(cm),故选A.
11.【学科特色·分类讨论思想】(2025江西赣州龙南期中,★
★☆)如图,在正方形网格中有两个直角三角形,顶点都在格点
上,把△DEF先向右平移x格,再向下平移y格,就能与△ABC拼
成一个四边形,那么x+y=_____________.
4或5或6
解析 把△DEF先向右平移3格,再向下平移1格,DF与AC重
合,就能与△ABC拼成一个长方形,
∴x=3,y=1,∴x+y=4;
把△DEF先向右平移4格,再向下平移1格,EF与AB重合,就能
与△ABC拼成一个平行四边形,
∴x=4,y=1,∴x+y=5;
把△DEF先向右平移3格,再向下平移3格,DE与BC重合,就能
与△ABC拼成一个平行四边形,∴x=3,y=3,∴x+y=6.
综上,x+y=4或5或6.
12.(2025湖南张家界慈利期末,★★★)如图,在△ABC中,
∠BAC=90°,将周长为16的△ABC沿BC向左平移4个单位长度
得到△DEF,连接AD,AB与DF交于点O,有下列结论:①AC∥DF,
AC=DF;②DF⊥AB;③四边形ACED的周长是24;④S四边形ACFO=
S四边形BEDO,其中正确结论有_________(填序号).
①②③④
解析 根据平移的性质可知AC∥DF,AC=DF,故①正确;
∵AC∥DF,∴∠BOF=∠BAC=90°,∴DF⊥AB,故②正确;
根据平移的性质可知AD=CF=BE=4,∵△ABC的周长是16,∴
AB+AC+BC=16,∴四边形ACED的周长=DE+AC+EC+AD=AB
+AC+BC+AD+BE=16+4+4=24,故③正确;
根据平移的性质可知S△ABC=S△DEF,∴S△ABC-S△OBF=S△DEF-S△OBF,
∴S四边形ACFO=S四边形BEDO,故④正确.
综上所述,正确的结论有①②③④.
13.【新课标·几何直观】在综合与实践课上,白老师带领同学
们为某市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案,
三块长方形空地的长都为30 m,宽都为20 m.白老师的设计方
案如图1所示,阴影部分为一条平行四边形小路,EF=1 m,长方
形除去阴影部分后剩余部分为草地.
数学思考:
(1)求图1中草地的面积.
深入探究:
(2)白老师让同学们发挥想象并完成本组的设计,并让小组成
员提出相关的问题.
①“善思小组”提出问题:设计方案如图2所示,有两条宽均为
1米的小路(图中阴影部分),其余部分为草地,求草地的面积,请
你解答此问题.
②“智慧小组”提出问题:设计方案如图3所示,阴影部分为草
地,非阴影部分为1米宽的小路,沿着小路的中间从入口P处走
到出口Q处,求所走的路线(图中虚线)长.请你思考此问题,并
直接写出结果.
解析 (1)根据题意得题图1中草地的面积为20×30-1×20=580
(m2).
(2)①将纵向小路与横向小路分别往AB,AD边平移,可得草地
的面积为(30-1)×(20-1)=551(m2).
②所走的路线长为30+20×2-2=68(m).(共12张PPT)
专项突破2 判定两直线平行
利用“角”的关系证明平行
1.(2025上海松江月考)已知:如图,∠B=∠D,∠1=∠E.求证:AB
∥CD.
证明 ∵∠1=∠E,∴AD∥BE,∴∠D=∠DCE.
∵∠D=∠B,∴∠B=∠DCE,∴AB∥CD.
2.(2025山西吕梁孝义期中)已知:如图,点A,B,C在同一条直线
上,BD平分∠ABE,BD⊥BF,∠ABD+∠F=90°,求证:BE∥CF.
证明 ∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠EBD.
∵BD⊥BF,∴∠DBF=90°,
∴∠ABD+∠CBF=180°-90°=90°,
∵∠ABD+∠F=90°,∴∠F=∠CBF,
∵∠EBF+∠EBD=90°,∴∠EBF=∠CBF,
∴∠F=∠EBF,∴BE∥CF.
3.(2025上海金山期中)科技改变世界.为提高快递包裹的分拣
效率,某物流公司引进了快递自动分拣流水线,如图①所示,图
②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图,若∠EOF+
∠OFC=180°,OE平分∠AOC,CF平分∠OCD,求证:AB∥CD.
证明 ∵∠EOF+∠OFC=180°,
∴OE∥CF,∴∠COE=∠OCF,
∵OE平分∠AOC,CF平分∠OCD,
∴∠AOC=2∠COE,∠OCD=2∠OCF,
∴∠AOC=∠OCD,∴AB∥CD.
4.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,DG⊥BC,
垂足为G,点F在AD上,点E在AC上,若∠1+∠2=180°,则DC与
EF有怎样的位置关系 请说明理由.
解析 DC∥EF.
理由:如图,∵在△ABC 中,∠ACB=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∵DG⊥BC,∴∠DGC=90°,
∵∠1+∠3+∠DGC=180°,
∴∠1+∠3=90°,∴∠4=∠1.
∵∠1+∠2=180°,∴∠4+∠2=180°,∴DC∥EF.
利用“线”的关系证明平行
5.如图,已知∠1=∠2,∠3+∠4=180°,试探究AB与EF的位置关
系,并说明理由.
解析 AB∥EF.
理由:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∵∠3+∠4=180°,∴CD∥EF,
∴AB∥EF.
6.(2025四川甘孜州期末)已知:如图,点F在AB上,EF交BD于G,
交CD于E,∠1=∠2,∠3=∠ABE,∠ADC+∠C=180°,求证:AD∥
EF.
证明 ∵∠ADC+∠C=180°,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠GBE=∠2+∠GBE,即∠ABE=∠CBG,
∵∠3=∠ABE,∴∠3=∠CBG,
∴EF∥BC,∴AD∥EF.(共17张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.1 平行线的概念
平行线的概念
1.(2025天津和平期中)在同一平面内,不重合的两条直线的位
置关系是 ( )
A.平行或相交 B.平行或垂直
C.平行、垂直或相交 D.相交或垂直
A
解析 在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是平行
或相交,故选A.
2.(2025山东聊城月考)同一平面内,下面关于一条直线和两条
平行线的位置关系的说法中,正确的是 ( )
A.一定与两条平行线都平行
B.可能与两条平行线都相交或都平行
C.一定与两条平行线都相交
D.可能与两条平行线中的一条平行,一条相交
B
解析 同一平面内,一条直线有可能与两条平行线都平行,也
有可能与两条平行线都相交,故选B.
平行线的画法
3.【学科特色·教材变式P12练习】
(1)如图①,M是直线AB外一点,过点M画直线CD,使得CD∥AB.
(2)如图②,经过BC上一点P画AB的平行线,交AC于T,过C画MN
∥AB.
图①
图②
解析 (1)如图①所示.
图①
(2)如图②所示.
图②
平行线的基本事实及其推论
4.(2025河北唐山二模)如图,过点P作直线l的平行线,可作的平
行线有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
A
解析 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,所
以过点P作直线l的平行线,可作的平行线只有1条,故选A.
5.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,与棱AD平行的棱有
_________条.
3
解析 与棱AD平行的棱有BC,B'C',A'D',共3条.
6.(2025山东青岛三十九中期中)如图,AB∥CD,AB∥CE,则
点C,D,E在同一直线上,理由是___________________________
____________________________.
直线与这条直线平行
过直线外一点有且只有一条
解析 因为AB∥CD,AB∥CE,所以点C,D,E在同一直线上,理
由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
7.如图所示的是风力发电机的模型示意图,当风叶OA所在直
线旋转到与地面MN平行时,风叶OB和OC所在直线与地面MN
________(填“平行”或“不平行”),理由是
_____________________________________________.
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
不平行
解析 过直线MN外一点O有且只有一条直线与MN平行,OA,
OB,OC交于一点O,则OA与OB不平行,OA与OC不平行,所以当
OA所在直线与MN平行时,OB,OC所在直线与MN不平行.
8.【学科特色·分类讨论思想】(2025广西桂林期中,★★☆)在
同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是 ( )
A.1个或3个
B.0个或2个
C.1个或2个或3个
D.0个或1个或2个或3个
D
解析 当三条直线平行时,如图,三条直线没有交点,
当其中两条直线平行时,如图,有2个交点,
当三条直线都不平行时,如图,
可能有1个或3个交点,故选D.
9.(2025湖北荆门期中,★★☆)将一张长方形纸片对折两次,得
到的四边形都是长方形,则产生的折痕与折痕之间的位置关
系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.无法确定
C
解析 如图,将一张长方形纸对折两次再展开,产生的折痕之
间的位置关系是平行或垂直.故选C.
10.(★★☆)如图所示,在∠AOB内部有一点P.
(1)过P画l1∥OA.
(2)过P画l2∥OB.
(3)通过测量,探究l1与l2相交所成的角与∠O的大小有怎样的
关系.
解析 (1)(2)如图所示.
(3)如图,l1与l2相交所成的角有四个,其中∠1=∠4,∠2=∠3,又
通过测量知∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1和l2相交所成的角
与∠O相等或互补.(共13张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
第2课时 垂线段
垂线段
1.(2025广西防城港期中)如图,在小河旁边有一村庄,现要建一
个码头.为了使该村庄到码头的距离最短,码头应建在 ( )
A.点A处 B.点B处
C
C.点C处 D.点D处
解析 由垂线段最短知码头应建在点C处.故选C.
2.(2025河南焦作月考)如图,已知AB⊥BC于点B,AB=2.8,点P在
射线BC上,则线段AP的长不可能是 ( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
A
解析 由垂线段最短可得AP≥AB=2.8,结合选项可知线段AP
的长不可能是2.5,故选A.
3.(2025北京钱学森中学期中改编)如图所示,码头、火车站分
别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近 画图并说明理由.
(2)从码头到铁路怎样走最近 画图并说明理由.
解析 (1)如图所示,沿线段BA走最近,理由:两点之间,线段最
短.
(2)如图所示,沿线段AC走最近,理由:垂线段最短.
点到直线的距离
4.【跨体育与健康·立定跳远】(2025重庆潼南期中)立定跳远
测量基准:从起跳线到落地点的最近痕迹的垂直距离.在体育
课上,某同学跳远后留下的脚印如图所示,则他本次的跳远成
绩是 ( )
D
A.线段QB的长度 B.线段QD的长度
C.线段PC的长度 D.线段PA的长度
解析 根据立定跳远测量基准,这位同学本次的跳远成绩是
线段PA的长度,故选D.
5.(2025山西运城期中)在下列图形中,线段PQ的长表示点P到
直线OB的距离的是 ( )
A
解析 因为A选项中PQ垂直于OB,所以线段PQ的长表示点P
到直线OB的距离.故选A.
6.【学科特色·易错题】(2025北京大学附中月考)若P为直线l
外一定点,A为直线l上一点,且PA=1,d为点P到直线l的距离,则
d的取值范围为_____________.
0解析 因为点P不在直线l上,所以d>0.
因为PA≥d,且PA=1,所以d≤1,所以0易错警示
点在直线外时,点到直线的距离是正数,本题容易忽略掉d>0.
7.(2025湖南长沙浏阳期中,★★☆)如图,点P是直线a外的一
点,点A,B,C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC,则下列说法
不正确的是( )
A.线段PB的长是点P到直线a的距离
B.PA,PB,PC三条线段中,PB最短
D
C.线段AP的长是点A到直线PC的距离
D.线段AP的长是点C到直线PA的距离
解析 线段PB的长是点P到直线a的距离,故选项A说法正确;
PA,PB,PC三条线段中,依据垂线段最短可知PB最短,故选项B
说法正确;线段AP的长是点A到直线PC的距离,故选项C说法
正确,选项D说法不正确.故选D.
8.【学科特色·面积法】(2025山东青岛五十一中期中,★★☆)
如图,在△ABC中,AB=9,BC=8,AE为BC边上的高,AE=7,P为AB
上一动点,则PC的最小值为_________.
解析 过点C作CD⊥AB于点D,如图所示,
因为S△ABC= AB·CD= BC·AE,
所以9CD=8×7,所以CD= ,
因为垂线段最短,所以当点P与点D重合时,PC最短,所以PC的
最小值为 .(共32张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.3 平行线的性质
第2课时 平行线的性质与判定的综合
平行线的性质与判定的综合
1.【学科特色·教材变式P19T5】(2024内蒙古呼和浩特中考)
如图,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则
∠4的度数为 ( )
A.75° B.105° C.115° D.130°
B
解析 如图,
∵∠1=∠2=130°,∴l1∥l2,∴∠5=∠3=75°.
∵∠5+∠4=180°,
∴∠4=180°-∠5=180°-75°=105°.故选B.
2.(2025四川绵阳三台期中)将一副三角尺按如图所示的方式
摆放,过点E作直线AB,过点F作直线CD,且AB∥CD.若∠HFD
=30°,则∠AEG的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
解析 由题意得∠EGH=45°,∠GHF=30°,
∵∠HFD=30°,∴∠GHF=∠HFD,∴CD∥GH.
∵AB∥CD,∴AB∥GH.
∴∠AEG=∠EGH=45°.故选B.
3.【学科特色·铅笔模型】(2025重庆沙坪坝期中)近几年中学
生近视的情况越来越严重,为保护视力,某公司推出了护眼灯,
其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示,其中AD⊥
DE,BC∥DE.经使用发现,当∠B=126°时,台灯光线最佳,此时
∠BAD的度数为____________.
144°
解析 如图所示,过点A作AF∥BC.
∵BC∥DE,∴BC∥DE∥AF,
∴∠D+∠DAF=180°,∠B+∠BAF=180°.
∵AD⊥DE,∴∠D=90°,∴∠DAF=180°-∠D=90°.
∵∠B=126°,∴∠BAF=180°-∠B=180°-126°=54°.
∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=90°+54°=144°.
模型解读
如果两条平行线中间有向外的拐点,如图,就得到了铅笔模型.
该模型常用结论:若AB∥CD,则∠A+∠AEC+∠C=360°.
4.(2025河南郑州高新区期中)把下列推理过程补充完整,并在
括号里填上推理的依据.
如图,∠E=∠1,∠3+∠ABC=180°,BE是∠ABC的平分线.试说
明:DF∥AB.
证明:∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2(____),
又∵∠E=∠1(已知),
∴∠E=∠2(____),
∴______(____),
∴∠A+∠ABC=180°(____),
又∵∠3+∠ABC=180°(已知),
∴∠A=∠3(____),
∴DF∥AB(____).
解析 ∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠1=∠2(角平分线的定义),
又∵∠E=∠1(已知),
∴∠E=∠2(等量代换),
∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行),
∴∠A+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又∵∠3+∠ABC=180°(已知),
∴∠A=∠3(同角的补角相等),
∴DF∥AB(同位角相等,两直线平行).
5.(2025浙江杭州月考)如图,已知∠DEC=90°,∠AGF=∠ABC,
∠1与∠2互补,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由.
解析 BF⊥AC.理由如下:
∵∠AGF=∠ABC,∴GF∥BC,∴∠1=∠3.
∵∠1与∠2互补,∴∠1+∠2=180°,
∴∠3+∠2=180°,∴BF∥DE,
∴∠BFC=∠DEC=90°,∴BF⊥AC.
6.【学科特色·猪蹄模型】(2025福建中考,★★☆)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,把一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=
45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的度数为 ( )
B
A.5° B.15° C.25° D.35°
解析 根据题意得∠ACB=45°,∠DEF=60°.
如图,过点E作EG∥AD.
∵AD∥BC,∴EG∥BC,∴∠GEC=∠ACB=45°.
∴∠DEG=∠DEC-∠GEC=60°-45°=15°.
∵EG∥AD,∴∠ADE=∠DEG=15°,故选B.
模型解读
如果两条平行线中间有向内的拐点,如图,就得到了猪蹄模型.
该模型常用结论:若AB∥CD,则∠APC=∠A+∠C.
7.(2024山东潍坊中考,★★☆)一种路灯的示意图如图所示,其
底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成锐角α
=15°,顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF与FG所成
锐角的度数为( )
A.60° B.55° C.50° D.45°
A
解析 如图,过点E作EH∥AB.
∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG.
∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°.
∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°.
∴∠EFG=180°-∠FEH=60°.
∴EF与FG所成锐角的度数为60°,故选A.
8.【学科特色·鹰嘴模型】【新课标·中华优秀传统文化】(20
25四川巴中期末,★★☆)为增强学生体质,感受中国的传统文
化,我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空
竹”引入体育社团.图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间,小
明把它抽象成图2的数学问题:已知AB∥CD,∠E=28°,∠ECD=
114°,则∠A的度数是___________.
86°
解析 如图,过点E作EF∥CD.
∵EF∥CD,∴∠1+∠C=180°.
∵∠C=114°,∴∠1=180°-114°=66°.
∵∠CEA=28°,∴∠FEA=∠1+∠CEA=94°.
∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AB.
∴∠FEA+∠A=180°,∴∠A=180°-94°=86°.
模型解读
鹰嘴模型常分为两种:内拐角型、外拐角型,三个角之间存在
如下的关系.
9.(2025河南许昌禹州期中改编,★★☆)如图所示的是一种躺
椅及其简化结构示意图,扶手AB与底座CD都平行于地面EF,
前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D,AB与DM交
于点N,∠AOE=∠BNM.
(1)试说明:OE∥DM.
(2)若OE平分∠AOF,∠ODC=32°,求扶手AB与靠背DM的夹角
∠ANM的度数.
解析 (1)证明:∵∠BNM=∠AND,∠AOE=∠BNM,
∴∠AOE=∠AND.∴OE∥DM.
(2)∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF,
∴AB∥CD.∴∠BOD=∠ODC=32°.
∵∠AOF+∠BOD=180°,∴∠AOF=148°.
∵OE平分∠AOF,∴∠EOF= ∠AOF=74°.
∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=106°.
∵OE∥DM,∴∠ANM=∠BOE=106°.
10.【新课标·推理能力】(2025湖北武汉江汉期末)如图,AB∥
CD,AE∥DF,EG,DG分别平分∠AEF和∠FDC,若∠BAE=40°,
∠EFD=160°,则∠G的度数是___________.
60°
解析 如图,延长AE交CD的延长线于点L,过点E,G分别作HI
∥AB,JK∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥HI∥JK∥CD.∴∠8=∠1=∠BAE=40°,
∵AE∥DF,
∴∠AEF=∠EFD=160°,∠FDC=∠1=40°,
∵EG,DG分别平分∠AEF和∠FDC,
∴∠5=∠6= ∠FDC=20°,∠AEG=∠3= ∠AEF=80°,
∴∠2=∠AEG-∠8=80°-40°=40°,
∵HI∥JK∥CD,∴∠4=∠2=40°,∠7=∠5=20°,
∴∠EGD=∠4+∠7=40°+20°=60°.
11.【新课标·推理能力】(2025陕西咸阳永寿期中)如图,已知
∠AOB,点C在射线OA上,CD∥OE.
(1)如图①,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度数.
(2)如图②,若∠AOB=130°,射线OE沿射线OB平移得到O'E'.探
究∠OCD和∠BO'E'的数量关系.
(3)如图③,在(2)的条件下,作PO'⊥OB,垂足为O',与∠OCD的
平分线CP交于点P,若∠BO'E'=α,试用含α的式子表示∠CPO'
的度数.
解析 (1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°.
∵∠AOB=90°,∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-120°
-90°=150°.
(2)如图,延长EO到F,
∵CD∥OE,OE∥O'E',∴OF∥CD∥O'E',∴∠AOF=180°-
∠OCD,∠BOF=∠E'O'O=180°-∠BO'E',∴∠AOB=∠AOF+
∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO'E'=360°-(∠OCD+
∠BO'E')=130°.∴∠OCD+∠BO'E'=230°.
(3)如图,过点P作PH∥CD,延长E'O'到G,
∵CD∥OE,OE∥O'E',∴PH∥CD∥O'G,
∴∠CPH=∠DCP,∠O'PH=∠PO'G,
∵CP是∠OCD的平分线,∴∠DCP= ∠OCD.
∵PO'⊥OB,∴∠PO'B=90°,
∴∠PO'G+∠BO'G=90°,
∵∠BO'G=180°-∠BO'E'=180°-α,
∴∠PO'G=90°-∠BO'G=90°-(180°-α)=α-90°,
由(2)可得∠OCD+∠BO'E'=230°,
∴∠OCD=230°-∠BO'E'=230°-α,
∴∠CPH=∠DCP=115°- α,
∴∠CPO'=∠CPH+∠O'PH=∠DCP+∠PO'G=115°- α+α-90°
=25°+ α.(共32张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.2 两条直线垂直
第1课时 垂线及其性质
垂线的定义
1.(2025河北唐山玉田二模)如图,经过点O的直线a,b,c,d中,有
一条直线与直线l垂直,请借助三角尺判断,与直线l垂直的直线
是 ( )
A.a B.b C.c D.d
D
解析 把三角尺的一条直角边与l重合,慢慢移动,在此过程中,
直线d会与三角尺的另一条直角边重合,所以与直线l垂直的直
线是d,故选D.
2.(2024北京中考)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若
∠AOC=58°,则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
B
解析 因为OE⊥OC,所以∠COE=90°,
因为∠AOC+∠COE+∠EOB=180°,∠AOC=58°,
所以∠EOB=180°-90°-58°=32°.
故选B.
3.已知直线a,b相交,如图所示,添加下列条件:①∠1=90°;②∠1
+∠2=180°;③∠1=∠3;④∠1+∠3=180°;⑤∠1=∠2=∠3.其中
能得到a⊥b的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ①因为∠1=90°,所以a⊥b.
②由∠1+∠2=180°不能推出a⊥b.
③由∠1=∠3不能推出a⊥b.
④因为∠1=∠3,∠1+∠3=180°,所以∠1=90°,所以a⊥b.
⑤设∠2的对顶角为∠4,所以∠2=∠4.
因为∠1=∠2=∠3,所以∠1=∠2=∠3=∠4.
因为∠1+∠2+∠3+∠4=360°,所以∠1=90°,所以a⊥b.
综上,能得到a⊥b的条件为①④⑤,共3个,故选C.
4.(2025北京大兴二模)如图,∠AOD=120°,CO⊥AO,OB平分
∠AOC,则∠BOD的大小为( )
A.60° B.65° C.75° D.85°
C
解析 因为CO⊥AO,所以∠AOC=90°,
因为OB平分∠AOC,所以∠AOB= ∠AOC=45°.
所以∠BOD=∠AOD-∠AOB=120°-45°=75°.故选C.
5.【跨地理·南回归线】(2025山西晋中介休期中)如图所示的
是地球截面图,其中AB,CD分别表示赤道和南回归线,冬至正
午时,太阳光直射南回归线(太阳光线MD的延长线经过地心O),此时,太阳光线与地面水平线EF垂直,已知∠MDN=23.5°,则
∠CDF的度数是_____________.
66.5°
解析 由题意可知OM⊥EF,所以∠MDE=90°.因为∠MDN=
23.5°,所以∠EDN=90°-∠MDN=66.5°.所以∠CDF=∠EDN
=66.5°.
6.【学科特色·教材变式P35T1】(2025江西赣州大余期中)如图,
直线AB与CD相交于点F,EF⊥AB于点F,∠AFD=4∠1,求∠3的
度数.
解析 因为∠AFD=4∠1,∠AFD+∠1=180°,
所以5∠1=180°,所以∠1=36°.
因为EF⊥AB,所以∠EFB=90°.
所以∠3=180°-∠EFB-∠1=54°.
垂线的画法及性质
7.(2025河南许昌期末)如图,点P是直线AB外一点,下列是同学
们利用直角三角尺过点P画直线AB的垂线CD的示意图,其中
正确的是 ( )
C
解析 根据垂线的画法,将直角三角尺一条直角边落在直线
AB上,另一条直角边经过点P,沿经过点P的直角边画直线CD
即可.故选C.
8.(2025山西朔州期中)如图,若AB⊥MN,CB⊥MN,则点A,B,C在
同一条直线上,推理的依据是_____________________________
________________________________.
有一条直线与已知直线垂直
在同一平面内,过一点有且只
9.(2025福建福州台江期中,★★☆)如图,直线AB,CD相交于点
O,OE⊥CD,OF平分∠BOD,∠AOE=26°,则∠COF的度数是
( )
A.135° B.138° C.146° D.148°
D
解析 因为OE⊥CD,所以∠EOC=∠EOD=90°,
因为∠AOE=26°,所以∠AOC=∠EOC-∠AOE=90°-26°=64°,∠AOD=∠AOE+∠DOE=26°+90°=116°.
因为∠BOD=∠AOC,所以∠BOD=64°,
因为OF平分∠BOD,所以∠BOF= ∠BOD=32°.
因为∠BOC=∠AOD,所以∠BOC=116°,
因为∠COF=∠BOC+∠BOF,
所以∠COF=116°+32°=148°.故选D.
10.(2025重庆渝北期末,★★☆)如图,AB,CD相交于点O,OE为
∠DOB的平分线,FO⊥DO,GO⊥EO,O为垂足,∠AOC=38°,则
∠FOG的度数是( )
A.160° B.161° C.162° D.151°
B
解析 因为FO⊥DO,GO⊥EO,
所以∠EOG=∠DOF=90°.
因为∠AOC=38°,所以∠BOD=∠AOC=38°.
因为OE为∠DOB的平分线,
所以∠DOE= ∠BOD=19°.
所以∠FOG=∠EOG+∠DOF-∠DOE=90°+90°-19°=161°,故选B.
11.(2025四川泸州龙马潭期末,★★☆)如图,直线AB,CD相交
于点O,OE⊥AB,OF平分∠BOC,∠1=30°,则下列结论不正确
的是 ( )
A.OF⊥CD
A
B.∠EOF=15°
C.∠1=∠2
D.∠BOC与∠1互为补角
解析 因为∠1=30°,所以∠BOC=180°-30°=150°,∠2=∠1=30°,故选项C结论正确;因为OF平分∠BOC,所以∠BOF=∠COF
= ∠BOC=75°,故选项A结论错误;因为OE⊥AB,所以∠AOE=
∠BOE=90°,所以∠COE=∠AOE-∠1=60°,所以∠EOF=
∠COF-∠COE=15°,故选项B结论正确;由题图可知∠BOC与
∠1互为补角,故选项D结论正确.故选A.
12.【学科特色·分类讨论思想】(2025山东济宁曲阜期中,★
★☆)在同一平面内,已知直线AB,CD相交于点O,∠AOC=60°,
OE⊥AB,则∠EOC的度数为________________.
150°或30°
解析 如图1,当OE在AB的上方时,
因为OE⊥AB,所以∠EOA=90°,
因为∠AOC=60°,所以∠COE=90°+60°=150°;
如图2,当OE在AB的下方时,
因为OE⊥AB,所以∠EOA=90°,
因为∠AOC=60°,所以∠COE=90°-60°=30°.
综上,∠COE的度数为150°或30°.
13.(2025江苏盐城东台期末,★★☆)如图,已知OC⊥AB于O,
∠AOD∶∠COD=1∶2,射线OE在∠BOC的内部.
(1)若OE平分∠BOC,求∠DOE的度数.
(2)若∠AOE的度数比∠COE的度数的3倍多30°,试判断OD与
OE的位置关系,并说明理由.
解析 (1)因为OC⊥AB,
所以∠AOC=∠BOC=90°.
因为∠AOD∶∠COD=1∶2,
所以∠DOC= ∠AOC=60°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠COE= ∠BOC=45°,
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°.
(2)OD⊥OE.理由如下:
由(1)知∠AOC=∠BOC=90°,∠DOC=60°,
由题意得∠AOE=3∠COE+30°,
即∠AOE-∠COE=2∠COE+30°,
因为∠AOE=∠AOC+∠COE,
所以∠AOE-∠COE=∠AOC=90°,
所以2∠COE+30°=90°,所以∠COE=30°,
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°,
所以OD⊥OE.
14.【新课标·推理能力】(2025江西南昌月考)如图,直线AB,
CD相交于点O,OE⊥OF,且OC平分∠AOE.
(1)【探究发现】若∠BOF=2∠BOE,则∠DOF的度数是_____.
(2)【类比延伸】若∠DOF=20°,求∠BOE的度数.
(3)【联想拓展】从(1)(2)的结果中猜想∠BOE和∠DOF有何
数量关系,并给予证明.
解析 (1)因为OE⊥OF,
所以∠EOF=∠BOF+∠BOE=90°,
因为∠BOF=2∠BOE,
所以∠BOE=30°,∠BOF=60°,
因为∠AOE+∠BOE=180°,所以∠AOE=150°.
因为OC平分∠AOE,
所以∠BOD=∠AOC= ∠AOE=75°,
所以∠DOF=∠BOD-∠BOF=75°-60°=15°.
(2)设∠BOE=x,
因为OE⊥OF,所以∠BOF=90°-∠BOE=90°-x,
因为∠AOE+∠BOE=180°,
所以∠AOE=180°-∠BOE=180°-x,
因为OC平分∠AOE,
所以∠AOC=∠BOD= ∠AOE= (180°-x)=90°- x,
因为∠BOD=∠DOF+∠BOF,∠DOF=20°,
所以20°+90°-x=90°- x,
解得x=40°,即∠BOE=40°.
(3)猜想:∠BOE=2∠DOF.
证明:设∠BOE=m,因为OE⊥OF,
所以∠BOF=90°-∠BOE=90°-m,
因为∠AOE+∠BOE=180°,所以∠AOE=180°-m,
因为OC平分∠AOE,
所以∠AOC=∠BOD= ∠AOE= (180°-m)=90°- m,
因为∠BOD=∠DOF+∠BOF,
所以∠DOF+90°-m=90°- m,
所以∠DOF= m,即∠BOE=2∠DOF.(共30张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.3 定义、命题、定理
定义与命题
1.(2025重庆江津期中)下列语句不是命题的是( )
A.对顶角相等
B.同旁内角互补
C.垂线段最短
D.在线段AB上取点C,使得CA=2CB
D
解析 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句,叫作
命题.选项A,B,C中的语句都是命题,只有D选项中的语句不是
命题.故选D.
2.(2025河南安阳殷都期末改编)下列命题是真命题的是( )
A.如果ab=0,那么a=0
B.若a不是负数,则a一定大于0
C.如果a=b,那么a2=b2
D.在同一平面内,过直线上一点有无数条直线与这条直线垂直
C
解析 A.如ab=0,那么a=0或b=0,故原命题是假命题;
B.若a不是负数,则a大于或等于0,故原命题是假命题;
C.如果a=b,那么a2=b2,故原命题是真命题;
D.在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线与已知直
线垂直,故原命题是假命题.故选C.
3.写出一个你学过的定义:_______________________________
________________________________________.
的长度,叫作点到直线的距离(答案不唯一)
直线外一点到这条直线的垂线段
4.【学科特色·教材变式P23T3】把下列句子改写成“如果…
…那么……”的形式,并回答题设是什么,结论是什么.
(1)∠A=30°,∠B=60°,∠A和∠B互余.
(2)两个互补的角是钝角.
(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
解析 (1)如果∠A=30°,∠B=60°,那么∠A和∠B互余.题设是
∠A=30°,∠B=60°,结论是∠A和∠B互余.
(2)如果两个角互补,那么这两个角是钝角.题设是两个角互补,
结论是这两个角是钝角.
(3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的绝对值相等.题设
是两个数互为相反数,结论是这两个数的绝对值相等.
定理与证明
5.(2025北京中考)能说明命题“若a2>4b2,则a>2b”是假命题
的一组a,b的值为a=_______,b=________________.
1(答案不唯一)
-3
解析 当a=-3,b=1时,a2>4b2,但是a<2b.
故答案可以为-3;1.(答案不唯一)
6.(2025江西赣州大余期中)推理填空:如图,CF交BE于点H,AE
交CF于点D,∠1=∠2,∠3=∠C,∠ABH=∠DHE,求证:BE∥AF.
证明:∵∠ABH=∠DHE(已知),
∴______(____),
∴∠3+______=180°(____).
∵∠3=∠C(已知),
∴∠C+______=180°(____),
∴AD∥BC(____),
∴∠2=∠E(____).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1=∠E(等量代换).
∴BE∥AF(内错角相等,两直线平行).
解析 ∵∠ABH=∠DHE(已知),
∴AB∥CF(同位角相等,两直线平行),
∴∠3+∠ADC=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵∠3=∠C(已知),
∴∠C+∠ADC=180°(等量代换),
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠2=∠E(两直线平行,内错角相等).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1=∠E(等量代换),
∴BE∥AF(内错角相等,两直线平行).
7.(2025四川德阳旌阳期中)如图,∠BCD的平分线交∠ABC的
平分线于点M,交AB于点N,若∠1+∠2=90°.
(1)求证:AB∥CD.
(2)若∠1=30°,求∠ANC的度数.
解析 (1)证明:∵∠DCB和∠ABC的平分线交于点M,
∴∠DCB=2∠2,∠ABC=2∠1.∵∠1+∠2=90°,
∴∠DCB+∠ABC=2∠2+2∠1=2(∠2+∠1)=2×90°=180°,
∴AB∥CD.
(2)∵∠1=30°,∠1+∠2=90°,
∴∠2=90°-∠1=90°-30°=60°.
∵CN平分∠DCB,∴∠DCN=∠2=60°.
∵AB∥CD,∴∠ANC=180°-∠DCN=180°-60°=120°.
8.【学科特色·易错题】(2025北京日坛中学期中)阅读下面材
料并解决问题:一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判
断,这个推理过程叫作证明,证明中的每一步推理都要有根据,
这些根据可以是已知条件,也可以是学过的定义、基本事
实、定理等,而判定一个命题是假命题,只需要举出一个例子
(反例),它符合命题的题设,但不满足结论就可以了.
命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是真命题吗 如果
是,写出证明过程;如果不是,请举出反例(要求:画出相应的图
形,并用文字语言或符号语言进行表述).
解析 命题“垂直于同一直线的两条直线平行”不是真命
题.理由如下:
如图,
在长方体中,AD⊥AB,AE⊥AB,但AD与AE不平行.
易错警示
本题容易忽略三条直线不在同一平面内的情况,只关注同一
平面内的情况,从而出错.
9.(2025河南漯河临颍期中改编,★★☆)下列命题中,真命题的
个数为 ( )
①同一平面内,不重合的两条直线一定互相平行;
②有一条公共边的角叫邻补角;
③如果a=b,那么|a|=|b|;
④任何数的平方都大于0;
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段,叫作点到直线的距离.
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 ①同一平面内,不重合的两条直线的位置关系是相交
或平行,故原命题是假命题;②邻补角除了有一条公共边,还要
满足另一边互为反向延长线,故原命题是假命题;③如果a=b,
那么|a|=|b|,故原命题是真命题;④02=0,故原命题是假命题;⑤
垂线段是一条线段,点到直线的距离是这个点到这条直线的
垂线段的长度,故原命题是假命题.故选A.
10.(2025福建莆田中山中学期中,★★☆)如图,已知AB∥CD,
直线AD与直线BC有公共点,命题“内错角相等”是一个假命
题,下列选项可以作为反例的是 ( )
A.∠1=∠4 B.∠2≠∠3
C.∠1≠∠3 D.∠B≠∠3
B
解析 A.∵AB∥CD,∴∠1=∠4,∴不能作为反例,故不符合题
意;B.虽然∠2与∠3是内错角,但AD与BC不平行,∴∠2≠∠3,
∴可以作为反例,故符合题意;C.∵∠1与∠3是同旁内角,不是
内错角,∴不能作为反例,故不符合题意;D.∵∠B与∠3是同旁
内角,不是内错角,∴不能作为反例,故不符合题意.故选B.
11.(2025上海黄浦期中,★★☆)如图,已知点E,F分别在AB,CD
上,连接EC,BF交AD于点G,H.有以下三个论断:①∠1=∠2;
②∠B=∠C;③AB∥CD.
(1)请你从中任选两个作为题设,另一个作为结论,写出所有的
命题,并指出这些命题是真命题还是假命题.
(2)选择(1)中的一个真命题加以证明.
解析 (1)命题1:①②为题设,③为结论,该命题是真命题;命题
2:①③为题设,②为结论,该命题是真命题;命题3:②③为题设,
①为结论,该命题是真命题.
(2)答案不唯一,任选择一个命题加以证明即可.
命题1的证明:∵∠1=∠2,∠1=∠CGD,
∴∠2=∠CGD.∴CE∥BF,∴∠C=∠BFD.
∵∠B=∠C,∴∠B=∠BFD,∴AB∥CD.
命题2的证明:∵∠1=∠2,∠1=∠CGD,
∴∠2=∠CGD,∴CE∥BF,∴∠C=∠BFD.
∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD,∴∠B=∠C.
命题3的证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD.
∵∠B=∠C,∴∠C=∠BFD,
∴CE∥BF,∴∠2=∠CGD,
∵∠1=∠CGD,∴∠1=∠2.
12.【新课标·推理能力】如图,直线MN,PQ互相平行,一块含
30°角的直角三角尺ABC放置在图中,直角顶点C在两条平行
线之间,A在MN上方,B在PQ下方,AC,AB分别交MN于点D,E,BC,
AB分别交PQ于点F,G.
(1)若∠ADE=43°,求∠CFG的度数.
(2)点H为线段CA上一点,若______,求证:______.从①②中选
择一个题设,③④中选择一个正确的结论,将序号填在横线上,
并证明.
①∠HFC+∠CFG=180°;②2∠HFC+∠CFG=180°;③∠HFG-
∠ADE是定值;④ 是定值.
解析 (1)如图,过C作CK∥MN,
∴∠ACK=∠ADE=43°,
∵∠ACB=90°,
∴∠KCF=∠ACF-∠ACK=90°-43°=47°.
∵MN∥PQ,CK∥MN,∴CK∥PQ,
∴∠CFP=∠KCF=47°,∴∠CFG=180°-47°=133°.
(2)当选题设①时,结论④正确.
证明:如图,
同(1)得∠CFP=90°-∠ADE,∠CFG=90°+∠ADE,
∵∠HFC+∠CFG=180°,
∴∠HFC=180°-∠CFG=90°-∠ADE,
∴∠HFG=∠CFG-∠HFC=2∠ADE,
∴ =2,为定值.
当选题设②时,结论③正确.
证明:同(1)得∠CFP=90°-∠ADE,
∵2∠HFC+∠CFG=180°,∴2∠HFC=180°-∠CFG,
∵∠CFP=180°-∠CFG,∴2∠HFC=∠CFP,
∵∠CFP=90°-∠ADE,∴2∠HFC=90°-∠ADE,
∴∠HFC=45°- ∠ADE,
∴∠HFG=180°-∠PFC-∠HFC=180°-(90°-∠ADE)-
=45°+ ∠ADE,∴∠HFG- ∠ADE=45°,为定
值.(共30张PPT)
第七章 相交线与平行线
7.2 平行线
7.2.2 平行线的判定
平行线的判定
1.(2024甘肃兰州中考)如图,小明在地图上量得∠1=∠2,由此
判定幸福大街与平安大街互相平行,他判定的依据是 ( )
A.同位角相等,两直线平行
B
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.对顶角相等
解析 ∵∠1和∠2是内错角,∠1=∠2,∴判定幸福大街与平
安大街互相平行的依据是内错角相等,两直线平行.故选B.
2.(2025北京西城期中)某学校本学期课间延长至15分钟后,同
学们课间时都喜欢到户外去活动.其中,羽毛球是大家最喜欢
的球类运动之一,老师在校园东侧空地上为大家设计了一块
简易的羽毛球场,如图1所示,小明想帮助老师验证一下,边界
线AB和CD是否平行,如图2所示,在下列关于∠1,∠2,∠3,∠4
的条件中,可得到AB∥CD的是 ( )
B
A.∠1=90° B.∠1=∠2
C.∠1=∠3 D.∠2=∠4
解析 A.由∠1=90°无法判定AB∥CD;B.∵∠1=∠2,∴AB∥
CD;C.∵∠1=∠3,∴AC∥BD;D.∵∠2=∠4,∴AC∥BD.故选B.
3.【学科特色·教材变式P36T8】(2025浙江台州温岭期中)如
图,在下列条件中,能够说明AB∥CD的条件是 ( )
A.∠1=∠4 B.∠B=∠D
C.∠2=∠3 D.∠BAD+∠B=180°
A
解析 A.∵∠1=∠4,∴AB∥CD,故A符合题意;
B.由∠B=∠D不能判定AB∥CD,故B不符合题意;
C.∵∠2=∠3,∴AD∥BC,故C不符合题意;
D.∵∠BAD+∠B=180°,∴AD∥BC,故D不符合题意.故选A.
4.(1)我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法,如图①所示,
直线a∥b的依据是___________________________.
(2)木工师傅用角尺画出工件边缘AB的两条垂线CD,EF,就可
以找出两条平行线,如图②所示,直线CD∥EF的依据是
________________________________________________.
同位角相等,两直线平行
同位角相等,两直线平行(或同旁内角互补,两直线平行)
解析 (1)如图.
∵∠1=∠2,∴a∥b,
依据是同位角相等,两直线平行.
(2)∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴∠DCB=∠FEB=90°,∴CD∥EF,
依据是同位角相等,两直线平行.
(或者由∠DCB+∠FEA=180°,得CD∥EF,依据是同旁内角互
补,两直线平行)
5.【新考向·条件开放题】如图,在四边形ABCD中,点F在AD
的延长线上,点E在AB的延长线上,如果添加一个条件,使AB∥
DC,那么可添加的条件为____________________________
(写出一个即可).
∠FDC=∠A(答案不唯一)
解析 当∠FDC=∠A时,由同位角相等,两直线平行得AB∥
DC.(答案不唯一)
6.(2025福建泉州南安二模)如图,∠A=70°,O是AB上一点,直线
OD与AB所夹的角∠BOD=88°,要使OD∥AC,直线OD绕点O
按逆时针方向至少需旋转__________°.
18
解析 当∠BOD'=∠A=70°时,OD'∥AC,
∴∠DOD'=∠BOD-∠BOD'=88°-70°=18°.故直线OD绕点O按逆时针方向至少需旋转18°.
7.【学科特色·多解法】如图所示,∠BAF=38°,DC⊥CE,
∠ACE=128°.试判断直线AB与DC的位置关系,并说明理由.
解析 【解法一】AB∥DC.理由如下:
因为∠BAF=38°,∠BAF+∠CAB=180°,
所以∠CAB=142°.
因为DC⊥CE,所以∠DCE=90°.
又因为∠DCE+∠ACE+∠DCA=360°,∠ACE=128°,
所以∠DCA=142°.所以∠DCA=∠CAB,
所以AB∥DC(内错角相等,两直线平行).
【解法二】AB∥DC.理由如下:
如图,延长DC至G.
因为DC⊥CE,所以∠ECG=90°,
因为∠ACG+∠ECG=∠ACE=128°,
所以∠ACG=38°.
所以∠BAF=∠ACG,
所以AB∥DC(同位角相等,两直线平行).
8.(2025山东烟台牟平期中,★★☆)如图,O是直线AB上一点,
OE平分∠BOD,OF⊥OE,∠D=100°,李军同学添加了一个条件
后,仍不能判定AB∥CD,他添加的条件可能是 ( )
A.∠BOE=50° B.∠BOE+∠AOF=90°
C.∠AOF=40° D.180°-∠BOD=80°
B
解析 A.因为OE平分∠BOD,所以∠BOD=2∠BOE=100°,因
为∠D=100°,所以∠D=∠BOD,所以AB∥CD;
B.由∠BOE+∠AOF=90°不能判定AB∥CD;
C.因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°,所以∠AOF+∠BOE=90°,
因为∠AOF=40°,所以∠BOE=50°,所以∠BOD=2∠BOE=
100°,所以∠D=∠BOD,所以AB∥CD;
D.因为180°-∠BOD=80°,所以∠BOD=100°,
所以∠BOD=∠D,所以AB∥CD.故选B.
9.【新考向·规律探究题】(★★☆)在同一平面内,有直线a1,a2,
a3,a4,…,an,已知a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,……,按此规律,若
a1∥an,则n的值可以是 ( )
A.42 B.47 C.63 D.85
D
解析 ∵a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,……,
∴a1⊥a2,a1⊥a3,a1∥a4,a1∥a5,……,
∴从直线a2开始每条直线与a1的位置关系依次为两条与a1垂
直,两条与a1平行,再两条与a1垂直,两条与a1平行,……,即每两
条变化一次位置关系,4条一循环,
∴a1⊥a4m+2(m为自然数),a1⊥a4m+3,a1∥a4m+4,a1∥a4m+5,
∵42=4×10+2,47=4×11+3,63=4×15+3,85=4×20+5,
∴若a1∥an,则n的值可以是85,故选D.
10.【学科特色·易错题】(2025山西晋中榆次期中,★★☆)如
图所示的为一根弯折的铁丝,∠ABC=50°,工人师傅准备对该
铁丝进一步加工,在BC上的点D处进行弯折,欲使弯折后CD∥
AB,那么弯折后∠BDC的度数为________________.
50°或130°
解析 分两种情况:
①如图,
若∠BDC=∠ABC=50°,则AB∥CD;
②如图,
若∠BDC+∠ABC=180°,则AB∥CD,此时∠BDC=130°.
易错警示
本题容易漏掉∠BDC=130°的情况.
11.(2025河南郑州期中改编,★★☆)如图,△ABC是直角三角
形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF是△ABC中∠BAC的平分
线,∠CEF=∠CGD.请说明DG∥AF的理由.
解析 ∵AF是∠BAC的平分线,
∴∠CAF=∠BAF,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠CAF+∠AFC=90°,∠BAF+∠AED=90°,
∴∠AED=∠CFA,
∵∠AED=∠CEF,∠CEF=∠CGD,
∴∠CFA=∠CGD,∴DG∥AF.
12.【新课标·推理能力】(2025河北石家庄九中期中)如图,将
一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起,其中∠A=30°,
∠B=60°,∠D=∠E=45°.
【观察猜想】
(1)∠BCD与∠ACE的数量关系是______,∠BCE与∠ACD的
数量关系是______.
【类比探究】
(2)若保持三角尺ABC不动,将三角尺CDE绕直角顶点C顺时针
转动,试探究当∠ACD的度数为多少时,CE∥AB,简要说明理由.
【拓展应用】
(3)若∠BCE=3∠ACD,求∠ACD的度数,并直接写出此时DE与
AC之间的位置关系.
解析 (1)∵∠BCD+∠ACD=90°,∠ACE+∠ACD=90°,
∴∠BCD=∠ACE.∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE,
∴∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°.
故答案为∠BCD=∠ACE;∠BCE+∠ACD=180°.
(2)当∠ACD等于60°或120°时,CE∥AB.理由如下:
分两种情况:
①当∠ACE=∠A=30°时,CE∥AB,
此时∠ACD=∠DCE-∠ACE=90°-30°=60°.
②如图所示,
当∠BCE=∠B=60°时,CE∥AB,此时∠ACD=360°-∠ACB-
∠BCE-∠DCE=360°-90°-60°-90°=120°.
综上所述,当∠ACD等于60°或120°时,CE∥AB.
(3)设∠ACD=α,则∠BCE=3α.
易知无论三角尺CDE怎样放置,都有∠BCE+∠ACD=180°,
∴3α+α=180°,∴α=45°,即∠ACD=45°,
此时DE⊥AC或DE∥AC.(共39张PPT)
专项突破1 平行线“拐点”问题中的常见模型
猪蹄模型
1.【学科特色·多解法】如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,
已知∠2=28°,∠BPC=58°,则∠1的度数为 ( )
A.20° B.30° C.40° D.35°
B
解析 【解法一】作辅助线构造内错角相等:过点P作射线
PN∥AB,如图①.
∵PN∥AB,AB∥CD,∴PN∥CD,
∴∠4=∠2=28°,
∴∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°,
∵PN∥AB,
∴∠3=∠1,∴∠1=30°.故选B.
【解法二】作辅助线构造同旁内角互补:过点P作射线PM∥
AB,如图②.
∵PM∥AB,AB∥CD,∴PM∥CD,∴∠4=180°-∠2=180°-28°
=152°,∵∠4+∠BPC+∠3=360°,
∴∠3=360°-∠BPC-∠4=360°-58°-152°=150°,
∵AB∥PM,∴∠1=180°-∠3=180°-150°=30°.
故选B.
2.(2025安徽阜阳临泉模拟)如图所示的是某型号支架的示意
图,EO可以绕点O上下转动,OA⊥BC,∠B=25°,∠O=30°,
当EO∥AB时,EO需向上转动 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
C
解析 如图,过点O作OD∥AB,过点C作CF∥AB.
∵OA⊥BC,∴∠OCB=90°,即∠2+∠3=90°.
∵CF∥AB,∴∠2=∠B=25°.
∴∠3=90°-∠2=90°-25°=65°.
∵OD∥AB,CF∥AB,∴OD∥CF.
∴∠DOA=∠3=65°,即∠1+∠4=65°.
∵∠1=30°,∴∠4=65°-∠1=35°,
即∠DOE=35°,∴当EO∥AB时,EO需向上转动35°,
故选C.
3.(2025河南周口项城月考)如图,已知AB∥CD,BE和DF分别
平分∠ABF和∠CDE,若∠ABF=60°,∠CDE=50°,则∠E和∠F
的大小关系为( )
A.∠E>∠F B.∠E<∠F C.∠E=∠F D.无法判断
B
解析 ∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,
∴∠ABE=∠FBE= ∠ABF=30°,∠CDF=∠EDF= ∠CDE=
25°,
如图,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB,
∵AB∥CD,∴EG∥FH∥AB∥CD,
∴∠BEG=∠ABE=30°,∠BFH=∠ABF=60°,∠CDF=∠HFD=
25°,∠CDE=∠DEG=50°,
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,∠BFD=∠BFH+∠DFH=85°,
∴∠BED<∠BFD.故选B.
4.(2025河南郑州桐柏一中期中)如图,AB∥CD,ME⊥EF,则α,β,
γ之间的关系是 ( )
A.β=α+γ B.α+β+γ=180°
C.α+β-γ=90° D.β+γ-α=90°
C
解析 过点E作EH∥AB,过点F作FN∥AB,如图所示,
∵AB∥CD,∴EH∥AB∥CD∥FN,
∴∠MEH=∠BME=α,∠FEH=∠EFN,∠NFG=∠FGC=γ.
∵ME⊥EF,∴∠MEF=90°,
∴∠FEH=∠MEF-∠MEH=90°-α.
∵∠EFG=β,∴∠EFN=∠EFG-∠NFG=β-γ,
∵∠FEH=∠EFN,∴90°-α=β-γ,
∴α+β-γ=90°.
故选C.
5.【学科特色·整体思想】如图所示,AB∥CD,3∠ABF=2∠ABE,
3∠CDF=2∠CDE,则∠E∶∠F=___________.
3∶2
解析 如图,过点F作l2∥CD,过点E作l1∥CD,
∵AB∥CD,∴l1∥l2∥AB∥CD,
∴∠1=∠CDF,∠2=∠ABF,∠3=∠CDE,∠4=∠ABE,
∴∠DFB=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF,∠BED=∠3+∠4=∠CDE
+∠ABE,
∵3∠ABF=2∠ABE,3∠CDF=2∠CDE,
∴∠ABF= ∠ABE,∠CDF= ∠CDE,
∴∠BFD=∠1+∠2=∠CDF+∠ABF= (∠CDE+∠ABE)=
∠BED,
即∠BED∶∠BFD=3∶2.
6.(2025江苏徐州西苑中学期末)
(1)如图①,AB∥CD,试问∠2与∠1+∠3的关系是什么 并说明
理由.
(2)如图②,AB∥CD,试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的关系是什
么 请直接写出结论.
(3)如图③,AB∥CD,试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的
关系是什么 请直接写出结论.
解析 (1)∠2=∠1+∠3.理由如下:
如图,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥EF∥CD,
∴∠1=∠BEF,∠3=∠CEF,
∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3.
(2)∠2+∠4=∠1+∠3+∠5.
详解:如图,分别过点E,G,M作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN.
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠CMN=∠5,
∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+
∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5.
(3)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7.
详解:如图,分别过点E,G,M,K,P作EF∥AB,GH∥AB,MN∥AB,
KL∥AB,PQ∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ,
∴∠1=∠BEF,∠FEG=∠EGH,∠HGM=∠GMN,∠KMN=
∠LKM,∠LKP=∠KPQ,∠QPC=∠7,
∴∠2+∠4+∠6=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠KMN+∠KPQ+
∠QPC=∠1+∠EGH+∠HGM+∠LKM+∠LKP+∠7=∠1+∠3+
∠5+∠7.
铅笔模型
7.【学科特色·多解法】(2025山东青岛二十六中期中)如图所
示的是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平
行.若∠1=29°,∠2=50°,则∠3的度数为 ( )
C
A.139° B.149° C.159° D.169°
解析 如图,过点E作EF∥AB.
【解法一】∵AB∥CD,∴CD∥EF,
∴∠DEF=∠1=29°.
∵∠2=50°,∴∠BEF=∠2-∠DEF=50°-29°=21°.
∵EF∥AB,∴∠3=180°-∠BEF=180°-21°=159°.
故选C.
【解法二】∵EF∥AB,∴∠3+∠BEF=180°.
∵AB∥CD,∴CD∥EF,∴∠4+∠DEF=180°.
∴∠3+∠BEF+∠4+∠DEF=360°,
即∠3+∠2+∠4=360°.
∵∠2=50°,∴∠3+∠4=360°-50°=310°.
∵∠1=29°,∴∠4=180°-∠1=180°-29°=151°.
∴∠3=310°-∠4=310°-151°=159°.
故选C.
8.(2025浙江金华义乌期中)某景区电动升降栏杆的示意图如
图所示,BA垂直地面AE于A,当CD平行于地面AE时,∠ABC+
∠BCD= ( )
A.180° B.210° C.250° D.270°
D
解析 过点B作BF∥AE,如图,
∵CD∥AE,∴BF∥CD,∴∠BCD+∠CBF=180°.
∵AB⊥AE,BF∥AE,∴AB⊥BF.∴∠ABF=90°.
∴∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°.故
选D.
9.(1)如图①,∠CEF=90°,点B在射线EF上,AB∥CD.若∠ABE=
130°,求∠C的度数.
(2)如图②,∠CEF=120°,点B在射线EF上,AB∥CD.猜想∠ABE
与∠C的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,在(2)的条件下,作GC⊥CE,垂足为C,反向延长CD至
H,若∠GCH=θ,则∠ABE的度数为______(请用含θ的式子表
示).
解析 (1)如图①,过E作EK∥AB,
则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE=50°,
∵∠CEF=90°,∴∠2=90°-∠1=40°,
∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2=40°.
(2)∠ABE-∠C=60°,
理由:如图②,过E作EK∥AB,
则∠ABE+∠1=180°,∴∠1=180°-∠ABE,
∵AB∥CD,EK∥AB,∴EK∥CD,∴∠C=∠2.
∵∠CEF=∠1+∠2=120°,∴180°-∠ABE+∠C=120°,
∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°.
(3)150°-θ.
鹰嘴模型
10.(2025江苏镇江模拟)在数学活动课上,小丽同学将含30°角
的直角三角尺的一个顶点按如图所示的方式放置在直尺的一
边上,测得∠1=36°,则∠2的度数是 ( )
A.56° B.64° C.72° D.66°
D
解析 如图,过点E作EM∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥EM∥CD,∴∠3=∠1=36°,∠MEG=∠2.
∵∠FEH=30°,∴∠MEG=∠3+∠FEH=36°+30°=66°.
∴∠2=∠MEG=66°.故选D.
11.(2025天津滨海新区期中)如图,已知AB∥CD,E,F是直线AB
上方两点,连接AE,CE,AF,CF,已知AF平分∠BAE,且∠ECF=
∠ECD.若∠E=15°,∠ECD=75°,则∠F的度数为 ( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
C
解析 如图,过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB.
∵∠ECD=75°,∠ECF= ∠ECD,∴∠1=50°.
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EM∥FN.
∴∠4+∠AEC=∠ECD=75°.∵∠AEC=15°,∴∠4=75°-15°
=60°.
∵EM∥AB,∴∠EAB=∠4=60°.
∵AF平分∠BAE,∴∠3= ∠EAB=30°.
∵FN∥AB,∴∠2=∠3=30°.
∵FN∥CD,∴∠2+∠AFC=∠1=50°.
∴∠AFC=50°-30°=20°.故选C.
12.已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上.
(1)如图1,点P在AB的上方,则∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有何
数量关系 请说明理由.
(2)如图2,在(1)的条件下,若∠EPF=60°,∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G,求∠G的度数.
解析 (1)∠PFC=∠PEA+∠EPF.理由如下:
如图,过点P作PN∥AB,
因为AB∥CD,所以AB∥PN∥CD,
所以∠PEA=∠NPE,∠FPN=∠PFC,
所以∠PFC=∠FPN=∠NPE+∠EPF=∠PEA+∠EPF,即
∠PFC=∠PEA+∠EPF.
(2)如图,过点G作AB的平行线GH,
因为GH∥AB,AB∥CD,所以GH∥AB∥CD,
所以∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG,
又因为∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,所以
∠HGE=∠AEG= ∠PEA,∠HGF=∠CFG= ∠PFC,
由(1)知∠PFC=∠EPF+∠PEA,
所以∠HGF= (∠EPF+∠PEA),
所以∠EGF=∠HGF-∠HGE= (∠EPF+∠PEA)- ∠PEA=
∠EPF,
因为∠EPF=60°,所以∠EGF=30°.
