(共13张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
不等式
1.(2025江西萍乡期末)下列各式中,是不等式的是( )
A.x+2>y-7 B.a+b
C.x2-xy+y2 D.x=5
A
解析 选项B,C,D中没有不等号,选项A中有不等号.
故选A.
2.(2025广东揭阳期中改编)下列各式中,是不等式的有( )
①2x+1=2;②4x≠1;③-1<1;④7+3x≥3+7x;⑤1-x;⑥2x<3.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 根据不等式的定义可得,②4x≠1;③-1<1;④7+3x≥3+
7x;⑥2x<3是不等式,共4个.故选C.
3.小林想买2千克苹果,在水果摊上挑了几个苹果,摊主称了这
几个苹果说:“你看秤,高高的.”如果设苹果的实际质量为x
千克,用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是 ( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x>2 D.x<2
C
解析 “高高的”意思是“实际质量比2千克多”.故选C.
4.【学科特色·教材变式P123T1】(2025陕西西安新城月考)用
不等式表示下列不等关系:
(1)a的5倍加上b小于2.
(2)m的 与n的 的和是非负数.
(3)x的2倍减去x的 不大于11.
解析 (1)5a+b<2.
(2) m+ n≥0.
(3)2x- x≤11.
不等式的解与解集
5.(2025吉林中考)不等式x-3>2的解集为 ( )
A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1
A
解析 不等式x-3>2的解集为x>5.故选A.
6.(2025上海闵行期中)已知某个不等式的解集是x<-2,下列说
法正确的是 ( )
A.0是这个不等式的解
B.-3不是这个不等式的解
C.小于-3的数都是这个不等式的解
D.小于-1的数都是这个不等式的解
C
解析 A.0不是不等式的解;B.-3是不等式的解;C.小于-3的数
都是不等式的解;D.小于-1的数不一定是不等式的解.故选C.
7.(2025湖南浏阳期末)在“-3,-2,0,1,2”这五个数中,是不等式
2x+3>0的解的数共有_________个.
3
解析 当x=-3时,2x+3=2×(-3)+3=-3<0;
当x=-2时,2x+3=2×(-2)+3=-1<0;
当x=0时,2x+3=2×0+3=3>0;
当x=1时,2x+3=2×1+3=5>0;
当x=2时,2x+3=2×2+3=7>0.
所以0,1,2都是不等式2x+3>0的解,共有3个.
不等式解集的表示方法
8.(2024湖北中考)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的
是 ( )
A
解析 依题意得不等式的解集为x≥1,“x≥1”在数轴上表
示时,应在表示1的点上画实心圆点,且将折线向右画.故选A.
9.将下列不等式的解集分别表示在数轴上.
(1)x≥3. (2)x< .
解析 (1)如图1所示.
(2)如图2所示.
10.(2024河北中考,★★☆)下列数中,能使不等式5x-1<6成立
的x的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 当x=1时,5x-1=5×1-1=4,此时5x-1<6;
当x=2时,5x-1=5×2-1=9,此时5x-1>6;
当x=3时,5x-1=5×3-1=14,此时5x-1>6;
当x=4时,5x-1=5×4-1=19,此时5x-1>6.故选A.
11.(2025四川达州期中,★★☆)下列说法中,正确的是 ( )
A.x=1是不等式x<2的一个解 B.x=2是不等式3x>5的解集
C.不等式3x>9的解集是x=4 D.x<5是不等式x-5>0的解集
A
解析 A.∵1<2,∴x=1是不等式x<2的一个解,原说法正确;
B.不等式3x>5的解集为x> ,x=2只是不等式3x>5的一个解,原说
法错误;C.不等式3x>9的解集是x>3,x=4只是不等式3x>9的一
个解,原说法错误;D.不等式x-5>0的解集是x>5,原说法错误.故
选A.
12.(2025江苏淮安经济开发区期末,★★☆)对于实数x,我们把
不超过x的最大整数记作[x],例如:[1.5]=1,[-2.7]=-3.若实数x满
足[x]=-2,则实数x的取值范围是____________.
-2≤x<-1
解析 ∵[x]=-2,∴-2≤x<-1.(共14张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
不等式的性质
1.(2025湖南长沙期末)若x
A.x+5C. < D.-2x<-2y
D
解析 A.根据不等式的性质1,不等式两边都加5,不等号的方
向不变,故A选项正确;B.根据不等式的性质1,不等式两边都减
1,不等号的方向不变,故B选项正确;C.根据不等式的性质2,不
等式两边都除以2,不等号的方向不变,故C选项正确;D.根据不
等式的性质3,不等式两边都乘-2,不等号的方向改变,故D选项
错误.故选D.
2.(2025广西中考)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克
水、b克水,a>b.都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻
璃杯中水质量的大小关系的是 ( )
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+c A
解析 ∵初始时,两杯中水的质量分别为a克和b克,
∴都加入c克水后,两杯中水的质量变为(a+c)克和(b+c)克.
∵a>b,∴a+c>b+c.故选A.
3.(2025江苏常州中考)若 > ,则x-y______0.(填“>”“<”或
“=”)
>
解析 ∵ > ,∴x>y,∴x-y>0.
4.(2025山西吕梁期中)
(1)已知x>y,比较3x-2与3y-2的大小.
解:∵x>y,且3>0,
∴3x______3y(依据:______),
∴3x-2______3y-2(依据:______).
(2)若x解析 (1)>;不等式的性质2;>;不等式的性质1.
(2)∵x-2y(不等式的性质3).
∴5-2x>5-2y(不等式的性质1).
5.【学科特色·教材变式P125T2】已知m>-3,利用不等式的性
质写出下列各式的取值范围,并说明理由.
(1)m+2.(2) .(3)-4m.(4)-3m-7.
解析 (1)m+2>-1.理由:因为m>-3,所以m+2>-3+2(不等式的性
质1).所以m+2>-1.
(2) >- .理由:因为m>-3,所以 > (不等式的性质2).所以
>- .
(3)-4m<12.理由:因为m>-3,所以-4m<-4×(-3)(不等式的性质3).
所以-4m<12.
(4)-3m-7<2.理由:因为m>-3,所以-3m<-3×(-3)(不等式的性质3).
所以-3m<9.所以-3m-7<9-7(不等式的性质1).所以-3m-7<2.
6.(2025湖南常德期末,★★☆)若a>b,且c为实数,则下列不等
式正确的是 ( )
A.a2>b2 B.c-a>c-b C.ac>bc D.a(c2+1)>b(c2+1)
D
解析 A.3>-5,但是32<(-5)2,所以由a>b不能得到a2>b2,故A选项
不正确;B.a>b,不等式两边都乘-1,得-a<-b,不等式两边都加c,
得c-ab,当c=0时,ac=bc,故C选项不
正确;D.因为a>b,c2+1>0,所以a(c2+1)>b(c2+1),故D选项正确.故
选D.
7.(2025福建福州一中期末,★★☆)若关于x的不等式(2-a)x<3
可化为x> ,则a的取值范围是___________.
a>2
解析 ∵不等式(2-a)x<3可化为x> ,∴2-a<0,∴a>2.
8.【新考向·结论开放题】(2025河南洛阳洛宁模拟,★★☆)已
知x+a ,写出一个符合题意的a的值:______________
______.
-1(答案不唯一)
解析 ∵x+a ,∴a<0,∴a的
值可以是-1.(答案不唯一)
9.(2025江苏扬州江都期末,★★☆)在一次数学活动课上,老师
提出了一个问题:若a+b=3,a>1,b>-2,求2a+3b的取值范围.甲,
乙两位同学采用了两种不同的方法解决了这个问题.
甲:由a+b=3,得a=3-b.
由a>1,得3-b>1,从而-2由a+b=3,得b=3-a,
由b>-2,得3-a>-2,从而1故2<2a<10,-6<3b<6,
所以-4<2a+3b<16.
乙:由a+b=3,得a=3-b,
从而2a+3b=2(3-b)+3b=b+6,
由a>1,得3-b>1,从而-2所以4(1)______(填“甲”或“乙”)的解法正确.
(2)若a-b=m(其中m为常数),a≥2,b≤-1,求3a-b的最小值(用含m
的代数式表示).
解析 (1)甲:分别求解不等式后直接相加,忽略了a和b的相关
性,导致范围扩大,因此甲的解法错误.乙:通过代数变形把2a+
3b转化为关于b的式子,结合条件准确确定范围,因此乙的解法
正确.故答案为乙.
(2)∵a-b=m,∴b=a-m,∵b≤-1,∴a-m≤-1,∴a≤m-1,∴2≤a≤m
-1(由题意可知m≥3),∵3a-b=3a-(a-m)=2a+m,∴3a-b的最小值
是2×2+m=4+m.(共24张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
一元一次不等式的应用
1.小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞
每月存15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个月后小
霞的存款超过小明,则可列不等式为 ( )
A.52+15n>70+12n B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n
A
解析 小霞原有存款52元,每月存15元,n个月后有存款(52+15
n)元,小明原有存款70元,每月存12元,n个月后有存款(70+12n)
元,由题意可列不等式为52+15n>70+12n.故选A.
2.(2025四川宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞
赛,共有20道题,对每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.若
小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答
对的题数是 ( )
A.14道 B.13道 C.12道 D.11道
C
解析 设小明要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题
意得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,∴x的最小值为12,∴他至少
要答对的题数是12道.故选C.
3.(2025广东深圳福田期末)某企业要购进两款机器狗共5只,
如图所示,已知CyberDog 2的价格是1.3万元/只,Unitree Go2的
价格是1万元/只,且该企业购进两款机器狗的总费用不超过
6.2万元,则CyberDog 2最多可以购进 ( )
D
A.1只 B.2只 C.3只 D.4只
解析 设CyberDog 2可以购进x只,则Unitree Go2购进(5-x)只,
根据题意得1.3x+1×(5-x)≤6.2,解得x≤4.∴x的最大值为4,∴
CyberDog 2最多可以购进4只.故选D.
4.如图所示的为某影城的价目表,某社团16人去此影城看电
影,打算以比赛奖金6 000元购买电影票、爆米花与饮料.若要
让每人拿到一张电影票和一杯饮料,则最多可买爆米花的盒
数为( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
解析 设可以买x盒爆米花,根据题意可知买爆米花时选择优
惠二更划算,则320×16+35(16-x)+90x≤6 000,解得x≤ . .
∵x为整数,∴x的最大值为5,∴最多可买5盒爆米花.故选C.
5.(2025湖南湘西古丈月考)一套茶具包括1把茶壶和6只茶杯,
做1把茶壶需要0.6 kg的泥料,做1只茶杯需要0.15 kg的泥料,现
有泥料13 kg,那么所做的茶具套数最多是_________套.
8
解析 设所做的茶具套数为x套,由题意得0.6x+6×0.15x≤13,
解得x≤ ,所以x的最大整数值为8,故所做的茶具套数最多是
8套.
6.(2025湖南永州道县期中)某电子商品的进货价为400元,出
售时标价为500元,卖家准备打折出售,但要保持利润不低于50
元,则最多可以打几折
解析 设该电子商品可以打x折出售,
根据题意得500× -400≥50,解得x≥9,
∴x的最小值为9.
答:该电子商品最多可以打九折.
7.今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,如果每人种3棵,则
剩余20棵;如果每人种4棵,则还缺25棵.
(1)求该班的学生人数.
(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲树苗每棵30元,乙树苗每
棵40元,购买这批树苗的总费用没有超过5 400元,请问至少购
买了甲树苗多少棵
解析 (1)设该班的学生人数为x,
根据题意得3x+20=4x-25,解得x=45.
答:该班的学生人数为45.
(2)树苗一共有3×45+20=155(棵).
设购买了甲树苗y棵,则购买了乙树苗(155-y)棵,
根据题意得30y+40(155-y)≤5 400,
解得y≥80.∴y的最小值为80.
答:至少购买了甲树苗80棵.
8.(2025江苏南通启东期末,★★☆)如图,周日下午八年级某班
小明想到A站乘公交车返校上学,发现他与公交车的距离为
720 m.假设公交车的速度是小明速度的5倍.若要保证小明不会
错过这辆公交车,则小明到A站之间的距离最大为________m.
解析 设小明到A站之间的距离为x m,小明的速度为v m/s,则
公交车到A站之间的距离为(720-x)m,公交车的速度为5v m/s,
根据题意得 ≤ ,解得x≤120,
∴小明到A站之间的距离最大为120 m.
9.(2025上海闵行期末,★★☆)某城市一种共享单车的收费标
准是:前15分钟收1.5元,往后每15分钟收1元,不满15分钟按15
分钟算.一位同学电话手表中现有5元钱,在不欠费的前提下,
他用这些钱最多能骑行这种单车__________分钟.
60
解析 设在不欠费的前提下,他用这些钱能骑行这种单车15x
(x为正整数)分钟,根据题意得1.5+1× ≤5,解得x≤4.5,
∵x为正整数,∴x的最大值为4,
∴15x的最大值为60,∴在不欠费的前提下,他用这些钱最多能
骑行这种单车60分钟.
10.(2025贵州中考,★★☆)贵州省铜仁市被誉为“中国抹茶
之都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场
需求,某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知同时开
启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200 t,同时
开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280 t.
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨.
(2)为扩大生产规模,另一车间准备同时安装相同型号的A、B
两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶
不少于2 000 t,至少需要安装多少条A型生产线
解析 (1)设一条A型生产线每月生产抹茶x t,一条B型生产线
每月生产抹茶y t,
由题意得 解得
答:一条A型生产线每月生产抹茶120 t,一条B型生产线每月生
产抹茶80 t.
(2)设需要安装m条A型生产线,则安装B型生产线(5-m)条,
由题意得4×[120m+80(5-m)]≥2 000,
解得m≥2.5,
∵m为整数,∴m的最小值为3.
答:至少需要安装3条A型生产线.
11.【新课标·应用意识】东东家电某款电热水壶每个的原售
价为100元,现推出两种优惠活动,并规定购买此款电热水壶时
只能选择其中一种优惠活动.某单位计划一次性购买x个电热
水壶.
优惠活动一 当购买此款电热水壶不超过10个时,无优惠;当购买超过10个时,超过的部分每个打六折
优惠活动二 按原售价购买此款电热水壶,消费额每满1 000元减200元(如:购买电热水壶11个,花费100×11-200=900元;购买电热水壶21个,花费100×
21-400=1 700元)
(1)若该单位购买16个此款电热水壶,则选择哪种优惠活动更
合算 请说明理由.
(2)若该单位按原售价购买此款电热水壶的总费用不到3 000
元,且选择优惠活动一比选择优惠活动二更合算,请求出x的取
值范围.
解析 (1)选择优惠活动一更合算,理由如下:
选择优惠活动一所需费用为100×10+100×0.6×(16-10)=
1 360(元).
选择优惠活动二所需费用为100×16-200=1 400(元).
∵1 360<1 400,∴选择优惠活动一更合算.
(2)根据题意可知,100x<3 000,∴x<30.易知x>10.
若1015,
∴当15若20≤x<30,则100×10+100×0.6(x-10)<100x-400,解得x>20,
∴当20综上所述,当15惠活动二更合算.(共15张PPT)
专项突破10 利用不等式(组)求字母的值或取值范围
利用不等式(组)的解集求字母的值或取值范围
1.(2024四川南充中考)若关于x的不等式组 的解集为
x<3,则m的取值范围是 ( )
A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2
B
解析 解不等式2x-1<5,得x<3,
∵不等式组的解集为x<3,∴m+1≥3,∴m≥2.故选B.
2.(2025安徽六安期中)若不等式组 的解集是-1则a=_______.
-1
解析 解不等式2-x>0,得x<2,
∵不等式组有解,∴a∵不等式组的解集是-13.(2025山东德州宁津期末)若不等式-2x<1的解集能使关于x
的一元一次不等式2x>m+3成立,则m的取值范围是________.
m≤-4
解析 解不等式-2x<1,得x>- ,
解不等式2x>m+3,得x> ,
∵不等式-2x<1的解集能使关于x的一元一次不等式2x>m+3成
立,∴ ≤- ,解得m≤-4.
4.(2024湖北襄阳襄州月考)已知关于x的不等式x> 的解集
在数轴上表示如图,求a的值.
解析 由题图可知不等式的解集为x>2,
∴ =2,解得a=5.
5.(2025广西崇左月考)关于x的不等式组 的解集
为x≥1,求a的取值范围.
解析
解不等式①,得x>a+4,解不等式②,得x≥1,
∵关于x的不等式组 的解集为x≥1,
∴a+4<1,解得a<-3.
利用不等式(组)的特殊解求字母的值或取值范围
6.【新考向·结论开放题】(2025山东临沂期末)关于x的不等
式x-b≥0恰有两个负整数解,则b的值可以是__________
____.(填写一个满足题意的值即可)
-2(答案不唯一)
解析 解不等式x-b≥0,得x≥b,
∵关于x的不等式x-b≥0恰有两个负整数解,
∴负整数解为-2,-1,∴-3∴b的值可以是-2.(答案不唯一)
7.【学科特色·易错题】若关于x的不等式组 有
三个整数解,则实数a的取值范围为____________.
-3≤a<-2
解析 解不等式3(x-1)>x-6,得x>-1.5,
解不等式8-2x+2a≥0,得x≤a+4,
∵不等式组有三个整数解,
∴不等式组的整数解为-1,0,1,∴1≤a+4<2,解得-3≤a<-2.
易错警示
易漏掉边界数-3.
8.(2025陕西安康期末)如果整数a使得关于x的不等式组
有且仅有2个奇数解,那么整数a有_________个.
6
解析
解不等式①,得x>2,解不等式②,得x≤ ,
∵不等式组有解,∴不等式组的解集为2∵整数a使得关于x的不等式组有且仅有2个奇数解,
∴5≤ <7,解得-16-14,-13,-12,-11,-10,共6个.
9.(2025陕西西安高陵期中节选)已知关于x的不等式组
(1)若该不等式组有解,求m的取值范围.
(2)若该不等式组所有整数解的和为5,求m的取值范围.
解析 (1)解不等式2x+m>0,得x>- ,
∵该不等式组有解,∴- <4,解得m>-8.
(2)∵该不等式组所有整数解的和为5,
∴整数解为2,3或-1,0,1,2,3.
∴1≤- <2或-2≤- <-1,
解得-4 利用不等式组无解求字母的取值范围
10.(2025上海闵行期中改编)如果关于x的不等式组
无解,则a的取值范围为___________.
a≥5
解析
解不等式①,得x> a-5,解不等式②,得x≤ ,
∵不等式组 无解,
∴ a-5≥ ,解得a≥5.(共10张PPT)
专项突破11 解一元一次不等式(组)的特别题型
解“连续”型的不等式
1.【学科特色·多解法】(2024陕西西安期中)已知9<-3(x+4)≤
15,求x的取值范围.
解析 【解法一】利用不等式的性质求解:
9<-3(x+4)≤15,
去括号,得9<-3x-12≤15.
移项,得9+12<-3x≤15+12.
合并同类项,得21<-3x≤27.
系数化为1,得-9≤x<-7.
【解法二】组成不等式组求解:
由题意得
解不等式①,得x≥-9,
解不等式②,得x<-7,
∴x的取值范围为-9≤x<-7.
2.(2025甘肃武威期末)若关于x,y的方程组 的解满
足2(1)求a的取值范围.
(2)若3a+b=1,求b的取值范围.
解析 (1)解 得
∴x-2y=2a-2-2(4-a)=4a-10.
∵2(2)∵3a+b=1,∴a= ,
由(1)知3 解“分式”型的不等式
3.(2025广东佛山顺德月考)先阅读下面的材料,再解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式,如 >0,
<0等,怎样求出它们的解集呢 我们知道:两数相除,同号得正,
异号得负.
(1)若 >0,则 或______;若 <0,则______或______.
(2)根据上述信息,求不等式 >0和 <0的解集.
解析 (1)
(2)对于 >0,可知 或
解得x>2或x<-1.
对于 <0,可知 或
解得- 解“绝对值”型的不等式
4.(2024江苏盐城期末改编)观察下列不等式及其解集:
①|x|>1的解集为x>1或x<-1;
②|x|> 的解集为x> 或x<- ;
③|x|>15的解集为x>15或x<-15;
④|x|>100的解集为x>100或x<-100.
回答下列问题:
(1)|x|> 的解集是______.
(2)归纳:当a>0时,不等式|x|>a的解集是______.
(3)运用(2)中的结论解不等式|2x+1|>27.
解析 (1)x> 或x<- .
(2)x>a或x<-a.
(3)因为|2x+1|>27,
所以2x+1>27①或2x+1<-27②,
解①,得x>13,解②,得x<-14,
故不等式的解集为x>13或x<-14.(共16张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念
1.(2025河南郑州新郑期中)下列式子中,是一元一次不等式的
是 ( )
A.0>-1 B.x2+1>4 C.x+y≤0 D. +x<-12
D
解析 A.0>-1中不含未知数,不是一元一次不等式;
B.x2+1>4中未知数的次数是2,不是一元一次不等式;
C.x+y≤0中含有两个未知数,不是一元一次不等式;
D. +x<-12是一元一次不等式.故选D.
2.(2025重庆巴蜀中学期末)已知-3(m-3)x|m|-2-6>0是关于x的一
元一次不等式,则m的值为_______.
-3
解析 ∵-3(m-3)x|m|-2-6>0是关于x的一元一次不等式,∴|m|-2=
1,-3(m-3)≠0,解得m=-3.
一元一次不等式的解法
3.(2025广东梅州月考)不等式 x+2<1- x的解集在数轴上表
示正确的是 ( )
C
解析 移项,得 x+ x<1-2,合并同类项,得x<-1,将解集表示在
数轴上如图.故选C.
4.解下列不等式,并在数轴上表示解集.
(1)2(3+x)≥3(x+1). (2) -1< .
解析 (1)去括号,得6+2x≥3x+3,
移项,得2x-3x≥3-6,
合并同类项,得-x≥-3,
系数化为1,得x≤3,
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)去分母,得2(x+1)-6<3(2-x),
去括号,得2x+2-6<6-3x,
移项、合并同类项,得5x<10,
系数化为1,得x<2,
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
5.(2025河南三门峡期末,★★☆)若关于x的不等式 <-2x+a
的解集在数轴上表示如图所示,则a的值为 ( )
A.3 B.7 C.5 D.1
D
解析 去分母,得x-3<-4x+2a,移项、合并同类项,得5x<2a+3,
系数化为1,得x< ,由题中数轴可知,不等式的解集为x<1,
所以 =1,解得a=1.故选D.
6.【学科特色·易错题】(2024安徽无为月考,★★☆)规定max
{m,n}(m≠n)表示m,n中较大的数,若max - ,2 =2,则
x的取值范围是( )
A.x≤17 B.x<17 C.x>23 D.x<23
B
解析 由题意得 - <2,去分母,得2(2x-4)-3(x-1)<12.去
括号,得4x-8-3x+3<12.移项,得4x-3x<12+8-3.合并同类项,得x<
17.故选B.
易错警示
分子是多项式的,去分母后要加小括号,不含分母的项也要乘最简公分母.
7.【新考向·结论开放题】(2024山东烟台中考,★★☆)关于x
的不等式m- ≤1-x有正数解,m的值可以是____________
____(写出一个即可).
0(答案不唯一)
解析 原不等式整理得 x≤1-m,解得x≤2-2m,
∵原不等式有正数解,∴2-2m>0,解得m<1,故m可以取小于1的
任意实数,故m可以为0.(答案不唯一)
8.【学科特色·教材变式P137T4】(2025北京西城期中,★★
☆)解不等式 ≤4x+1,并写出它的所有负整数解.
解析 去分母,得5x-4≤8x+2,
移项,得5x-8x≤2+4,
合并同类项,得-3x≤6,
系数化为1,得x≥-2.
∴原不等式的负整数解为-1,-2.
微专题 利用不等式求二元一次方程组中字母的取值范围
1.(2025重庆江津期末)已知关于x,y的二元一次方程组
的解满足x+y<3,则m的取值范围是__________.
m>-
解析
①-②,得2x+2y=-4m-4,即x+y=-2m-2.
∵x+y<3,∴-2m-2<3,解得m>- .
2.若关于x,y的二元一次方程组 的解满足7x+5y<
-a-3,则a的取值范围是___________.
a>8
解析
①×2+②,得6x+2y+x+3y=2-2a+3,
整理,得7x+5y=5-2a.
∵7x+5y<-a-3,
∴5-2a<-a-3,解得a>8.
方法归纳
求二元一次方程组中字母或含该字母的式子的取值范围有两种方法:第一种方法是直接解方程组得未知数的表达式,然后根据条件列不等式求解;第二种方法是根据条件将方程组中的两个方程整体加减,结合不等关系列关于字母的不等式求解.(共28张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
11.1.2 不等式的性质
第2课时 不等式性质的简单应用
用不等式的性质解简单的不等式
1.(2025上海普陀月考)不等式-2x≥0的解集是 ( )
A.x≥0 B.x≤0 C.x≥-2 D.x≤-2
B
解析 -2x≥0,不等式两边同除以-2,得x≤0.故选B.
2.不等式4x≥3x-2的解集在数轴上表示正确的是 ( )
B
解析 4x≥3x-2,不等式的两边都减去3x,得x≥-2,这个不等式
的解集在数轴上表示如图所示.故选B.
3.(2025福建漳州期末)若关于x的不等式的解集在数轴上的表
示如图所示,则这个不等式的解集为___________.
x≤1
解析 直接读取数轴,得出关于x的不等式的解集为x≤1.
4.(2025江西中考)不等式-x+1>0的解集为___________.
x<1
解析 -x+1>0,不等式两边都减1,得-x>-1.
根据不等式的性质3,不等式两边同乘-1,得x<1.
5.(2025四川泸州中考)若点(1,a-2)在第一象限,则a的取值范围
是___________.
a>2
解析 ∵点(1,a-2)在第一象限,∴a-2>0,解得a>2.
6.根据不等式的性质,把下列不等式化成x>a或x括号中注明使用的是哪条不等式的性质).
(1)x+7>9. (2)6x<5x-3.
(3) x< . (4)- x>-1.
解析 (1)x+7>9,x+7-7>9-7(不等式的性质1),所以x>2.
(2)6x<5x-3,6x-5x<5x-3-5x(不等式的性质1),所以x<-3.
(3) x< , x×5< ×5(不等式的性质2),所以x<2.
(4)- x>-1,- x× <-1× (不等式的性质3),所以x< .
7.用不等式表示下列不等关系,写出解集并在数轴上表示解
集.
(1)b的3倍小于15.
(2)c的 大于或等于4.
(3)y与6的差不大于7.
(4)-d的2倍与1的和小于5.
解析 (1)由题意得3b<15,根据不等式的性质2,不等式的两边
都除以3,不等号的方向不变,得b<5,这个不等式的解集在数轴
上表示如图所示.
(2)由题意得 c≥4,根据不等式的性质2,不等式的两边都乘2,
不等号的方向不变,得c≥8,这个不等式的解集在数轴上表示
如图所示.
(3)由题意得y-6≤7,根据不等式的性质1,不等式的两边都加上
6,不等号的方向不变,得y≤13,这个不等式的解集在数轴上表
示如图所示.
(4)由题意得-2d+1<5,根据不等式的性质1,不等式的两边都减
去1,不等号的方向不变,得-2d<4,根据不等式的性质3,不等式
的两边都除以-2,不等号的方向改变,得d>-2,这个不等式的解
集在数轴上表示如图所示.
不等式性质的实际应用
8.【学科特色·教材变式P128练习T3】(2025四川成都金牛月
考)某日成都的最高气温为19 ℃,最低气温为8 ℃,则当天气温
t(℃)的变化范围是( )
A.t≥8 B.t≤19 C.8≤t≤19 D.8 C
解析 根据题意得8≤t≤19.故选C.
9.(2025山东淄博桓台期末)交通法规人人遵守,文明城市处处
安全.在通过桥洞时,我们往往会看到如图所示的标志,这是限
制车高的标志,表示能通过该桥洞的最大高度,则通过该桥洞
的车高x(单位:m)的范围可表示为 ( )
A.x≥4.5 B.x>4.5 C.x<4.5 D.0 D
解析 根据标志可得车高不超过4.5 m,因为车高是正数,所以
010.(2025广东茂名高州月考)如图,a,b,c三种物体的质量的大
小关系是_____________.
a>b>c
解析 由题图可知2a=3b,2b>3c,∴a>b,b>c,∴a>b>c.
11.(2025福建中考,★★☆)不等式 x+1≤2的解集在数轴上表
示正确的是 ( )
C
解析 根据不等式的性质1,不等式的两边都减去1,得 x≤1.
根据不等式的性质2,不等式的两边都乘2,得x≤2,将不等式的
解集表示在数轴上如图,故选C.
12.【学科特色·教材变式P129T9】(2025广西南宁良庆月考,
★★☆)如图,根据某机器零件的设计图纸上的信息(图中长度
单位:mm),可知下列该零件长度(L)合格的是( )
A.9.68 mm B.10.1 mm C.9.97 mm D.10.01 mm
D
解析 由题图可得10-0.01=9.99(mm),10+0.01=10.01(mm),∴
该零件长度(L)的合格尺寸为9.99 mm≤L≤10.01 mm.结合选
项可知D符合要求.故选D.
13.(2025四川成都龙泉驿月考,★★☆)若关于x的不等式2x-m
≤1的解集如图所示,则m=_________.
5
解析 不等式的两边同时加上m,得2x≤m+1,
不等式的两边同时除以2,得x≤ ,
由数轴可知,该不等式的解集为x≤3,
所以 =3,解得m=5.
14.(2025河北张家口桥西期中,★★☆)如图1,一个容量为200
cm3的杯子中装有50 cm3的水,将五颗相同的玻璃球放入这个
杯中,结果水没有满,如图2所示.
(1)设每颗玻璃球的体积为x cm3,列出x满足的不等式.
(2)已知每放一颗玻璃球,水增加10 cm3,若使水不溢出杯子,最
多能放几颗玻璃球
解析 (1)由题意得5x+50<200.
(2)设可以放m颗玻璃球,由题意得10m+50≤200,
不等式的两边都减去50,得10m≤150,
不等式的两边都除以10,得m≤15,
∴m的最大值为15.
答:使水不溢出杯子,最多能放15颗玻璃球.
15.(2025广东茂名高州月考,★★☆)阅读:通过作差的方式可
以比较两个数的大小.例如比较a,b两数的大小:当a-b>0时,一
定有a>b;当a-b=0时,一定有a=b;当a-b<0时,一定有a成立.
解决问题:甲、乙两个班分别从新华书店购进了A,B两种图
书,A种图书的进价为4元/本,B种图书的进价为10元/本.现甲
班购进了m本A种图书和n本B种图书,乙班购进了n本A种图书
和m本B种图书.
(1)分别用含m,n的式子表示甲、乙两个班的购书总费用.
(2)若m解析 (1)甲班的购书总费用为(4m+10n)元,乙班的购书总费
用为(4n+10m)元.
(2)(4m+10n)-(4n+10m)=4m+10n-4n-10m=6n-6m,∵m6n,即6n-6m>0,∴4m+10n>4n+10m.
答:乙班的购书总费用较少.
16.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】阅读:我们知
道|a|= 于是要解不等式|x-3|≤4,我们可以分两种情
况去掉绝对值符号,转化为我们熟悉的不等式,按上述思路,我
们有以下解法:
解:①当x-3≥0,即x≥3时,x-3≤4,不等式的两边都加上3,得x≤
7,所以3≤x≤7;
②当x-3<0,即x<3时,-(x-3)≤4,不等式的两边都先乘-1,再加上
3,得x≥-1,所以-1≤x<3.
所以原不等式的解集为-1≤x≤7.
根据以上思路,请解下列不等式:
(1)|x+1|≤2.
(2)|x-2|≥1.
解析 (1)①当x+1≥0,即x≥-1时,x+1≤2,
不等式的两边都减去1,得x≤1,∴-1≤x≤1;
②当x+1<0,即x<-1时,-(x+1)≤2,
不等式的两边都先乘-1,再减去1,得x≥-3,
∴-3≤x<-1.∴不等式|x+1|≤2的解集为-3≤x≤1.
(2)①当x-2≥0,即x≥2时,x-2≥1,
不等式的两边都加上2,得x≥3,∴x≥3;
②当x-2<0,即x<2时,-(x-2)≥1,
不等式的两边都先乘-1,再加上2,得x≤1,
∴x≤1.
∴不等式|x-2|≥1的解集为x≤1或x≥3.(共28张PPT)
第十一章自主检测
满分：100分 限时：40分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025四川成都温江期中)下列各式中,是不等式的是
( )
A.x-1=3 B.y-2x>3
C.x2-2x+1 D.x+y=1
B
解析 用不等号表示不等关系的式子是不等式,只有B含有不
等号.故选B.
2.(2024辽宁沈阳期中)一袋牛奶的包装盒上标重(200±2)g,则
这袋牛奶的实际质量x满足 ( )
A.x=200 g B.x=202 g
C.x=202 g或198 g D.198 g≤x≤202 g
D
解析 ∵一袋牛奶的包装盒上标重(200±2)g,
∴(200-2)g≤x≤(200+2)g,即198 g≤x≤202g.故选D.
3.(2024宁夏中考)已知|3-a|=a-3,则a的取值范围在数轴上表示
正确的是 ( )
A
解析 ∵|3-a|=a-3,∴a-3≥0,∴a≥3.故选A.
4.(2025北京通州期末)若m>n,则下列不等式成立的是 ( ）
A.-2m>-2n B.m-5C.m-n<0 D. >
D
解析 A.若m>n,根据不等式的性质3,得-2m<-2n,故选项A不
成立;B.若m>n,根据不等式的性质1,得m-5>n-5,故选项B不成
立;C.若m>n,根据不等式的性质1,得m-n>0,故选项C不成立;D.
若m>n,根据不等式的性质2,得 > ,故选项D成立.故选D.
5.(2025山西中考)不等式组 的解集是 ( )
A.x<2 B.x≥3 C.2 C
解析 解不等式①,得x>2,解不等式②,得x≤3,所
以不等式组的解集为26.关于x,y的方程组 的解中,x与y的和不大于3,则
k的取值范围是 ( )
A.k≥2 B.k≤2 C.k≥1 D.k≤1
B
解析 ①-②,得x+y=2k-1,
∵x与y的和不大于3,∴2k-1≤3,解得k≤2.故选B.
7.(2025安徽合肥蜀山期末)某公司为合肥市中小学智慧课堂
提供学生平板,成本为3 200元,标价为4 480元,如果公司要以
利润不低于5%的售价打折出售,则最多可打 ( )
A.9折 B.8.5折 C.8折 D.7.5折
D
解析 设可以打x折出售,根据题意得4 480× -3 200≥3 200×
5%,解得x≥7.5,
∴x的最小值为7.5,∴最多可打7.5折.故选D.
8.(2024安徽中考)已知实数a,b满足a-b+1=0,0列判断正确的是 ( )
A.- C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0
C
解析 ∵a-b+1=0,∴a=b-1,b=a+1.
∵0∴-2<2a<-1,∴-1∵0∴0∵a=b-1,∴2a+4b=2b-2+4b=6b-2,∵0∴-2<2a+4b<1,故选项C正确;
∵a=b-1,∴4a+2b=4b-4+2b=6b-4,∵0∴-4<4a+2b<-1,故选项D错误.
故选C.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025江苏扬州仪征月考)已知(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元
一次不等式,则m的值为_________.
4
解析 ∵(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元一次不等式,∴
解得m=4.
10.下列说法:①4是不等式x+3>6的解;②x+3<6的解集是x<2;
③3是不等式x+3≤6的解;④x>4是不等式x+3≥6解集的一部
分.其中正确的有________.(填序号)
①③④
解析 ①不等式x+3>6的解集为x>3,所以4是不等式x+3>6的
解,故①正确;②解x+3<6,得x<3,故②错误;③不等式x+3≤6的
解集为x≤3,所以3是不等式x+3≤6的解,故③正确;④不等式x
+3≥6的解集为x≥3,故x>4是不等式x+3≥6解集的一部分,故
④正确.所以正确的说法有①③④.
11.(2025青海中考)在平面直角坐标系中,点P(a-2,1+a)在第三
象限,则a的取值范围是____________.
a<-1
解析 ∵点P(a-2,1+a)在第三象限,
∴ 解a-2<0,得a<2.
解1+a<0,得a<-1.
所以不等式组的解集为a<-1.
12.【新考向·新定义题】(2025四川内江中考)对于x,y定义了
一种新运算G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组
恰好有3个整数解,则实数P的取值范围是
_____________.
-17≤P<-7
解析 ∵G(x,y)=x+3y,
∴关于a的不等式组 即为
解不等式①,得a≤1,解不等式②,得a> ,
∵不等式组有解,∴ ∵不等式组有3个整数解,∴整数解为-1,0,1,
∴-2≤ <-1,解得-17≤P<-7.
三、解答题(共40分)
13.(8分)解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1)(2024江苏连云港中考) (2)(2025北京中考改编)
解析 (1)去分母,得x-1<2(x+1),
去括号,得x-1<2x+2,
移项,得x-2x<2+1,
合并同类项,得-x<3,
系数化为1,得x>-3.
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
(2)
解不等式①,得x>-3,解不等式②,得x<1,
所以不等式组的解集为-3这个不等式组的解集在数轴上表示如图.
14.(10分)关于x,y的二元一次方程组 中,x的值为
负数,y的值为正数.
(1)用含m的代数式表示x,y.
(2)求m的取值范围.
解析 (1)
①+②,得2x=4m-2,∴x=2m-1,
②-①,得2y=2m+8,∴y=m+4.
(2)∵x的值为负数,y的值为正数,∴x<0,y>0,
∴
解不等式①,得m< ,解不等式②,得m>-4,
∴-415.(2025北京昌平期中)(10分)我们定义:如果两个一元一次不
等式有公共整数解,那么称这两个不等式互为“云不等式”,
其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”.
(1)不等式x≥2______x≤2的“云不等式”.(填“是”或“不
是”).
(2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3求m的取值范围.
(3)若a≠-1,关于x的不等式x+3>a与不等式ax-1≤a-x互为“云
不等式”,求a的取值范围.
解析 (1)因为不等式x≥2和不等式x≤2有公共整数解2,所以
不等式x≥2是x≤2的“云不等式”.故答案为是.
(2)解不等式x+2m≥0,得x≥-2m,
解不等式2x-3因为关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3所以-2m>3,解得m<- .
(3)解x+3>a,得x>a-3,整理ax-1≤a-x,得(a+1)x≤a+1,
①当a+1>0,即a>-1时,由(a+1)x≤a+1得x≤1,依题意得a-3<1,
即a<4,故-1②当a+1<0,即a<-1时,由(a+1)x≤a+1得x≥1,始终符合题意,故
a<-1.
综上,a的取值范围为a<-1或-116.(2025湖南长沙宁乡期末)(12分)“安全骑行齐参与,戴好头
盔记心中”,随着交通安全意识的增强,某城镇居民开始积极
购买头盔以保证骑行安全.某小商店购进A种头盔2个和B种
头盔1个共需208元,A种头盔3个和B种头盔5个共需620元.
(1)求A,B两种头盔的单价各是多少元.
(2)若该商店计划用不超过1 368元的资金购进A,B两种头盔共
20个,销售1个A种头盔可获利20元,销售1个B种头盔可获利32
元,且购进A种头盔的数量不能超过B种头盔的3倍,求该商店
共有几种购进方案.假如这些头盔能全部售出,最大利润是多
少元
解析 (1)设A种头盔的单价是x元,B种头盔的单价是y元,根据
题意得 解得
答:A种头盔的单价是60元,B种头盔的单价是88元.
(2)设购进m个A种头盔,则购进(20-m)个B种头盔,根据题意得
解得14≤m≤15,
∵m为整数,∴m=14或15,∴该商店共有2种购进方案,
方案1:购进14个A种头盔,6个B种头盔,可获得
的总利润为20×14+32×6=472(元),
方案2:购进15个A种头盔,5个B种头盔,可获得的总利润为20×
15+32×5=460(元).
∵472>460,∴最大利润是472元.
答:该商店共有2种购进方案,假如这些头盔能全部售出,最大
利润是472元.(共13张PPT)
专项突破9 不等式中的易错点
易忽视隐含条件
1.(2025广东清远清城期中)已知(m-2)x|m|-1+3>2是关于x的一元
一次不等式,则m的值为_______.
-2
解析 ∵(m-2)x|m|-1+3>2是关于x的一元一次不等式,∴
解得m=-2.
方法归纳
若ax+b>0(或ax+b<0或ax+b≥0或ax+b≤0或ax+b≠0)为关于x
的一元一次不等式,则a≠0.
2.(1)已知a>b,则ac2______bc2.
(2)已知ac2>bc2,则a______b.
(3)已知 < ,则ac______bc,ac2______bc2.
≥
>
>
<
解析 (1)∵a>b,c2≥0,∴ac2≥bc2.
(2)∵ac2>bc2,∴c≠0,∴c2>0.∴a>b.
(3)因为 ≥0,且 是分母,所以 >0,所以-c>0,所以c<0,
所以c2大于0.
< 两边同乘一个正数 ,可知aabc;
a易错警示
注意甄别不等式两边同乘的数是不是0.
系数化为1时,易错把不等式的性质3当性质2
3.(2025上海虹口期末)解不等式:2x+3>5x-6.
解析 移项,得2x-5x>-6-3.
合并同类项,得-3x>-9.
系数化为1,得x<3.
去括号时易出错
4.解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来.
(1)(2025陕西西安月考)1-2x<3(1-x).
(2)(2025福建漳州长泰期中)2(x+1)-1≥4x-3.
解析 (1)去括号,得1-2x<3-3x.
移项,得-2x+3x<3-1.
合并同类项,得x<2.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
(2)去括号,得2x+2-1≥4x-3.
移项,得2x-4x≥-3+1-2.
合并同类项,得-2x≥-4.
系数化为1,得x≤2.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
5.(2025北京平谷期末)解不等式5-2(2-x)≤3(x-1),并把解集在
数轴上表示出来.
解析 去括号,得5-4+2x≤3x-3.
移项,得2x-3x≤-3-5+4.
合并同类项,得-x≤-4.
系数化为1,得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
去分母时易出错
6.解不等式: x-2<1- x.
解析 x-2<1- x,
去分母,得5x-30<15-3x,
移项,得5x+3x<15+30,
合并同类项,得8x<45,
系数化为1,得x< .
7.(2025陕西延安月考)解不等式 -1< ,并将解集表示
在数轴上.
解析 去分母,得2(2x+1)-6<3x-2.
去括号,得4x+2-6<3x-2.
移项,得4x-3x<-2-2+6.
合并同类项,得x<2.
把不等式的解集表示在数轴上,如图所示.
8.(2025四川泸州期中)x取哪些正整数时,代数式3- 的值不
小于代数式 的值
解析 根据题意可以列出不等式3- ≥ ,
去分母,得24-2(x-1)≥3(x+2).
去括号,得24-2x+2≥3x+6.
移项,得-2x-3x≥6-2-24.
合并同类项,得-5x≥-20.
系数化为1,得x≤4.
所以x的正整数值为1,2,3,4.(共25张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
一元一次不等式组及其解法
1.(2025上海浦东新区期中)下列不等式组中,是一元一次不等
式组的是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 A. 中含两个未知数,不是一元一次不等式组;
B. 中第二个不等式未知数x的最高次数是2,不是
一元一次不等式组;
C. 是一元一次不等式组;
D. 中第一个不等式未知数在分母上,不是一元一次
不等式组.故选C.
2.(2025四川宜宾中考)满足不等式组 的解是 ( )
A.x=-3 B.x=-1 C.x=1 D.x=3
C
解析 不等式组 的解集为0足要求.故选C.
3.(2025内蒙古中考)不等式组 的解集在数轴上表示
正确的是 ( )
C
解析 解不等式x-1≥0,得x≥1,又因为x<3,所以不等式组的解
集为1≤x<3,将解集表示在数轴上如图.故选C.
4.(2025宁夏中考)不等式组 的解集是___________.
x<2
解析 解不等式①,得x<2,解不等式②,得x≤5,则
原不等式组的解集为x<2.
5.解下列不等式组:
(1) (2)
解析 (1)解不等式2x-5>3,得x>4.
解不等式2x-1∴不等式组无解.
(2)解不等式3x+1>x-3,得x>-2.
解不等式 > ,得x>3,
所以不等式组的解集是x>3.
6.(2025北京昌平期中)解不等式组 并写出它
的所有整数解.
解析 解不等式2x-1<0,得x< ,
解不等式4(x+1)≤7x+10,得x≥-2,
所以原不等式组的解集为-2≤x< ,
所以原不等式组的整数解为-2,-1,0.
列一元一次不等式组解决实际问题
7.(2025广西百色田阳期末)某工厂试制新产品2 000只,工本费
共700元,每只售价2元,则保证盈利1 000元以上的情况下,售出
的产品数量x(只)的范围是 ( )
A.850C.850 A
解析 依题意得
解得8508.【学科特色·教材变式P141T5】(2025浙江杭州十三中期末)
小太阳幼儿园要把若干个苹果分给一些小朋友,如果每人分5
个,那么余7个;如果每人分6个,那么最后一名小朋友分到了苹
果但分到的苹果少于3个,则小朋友至少有( )
A.11人 B.12人 C.13人 D.14人
A
解析 设有x个小朋友,则有(5x+7)个苹果,
根据题意得 解得10∵x是整数,∴x=11或12,
∴小朋友至少有11人.故选A.
9.为丰富学生课余生活,学校准备购买象棋和围棋共120副,已
知象棋每副25元,围棋每副30元,围棋的数量不少于象棋数量
的2倍,且总费用不超过3 500元.设购买围棋m副,列出关于m的
不等式组并求出m的取值范围.
解析 因为购买围棋m副,所以购买象棋(120-m)副,
根据题意得
解得80≤m≤100.
10.(2025四川南充营山二模,★★☆)已知不等式组
无解,则a的取值范围是 ( )
A.a<1 B.a≤1 C.a>1 D.a≥1
B
解析 解不等式-2x+3<1得x>1,解不等式x-a<0得x不等式组无解,所以a≤1.故选B.
11.【学科特色·分类讨论思想】(2025北京通州期末,★★☆)
若实数m满足-1数解的和是 ( )
A.9 B.9或10
C.8或10 D.8或9
B
解析 解不等式组 得m≤x<5.∵-1∴不等式组的整数解有0,1,2,3,4或1,2,3,4或2,3,4,∴不等式组
的所有整数解的和为0+1+2+3+4=10或1+2+3+4=10或2+3+4=
9.故选B.
12.(2025四川南充中考,★★☆)不等式组 的解集是
x>2,则m的取值范围是___________.
m≤3
解析 解不等式x-3>-1,得x>2,解不等式-x<-m+1,得x>m-1.∵
不等式组的解集是x>2,∴m-1≤2,∴m≤3.
13.(2025湖北十堰丹江口期末改编,★★☆)已知
且-4 -1解析 ①-②,得x-y=2k-2,
∵-414.(2024四川泸州中考,★★☆)某商场购进A,B两种商品,已知
购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元;购进5件A商品和
2件B商品总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元.
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数
不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售,B商品按
每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不
低于1 770元,则购进A商品的件数最多为多少
解析 (1)设A商品每件进价是x元,B商品每件进价是y元,根据
题意得 解得
答:A商品每件进价是100元,B商品每件进价是60元.
(2)设购进m件A商品,则购进(60-m)件B商品,
根据题意得
解得19≤m≤20,∴m的最大值为20.
答:购进A商品的件数最多为20.
15.【新课标·运算能力】若关于x的不等式组 的整
数解仅有1,2,3,则a+b的最大值为__________.
26
解析 解不等式①,得x≥ ,解不等式②,得x< ,
∴不等式组的解集为 ≤x< ,∵关于x的不等式组
的整数解仅有1,2,3,∴0< ≤1,3< ≤4,解得0∴a的最大值为6,b的最大值为20,∴a+b的最大值为6+20=26.
16.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】(2025北京石
景山期末)已知不等式(组)M和不等式(组)N都有解,若不等式
(组)M的解集中的任何一个值都是不等式(组)N的解,则称不等
式(组)N“包围”不等式(组)M.例如,x-1>0的解集是x>1,x+1>0
的解集是x>-1,所以不等式x+1>0“包围”不等式x-1>0.
(1)已知不等式Q:x+2>0,则以下不等式(组)能“包围”不等式
Q的有______.
①x≤-2;②x≥-2;③ ④
(2)已知不等式A:3x+2m<5x-3m,不等式B:x-1≥3,若不等式B
“包围”不等式A,则m的取值范围是______.
(3)已知关于x的不等式3x-2a>3a+2“包围”不等式组
若T=3a-2b-4c且满足a+b+3c=18,3a-2b-c=-11,求T
的取值范围.
解析 (1)∵不等式Q为x+2>0,∴x>-2.
①不等式x≤-2不能“包围”不等式Q.
②不等式x≥-2能“包围”不等式Q.
③解不等式组 得-2∴此不等式组不能“包围”不等式Q.
④解不等式组 得x≥-3,
∴此不等式组能“包围”不等式Q.故答案为②④.
(2)∵不等式A:3x+2m<5x-3m,∴x> m.
∵不等式B:x-1≥3,∴x≥4.
∵不等式B“包围”不等式A,∴ m≥4,∴m≥ .
故答案为m≥ .
(3)解不等式3x-2a>3a+2,得x> .
解不等式组 得 ∵关于x的不等式3x-2a>3a+2“包围”不等式组
∴ ≤ < ,∴a≤-7.
∵a+b+3c=18,3a-2b-c=-11,
∴b=3+2a,c=5-a.
∴T=3a-2b-4c=3a-2(3+2a)-4(5-a)
=3a-6-4a-20+4a=3a-26.
∵a≤-7,∴T≤-47.
