(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
二元一次方程(组)的定义
1.(2025浙江杭州月考)下列方程中,属于二元一次方程的是
( )
A.x+y=2 B.x2+y=0 C.xy=2 D.x-y=2z
A
解析 x+y=2是整式方程,且含有两个未知数,含未知数的项的
次数都是1,是二元一次方程;x2+y=0中x2的次数是2,不是二元
一次方程;xy=2中xy的次数是2,不是二元一次方程;x-y=2z中含
有3个未知数,不是二元一次方程.故选A.
2.(2025北京钱学森中学教育集团期中)下列方程组:①
② ③ 其中是二元一次方程组
的是 ( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③
D
解析 ① 中含有3个未知数,不是二元一次方程组;
② 中第一个方程不是整式方程,所以不是二元一次
方程组;③ 是二元一次方程组.故选D.
3.【学科特色·易错题】(2025山东潍坊青州月考)若(m-3)x+2y|m-2|+6
=0是关于x,y的二元一次方程,则m=_________.
1
解析 由题意得|m-2|=1且m-3≠0,解得m=1.
易错警示
漏掉m-3≠0的条件,使方程可能变为一元一次方程.
4.(2025江苏扬州仪征三模)有一道古算题,大意是1亩好田的
价钱是300钱,7亩坏田的价钱是500钱,一人买了好田、坏田一
共100亩,花费了10 000钱,问他各买了多少亩好田和坏田 设
买了好田x亩,坏田y亩,根据题意可列方程组为______________
____________________.
解析 ∵好田、坏田一共买了100亩,∴x+y=100,
∵1亩好田是300钱,7亩坏田是500钱,且共花费了10 000钱,
∴300x+500×(y÷7)=10 000,
∴列出方程组为
二元一次方程(组)的解
5.(2025福建三明永安期末)下列四组数值中,不是二元一次方
程3x-y=6的解的是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 把四个选项中x,y的值分别代入方程进行判断即可.
6.【学科特色·教材变式P90T2】(2025江苏南通期中)下列方
程组中,解是 的是 ( )
A. B. C. D.
C
解析 A.当x=-2,y=-1时,x+y=-3,x-2y=0,不符合题意;B.当x=-2,y
=-1时,2x=-4≠-1,不符合题意;C.当x=-2,y=-1时,x+y=-3,x-y=-1,
符合题意;D.当x=-2,y=-1时,x+y=-3≠0,不符合题意.故选C.
7.(2025北京昌平期末改编)已知 是方程3x+my=5的解,则
m的值为_________.
1
解析 将x=1,y=2代入方程3x+my=5,得3+2m=5,
解得m=1.
8.【新考向·数学文化】(2025四川广安中考,★★☆)《九章算
术》中有一道题,原文:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不
足四.问:人数、物价各几何 ”译文:假设多人共同买东西,如
果每人出8钱,盈余3钱;每人出7钱,不足4钱.问:人数、物价各
多少 设人数为x,物价为y钱,则可列方程组为( )
A. B. C. D.
B
解析 因为“每人出8钱,盈余3钱”,所以y+3=8x,即y=8x-3.因
为“每人出7钱,不足4钱”,所以y-4=7x,即y=7x+4.所以可列方
程组为 故选B.
9.(2025北京育英学校期末,★★☆)已知
是二元一次方程2x-y=0的三个解, 是二元
一次方程x+2y=5的三个解,则二元一次方程组 的解
是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 是方程2x-y=0的解,
是方程x+2y=5的解,则二元一次方程组 的解
是两个方程的公共解,即 故选B.
10.(★★☆)为提高学生学习兴趣,增强动手实践能力,某校为
物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线,将其
全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种
长度的导线至少一根),则截取方案共有 ( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
C
解析 设截成x根10 cm的导线,截成y根20 cm的导线,根据题
意得10x+20y=150,∴x=15-2y,
∵x,y是正整数,
∴ 或 或 或 或 或 或
即截取方案共有7种.故选C.
11.【学科特色·整体思想】(2025江苏泰州期末,★★☆)已知
方程组 的解是 则方程组
的解为_________.
解析 ∵方程组 的解为
∴在方程组 中,可得x-1=2,y-1=3,解得x=3,
y=4,
∴方程组 的解为 (共22张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第2课时 几何图形问题和工程问题
几何图形问题
1.(2025四川自贡中考)某小区人行道地砖铺设图案如图所示,
用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若
大平行四边形短边长为40 cm,则每块小平行四边形地砖短边
长为( )
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
B
解析 设每块小平行四边形地砖的长边长为x cm,短边长为y
cm,由题意得 解得
所以每块小平行四边形地砖的短边长为8 cm.故选B.
2.【学科特色·数形结合思想】(2025河南驻马店上蔡期中)如
图,四边形ABCD为一长方形纸带,AB∥CD,将长方形ABCD沿
EF折叠,A,D两点分别与A',D'对应,若∠CFE=2∠BEA',设
∠BEA'=x°,∠CFE=y°,根据题意可得 ( )
D
A. B.
C. D.
解析 ∵∠CFE=2∠BEA',∴y=2x,
∵AB∥CD,∴∠AEF=∠CFE=y°,∠BEF+∠EFC=180°,
根据翻折的性质可得∠FEA=∠FEA'=y°,
∴x+2y=180,列方程组得 故选D.
3.【新考向·数学文化】(2025福建三明二模改编)幻方起源于
中国,是我国古代数学的杰作之一,是一种将数字填在正方形
格子中,使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字
和都相等的填数游戏.图①是一个幻方,图②是一个未完成的
幻方,根据图②可得出x,y的值分别为_________.
-1,1
4 9 2
3 5 7
8 1 6
2x 3 2
x+2y -3
4y
图① 图②
解析 根据第一行(从上往下数)与第三列(从左往右数)的和
相等,斜对角线(左上到右下)与第一行(从上往下数)的和相等,
列出方程组得 解得
工程问题
4.(2025河北邯郸期中)甲、乙两人修同一段路,若甲先修一天,
乙再开始修,乙开始5天后两人修的长度一样多;若甲先修30
m,乙再开始修,4天后乙比甲多修10 m,甲、乙两人每天分别
修路多少 设甲每天修x m,乙每天修y m,列出的方程组是
( )
A. B.
C. D.
D
解析 由“甲先修一天,乙再开始修,5天后两人修的长度一样
多”得6x=5y;由“若甲先修30 m,乙再开始修,4天后乙比甲多
修10 m”得30+4x=4y-10,列出方程组得 故选
D.
5.(2025天津滨海月考)有一项要生产154个零件的任务.若甲
先做5天,乙再加入合做,则再做3天可超产2个;若乙先做5天,然
后两人合做3天,则还有13个零件未完成,则甲每天生产______
个零件,乙每天生产__________个零件.
12
15
解析 设甲每天生产x个零件,乙每天生产y个零件,
由题意得 解得
故甲每天生产15个,乙每天生产12个.
6.【学科特色·教材变式P103T3】(2025安徽合肥蜀山三模)某
县计划对一河道进行改造,现有甲、乙两个工程队参加改造
施工,受条件限制,每天只能由一个工程队施工.若甲工程队先
单独施工2天,再由乙工程队单独施工1天,则可以完成220米的
施工任务;若甲工程队先单独施工3天,再由乙工程队单独施工
2天,则可以完成360米的施工任务.求甲、乙两个工程队平均
每天分别能完成多少米的施工任务.
解析 设甲工程队平均每天能完成x米的施工任务,乙工程队
平均每天能完成y米的施工任务,
由题意得 解得
答:甲工程队平均每天能完成80米的施工任务,乙工程队平均
每天能完成60米的施工任务.
7.(2025福建厦门期末,★★☆)如图,在长方形ABCD中,放入6
个形状、大小都相同的小长方形,所标尺寸如图所示,则阴影
部分的面积为 ( )
A.60 cm2 B.64 cm2 C.67 cm2 D.180 cm2
C
解析 设小长方形的长为x cm,宽为y cm,
由题图可得 解得
∴CD=x+y=10+3=13(cm),
∴阴影部分的面积=13×19-6×3×10=67(cm2).故选C.
8.(2025河北中考,★★☆)甲、乙是两张等宽的长方形纸条,长
分别为a,b.如图,将甲纸条的 与乙纸条的 叠合在一起,形成
长为81的纸条,则a+b=__________.
99
解析 根据题意得 解得
∴a+b=99.
9.(2025山东菏泽定陶期末节选,★★☆)某建工集团下有甲、
乙两个工程队,现中标承建一段公路,若让两队合做,24天可以
完工,需花费120万元;若让两队合做20天后,剩下的工程由乙
队单独做,还需20天才能完成,这样只需花费110万元.
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需花费多少万元
解析 (1)设甲队每天工作效率为a,乙队每天工作效率为b,
由题意得 解得
∴1÷a=1÷ =30,1÷b=1÷ =120.
答:甲队单独完成此项工程需30天,乙队单独完成此项工程需
120天.
(2)设甲队单独做需花费x万元,乙队单独做需花费y万元,
由题意得 解得
答:甲队单独做需花费135万元,乙队单独做需花费60万元.
10.【新课标·几何直观】【学科特色·综合与实践】(2025山
西长治武乡期中)综合与实践.
长方体纸盒的制作
素材1:如图1,在纸盒制作的劳动实践课上,对规格是150 cm×30 cm的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.
素材2:现将52张原材料纸板全部裁剪(每张原材料纸板只能全部裁成A型纸板或全部裁成B型纸板)得到的A型与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面,做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒(1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面,接缝处忽略不计)
根据上述材料,完成下列任务.
任务一:每张原材料纸板可以裁得A型纸板______张或裁得B
型纸板______张.
任务二:根据素材1、素材2,问:怎样裁剪才能使裁出的A,B型
纸板恰好用完 能做多少个纸盒
解析 任务一:每张原材料纸板可以裁得A型纸板150÷50=3
张或裁得B型纸板150÷30=5张.故答案为3;5.
任务二:设用x张原材料纸板裁A型纸板,y张原材料纸板裁B型
纸板,
根据题意得 解得
∴能做纸盒的数量为 = =30个.
答:用40张原材料纸板裁A型纸板,12张原材料纸板裁B型纸
板,才能使裁出的A,B型纸板恰好用完,能做30个纸盒.(共23张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
代入消元法解二元一次方程组
1.(2025山东东营广饶期中)用代入消元法解方程组
时,代入正确的是 ( )
A.2x-3+x=5 B.2x-3-x=5 C.2x+3+x=5 D.2x+3-x=5
A
解析 把②代入①,得2x-(3-x)=5,去括号,得2x-3+
x=5.故选A.
2.(2024山东淄博淄川二模)由方程组 可得出x与y之
间的关系是( )
A.x+y=1 B.x+y=-1
C.x+y=7 D.x+y=-7
B
解析 把②代入①得x+y-3=-4,则x+y=-1.故选B.
3.(2025河北唐山滦南期中)下面是老师在黑板上展示的某同
学用代入消元法解方程组的部分步骤,其中开始出现错误的
是 ( )
解:
由①得x= ③,……步骤一
把③代入②,得3× -5y=5,……步骤二
去分母,得24-9y-10y=5,……步骤三
解得y=1,再由③得x=2.5.……步骤四
A.步骤一 B.步骤二
C.步骤三 D.步骤四
解析 步骤三中去分母应得24-9y-10y=10,原解法中,去分母
时等号右边漏乘2.故选C.
答案 C
4.(2025广东广州期中)以方程组 的解为坐标的点
(x,y)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 把①代入②,得4(2y-5)+3y=2,解得y=2.把y
=2代入①,得x=-1,点(-1,2)位于第二象限.故选B.
5.【学科特色·教材变式P93T1】方程5y-3x+7=0,用含有x的式
子表示y为___________,用含有y的式子表示x为___________.
x=
y=
解析 5y-3x+7=0,移项,得5y=3x-7,
y的系数化为1,得y= .
5y-3x+7=0,移项,得5y+7=3x,
x的系数化为1,得x= .
6.(2024江苏无锡中考)二元一次方程组 的解为____
_____.
解析 由①得y=3x-1③,
把③代入②,得2x+3(3x-1)=8,解得x=1.
把x=1代入③,得y=2.所以原方程组的解为
7.(2025山东淄博周村期中改编)解方程组:
(1) (2)
解析 (1)
把①代入②,得5x-2(3x-7)=8,解得x=6.
把x=6代入①,得y=11.所以原方程组的解是
(2) 由①得s=3t-1③,
把③代入②,得5(3t-1)-9t=-13,解得t=- ,
把t=- 代入③,得s=-5,
所以原方程组的解是
8.用代入法解下列方程组:
(1)(2025江苏泰州泰兴期中)
(2)(2025福建厦门六中期中)
解析 (1) 由①得x= ③,
把③代入②,得 -3y=-5,解得y=3.
把y=3代入③,得x=2.所以原方程组的解为
(2)整理,得
把①代入②,得3(6y+1)-2y=-5,解得y=-0.5.
把y=-0.5代入①,得x=6×(-0.5)+1=-2.
所以原方程组的解为
9.(2025广东广州天河期中,★★☆)用代入消元法解方程组
正确的解法是 ( )
A.先将①变形为x= ,再代入②
B.先将①变形为y= ,再代入②
C.先将②变形为x= -1,再代入①
D.先将②变形为y=9(4x-1),再代入①
B
解析 A.先将①变形为x= ,再代入②,不符合题意;B.先
将①变形为y= ,再代入②,符合题意;C.先将②变形为x=
,再代入①,不符合题意;D.先将②变形为y= ,再代入
①,不符合题意.故选B.
10.(2025甘肃陇南武都期末,★★☆)已知 是二元一次方
程组 的解,则2m-n的值是( )
A.4 B.1 C.2 D.-2
A
解析 把 代入二元一次方程组
可得 由②得m=2n-1③,
把③代入①,得2(2n-1)+n=8,解得n=2,
把n=2代入③,得m=2×2-1=3,
∴2m-n=2×3-2=6-2=4.故选A.
11.(2025四川凉山州中考改编,★★☆)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,
则x+y的立方根是_________.
2
解析 ∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,
∴ 由②得y=11-2x③,
把③代入①,得3x+2(11-2x)-19=0,解得x=3.
把x=3代入③,得y=11-2×3=5.
∴x+y=3+5=8,∴x+y的立方根是2.
12.(2024山西中考改编,★★☆)当下电子产品更新换代的速
度加快,废旧智能手机的数量不断增加.科学处理废旧智能手
机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从
每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从
2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金克数与从0.6吨废旧智能
手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能
提炼出黄金与白银各多少克.
解析 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克.
根据题意,得
将①代入②,得2.5x=0.6(x+760),解得x=240,
将x=240代入①,得y=1 000,所以方程组的解为
答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
13.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】(2025江苏
泰州期中改编)阅读探索.
材料一:解方程组 时,采用了一种“换元
法”,解法如下:
解:设 则原方程组可化为 解得 即
解得
材料二:解方程组 时,采用了一种“整体代换”
的解法,解法如下:
解:将方程②变形为2(4x+10y)+2y=10③,把方程①代入③,得2×
6+2y=10,解得y=-1,把y=-1代入①,得4x-10=6,解得x=4,所以原
方程组的解为
根据上述材料,解决下列问题:
(1)运用“换元法”求关于a,b的方程组 的解.
(2)若关于x,y的方程组 的解为 求关于m,n的
方程组 的解.
(3)已知x,y,z满足 运用“整体代换”的方法求y
的值.
解析 (1)设 -1=x,b-2=y,则原方程组可化为 解得
即 解得
(2)因为关于x,y的方程组 的解为 所以
解得
(3)因为3x+4y+6z=5,所以3x+4y+6z=3(x+y+2z)+y=5,
因为x+y+2z=1,所以3+y=5,解得y=2.(共35张PPT)
第十章 二元一次方程组
*10.4 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的定义
1.下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
D
解析 A选项,第二个方程中x2的次数是2;
B选项,第一个方程中分母含有未知数;
C选项,第二个方程中xyz的次数是3;
D选项,方程组中含有三个未知数,且含有未知数的式子都是
整式,含有未知数的项的次数都是1,一共有三个方程,故D选项
中的方程组是三元一次方程组.故选D.
三元一次方程组的解法
2.(2025河北邯郸期中)三元一次方程组 消去未
知数c后,所得的二元一次方程组可以是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析
②-③,得3a+3b=3,即a+b=1④.
③×3,得3a-3b+3c=0⑤.
①+⑤,得5a-2b=19⑥.
④⑥联立成二元一次方程组得 故选A.
3.【学科特色·多解法】(2025河南周口期中)三元一次方程组
的解是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 【解法一】直接代入法:把各选项中的x,y,z的值代入三
元一次方程组,逐项判断即可得到B选项正确.
【解法二】解方程组:方程组为
把①代入②,得5x+3(2x-7)=1,解得x=2.
将x=2代入①,得y=2×2-7=-3.
把x=2代入③,得3×2-4z=4,解得z= .
所以原方程组的解为 故选B.
4.请认真观察,动脑筋想一想,图中“ ”表示的数是 ( )
A.420 B.240 C.160 D.70
B
解析 设题图中一个篮球表示的数是x,一顶帽子表示的数是
y,一双鞋表示的数是z,
依题意得
①+②,得2x+3z=140④,
③+④,得4x=160,解得x=40,
把x=40代入③,得2×40-3z=20,解得z=20,
把x=40,z=20代入①,得40+3y+2×20=110,解得y=10,
则方程组的解为
故x+yz=40+10×20=240.故选B.
5.(2025贵州铜仁碧江期末)已知 是方程组 的
解,则a+b+c的值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.无法确定
A
解析 把 代入方程组得
①+②+③,得4a+4b+4c=12,所以a+b+c=3.故选A.
6.(2025四川内江期中)已知a,b,c满足方程组 则
a∶b∶c=_____________.
1∶2∶1
解析
①×2,得2a-4b+6c=0③,
③-②,得-b+2c=0,即b=2c.
将b=2c代入①,得a-2×2c+3c=0,
整理得a-c=0,即a=c,
所以a∶b∶c=c∶2c∶c=1∶2∶1.
7.(2025山东潍坊期中)某市举行中学生足球联赛,比赛的计分
规则为胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分.某中学足球队在
该联赛的12场比赛中,平和负的场数之和等于胜的场数,共得2
0分.设该队在联赛中胜x场、平y场、负z场,则列三元一次方
程组为_________.
解析 因为共12场比赛,所以x+y+z=12.
因为平和负的场数之和等于胜的场数,所以x=y+z.
因为共得了20分,所以3x+y=20.
所以方程组为
8.(2025上海闵行期末)解方程组:
解析
②+③,得3x+y=-1④,
④×3,得9x+3y=-3⑤,
⑤-①,得7x=-7,解得x=-1.
把x=-1代入①,得-2+3y=4,解得y=2.
把x=-1,y=2代入②,得-2-2+2z=-4,解得z=0.
所以原方程组的解为
9.【学科特色·多解法】(2024湖南衡阳耒阳期末)解方程组:
解析 【解法一】整体+加减:
①+②+③,得2x+2y+2z=22.
整理得x+y+z=11④,
④-①,得z=6,
④-②,得x=2,
④-③,得y=3,
所以这个三元一次方程组的解为
【解法二】整体+代入:
①+②+③,得2x+2y+2z=22,
整理得x+y+z=11④,
把①代入④,得5+z=11,解得z=6,
把②代入④,得9+x=11,解得x=2,
把③代入④,得8+y=11,解得y=3,
所以这个三元一次方程组的解为
【解法三】代入消元:
由①得x=5-y④.
把④代入③,得z+5-y=8,整理得z-y=3⑤.
②与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组,得
把y=3代入①,得x+3=5,解得x=2.
所以这个三元一次方程组的解为
10.【学科特色·教材变式P111练习T2】(2025云南昆明期中,
★★☆)在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=0;当x=
2时,y=3,则a,b,c的值分别为( )
A.-2,3,-5 B.3,-2,-5
C.-5,-2,3 D.-5,3,-2
B
解析 ∵等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=0;当x=
2时,y=3,
∴ 解得 故选B.
11.(2025福建泉州期中,★★☆)为确保信息安全,信息需要加
密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解
密).加密规则如下:明文a,b,c对应的密文分别为a+1,2b-4,3c+9.
例如:明文1,-2,3对应的密文分别为2,-8,18.若接收方收到密文
4,-6,9,则解密得到的明文分别为 ( )
A.3,0,-1 B.3,-1,0
C.5,-16,36 D.4,-2,3
B
解析 根据题意得 解得
∴解密得到的明文分别为3,-1,0.故选B.
12.【新考向·数学文化】(2025福建福州期中,★★☆)北魏数
学家张丘建被称“算圣”,他所著的《张丘建算经》中记载
了各种计算,其中有一题:今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,
鸡雏三,值钱一,凡百钱买百鸡,问翁、母、雏各几何 译:一只
公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,三只小鸡值1钱.现用100钱买100
只鸡(三种鸡都要买),请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只
设买公鸡x只,母鸡y只,小鸡z只,则下列不符合题意的选项是
( )
D
A. B.
C. D.
解析 由题意得
解得y=25- x,z=75+ x.
∵x,y,z均为小于100的正整数,
∴ 或 或 故选D.
13.【学科特色·教材变式P110例3】(2025重庆大足月考,★★
☆)有一个三位数,各数位上的数字之和为10,百位上的数字比
十位上的数字大1,若把百位上的数字与个位上的数字对调,所
得的新数比原数的3倍大61,则原来的三位数是___________.
217
解析 设原来的三位数的百位上的数字为x,十位上的数字为
y,个位上的数字为z,
根据题意得
解得 ∴原来的三位数是217.
14.【新课标·应用意识】(2025北京海淀期中)列方程组解应
用题.越野爱好者吴悠分三次从甲地出发,沿着不同的线路(A
线、B线、C线)去乙地.在每条线路上,都分为穿越丛林、涉
水行走和攀登山峰这三种路况,且他在同种路况下行进的速
度不以线路改变而变化.已知他涉水行走2 h的路程与攀登山
峰3 h的路程相等.B线、C线路程相等,都比A线路程多40%,A
线总时间等于C线总时间的 ,他用了3 h穿越丛林、2 h涉水
行走和2 h攀登山峰走完A线,在B线中一共用了10 h,其中涉水
行走所用时间比A线增加了50%,攀登山峰所用时间也比A线
增加了50%.若他用了x h穿越丛林、y h涉水行走和z h攀登山
峰走完C线,且x,y,z都为正整数,求x,y,z的值.
解析 ∵他涉水行走2 h的路程与攀登山峰3 h的路程相等,∴
设他涉水行走的速度为3n km/h,攀登山峰的速度为2n km/h,
穿越丛林的速度为m km/h,
由题意得
整理得
由②得m=5n,将m=5n代入①,得5x+3y+2z=35③,
∵A线总时间等于C线总时间的 ,
∴x+y+z=(3+2+2)×2=14④,③-④×2,得3x+y=7.
∵x,y是正整数,
∴x=1,y=4,z=9或x=2,y=1,z=11.(共30张PPT)
第十章自主检测
满分：100分 限时：40分钟
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025浙江台州期中)下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.x+y+z=0 B.x2+y=0
C.x+y=0 D. =1
C
解析 x+y+z=0中含有三个未知数,故不是二元一次方程;x2+y
=0中x的次数是2,故不是二元一次方程;x+y=0是二元一次方
程; =1中 不是整式,所以不是二元一次方程.故选C.
2.(2025河南濮阳期中)若方程组 是二元一次方程组,
则“……”可以是 ( )
A.x=2y B.xy=1 C. + =2 D.x2=1
A
解析 A.x=2y与x+y=2能组成二元一次方程组;B.xy=1中含未
知数的项的次数是2,与x+y=2不能组成二元一次方程组;C. +
=2中 , 不是整式,与x+y=2不能组成二元一次方程组;D.x2=
1中含未知数的项的次数是2,与x+y=2不能组成二元一次方程
组.故选A.
3.【学科特色·多解法】(2025浙江衢州二模)由方程组
可以得出x与y的关系是 ( )
A.y=-8x+2 B.y=-8x-2
C.y=8x+2 D.y=8x-2
C
解析 【解法一】常规解法:由m-2x=2得m=2x+2,将m=2x+2代
入方程2m- y=3,得2(2x+2)- y=3,整理得y=8x+2.故选C.
【解法二】整体代入:由m-2x=2得2m-4x=4,所以2m=4x+4,由
2m- y=3得2m=3+ y,所以4x+4=3+ y,整理得y=8x+2.故选C.
4.(2025山西晋城沁水期中)解方程组 你认为下列
四种方法中,最简便的是 ( )
A.由②得x=y+2,代入法消去x
B.由①得y=7-2x,代入法消去y
C.由①-②×2,加减消元法消去x
D.由①+②,加减消元法消去y
D
解析 的两个方程中的y的系数互为相反数,∴解
方程组的最简便方法是由①+②,加减消元法消去y.故选D.
5.已知方程组 则x+y+z的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
解析 ①+②+③,得2x+2y+2z=3+(-6)+9,∴x+y+z=
3.故选A.
6.(2025河北石家庄桥西月考)李明、王超两位同学同时解方
程组 李明解对了,得 王超抄错了m,得
则原方程组中a的值为 ( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
解析 把 和 代入ax+by=2,
得 ①-②,得5b=0,解得b=0.
把b=0代入①,得-2a=2,解得a=-1.故选B.
7.(2025重庆潼南期末)某家具厂设计的桌椅套装,1张桌子配4
把椅子.该厂一天能生产桌子12张或椅子32把,现决定用20天
时间生产一批这样的桌椅,且生产的桌子和椅子正好配套.设
安排x天生产桌子,y天生产椅子,下列方程(组)中,与题意不符
的是 ( )
A. B.
C.4×12x=32(20-x) D.4×12(20-y)=32y
B
解析 因为用了20天的时间生产桌椅,所以x+y=20.因为该厂
一天能生产桌子12张或椅子32把,1张桌子配4把椅子,所以4×
12x=32y.列方程组为 所以B与题意不符.故选B.
8.(2025黑龙江齐齐哈尔中考)神舟二十号发射窗口时间恰逢
第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,
学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用载客
45人和60人两种客车(两种客车都要租),若每名学生都有座位
且每辆客车都没有空座位,则租车方案有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
B
解析 设租用载客45人客车x辆,载客60人客车y辆,
由题意得45x+60y=900,∴x=20- y,
∵x,y均为正整数,∴y=3,x=16或y=6,x=12或y=9,x=8或y=12,x=
4.∴共有4种租车方案.
故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025山东东营广饶期中)已知(5-a)x+y|a|-4=2是关于x,y的二元
一次方程,则a的值是_______.
-5
解析 由题意得5-a≠0,|a|-4=1,解得a=-5.
10.已知二元一次方程2x+3y-1=0的一个解为 则2a+3b+
2 022=_____________.
2 023
解析 把 代入方程得2a+3b-1=0,
即2a+3b=1,则2a+3b+2 022=1+2 022=2 023.
11.(2025河南南阳社旗期中)一辆汽车从A地驶往B地,前三分
之一路段为普通公路,其余路段为高速公路,已知汽车在普通
公路上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100
km/h,汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h.设普通公路、高速
公路的路程分别为x km,y km,则可列方程组为____________
________________________.
解析 因为普通公路、高速公路的路程分别为x km,y km,普
通公路的路程占总路程的 ,所以y=2x.
因为汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h,所以 + =2.2.列方
程组得
12.(2024安徽芜湖期末)用四张形状、大小完全相同的小长方
形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案,若点A(1.8,
4.2),则点B的坐标是__________________.
(-4.2,1.2)
解析 设小长方形纸片的长为x,宽为y,
依题意得 解得
∵点B在第二象限,∴点B的坐标为(-4.2,1.2).
三、解答题(共40分)
13.(8分)
(1)用代入法解方程组:
(2)用加减法解方程组:
解析 (1) 由②得x=5-y③,
把③代入①,得2(5-y)-y=7,解得y=1.
把y=1代入③,得x=5-1=4.
所以原方程组的解为
(2)
①×2,得4x+6y=8③,
③-②,得15y=5,解得y= .
把y= 代入①,得2x+3× =4,解得x= .
所以原方程组的解为
14.(10分)已知关于x,y的方程组 和方程组
的解相同.
(1)求这两个方程组的相同解.
(2)求2a+b的立方根.
解析 (1)根据题意,得 解得
故两方程组的相同解为
(2)∵ ∴ 解得
∴2a+b=2×2+3=7.∴2a+b的立方根为 .
15.(2025上海崇明期中)(10分)某学校组织甲、乙两班学生参
加“美化校园”的义务劳动.如果甲班做2小时,乙班再做3小
时,则恰好完成全部工作的一半;如果甲班做3小时,乙班再做6
小时,恰好完成全部工作的 .若单独完成这项工作,甲、乙两
班各需多少时间
解析 设甲班每小时的工作效率为x,乙班每小时的工作效率
为y,
根据题意得 解得
则甲班单独完成需要1÷ =8(小时),乙班单独完成需要1÷ =
12(小时).
16.(2025浙江绍兴期中)(12分)小林在某商店购买商品A,B若
干次(每次A,B两种商品都购买),其中第一、二次购买时,均按
标价购买;第三次购买时,商品A,B有打折优惠.三次购买商品
A,B的数量和费用如下表:
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购买 6 5 980
第二次购买 3 7 940
第三次购买 9 8 1 216
(1)求商品A,B的标价.
(2)若第三次购买时商品A,B的折扣相同,则该商店是打几折出
售这两种商品的
(3)在(2)的折扣下,若小林第四次购买共花了1 200元,则小林
有哪几种购买方案
解析 (1)设商品A的标价为x元/个,商品B的标价为y元/个,
根据题意得 解得
答:商品A的标价为80元/个,商品B的标价为100元/个.
(2)1 216÷(80×9+100×8)×10=8.
答:商店是打8折出售这两种商品的.
(3)设小林购买m个商品A,n个商品B,
根据题意得80×0.8m+100×0.8n=1 200,
∴n=- +15.
∵m,n均为正整数,∴m=5,n=11或m=10,n=7或m=15,n=3.
答:小林有三种购买方案,方案一:购买5个商品A,11个商品B;
方案二:购买10个商品A,7个商品B;方案三:购买15个商品A,3
个商品B.(共24张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和差倍分问题和配套问题
和差倍分问题
1.(2024广东广州花都期末)地理老师介绍:长江比黄河长899
千米,黄河长度的6倍比长江长度的5倍多969千米.小东为了求
出长江和黄河的长度,设长江长为x千米,黄河长为y千米,可列
方程组为( )
A. B.
C. D.
A
解析 根据“长江比黄河长899千米”得x-y=899;根据“黄河
长度的6倍比长江长度的5倍多969千米”得6y-5x=969.联立得
方程组 故选A.
2.(2024四川绵阳中考)每只蜻蜓有6条腿,2对翅膀,每只蝉有6
条腿,1对翅膀.现有若干只蜻蜓和蝉,共有42条腿,10对翅膀,则
蜻蜓和蝉的只数分别是 ( )
A.3,4 B.4,3 C.2,5 D.5,2
A
解析 设蜻蜓有x只,蝉有y只,
由题意得 解得 故选A.
3.【跨物理·天平平衡】(2025山东德州德城月考)如图所示的
两架天平保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质
量也相等,则一块巧克力的质量是 ( )
A
A.20 g B.25 g C.15 g D.30 g
解析 设每块巧克力的质量为x g,每个果冻的质量为y g,
由题意得 解得
∴一块巧克力的质量是20 g.故选A.
4.【新课标·中华优秀传统文化】5月31日至6月2日,2024年国
家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行,道州龙船船头造型
分龙、虎、凤、麒麟四大类,按色彩又分“六龙五虎”和
“金凤银麒”,代表着每个村落、社区特有的宗族信仰、文
化标识和审美意趣,据了解本次比赛共计212条龙船参赛,创造
了一项新的吉尼斯世界纪录,其中“六龙五虎”龙船数量比
“金凤银麒”龙船数量的17倍少4条,则参赛的“金凤银麒”
龙船有__________条.
12
解析 设参赛的“六龙五虎”龙船有x条,参赛的“金凤银
麒”龙船有y条,
依题意得 解得
∴参赛的“金凤银麒”龙船有12条.
5.(2025北京房山二模)为增强学生的劳动意识,养成良好的劳
动习惯和品质,某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”
实践活动,计划组织学生种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲
作物和2亩乙作物需要27名学生,种植4亩甲作物和1亩乙作物
需要26名学生.问:种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少
名学生
解析 设种植1亩甲作物需要x名学生,种植1亩乙作物需要y
名学生,
根据题意得 解得
∴x+y=5+6=11.
答:种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要11名学生.
配套问题
6.在某景区的景观布置中,要制作一种特色景观灯,每张特殊
材料板可制作灯身20个或灯座32个,一个灯身与两个灯座配
成一套完整的景观灯,现共有36张这种特殊材料板,用________
张制作灯身,__________张制作灯座,可以使灯身和灯座正好配套.
20
16
解析 设用x张制作灯身,y张制作灯座,可以使灯身和灯座正
好配套,
根据题意得 解得
故用16张制作灯身,20张制作灯座,可以使灯身和灯座正好配
套.
7.(2025上海黄浦月考)某一条产线上共有29名工人,平均每个
工人每天可以生产24个A种零件或32个B种零件,且10个A种
零件和6个B种零件正好配套,请问应该如何安排工人生产才
能使每天生产的A,B两种零件全部配套
解析 设应该安排x名工人生产A种零件,y名工人生产B种零件,
根据题意得 解得
答:应该安排20名工人生产A种零件,9名工人生产B种零件.
8.(2024内蒙古赤峰中考,★★☆)用1块A型钢板可制成3块C型
钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D
型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问恰好用A型
钢板、B型钢板各多少块 设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则
可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 ∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板,用
1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板,且现在需要58
块C型钢板、40块D型钢板,∴3x+5y=58,4x+2y=40.列方程组
为 故选C.
9.【学科特色·多解法】(2025山东潍坊青州月考,★★☆)欢
欢、乐乐和萌萌三个人玩飞镖游戏,各投6支飞镖,规定投中同
一区域得分相同,三人中靶和得分情况如图,则萌萌得分为_____
_____分.
33
解析 设投中A区域得x分,投中B区域得y分,
根据题图可得
【解法一】②×2,得4x+8y=60③.
③-①,得6y=24,解得y=4.
把y=4代入②,得2x+4×4=30,解得x=7.
所以3x+3y=3×7+3×4=33.
所以萌萌得分为33分.
【解法二】①+②,得6x+6y=66,
整理得3x+3y=33,所以萌萌得分为33分.
10.(2025宁夏中卫八中期末,★★☆)佳佳和亮亮做加法游戏,
佳佳在一个加数后面多写了一个0,得到的两数的和为234,而
亮亮在另一个加数后面多写了一个0,得到的两数的和为63.这
两个数相加的正确的和应该是__________.
27
解析 设一个加数为x,另一个加数为y.
根据题意得 解得
所以这两个数相加的正确的和应该是23+4=27.
11.(★★☆)首届“校园杯”足球赛火热进行中,足球是用黑
白两种颜色的皮块缝制而成的,如图所示,黑色皮块是正五边
形,白色皮块是正六边形.一般一个足球上有黑、白皮块共32
块,请你计算一下,黑色皮块有_______块,白色皮块有____块.
(注:每块白色皮块有3条边与黑色皮块相连,所有黑色皮块的
边均与白色皮块相连)
20
12
解析 设白色皮块有x块,黑色皮块有y块,
由题意得 解得
所以白色皮块有20块,黑色皮块有12块.
12.【跨生物·营养成分】(2025山东德州五中期中,★★☆)为
响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生
到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐,
这两种食品每包质量均为50 g,营养成分表如下.
若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质,应选用
A,B两种食品各多少包 (用方程组解决)
解析 设选用A种食品m包,B种食品n包.
由题意可得 解得
答:选用A种食品4包,B种食品2包.
13.【新课标·应用意识】【新课标·中华优秀传统文化】(202
5江苏徐州新沂二模)算盘是我国优秀文化遗产,它以排列成
串的算珠作为计算工具,中间横梁把算珠分为上、下两部分,
每个上珠代表5,每个下珠代表1.如图,小华在百位拨了一颗上
珠和一颗下珠,然后对小明说:“我将要拨的三位数中,个位上
的数字是十位上的数字的2倍,若把个
位上的数字与十位上的数字对调,所
得的新的三位数比原三位数大36.”
请帮小明求出原三位数.
解析 设原三位数的个位上的数字为x,十位上的数字为y,
由题意得 解得
由题意可知,百位上的数字为6,
∴原三位数为648.(共29张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
加减消元法解二元一次方程组
1.(2025河南南阳期中)解方程组 时,若将①-②可
得 ( )
A.-2y=-1 B.-2y=1
C.4y=1 D.4y=-1
D
解析 ①-②可得(2x+y)-(2x-3y)=3-4,整理得4y=-1.故选D.
2.(2025山东淄博张店七中月考)数学课堂上,王老师让大家用
加减消元法解方程组 下面是四位同学的求解
过程,其中正确的是 ( )
A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去x,可以将①×3-②×5
C.要消去y,可以将①×3+②×2 D.要消去x,可以将①×5-②×2
D
解析 要消去y,可以将①×3+②×5;要消去x,可以将①×5-②×2.故选D.
3.(2025河北石家庄月考)二元一次方程组 的解是
( )
A. B. C. D.
C
解析 ①+②得2x=6,解得x=3.
把x=3代入①,得3-y=1,解得y=2.
所以原方程组的解为 故选C.
4.(2025浙江台州天台期末)下面是解方程组 的过程
导图:
其中“ ”处为________.
②+③
解析 观察题图可知②+③得5x=15,∴“ ”处为②+③.
5.【学科特色·多解法】(2025福建泉州德化月考)已知
则代数式4m-8n-3的值为________.
-11
解析 【解法一】
①+②,得3m=-4,解得m=- .
把m=- 代入①,得- +n=-1,解得n= .
所以4m-8n-3=4× -8× -3=-11.
【解法二】 ②-①,得m-2n=-2,
所以4m-8n-3=4(m-2n)-3=4×(-2)-3=-11.
6.【学科特色·多解法】【学科特色·教材变式P96练习】用加
减消元法解方程组:
(1)(2024广西中考)
(2)(2024浙江中考改编)
(3)(2025上海闵行期末)
解析 (1)
【解法一】加法消元:①+②,得2x=4,解得x=2.
把x=2代入①,得2+2y=3,解得y= .
所以原方程组的解为
【解法二】减法消元:①-②,得4y=2,解得y= .
把y= 代入②,得x-2× =1,解得x=2.
所以原方程组的解为
【解法三】加法、减法分别消元:
①+②,得2x=4,解得x=2,
①-②,得4y=2,解得y= ,
所以原方程组的解为
(2)整理方程组,得
【解法一】①×3+②,得10x=5,解得x= ,
把x= 代入①得2× -y=5,解得y=-4,
所以原方程组的解为
【解法二】①×2-②,得-5y=20,解得y=-4,
把y=-4代入①,得2x+4=5,解得x= ,
所以原方程组的解为
(3)整理方程组,得
【解法一】①×2,得8x-2y=20③,
②+③,得11x=44,解得x=4.
把x=4代入①,得16-y=10,解得y=6,
所以原方程组的解为
【解法二】①×3,得12x-3y=30③,
②×4,得12x+8y=96④,
④-③,得11y=66,解得y=6.
把y=6代入①,得4x-6=10,解得x=4.
所以原方程组的解为
7.(2025江苏南京期末)用二元一次方程组解决问题:某汽车店
计划购进A,B两种型号的新能源汽车,已知购进1辆A型号和2
辆B型号汽车共92万元,购进2辆A型号汽车比购进1辆B型号
汽车多4万元.求A,B两种型号汽车的单价.
解析 设A型号汽车的单价是m万元,B型号汽车的单价是n万
元,根据题意得 解得
答:A型号汽车的单价是20万元,B型号汽车的单价是36万元.
8.(2025四川内江隆昌期末,★★☆)若(x+y-3)2与|3x-y-1|互为相
反数,则y的值是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
C
解析 根据题意得 解得 故选C.
9.(2025河南安阳期末,★★☆)若关于x,y的方程组
满足x+y=2,则k的值为( )
A. B. C. D.2
C
解析
①+②,得5x+5y=7k+4,∴5(x+y)=7k+4,
∵x+y=2,∴10=7k+4,∴k= .故选C.
10.(2024河北廊坊月考,★★☆)若5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,
则n-m= ( )
A.1 B.-1 C.2 D.3
A
解析 ∵5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,
∴ ②-①,得n-m=1.故选A.
11.(2025四川绵阳盐亭期末,★★☆)已知关于x,y的方程组
的解和方程组 的解相同,则(a+b)2 025
的值为 ( )
A.-2 025 B.-1 C.2 025 D.1
D
解析 ∵关于x,y的方程组 的解和方程组
的解相同,
∴可得新方程组
①+②,得5x=10,解得x=2,
将x=2代入①,得4+5y=-6,解得y=-2.
将x=2,y=-2代入 可得
解得
∴(a+b)2 025= =1.故选D.
12.(2025河南周口郸城月考,★★☆)在等式y=kx+b中,当x=-1
时,y=-5;当x=1时,y=7,则k-2b的值为_________.
4
解析 根据题意得 解得
∴k-2b=6-2×1=6-2=4.
13.(★★☆)某一天,蔬菜经营户王叔叔花270元从蔬菜批发市
场批发了黄瓜和茄子共70千克,之后他到菜市场按零售价卖
掉这些黄瓜和茄子,黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表
所示:
黄瓜 茄子
批发价/(元/千克) 5 3
零售价/(元/千克) 7 4
他卖完这些黄瓜和茄子共赚___________元.
100
解析 设王叔叔批发黄瓜x千克,茄子y千克,由题意得
解得
所以王叔叔卖完这些黄瓜和茄子共赚(7-5)×30+(4-3)×40=
100(元).
14.【新考向·新定义题】(2025湖南株洲期末,★★☆)对于未
知数为x,y的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,
我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)方程组 的解x与y是否具有“邻好关系” 说明你
的理由.
(2)若方程组 的解x与y具有“邻好关系”,求m的
值.
解析 (1)具有“邻好关系”.理由:∵x-y=1,满足|x-y|=1,∴方
程组 的解x,y具有“邻好关系”.
(2)
①+②,得6x=6+6m,∴x=1+m,
把x=1+m代入①,可得y=2m-4,∴x-y=1+m-2m+4=5-m.
∵方程组 的解x,y具有“邻好关系”,
∴|x-y|=1,即5-m=±1,∴m=6或m=4.
15.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】解方程组时,
有时采用特殊的代数技巧可以简化计算,例如,解方程组
时,可以采用以下方法.
解:②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1③,将③×17,得17x+17y=17④,
①-④,得y=-1,从而可得x=2,所以原方程组的解为
(1)请你用上述方法解方程组:
(2)猜测关于x,y的方程组 (a≠b)的解,并
说明理由.
解析 (1)①-②,得6x+6y=6,所以x+y=1③,
③×2 023,得2 023x+2 023y=2 023④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2.
所以原方程组的解为
(2)猜测方程组 (a≠b)的解为 理
由:
①-②,得(a-b)x+(a-b)y=a-b,因为a≠b,所以a-b≠0,所以x+y=1
③,
③×(a+1),得(a+1)x+(a+1)y=a+1④,
①-④,得2y=-2,解得y=-1,
把y=-1代入③,得x=2,
所以原方程组的解为 (共10张PPT)
专项突破6 含参数的二元一次方程(组)的常见题型
根据方程(组)的解求参数
1.(2025山东临沂平邑期中)已知 是关于x,y的二元一次
方程ax+by=6的解,则代数式4a+6b-5的值是 ( )
A.13 B.11 C.7 D.9
C
解析 把 代入ax+by=6,得2a+3b=6,
所以4a+6b-5=2(2a+3b)-5=2×6-5=7.故选C.
2.(2025四川巴中平昌期中)已知 是关于x,y的方程组
的解.
(1)求a,b的值.
(2)求2ab-a的值.
解析 (1)∵ 是关于x,y的方程组 的解,∴
解得
(2)由(1)知a=5,b=4,∴2ab-a=2×5×4-5=35.
解题策略
直接将方程(组)的解代入方程(组)中,得到以参数为未知数的新方程(组),解新方程(组)得参数的值或将新方程变形后利用整体代入求相关式子的值.
根据方程组的错解求参数
3.(2025江西宜春期中)已知关于x,y的方程组 甲
由于看错了方程①中的a,得到方程组的解为 乙由于看
错了方程②中的b,得到方程组的解为 求原方程组的正
确解.
解析 把 代入②,得12-5b=7,解得b=1.
把 代入①,得-a+7=5,解得a=2.
所以原方程组为 解得
根据方程(组)的同解求参数
4.(2025山东聊城月考)方程组 的解也是二元一次
方程3x+2y=14的解,求m的值.
解析 解方程组 得
把 代入3x+2y=14,得9m-2m=14,
解得m=2.
5.(2025湖南衡阳祁东期中)已知方程组 与方程
组 的解相同,求(2a+b)2 025的值.
解析 由题意可得 解得
把 代入 得
解得 所以(2a+b)2 025=(2-3)2 025=-1.
根据方程组有整数解求参数
6.若关于x,y的二元一次方程组 (a≠-4)有整数解,则
整数a的值是多少
解析 解方程组可得
∵方程组有整数解,且a为整数,
∴a+4=±1或a+4=±2或a+4=±3或a+4=±6,
∴a=-5或a=-3或a=-6或a=-2或a=-7或a=-1或a=2或a=-10.(共26张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第3课时 销售问题和行程问题
销售问题
1.某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元;按定价的8.
5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利
润相等,则每件该商品的进价、定价分别是 ( )
A.95元,140元 B.155元,200元
C.100元,145元 D.150元,195元
B
解析 设每件该商品的定价为x元,进价为y元,
根据题意得
解得
即每件该商品的进价为155元,定价为200元.故选B.
2.(2025福建漳州龙海期中)小月去买文具,打算买5支单价相
同的签字笔和3本单价相同的笔记本,她与售货员的对话如下:
小月:您好,我要买5支签字笔和3本笔记本.
售货员:好的,那你应付款52元.
小月:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付款44元.
那么购买1支签字笔和1本笔记本应付款__________元.
12
解析 设购买1支签字笔应付款x元,1本笔记本应付款y元,根
据题意得 ①+②得8x+8y=96,∴x+y=12,即购买1
支签字笔和1本笔记本应付款12元.
3.(2025安徽合肥包河模拟)小明两次到某糕点店购买A糕点
和B糕点,第一次购买A糕点4盒,B糕点6盒,总共花费120元;第
二次购买时,糕点店正在进行促销活动(所有糕点按原价的八
折销售),小明购买A糕点和B糕点的数量均比第一次购买的多
1盒,总共花费116元.求促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售
价.
解析 设促销前每盒A糕点和每盒B糕点的售价分别为x元、
y元,
根据题意得
解得
答:促销前每盒A糕点的售价为15元,每盒B糕点的售价为10
元.
行程问题
4.【跨语文·名著】(2024湖南长沙宁乡期末)《水浒传》中关
于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里(里是长度单
位),朝去暮还来.若某日戴宗去160里之外的地方打探情报,去
时顺风,用了2小时;回来时逆风,用了4小时,则戴宗在无风时的
速度为__________里/时.
60
解析 戴宗在顺风时的速度为160÷2=80(里/时),戴宗在逆风
时的速度为160÷4=40(里/时),设戴宗在无风时的速度为x里/
时,风速为y里/时,由题意得 解得 所以戴宗在
无风时的速度为60里/时.
5.【学科特色·教材变式P104T3】(2025江苏无锡梁溪月考)从
甲地到乙地,先下山再走平路,某人骑自行车以每小时12千米
的速度下山,以每小时9千米的速度走平路,到达乙地共用55分
钟;他返回时,以每小时8千米的速度通过平路,以每小时4千米
的速度上山,共用了1.5小时,则甲、乙两地的路程是_______
____.
9千米
解析 设从甲地到乙地的山路长x千米,平路长y千米,根据题
意得 解得
∴x+y=3+6=9,∴甲、乙两地的路程是9千米.
6.(2025天津滨海新区月考改编)甲、乙两地相距200千米,一
列慢车从甲地开出,一列快车从乙地开出,两车同时出发,如果
两车同向而行,快车10小时后追上慢车;如果两车相向而行,2
小时后两车相遇.则快车、慢车的速度分别是___________
____________________________.
60 km/h,40 km/h
解析 设快车、慢车的速度分别为x km/h,y km/h,
由题意得 解得
故快车、慢车的速度分别为60 km/h,40 km/h.
7.(2025上海松江期末)小敏去相距6千米的外滩游玩,她决定
先步行一段路程,之后乘坐观光车前往.整个行程共用时1小
时,且在步行与换乘中的耗时忽略不计.已知小敏步行时的平
均速度是每小时4千米,乘坐观光车时的平均速度是每小时12
千米.请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间.
解析 设小敏步行所用的时间为x小时,乘坐观光车所用的时
间为y小时,
根据题意得 解得
答:小敏步行所用的时间为 小时,乘坐观光车所用的时间为
小时.
8.(2025山东烟台牟平期中,★★☆)某超市进货商品均加价3
0%销售,每月月底最后三天打折促销.3月29日小明妈妈在该
超市购买的A,B两种商品分别打八折和九折(A,B两种商品各
购买了一件),共付款260元,比按标价购买省了39元,则A,B两
种商品每件的进价分别是________________.
70元,160元
解析 设A种商品每件的进价为x元,B种商品每件的进价为y
元,
根据题意得
解得
∴A,B两种商品每件的进价分别是70元,160元.
9.(2025湖北武汉三模,★★☆)如图,某化工厂与A,B两地有公
路和铁路相连.这家工厂从A地购买每吨1 000元的原料运回
工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路的运价为1.5
元/(吨·km),铁路的运价为1.0元/(吨·km).设这批原料有x吨,生
产成的产品有y吨.
(1)完成下面表格的填写:
A地到工厂 工厂到B地
公路运费/元 15x
铁路运费/元 110y
(2)这批原料从A地运回,到生产成产品运到B地,若两次运输共
支出公路运费16 500元,铁路运费93 000元,问这批原料有多少
吨
(3)在(2)的条件下,已知生产这批产品,其他成本费为100 000
元,每吨的生产费为3 000元,若这批产品的毛利润为w元,直接
写出w的值.(规定:毛利润=销售额-原料费-其他成本费-生产
费-运输费)
解析 (1)∵公路的运价为1.5元/(吨·km),铁路的运价为1.0元/
(吨·km),这批原料有x吨,生产成的产品有y吨,∴从A地到工厂
的铁路运费为1.0×120x=120x(元),从工厂到B地的公路运费为
1.5×20y=30y(元).
(2)根据题意得 解得
答:这批原料有500吨.
(3)根据题意得w=8 000×300-1 000×500-100 000-3 000×300-
16 500-93 000=2 400 000-500 000-100 000-900 000-16 500-93 000=790 500.
10.【新课标·应用意识】【新考向·项目探究题】(2025浙江
绍兴期中)根据以下素材,探索完成任务.
设计奖项设置和奖品采购的方案 某学校举办七年级数学知识竞赛,分别设置一等奖、二等奖
和三等奖若干名,需考虑获奖人数以及奖品购买方案 素材1 已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320
元,购买3盒水笔和2包笔记本需要520元
素材2 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品 素材3 (1)1盒水笔有12支,1包笔记本有16本. (2)计划设置一等奖a人,二等奖30人,三等奖b人,且a<30任务2 确定购买数量 将880元全部用完,
可以购买水笔多少
盒 笔记本多少包
任务3 确定人数 任务2中购买的奖
品刚好全部发完,
则a= ,b=
解析 任务1:设一盒水笔x元,一包笔记本y元,
由题意得 解得
答:一盒水笔120元,一包笔记本80元.
任务2:设购买水笔m盒,笔记本n包,
由题意得120m+80n=880,整理得n=11- m,
∵m,n均为正整数,∴ 或 或
∴有3种购买方案:
①购买水笔2盒,笔记本8包;
②购买水笔4盒,笔记本5包;
③购买水笔6盒,笔记本2包.
任务3:由题意可知,共需笔记本(a+b)本,水笔(a+30)支,方案①
中,水笔为2×12=24(支),笔记本为8×16=128(本),由题意得
解得 (不符合题意,舍去);
方案②中,水笔为4×12=48(支),笔记本为5×16=80(本),由题意
得 解得 符合题意;
方案③中,水笔为6×12=72(支),笔记本为2×16=32(本),由题意
得 解得 (不符合题意,舍去).
综上所述,a=18,b=62.(共13张PPT)
专项突破8 方程组与数学文化的综合
幻方中的一次方程组
1.(2025北京西城月考)幻方的起源与中国古代的“洛书”紧
密相关,“洛书”被认为是三阶幻方的最早形式.现将9个不同
的整数填入方格中(如图),使得每行、每列、每条对角线上的
三个数之和都相等,则a和b的值分别是 ( )
C
4b-2 12
2a+1 7
3b-3 2a
A.-4,3 B.-4,-3
C.4,3 D.4,-3
解析 根据题意得
解得 故选C.
《九章算法比类大全》中的一次方程组
2.(2025山东中考)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》
中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是有3个头、6只手的哪吒
若干个,有1个头、8只手的夜叉若干个,两方交战,共有36个头,
108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个,夜叉有y个,则
根据条件所列方程组为( )
A. B.
C. D.
D
解析 根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方
程组 故选D.
《四元玉鉴》中的一次方程组
3.(2025四川眉山中考)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样
一道题:“九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,
苦果七个四文钱,试问甜苦果几个 ”其大意是用九百九十九
文钱共买了一千个甜果和苦果,其中十一文钱可以买甜果九
个,四文钱可以买苦果七个,问甜果、苦果各买几个 若设买甜
果x个,苦果y个,根据题意可列方程组为 ( )
C
A. B.
C. D.
解析 ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果,∴x+y
=1 000.
∵甜果9个11文,苦果7个4文,
∴每个甜果 文,每个苦果 文.
∵总费用为999文,∴ x+ y=999.
故列方程组为 故选C.
《九章算术》中的一次方程组
4.(2024湖北十堰模拟)《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,
中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一
秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问
上、中、下禾实一秉各几何 ”译文:今有上禾3束,中禾2束,
下禾1束,得实39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,得实34斗;上禾1
束,中禾2束,下禾3束,得实26斗.问上禾、中禾、下禾每一束得
实各是多少斗 设上禾、中禾、下禾每一束得实各为x斗、y
斗、z斗,可列方程组为___________________.
解析 根据“上禾3束,中禾2束,下禾1束,得实39斗”得3x+2y
+z=39;根据“上禾2束,中禾3束,下禾1束,得实34斗”得2x+3y+
z=34;根据“上禾1束,中禾2束,下禾3束,得实26斗”得x+2y+3z
=26.联立得
《增删算法统宗》中的一次方程组
5.(2025河南周口郸城期中)我国古典数学文献《增删算法统
宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题:“甲乙隔沟牧放,二
人暗里参详.甲云得乙九只羊,多乙一倍之上.乙说得甲九只,两
家之数相当.”其大意如下:甲、乙两人放羊,二人心里数羊.如
果乙给甲9只羊,那么甲拥有的羊数就是乙的2倍;如果甲给乙9
只羊,那么两人拥有的羊数相等.问甲、乙各有多少只羊
解析 设甲有x只羊,乙有y只羊,
根据题意得 解得
答:甲有63只羊,乙有45只羊.(共11张PPT)
专项突破5 加减消元法解二元一次方程组的常见题型
同一未知数系数相等
1.解方程组:
(1)(2024江苏苏州中考)
(2)(2025湖北武汉三模)
解析 (1)
①-②,得4y=4,解得y=1,
将y=1代入①,得2x+1=7,解得x=3,
所以原方程组的解为
(2)
①-②,得0.4x=-0.8,解得x=-2.
把x=-2代入①,得0.6×(-2)-0.4y=1.5,
解得y=- .
所以原方程组的解为
同一未知数系数互为相反数
2.解方程组:
(1)(2025山西中考)
(2)(2025山东济南钢城期末)
解析 (1)
①+②,得4x=12,解得x=3.
将x=3代入②,得3+2y=1,解得y=-1.
所以原方程组的解为
(2)
①+②,得4x=4,解得x=1.
把x=1代入①,得1+y=6,解得y=5,
所以原方程组的解为
同一未知数的系数成整数倍
3.解下列二元一次方程组:
(1)(2025北京海淀期中)
(2)(2025福建泉州德化月考)
(3)(2024天津滨海新区期末)
解析 (1)
②×2,得10x+4y=20③,
③-①,得7x=14,解得x=2.
把x=2代入①,得3×2+4y=6,解得y=0.
所以原方程组的解为
(2)
①×2,得6x-10y=18③,
②-③,得14y=-42,解得y=-3.
把y=-3代入①,得3x-5×(-3)=9,解得x=-2.
所以原方程组的解为
(3)原方程组整理得
②×2,得8x-2y=10③,
①+③,得11x=22,解得x=2.
把x=2代入②,得8-y=5,解得y=3,
所以原方程组的解为
解题策略
当方程组中同一未知数系数成整数倍时,利用等式的性质将
该未知数的两系数化为相等或互为相反数的数,然后用加减
消元法求方程组的解.(共11张PPT)
专项突破7 一次方程组中整体思想的运用
不解方程组求代数式的值
1.(2025河南许昌期中)已知方程组 则3x-3y的值是
_________.
6
解析 两个方程相加,得3x-3y=6.
2.(2024湖南沅江月考)小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种
商品,当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元;当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元,则当她购买甲、乙、丙各三件时,应该付款_______元.
600
解析 设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、z元,
由题意知
①+②,得5(x+y+z)=1 000,∴x+y+z=200,
∴3(x+y+z)=600,
故购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元.
利用整体思想求方程组的解
3.(2025河南周口月考)小明热爱数学,在数学课外资料上看到
一道用整体代换法解二元一次方程组的题:解方程组
解:将方程②变形,得6x-4y-y=7,即2(3x-2y)-y=7③.把方程①代
入③,得2×4-y=7,解得y=1.把y=1代入①,得3x-2=4,解得x=2,∴
方程组的解为
整体代换法体现了整体思想,请你使用整体思想解决以下问
题:
(1)解方程组
(2)已知x,y满足方程组 求x+y的值.
解析 (1)将方程②变形,得x+8x-10y=15,即x+2(4x-5y)=15③,
把方程①代入③,得x+2×9=15,解得x=-3.
把x=-3代入①,得-12-5y=9,解得y=- .
所以原方程组的解为
(2)原方程组可变形为
①×3,得3x+9(x+y)=21③,
③-②,得4(x+y)=15,所以x+y= .
通过换元求未知数的值
4.【新考向·阅读理解题】(2025浙江台州期中节选)换元法是
数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法,我们通
常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是解数学题时,把某
个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使得复杂问
题简单化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元.
例如:解方程组 设m= ,n= ,
则原方程组可化为 解得
即 所以原方程组的解为
运用以上知识解决下列问题:
(1)求方程组 的解.
(2)关于x,y的二元一次方程组 的解为 则方
程组 的解为______.
解析 (1)设m= ,n= ,
则原方程组可化为 解得 即
所以原方程组的解为
(2)根据题意得 解得
