2025-2026学年苏科版八年级下册数学 9.3公式法 同步练习（含答案）

9.3公式法 同步练习
一、单选题
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列因式分解，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．多项式因式分解的结果为（　　）
A． B．
C． D．
4．把多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知的三边长满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
6．把多项式因式分解的最后结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．若，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．已知多项式（为常数），下列说法：
①当时，无论取何值，都有；
②若且，则；
③若，则不存在整数，使得．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．因式分解：=_____________．
12．分解因式：______．
13．分解因式：_____________．
14．若，则__________0（填，或）
15．已知，则的值为_____．
16．当取__________时，多项式取得最小值是__________．
17．新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为______
18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式因式分解的结果是若取，则各个因式的值：于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式取时，用上述方法产生的密码是_________（写出一个即可）
三、解答题
19．把下列多项式分解因式
(1)；
(2)．
20．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
21．父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？
22．证明：任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除．
23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．
(1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可）
(2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值；
(3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．
24．阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；
第二步，去括号，和对比发现，
二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
(1)因式分解：
①；
②；
(2)对关于的多项式因式分解：．
试卷第4页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A C D D A D
1．A
【详解】解：A、，故A正确，符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、不能因式分解，故C不正确，不符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
2．C
【详解】解：A、，正确；
B、，正确；
C、，选项错误；
D、，正确；
故选C．
3．B
【详解】解：，
故选：B．
4．C
【详解】解：
，
故选：C．
5．A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵、、是三角形的三边，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故选：A．
6．C
【详解】解：，
，
．
故选C．
7．D
【详解】解：∵，
∴
故选D．
8．D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故选：．
9．A
【详解】解：
∵多项式的值与无关，
∴，
整理得，
∴，则两式相减得，
∵
当时，取最小值，最小值为3，
故选：A．
10．D
【详解】解：对于①：，
∵，，
∴当时，，故①正确；
对于②：∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
对于③：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴不存在整数，使得，故③正确．
故选：D．
11．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【详解】解：，
故答案为：．
13．
【详解】原式
故答案为
14．
【详解】解：
，
∵，
∴；
故答案为：
15．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
16． 8
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当，即时，的值最小，最小值为8，
故答案为：；8．
17．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
18．或或或或或．（任选其一即可）
【详解】解：
，
当时，
，
，
∴用上述方法产生的密码是：或或或或或．
故答案为：或或或或或．（任选其一即可）．
19．(1)
(2)
【详解】（1）原式
（2）原式
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
21．40岁，14岁
【详解】解：由题意，得，
∵，
∴，
解得，
∴．
答：父亲今年40岁，儿子今年14岁．
22．
【详解】证明：∵任意个位数是5的整数都可以写成的形式，其中为整数，
，
又∵为整数，
∴为整数，
∴是25的整数倍，
即任意一个个位数是5的整数平方后一定可以被25整除．
23．(1)
(2)
(3)，图见解析
【详解】（1）解：图2面积表示为：，
或表示为：，
所以有：．
故答案为：．
（2），
．
．
，
．
（3）如图所示．
．
故答案为：．
24．(1)①②
(2)
【详解】（1）①由题意得，，，，
所以可凑数，，
故；
②由题意得，，，，
所以可凑数，，
则，，
又可凑数，，
故；
（2）设，
则，
凑数，，
，
，，
分四种情况讨论：
当，时，代入，不成立，舍去；
当，时，代入，不成立，舍去；
当，时，代入，成立，符合题意；
当，时，代入，不成立，舍去；
所以只有，，
故．