2025-2026学年苏科版八年级下册数学 第9章 因式分解 单元巩固测试卷（含答案）

第9章因式分解单元巩固测试卷
(满分100分 时间90分钟)
一、单选题（每题2分 共20分）
1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
3．把多项式分解因式，结果是（ ）
A． B．
C． D．
4．若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值可以是（ ）
A．4 B． C． D．
5．已知a﹣b＝3，则ab的值是（　　）
A． B． C． D．
6．若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2－n2＝－13，3m＋n＝13，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．11或16
7．若m为正整数，且（m+17）2-m2 总能被大于1的整数n整除，则n的值为（ ）
A．17 B．34 C．17或34 D．17的偶数倍
8．已知，则（　　）
A． B．5 C． D．1
9．已知、、为一个三角形的三边长，则的值为（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负
10．已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（　　）
A． B． C．3 D．11
二、填空题（每题2分 共20分）
11．分解因式：___________．
12．因式分解：______．
13．方程组的解为________．
14．若多项式有一个因式是（x－9），则m的值为_______．
15．对多项式进行因式分解，结果为______．
16．计算：______．
17．已知：x+y＝0.34，x+3y＝0.86，则x2+4xy+4y2＝_____．
18．若是的一个因式，则的值为________，的值为________．
19．如果因式分解的结果为_________．
20．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数就被称为“和平数”．如：，，所以4和12都是“和平数”．介于1到350之间的最大“和平数”是______．
三、解答题（共60分）
21．因式分解：
(1)； (2)．
22．两个连续偶数的平方差一定是4的倍数吗？为什么？
23．为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为．
(1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）；
(2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？
24．【观察思考】
毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．
【规律发现】
（1）图1中，第个三角形数是 ；图2中，第个正方形数是 （请用含的式子表示）．
【猜想验证】
（2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，即第个与第个三角形数之和等于第个的正方形数．请将上述联系用含有的等式表示出来，并证明．
25．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作．
小明的证明思路 因为_①　　 ②　　， 又因为代数式②，都能被3整除， 所以能被3整除．
(1)能被11整除吗？请说明理由；
(2)小明发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全小明的证明思路．
26．“形如的式子称为完全平方式”．如果，个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
例如：．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，请利用配方法解决下列问题：
(1)判断代数式与0的大小关系；
(2)用一段长为40米的篱笆围成一个长方形菜园，设长方形的一边长为米．
①用含的式子表示菜园的面积：__________平方米；
②请说明当取何值时，菜园的面积最大，最大面积是多少平方米？
27．先阅读材料，再解答下列问题：
材料：分解因式．
解：令，
则．
故．
上述过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)分解因式：；
(3)证明：若n为整数，则式子的值一定是某一个整数的平方．
28．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)填空：①根据图2，写出一个恒等式：______；
②利用①中的结论分解因式：______；
(2)类似地，用两种不同的方法计算几何体的体积同样可以得到一些代数恒等式．图3表示的是一个边长为a的正方体挖去一个边长为2的小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图3中两个图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
试卷第4页，共4页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D B C A A A C
1．D
【详解】解：A、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D
2．A
【详解】解：A、可以使用完全平方公式进行因式分解，，故此选项符合题意；
B、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
D、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．D
【详解】解：
，
故选：D．
4．D
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式
∴是完全平方式
∴
即
故选：D．
5．B
【详解】解：当a﹣b＝3时，
原式
=
，
故选：B．
6．C
【详解】解：∵9m2-n2=-13，3m+n=13①，
∴（3m+n）（3m-n）=-13，
∴n-3m=1②，
由①②得：m=2，n=7；
若2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、7，
∵2+2＜7，
∴不能组成三角形，
若2是底边时，三角形的三边分别为2、7、7，
能组成三角形，
周长=7+7+2=16．
综上所述，等腰三角形的周长是16．
故选：C．
7．A
【详解】原式，
∴（m+17）2-m2总能被17整除；
故选A．
8．A
【详解】解：∵，
∴，
原式
．
故选：A．
9．A
【详解】解：
，
∵、、为一个三角形的三边长，
∴，
∴
∴的值恒为正．
故选：．
10．C
【详解】∵和时，多项式的值相等，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∴或，
∵，
∴，
当时，，
∴；
故选C．
11．
【详解】解：
故答案为：．
12．
【详解】解：
故答案为：．
13．
【详解】解：
由①得：③
将②代入③得：④
②+④得：，则
将代入④得，
所以
故答案为．
14．27
【详解】解：设另一个因式为x+n，
得=（x-9）（x+n），
则=，
∴ ,
解得：n=3，m=27，
故答案为27．
15．
【详解】解：
．
故答案为：．
16．2800
【详解】
．
故答案为：．
17．0.36/
【详解】解：x+y＝0.34①，x+3y＝0.86②，
由①+②可得2x+4y=1.2，
即x+2y=0.6，
∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.62=0.36．
故答案为：0.36．
18．
【详解】解：根据三次项系数和常数项可得，的另一个因式为，
即，
，
即，解得；
故答案为：，；
19．
【详解】原式
故答案为：．
20．348
【详解】解：设介于1到350之间的最大“和平数”是y，则y＝（n＋2）2 n2＝4n＋4．
根据题意知，．
解得0≤n≤86.5．
因为n是正整数，
所以n最大值为86．
所以介于1到350之间的最大“和平数”是4×86＋4＝348．
故答案是：348．
21．(1)（
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）
．
22．两个连续偶数的平方差一定是4的倍数，理由见解析
【详解】解：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数，理由如下：
设两个连续偶数为、，则有
，
，
因为n为整数，
所以中的是正奇数，
所以是4的倍数，
即两个连续偶数的平方差一定能被4整除．
23．(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管；
(2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管
【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管；
（2）解：
，
当，时，原式，
∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管．
24．（1）；（2）；见解析
【详解】解：（1）由题意知在图1中，第个三角形数为，
第个三角形数为，
图2中，第个正方形数为
故答案为：，；
（2）
证明：左边
右边，
∴等式成立．
25．
【详解】（1）解：能被11整除，理由如下：
根据题意，，
∴能被11整除；
（2）解：∵
，
∵都能被3整除，
∴就能被3整除，
故答案为：，．
26．(1)
(2)①；②当时，菜园的面积最大，最大面积是平方米
【详解】（1）解：
，
∵，则，
∴，即；
（2）解：①设长方形的一边长为米，则长方形的宽为米，
则菜园的面积为：平方米；
②，
∵，则，
∴；
∴当时，菜园的面积最大，最大面积是平方米．
27．
【详解】（1）解：令，
则原式变为，
∴；
（2）：令，
则原式变为，
；
（3）证明：
．
n为正整数，
也为正整数，
代数式的值一定是某一个整数的平方．
28．(1)① (x＋a)(x＋b)＝x2＋（a＋b）x＋ab，②x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
(2)a3－4a＝a(a＋2)(a－2)
【详解】（1）解：①根据题意可得，(x＋a)(x＋b)＝x2＋ax＋bx＋ab，
即(x＋a)(x＋b)＝x2＋（a＋b）x＋ab，
故答案为：(x＋a)(x＋b)＝x2＋（a＋b）x＋ab
②∵x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3，
根据x2＋（a＋b）x＋ab＝(x＋a)(x＋b)可得，x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) ，
故答案为：(x＋2)(x＋3)
（2）解：图3左边几何体的体积是a3－2×2×a＝a3－4a，
图3右边几何体的体积是a(a＋2)(a－2)，
根据图3两几何体的体积相等，即可列等式：a3－4a＝a(a＋2)(a－2) ．
故答案为：a3－4a＝a(a＋2)(a－2)