第一章三角形的证明及其应用（冲刺卷·含答案）北师大版2025—2026学年八年级下册

第一章三角形的证明及其应用（冲刺卷）北师大版2025—2026学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，在中，D是延长线上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（ ）处修建这个度假村．
A．三条中线的交点
B．三条高线的交点
C．三个内角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线交点
5．如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（ ）
A．21 B．18 C．15 D．13
6．在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交、于点D、E．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，以下五个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④；⑤，其中正确结论的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在四边形中，，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知三角形中一个内角的余角是，则与这个内角相邻的外角是________ 度．
10．如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是_____ ．
11．如图，在和中，，，，则______．
12．如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．等边三角形的边长为2，P为内一点，连接，延长到点，使得．
(1)如图1，延长到点，使，连接．
①求证：；
②若，求的度数；
(2)如图2，连接，若，直接写出的值．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点D，点B分别在坐标轴的正半轴上，以点D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰．
(1)若，，直接写出点M的坐标是______．
(2)在x轴正半轴上找一点A，使，连接，求的大小．
15．如图，在中，，，，．
(1)求的长．
(2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长．
16．如图，在中，，过点作的垂线，交于点，延长至点，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
17．（）如图，已知在中，是的中线，且．
①若，则的度数为________；
②若，判断的形状，并说明理由；
③设，则________（用含的代数式表示）；
（）如图，已知在中，，是的中线，且，动点从出发，由向点运动，速度为，将沿折叠得到，设运动时间为秒，当垂直于的一边时，直接写出的值．
18．如图，已知等腰，， 点 A 的坐标为，B 点坐标为，点C 的坐标为．
(1)如图1，求 的面积；
(2)如图2，以为斜边在的上方作等腰直角， 求点D 的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交 的高于点F， 连接，， 求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．C
5．D
6．B
7．B
8．D
二、填空题
9．140
10．
11．/50度
12．
三、解答题
13．【详解】（1）（1）①证明：在和中，
，
，
，
∴；
②解：延长交的延长线于，如图1所示：
为等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，
由①可知：，
，
，即，
又，
，
；
（2）解：延长到使，连接，，如图2所示：
由（1）②可知：，
为等边三角形，且边长为2，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
由（1）①可知：，
，
又，，
，
在中，由勾股定理得：．
14．【详解】（1）解：如图，作轴于，则，
，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
15．【详解】（1）解：，
．
，，
，
是直角三角形，且，
．
在中，．
（2）解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
，，
；
②当点在线段的延长线上时，如图．
，
，
．
，
．
同理可得，
．
综上所述，的长为或2．
16．【详解】（1）解：
又
在与中
；
（2）解：由（1）知
又
为等边三角形
在中，
．
17．【详解】解：（）①∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②是等边三角形，理由如下：
∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
③∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当且点在上方时，如图，设垂足为点，则，
∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
∴，
解得；
当且点在下方时，如图，此时点和点重合，
∴，
∴；
当且点在上时，如图，则，过点作于，
由折叠得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
当且点在上时，如图，过点作于，则，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴；
当且点在上时，如图，
由折叠可得，，，，
由（）②知是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
当且点在上时，如图，设垂足为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由折叠得，，
∴，
在上取，则，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当垂直于的一边时，的值为或或或或或．
18．【详解】（1）解：∵点A 的坐标为，B 点坐标为，点C 的 坐标为，
，，，
．
的面积为：；
（2）解：如图，过点D作于点M，交y轴于点N，
∵，，
，，
是等腰直角，
，
，，
．
在和中，
，
，
，．
设，
，，
，
．
．
；
（3）解：如图，过点F作于点G，
，，
为坐标系中第一象限的角平分线，即是的角平分线，
是等腰三角形，且，
是的角平分线，即，
为的角平分线，即，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰三角形，且，
，即与面积相等，
设，
点A 的坐标为，B 点坐标为，点C 的 坐标为，
，，，，，，
，
，
即，
整理得：，
解得：，
，
，
，
．