(共24张PPT)
第7章 幂的运算
7.3 同底数幂的除法
第１课时 同底数幂的除法
同底数幂的除法
1.在算式am+n÷□=am+2中,□内的式子应是 ( )
A.am+n+2 B.an-2 C.am+n-2 D.an+2
B
解析 因为am+n÷□=am+2,所以□=am+n÷am+2=am+n-m-2=an-2.故选B.
2.(2024天津中考)计算x8÷x6的结果为__________.
x2
解析 x8÷x6=x8-6=x2.故答案为x2.
3.(2025江苏盐城东台期中)计算:(-a2)3÷a2=________.
-a4
解析 (-a2)3÷a2=-a6÷a2=-a4.故答案为-a4.
4.(2025江苏连云港赣榆期末)已知m-n=4(m,n是正整数),则2m÷
2n=__________.
16
解析 ∵m-n=4(m,n是正整数),
∴2m÷2n=2m-n=24=16.
5.计算:
(1)(b2n)3·(b3)4n÷(b5)n(n是正整数).
(2)(-a3)5÷[(-a2)·(-a3)2].
(3)(x-y)10÷(y-x)5÷(x-y).
(4)(n-m)4÷(m-n)3+(m+n)3÷(-m-n)2.
解析 (1)原式=b6n·b12n÷b5n=b6n+12n-5n=b13n.
(2)原式=(-a15)÷[(-a2)·a6]=(-a15)÷(-a8)=a7.
(3)原式=(x-y)10÷[-(x-y)5]÷(x-y)=-(x-y)10-5-1=-(x-y)4.
(4)原式=(m-n)4÷(m-n)3+(m+n)3÷(m+n)2=(m-n)4-3+(m+n)3-2=
(m-n)+(m+n)=m-n+m+n=2m.
6.(2025江苏无锡宜兴期中节选)若3×27m÷9m=94,求m的值.
解析 ∵3×27m÷9m=94,∴3×33m÷32m=38,
∴31+3m-2m=38,∴1+3m-2m=8,解得m=7.
同底数幂的除法运算的逆用
7.(2025江苏无锡锡山期中)若2m-n=32,2n=8,则2m的值是 ( )
A.40 B.24 C.256 D.4
C
解析 ∵2m-n=2m÷2n=32,2n=8,
∴2m÷8=32,∴2m=256.故选C.
8.(2025江苏苏州姑苏期末)若xm=6,xn=3,则xm-n=_________.
2
解析 ∵xm=6,xn=3,∴xm-n=xm÷xn=6÷3=2.
9.【学科特色·教材变式P20T9】已知4a=7,8b=3,则22a-3b的值为
_________.
解析 22a-3b=22a÷23b=4a÷8b,
∵4a=7,8b=3,∴22a-3b= .
10.【学科特色·多解法】已知4x+1 =32,且22x-3y-1= -(-2),求(1-3y)2 026
的值.
解析 【解法一】因为4x+1=4x·4=32,所以4x=8.因为22x-3y-1=-(-2)
=2,所以22x÷23y÷2=4x÷23y÷2=8÷23y÷2=2,所以23y=2,所以3y=1,所以(1-3y)2 026=0.
【解法二】因为22x-3y-1=-(-2),4x+1=32,所以22x-3y-1=2,22(x+1)=25,
所以2x-3y-1=1,2(x+1)=5,所以x= ,3y=1,所以(1-3y)2 026=0.
11.【新考向·代数推理】(2025江苏南京期中节选)当3a=15,5b=
15时,试说明(a-1)(b-1)=1.
小丽做如下尝试:
∵3a=15,5b=15,
∴3a-1=_______,5b-1=_______,
∴(3a-1)_______=3,
∴……
填空并继续完成小丽的解答过程.
解析 ∵3a=15,5b=15,∴3a-1=5,5b-1=3,
∴(3a-1)b-1=3,∴3(a-1)(b-1)=3,
∴(a-1)(b-1)=1.
12.(★★☆)已知32m=4,32n=8,则9m-n+1的值是 ( )
A.-2 B. C.4 D.
D
解析 ∵32m=4,32n=8,∴9m=4,9n=8,
∴9m-n+1=9m÷9n×9=4÷8×9= ×9= .
13.(2025江苏常州溧阳月考,★★★)已知2a=24,2b=6,2c=9,则下
列结论不正确的是 ( )
A.a-b=2 B.2b-c=2
C.b+2c=a D.3b=a+c
C
解析 A.2a-b=2a÷2b=24÷6=4=22,∴a-b=2,故本选项不符合题意;
B.22b-c=22b÷2c=(2b)2÷2c=36÷9=4=22,∴2b-c=2,故本选项不符合题
意;C.2b+2c=2b·22c=2b·(2c)2=6×92=486≠24,∴b+2c≠a,故本选项符
合题意;D.2a+c=2a·2c=24×9=216,23b=(2b)3=63=216,∴3b=a+c,故本
选项不符合题意.故选C.
14.(2025江苏扬州期末,★★☆)已知x6÷xa-2=x2,则a的值为______.
6
解析 ∵x6÷xa-2=x2,∴x6-(a-2)=x2,
∴8-a=2,解得a=6.
15.(2025江苏苏州期中,★★☆)已知5a=3,5b=2,5c=72.
(1)求52a的值.
(2)求5a-b+c的值.
(3)字母a,b,c之间的数量关系为_______.
解析 (1)∵5a=3,∴52a=(5a)2=32=9.
(2)∵5a=3,5b=2,5c=72,∴5a-b+c=5a÷5b×5c=3÷2×72=108.
(3)c=2a+3b.
详解:∵72=32×23=(5a)2×(5b)3=52a+3b,5c=72,∴52a+3b=5c,∴c=2a+3b.
16.【新考向·新定义题】(2025江苏无锡江阴月考,★★☆)探
究应用:用“∪”“∩”定义两种新运算:对于两个整数a,b,规
定a∪b=10a×10b,a∩b=10a÷10b,例如:3∪2=103×102=105;3∩2=
103÷102=10.
(1)求211∪985的值.
(2)求2 026∩2 024的值.
(3)当x为何值时,x∪5的值与23∩17的值相等
解析 (1)211∪985=10211×10985=101 196.
(2)2 026∩2 024=102 026÷102 024=100.
(3)由题意,得x∪5=23∩17,则10x×105=1023÷1017,
∴105+x=106,∴5+x=6,解得x=1.
17.【新课标·运算能力】(2025江苏南京外国语学校期中)若am
=an(a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n.利用此结论解决下面的
问题:
(1)如果23x+1=32,那么x=_______.
(2)【学科特色·转化思想】如果27x=2 025,75y=2 025,
求2 025xy-x-y的值.
解析 (1) .
详解:由题意,得23x+1=25,所以3x+1=5,解得x= .
(2)由题意,得2 025y=(27x)y=27xy,2 025x=(75y)x=75xy,
2 025xy=(27×75)xy=27xy×75xy,
∴2 025xy-x-y=2 025xy÷2 025x÷2 025y=27xy×75xy÷75xy÷27xy=1.
18.【新考向·新定义题】【新课标·运算能力】(2025浙江初
中名校发展共同体期中)现定义一种新运算:g(m-n)=g(m)÷g(n)
(g(n)≠0).例:g(2)=g(4-2)=g(4)÷g(2),若g(2)=2,则g(4)=g(2)·g(2)
=2×2=4.
(1)若g(3)=5,求g(6)的值.
(2)若g(3)=t(t≠0),n为正整数,请用含n,t的代数式表示g(3n)÷
g(2 025).
解析 (1)由题意得,g(6)=g(3)×g(3)=25.
(2)由题意得,g(3n)=tn,g(2 025)=g(3×675)=t675,
∴g(3n)÷g(2 025)=tn-675.(共16张PPT)
第7章 幂的运算
7.3 同底数幂的除法
第2课时 零指数幂和负整数指数幂
零指数幂和负整数指数幂
1.(2025黑龙江绥化中考)计算:(-1)2 025+ =_________.
0
解析 (-1)2 025+ =-1+1=0.
2.(2025江苏连云港赣榆期中)若(a-1)0=1,则a的取值范围是
______.
a≠1
解析 ∵(a-1)0=1,∴a-1≠0,∴a≠1.
3.(2025江苏南京月考)已知2n+4=1,则n=_______.
-4
解析 ∵2n+4=1,∴n+4=0,解得n=-4.
4.(2025江苏宿迁期中)计算:
(1)(-2)3+3×(-2)- .
(2)5- +|-3|-(π-3)0.
解析 (1)原式=-8+(-6)-16=-30.
(2)原式=5-3+3-1=4.
5.(2025江苏南京鼓楼月考)当m,n是正整数时,根据负整数指
数幂的定义说明:am·a-n=am-n(a≠0).
解析 ∵a≠0,m,n是正整数,且a-n= ,
∴am·a-n=am· =am÷an=am-n,
∴am·a-n=am-n(a≠0).
正整数指数幂的运算性质的推广
6.计算(a-2)3(ab2)-2,并把结果化为只含有正整数指数幂的形式
为 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 (a-2)3(ab2)-2=a-6·a-2b-4=a-8b-4= .故选D.
7.(2025江苏常州溧阳期中)计算: ÷ =_________.
解析 原式= ÷2= .
8.【学科特色·教材变式P17例3】计算:
(1)[(-2)-2]3×100÷2-3.
(2)(a-3b-2)-2·(ab3)-3.
解析 (1)原式=(-2)-2×3×1÷2-3=2-6÷2-3=2-6-(-3)=2-3= .
(2)原式=a6b4·a-3b-9=a3b-5= .
9.(2025江苏宿迁期中,★★☆)若a=0.32,b=-3-2,c= ,d=
,则下列大小关系正确的是 ( )
A.a
B
解析 ∵a=0.32=0.09,b=-3-2=- ,c= = =9,d= =
1,∴b10.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏苏州期中,★★☆)
若等式(x-3)x+3=1成立,则满足条件的x的值为 ( )
A.3或-3 B.4或3或-3
C.4或2或-3 D.4或-3
D
解析 当x-3=1时,解得x=4,此时(x-3)x+3=17=1,符合题意.当x-3=
-1时,解得x=2,此时(x-3)x+3=(-1)5=-1,不符合题意.当x-3≠0,且x+
3=0时,解得x=-3,此时(x-3)x+3=(-6)0=1,符合题意.综上所述,满足
条件的x的值为4或-3.故选D.
方法解读 幂的值为1时,分三种情况:①1的任何次幂都是1;
②-1的偶次幂是1;③非0数的零次幂是1.
11.(2025江苏盐城东台期中,★☆☆)已知a-2b-3c=2,则2a÷4b×
的值是_________.
4
解析 原式=2a÷22b×2-3c=2a-2b-3c=22=4.故答案为4.
12.(2025江苏南京外国语学校期中,★☆☆)|x|=(x-1)0,则x=______.
-1
解析 ∵|x|=(x-1)0,∴|x|=1,∴x=±1,
当x=1时,(1-1)0=00无意义,舍去,∴x=-1.
13.【新课标·运算能力】已知a=2-44 444,b=3-33 333,c=5-22 222,比较a,b,
c的大小.
解析 a=(2-4)11 111= = ,
b=(3-3)11 111= = ,
c=(5-2)11 111= = ,
∵ < < ,
∴ < < ,∴b第7章 幂的运算
7.2 幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
积的乘方运算性质
1.【学科特色·易错题】(2025吉林中考)计算(2a2)3的结果为
( )
A.2a5 B.2a6 C.8a5 D.8a6
D
解析 (2a2)3=23·(a2)3=8a6.故选D.
易错警示 本题易忽略系数2也要进行三次方运算.
2.(2025江苏无锡期中)82 025× 的值为 ( )
A.-8 B.8 C. D.-
B
解析 82 025× =8×82 024× = 8× 8× 2 024=8.故选B.
3.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏镇江宜城中学教育集团月
考)下列各选项中,能直观解释“(3a)2=9a2”的是 ( )
D
解析 选项A表示的面积是3a·a=3a2;选项B表示的面积是3×
3a=9a;选项C表示的面积是3×3×3a=27a;选项D表示的面积是
(3a)2=9a2.故选D.
4.已知2n=6,3n=8,则6n的值为__________.
48
解析 因为2n=6,3n=8,所以6n=(2×3)n=2n×3n=6×8=48.
5.计算:
(1)x7·x5+(-2x6)2.
(2)(-2a2b3)4+(-a)8·(2b4)3.
解析 (1)原式=x12+4x12=5x12.
(2)原式=16a8b12+a8·8b12=(16+8)a8b12=24a8b12.
6.【学科特色·教材变式P12T4】地球可以近似地看成是球体,
球的体积公式是V= πr3.已知地球的半径约为6×103千米,则它
的体积大约是多少立方千米 (π取3)
解析 根据题意得V地球= ×3×(6×103)3=864×109=
8.64×1011(立方千米).
答:地球的体积大约是8.64×1011立方千米.
7.(2025江苏无锡积余教育集团期中,★★★)若整数2n×58是一
个十位数,则n的所有可能值是 ( )
A.11,12,13 B.10,12,14
C.12,13,14 D.13,14,15
C
解析 2n×58=28×58×2n-8=108×2n-8,∵108是一个九位数,整数2n
×58是一个十位数,∴10≤2n-8<100且n为整数,∴n-8的值可能是4,
5,6,∴n的值可能是12,13,14.故选C.
8.(2025江苏镇江京口期中,★★☆)如图,王老师把家里的Wi-Fi
密码设置成了数学问题.小明同学来王老师家做客,看到Wi-Fi
图片,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了王老师家的
网络.请直接写出小明同学输入的密码: .
yang888
解析 ∵(x2y)4·(y2z4)2=x8y4·y4z8=x8y8z8,
∴小明同学输入的密码为yang888.
9.【新课标·运算能力】阅读材料,回答下列问题:
材料一:积的乘方,就是把积的每一个因式分别乘方,再把所得
的幂相乘,即(ab)n=anbn.
材料二:等式12+22+32+…+n2= ,n(n+1)=n2+n成立.
(1)求22+42+62+82+102的值.
(2)求1×2+2×3+3×4+…+99×100的值.
解析 (1)∵(ab)n=anbn,
∴22+42+62+82+102
=(2×1)2+(2×2)2+(2×3)2+(2×4)2+(2×5)2
=22×12+22×22+22×32+22×42+22×52
=22×(12+22+32+42+52),
∵12+22+32+…+n2= ,
∴原式=4× =220.
(2)∵n(n+1)=n2+n,
∴1×2+2×3+3×4+…+99×100
=1×(1+1)+2×(2+1)+3×(3+1)+…+99×(99+1)
=12+1+22+2+32+3+…+992+99
=12+22+32+…+992+1+2+3+…+99.
∵12+22+32+…+n2= ,
∴原式= +
=328 350+4 950=333 300.(共16张PPT)
专项突破1 幂的运算性质中的
四类易错题
符号处理错误
1.计算:a5·(-a)2·(-a)3.
解析 原式=-a5+2+3=-a10.
易错警示 计算同底数幂的乘法时,一定要找准底数,然后再
运用同底数幂的乘法运算性质进行计算.特别注意有负号时
的符号变化.
2.计算:(-2 026)0- -(-1)3+|-2|.
解析 原式=1-2+1+2=2.
法则混淆
3.(2025江苏无锡梁溪一模)下列各算式中的2和3可以直接相
加的是 ( )
A.2a+3b B.a2+a3
C.(a2)3 D.a2·a3
D
解析 A.2a和3b不是同类项,不能合并,不符合题意;B.a2和a3
不是同类项,不能合并,不符合题意;C.(a2)3=a2×3,2和3可以相乘,
不能相加,不符合题意;D.a2·a3=a2+3,2和3可以相加,符合题意.故
选D.
4.下列计算中,正确的是 ( )
A.(a3)2=a5
B.(-3a2)3=-6a6
C.(-a)·(-a)4=-a5
D.a3+a3=2a6
C
解析 A.(a3)2=a6,原式错误;B.(-3a2)3=-27a6,原式错误;C.(-a)·
(-a)4=(-a)5=-a5,原式正确;D.a3+a3=2a3,原式错误.故选C.
5.(2025四川凉山州中考)下列运算正确的是 ( )
A.m+m=m2 B.(mn2)5=m5n7
C.m3·m2=m6 D.m8÷m2=m6
D
解析 A.m+m=2m,故A选项错误;B.(mn2)5=m5n10,故B选项错误;
C.m3·m2=m5,故C选项错误;D.m8÷m2=m6,故D选项正确.故选D.
6.填空:(____________)2=m4b6.
m2b3
解析 m4b6=(m2)2(b3)2=(m2b3)2.
易错警示 幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算是两种不同
性质的运算,虽然在运算时,底数都不变,但幂的乘方中是指数
相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加.
7.(2025江苏盐城大丰期中)计算:
(x4)2+(x2)4-x(x2)2·x3-(-x)3·(-x2)2·(-x).
解析 原式=x8+x8-x·x4·x3-(-x3)·x4·(-x)=x8+x8-x8-x8=0.
同底数转换错误
8.(2025江苏连云港灌云期中)计算:22 024×(-0.5)2 025=_______.
-
解析 22 024×(-0.5)2 025=-22 024× =- =- .
9.当3m+2n=4时,8m·4n=__________.
16
解析 8m·4n=(23)m·(22)n=23m·22n=23m+2n,
∵3m+2n=4,∴原式=24=16.故答案为16.
10.(2025江苏连云港灌云期中)计算:(x+y)-2·(2x+2y)3.
解析 (x+y)-2·(2x+2y)3=(x+y)-2·[2(x+y)]3=(x+y)-2·8(x+y)3=
8(x+y)-2+3=8(x+y)=8x+8y.
特殊指数处理错误
11.(2025江苏无锡梁溪月考)计算m2·m的结果正确的是
( )
A.2m2 B.m3 C.2m3 D.m2
B
解析 m2·m=m2+1=m3.故选B.
12.(2025江苏苏州期中)下列运算结果最大的是 ( )
A.(-3)-1 B.10
C.2-3 D.-22
B
解析 (-3)-1=- ;10=1;2-3= ;-22=-4,则运算结果最大的是10,故选
B.
13.下列计算:①(-1)0=-1;②(-2)-2=- ;③2a-2= ;④(-2)-2 026+
(-2 =-2-2 025.其中正确的个数是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
D
解析 ①(-1)0=1,故①错误;②(-2)-2= ,故②错误;③2a-2= ,故
③错误;④(-2)-2 026+(-2)-2 025=(-2)-1×(-2)-2 025+(-2)-2 025= ×
(-2)-2 025= ×(-2)-2 025=-2-1×2-2 025=-2-2 026,故④错误.故选D.
14.(2025江苏无锡江阴期中)若(2m+1)m-1=1,则m的值为_________.
0或-1或1
解析 当2m+1=1,即m=0时,m-1=-1,此时(2m+1)m-1=1-1=1,符合
题意;
当2m+1=-1,即m=-1时,m-1=-2,此时(2m+1)m-1=(-1)-2=1,符合题
意;
当2m+1≠0,且m-1=0,即m=1时,(2m+1)m-1=30=1,符合题意.综上,
m的值为0或-1或1.
15.计算:(-a3)2·(-a2)3÷a.
解析 原式=a6·(-a6)÷a=-a6+6-1=-a11.(共21张PPT)
第7章 幂的运算
7.2 幂的乘方与积的乘方
第１课时 幂的乘方
幂的乘方运算性质
1.(2024四川攀枝花中考)计算(-a2)3的结果是 ( )
A.-a6 B.a6 C.-a5 D.a5
A
解析 (-a2)3=-1×(a2)3=-a2×3=-a6.故选A.
2.(2024河南中考)计算( )3的结果是 ( )
A.a5 B.a6 C.aa+3 D.a3a
D
解析 原式=(aa)3=a3a.故选D.
3.【学科特色·易错题】在①-a5·[(-a)2]3;②a9·(-a)3;③(-a2)3·(a3)2;
④-(-a4)3中,计算结果为-a12的是 ( )
A.①和③ B.①和②
C.②和③ D.③和④
C
解析 ①-a5·[(-a)2]3=-a11;②a9·(-a)3=-a12;③(-a2)3·(a3)2=-a6·a6=-a12;
④-(-a4)3=a12.其中②和③的计算结果是-a12.故选C.
易错警示 在运算时,容易出现符号错误.
4.(2025江苏宿迁泗阳期中)已知(-a2)6=5,则(-a4)3的值为 ( )
A.-5 B.5
C. D.无法确定
A
解析 ∵(-a2)6=a12=5,∴(-a4)3=-a12=-5.故选A.
5.(2025江苏苏州吴江期中)若2m+3n=3,则9m·27n=__________.
27
解析 ∵2m+3n=3,∴9m·27n=(32)m·(33)n=32m·33n=32m+3n=33=27.故
答案为27.
6.【学科特色·教材变式P9例2】计算:
(1)5(a3)4-13(a6)2.
(2)x·(-x)5·x6+(-x5)2·x2+[(-x)4]3.
(3)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2.
解析 (1)原式=5a12-13a12=-8a12.
(2)原式=x·(-x5)·x6+x10·x2+x12=-x12+x12+x12=x12.
(3)原式=(x+y)18+(x+y)18=2(x+y)18.
7.已知一个正方体的棱长为a3 cm.
(1)这个正方体的体积是多少 表面积是多少
(2)当a=2时,这个正方体的体积是多少 表面积是多少
解析 (1)一个棱长为a3 cm的正方体的体积是 =a3×3=a9(cm3),表面积是6 =6a3×2=6a6(cm2).
(2)当a=2时,这个正方体的体积是29=512(cm3),表面积是6×26=
384(cm2).
幂的乘方运算性质的逆用
8.在下列各式的括号内,应填入a3的是 ( )
A.a12=( )9 B.a12=( )6
C.a12=( )4 D.a12=( )2
C
解析 a12=(a3)4,故C符合题意.故选C.
9.(2025江苏南京期中)若am=3,则a2m=_________(m为整数).
9
解析 ∵am=3,∴a2m=(am)2=32=9.
10.(2025江苏淮安金湖月考)若am=1,an=2,则am+2n=_________.
4
解析 ∵am=1,an=2,∴am+2n=am·a2n=1×(an)2=1×22=4.
11.(2025江苏扬州仪征期中)已知n为正整数,且x2n=4.求下列各
式的值:
(1)【学科特色·易错题】xn.
(2)(x3n)2+2(x2)2n.
解析 (1)∵x2n=(xn)2=4,∴xn=±2.
(2)(x3n)2+2(x2)2n=(x2n)3+2(x2n)2=43+2×42=64+32=96.
易错警示 平方为4的数是±2.
12.(2025江苏泰州泰兴期中,★★☆)已知aa=224,则a的值为
( )
A.4 B.8 C.16 D.32
B
解析 aa=224=(23)8=88,则a=8.故选B.
13.(2025江苏宿迁泗阳期中,★★★)已知m+n=1,43n=2,则82m的
值为 ( )
A.36 B.8 C.64 D.32
D
解析 ∵43n=2,∴(22)3n=26n=2,
∴6n=1,∴n= ,∵m+n=1,∴m= ,
∴6m=6× =5,∴82m=(23)2m=26m=25=32.故选D.
14.(2025江苏苏州工业园区期中,★★☆)已知2x=a,4y=b,x,y为
正整数,则23x+2y=___________(用含a,b的式子表示).
a3b
解析 ∵2x=a,4y=b=22y,∴23x+2y=23x·22y=(2x)3·b=a3·b=a3b.故答案
为a3b.
15.(2025江苏盐城经开区期中,★☆☆)已知4-3x=6y,求8x·64y的值.
解析 ∵4-3x=6y,∴3x+6y=4,
∴8x·64y=(23)x·(26)y=23x·26y=23x+6y=24=16.
16.【新考向·代数推理】【新课标·推理能力】(2025江苏泰
州月考)若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n.利用此结论
解决下面的问题:
(1)若3x×9x×27x=312,求x的值.
(2)若x=5m,y=4-25m,用含x的代数式表示y.
解析 (1)3x×9x×27x=3x×(32)x×(33)x=3x×32x×33x=36x.
∵36x=312,∴6x=12,∴x=2.
(2)∵x=5m,∴y=4-25m=4-(52)m=4-(5m)2=4-x2,∴y=4-x2.
微专题 利用幂的运算性质比较大小
例题
(2025江苏宿迁泗阳期中)【阅读材料】下面是底数大
于1的数比较大小的两种方法:
方法一:比较2a,2b的大小时,若a>b,则2a>2b,所以当底数相同时,
指数越大,值越大;
方法二:比较340和260的大小,因为340=(32)20=920,260=(23)20=820,9>8,
所以340>260,即可以先将其化为指数相同的数,再比较大小,所
以指数相同时,底数越大,值越大.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)比较大小:23_______24,43_______27(填“>”“<”或
“=”).
(2)已知x=415,y=610,试比较x,y的大小.
解析 (1)<;<.
(2)∵x=415=(43)5=645,y=610=(62)5=365,64>36,∴x>y.
变式1 (2025江苏苏州高新区月考)已知a=313,b=96,c=275,则a,
b,c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
A
解析 ∵a=313,b=96=(32)6=312,c=275=(33)5=315,15>13>12,∴c>a>b.
变式2 (2025江苏盐城期中)比较大小:255______522(填“>”
“<”或“=”).
>
解析 255=(25)11=3211,522=(52)11=2511,
∵32>25,∴3211>2511,∴255>522.(共21张PPT)
第7章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题5分,共40分)
1.下列各项中属于同底数幂的是 ( )
A.a2与2a B.(x2y)2与(xy2)2
C.(33)2与(45)2 D.102与103
D
解析 A.a2与2a不属于同底数幂;B.∵(x2y)2=x4y2,(xy2)2=x2y4,
∴(x2y)2与(xy2)2不属于同底数幂; =36,(45)2=410,∴(33)2与
(45)2不属于同底数幂;D.102与103属于同底数幂,故D符合题意.
故选D.
2.(2025湖北中考改编)下列运算的结果为m6的是 ( )
A.m3+m3 B.m·m6
C.(m2)3 D.m4÷m2
C
解析 A.m3+m3=2m3,此选项不符合题意;B.m·m6=m7,此选项不
符合题意;C.(m2)3=m6,此选项符合题意;D.m4÷m2=m2,此选项不
符合题意.故选C.
3.(2025江苏宿迁泗阳期中)若(x-2 026)0=1,则x满足的条件是
( )
A.x>2 026 B.x<2 026
C.x≠2 026 D.x=2 026
C
解析 ∵(x-2 026)0=1,∴x-2 026≠0,∴x≠2 026,故选C.
4.【跨生物·植物】一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表
示为6.5×10-6,这个数用小数表示为 ( )
A.0.000 65 B.0.000 065
C.0.000 006 5 D.0.000 000 65
C
解析 把6.5的小数点向左移动6位即可求解.
5.若a=-22,b=2-2,c= ,d= ,则( )
A.aC.b A
解析 因为a=-22=-4,b=2-2= ,c= =4,d= =1,-4< <1<4,
所以a6.已知10a=20,100b=50,则 a+b+ 的值是 ( )
A.2 B.
C.3 D.
C
解析 因为10a×100b=10a×102b=10a+2b=20×50=1 000=103,所以a
+2b=3,所以 a+b+ = (a+2b+3)= ×(3+3)=3.故选C.
7.(2025河南洛阳期末)已知2n=a,3n=b,24n=c,那么a,b,c之间满足
的等量关系是 ( )
A.c=3a+b B.c=a3+b
C.c=3ab D.c=a3b
D
解析 ∵24n=c,∴(3×8)n=c,∴3n×8n=c,∴3n×(2n)3=c,
∵2n=a,3n=b,∴b·a3=c,即c=a3b.故选D.
8.(2025安徽合肥肥西期中)若m= ,n= ,则2 025m-n= ( )
A.2 0253 B.2 0252 C.2 025 D.1
D
解析 ∵m= ,n= ,
∴m-n= - = - = - =0,
∴2 025m-n=2 0250=1,故选D.
二、填空题(每题5分,共20分)
9.(2024重庆中考B卷)计算:|-2|+30=_________.
3
解析 |-2|+30=2+1=3.
10.(2025江苏宿迁沭阳期中)计算:0.1252 025×(-8)2 026=_________.
8
解析 原式=0.1252 025×82 026=0.1252 025×82 025×8=
(0.125×8)2 025×8=8.
方法解读 底数互为倒数的两个幂相乘时,先逆用同底数幂
的乘法运算性质,再逆用积的乘方运算性质进行转化,从而可
简化运算.
11.(2025江苏宿迁沭阳期中)截至2025年3月21日,中国芯片
技术已实现多项重大突破,其中最引人注目的是
5 nm(0.000 000 005 m)工艺的量产,这一成就标志着中国
在全球半导体领域的竞争力显著提升,数据0.000 000 005
用科学记数法表示为___________.
5×10-9
解析 0.000 000 005=5×10-9.
12.(2025江苏无锡宜兴月考)如图,在甲、乙、丙三个袋中分
别装有29个、29个、53个球,先从甲袋中取出2x个球放入乙
袋,再从乙袋中取出2y个球放入丙袋,最后从丙袋中取出(2x+2y)
个球放入甲袋,此时三个袋中球的个数相同,则2x+y=_________.
128
解析 由题意,得调整后甲袋中有29-2x+2x+2y=(29+2y)个球,乙
袋中有(29+2x-2y)个球,丙袋中有53+2y-2x-2y=(53-2x)个球.
∵三个袋中一共有29+29+53=111(个)球,且调整后三个袋中
球的个数相同,
∴调整后每个袋中有111÷3=37(个)球,
∴29+2y=37,53-2x=37,∴2x=16,2y=8,
∴2x+y=2x·2y=16×8=128.
三、解答题(共40分)
13.(8分)计算:
(1)a·a-2·a7+(-2a3)2-a4÷a-2.
(2)(2 025-π)0- +(-2)3.
解析 (1)原式=a6+4a6-a6=4a6.
(2)原式=1-4+(-8)=-11.
14.(2025重庆朝阳中学教育集团月考)(10分)按要求解答下面
各题.
(1)已知2x+4y+3=0,求9x× 的值.
(2)已知3×9m×27m=317+m,求 ÷ 的值.
解析 (1)∵2x+4y+3=0,∴2x+4y=-3,
∴9x× =(32)x×(3-4)-y=32x×34y=32x+4y=3-3= .
(2)∵3×9m×27m=317+m,∴3× × =317+m,
∴3×32m×33m=317+m,
∴1+2m+3m=17+m,解得m=4,
∴(-m2)3÷(m-3·m2)-4=-m6÷(m-1)-4=-m6÷m4=-m2=-42=-16.
15.(10分)许多同学认为一粒米微不足道,平时总会在饭桌上
不经意地掉下几粒米,甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭
倒掉.针对这些浪费粮食的现象,老师组织同学们进行了实际
测算,称得500粒大米的质量约为10 g.现在请你来计算:
(1)一粒大米的质量约为_______g.
(2)若每人每餐节约一粒大米,按我国现有人口14亿,每年365
天,每人每天三餐计算,一年大约能节约大米多少千克 (结果
用科学记数法表示)
(3)若每名儿童每天需0.4 kg大米,则(2)中节约下来的大米可
供多少名儿童生活一年(按365天计算) (结果用科学记数法表
示)
解析 (1)0.02.
(2)0.02×3×365×1 400 000 000÷1 000=3.066×107(kg).
答:一年大约能节约大米3.066×107 kg.
(3)3.066×107÷(0.4×365)=2.1×105(名).
答:节约下来的大米可供2.1×105名儿童生活一年.
16.【新考向·新定义题】(2025江苏盐城建湖期中)(12分)如果
xn=y,那么我们规定(x,y)=n.例如:因为32=9,所以(3,9)=2.
【规定理解】根据上述规定,填空:(5,125)=_______, =
_______.
【规定应用】记(2,12)=a,(2,5)=b,(2,60)=c,试说明a+b=c.
【类比应用】若(m,24)+(m,8)-(m,6)=(m,t),求t的值.
解析 【规定理解】3;-3.
【规定应用】∵(2,12)=a,(2,5)=b,(2,60)=c,∴2a=12,2b=5,2c=60,
∴2a·2b=2c,∴a+b=c.
【类比应用】∵(m,24)+(m,8)-(m,6)=(m,t),
∴m(m,24)+(m,8)-(m,6)=24×8÷6=32,故t=32.(共11张PPT)
第7章 幂的运算
7.3 同底数幂的除法
第3课时 科学记数法
科学记数法
1.(2025河南中考)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但
其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比
蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示
为 ( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4 C.7.4×10-5 D.74×10-6
C
解析 0.000 074=7.4×0.000 01=7.4×10-5.故选C.
2.(2025安徽合肥四十二中期中改编)某款新型手机据测速网
监测,下载一个2.4 M的文件大约只需要4.8×10-5秒,将4.8×10-5
写成小数为_________________.
0.000 048
解析 4.8×10-5=4.8×0.000 01=0.000 048.
3.把8.001×10-8,8.88×10-7,2.002×10-7,8.888 8×10-6按从小到大的顺序排列,并用“<”连接:___________________________________ _________.
8.88×10-7<8.888 8×10-6
8.001×10-8<2.002×10-7<
解析 因为8.001×10-8=0.800 1×10-7,
8.888 8×10-6=88.888×10-7,
且0.800 1<2.002<8.88<88.888,
所以8.001×10-8<2.002×10-7<8.88×10-7<8.888 8×10-6.
4.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.008 1. (2)-0.005 06.
(3)0.000 036. (4)-0.000 000 002.
解析 (1)0.008 1=8.1×10-3.
(2)-0.005 06=-5.06×10-3.
(3)0.000 036=3.6×10-5.
(4)-0.000 000 002=-2×10-9.
5.(2025山东潍坊期中,★★☆)科学研究表明,某大语言模型在处
理复杂度等级为∑3的逻辑语句时,其单位样本错误的概率为
0.000 000 001 5,人类受试者在相同复杂度等级的逻辑语句测试中,单位样本错误的概率均值为0.000 01.设错误概率的比值为 ,则下列选项中,用科学记数法表示该比值正确的是( )
A.1.0×10-5 B.1.5×10-4 C.1.5×104 D.1.5×10-9
B
解析 = = =1.5×10-4.
6.【跨语文·古诗】(2025山东烟台蓬莱二模,★★☆)宋代文学
家苏轼的《赤壁赋》中,“寄蜉蝣于天地,渺沧海之一粟”比
喻非常渺小.据测量,200粒粟的质量大约为1克,用科学记数法
表示一粒粟的质量约为 ( )
A.2×102克 B.2×10-2克
C.5×10-2克 D.5×10-3克
D
解析 1÷200=0.005=5×10-3,故一粒粟的质量约为5×10-3克.
7.(2025山东威海中考,★★☆)据央视网2025年4月19日消息,
复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿
技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破
晓”.“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或
者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法
表示为 ( )
A.4×10-10秒 B.4×10-11秒
C.4×10-12秒 D.40×10-12秒
A
解析 400× =400×10-12=4×10-10(秒).
8.(2025江苏泰州泰兴黄桥初中教育集团月考,★☆☆)计算:
10-7-10-8=______________.(用科学记数法表示)
9×10-8
解析 原式=10-8+1-10-8=10-8×10-10-8=(10-1)×10-8=9×10-8.
9.(★★☆)科学研究发现,与我们日常生活密不可分的一个水
分子的质量大约是3×10-26 kg.
(1)6 g水中大约有多少个水分子
(2)通过进一步研究,科学家又发现,一个水分子是由2个氢原
子和1个氧原子构成的,已知一个氧原子的质量约为2.66×
10-26 kg,求一个氢原子的质量.
解析 (1)∵6 g=0.006 kg,∴6 g水中大约有水分子0.006÷
(3×10-26)=0.006÷3÷10-26=2×10-3×1026=2×1023(个).
(2)一个氢原子的质量约为 ×(3×10-26-2.66×10-26)=0.17×10-26
=1.7×10-27(kg).(共26张PPT)
第7章 幂的运算
7.1 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法
1.下列各式中,不能用同底数幂的乘法运算性质的是 ( )
A.(m-n)3(-m+n) B.(m+n)3(m-n)2
C.(m-n)3(n-m)2 D.(m-n)3(n-m)3
B
解析 A.(m-n)3(-m+n)=-(m-n)3(m-n)=-(m-n)4,故A不符合题意;
B.(m+n)3(m-n)2无法用同底数幂的乘法运算性质,故B符合题意;
C.(m-n)3·(n-m)2=(m-n)3(m-n)2=(m-n)5,故C不符合题意;
D.(m-n)3(n-m)3=-(m-n)3(m-n)3=-(m-n)6,故D不符合题意.故选B.
2.(2025江苏盐城大丰期中)已知x+y=3,则3x·3y的值是 ( )
A.9 B.27
C. D.
B
解析 ∵x+y=3,∴3x·3y=3x+y=33=27.故选B.
3.(2025江苏镇江丹阳月考)计算a·a·ax=a12,则x的值为 ( )
A.10 B.4
C.8 D.9
A
解析 由题意可知a2+x=a12,∴2+x=12,∴x=10,故选A.
4.(2025河南安阳模拟)经过近60年的发展,我国已建成目前世
界上技术手段最为完备的国家授时系统,授时精度从开始的
毫秒级(千分之一秒)到了如今的百皮秒级(百亿分之一秒),提
高了7个数量级,处于世界领先水平.已知1秒=1 000毫秒,1毫
秒=109皮秒,则10秒等于 ( )
A.1012皮秒 B.1013皮秒
C.1014皮秒 D.1015皮秒
B
解析 1秒=1 000×109=103×109=1012皮秒,
10秒=1012×10=1013皮秒.故选B.
5.(2025江苏扬州期末)计算x4·x的结果是__________.
x5
解析 x4·x=x4+1=x5.
6.(2025江苏徐州沛县月考)计算:(-a)5×(-a)3×(-a)2=_______.
a10
解析 (-a)5×(-a)3×(-a)2=(-a)10=a10.
7.(2025江苏常州金坛期中)如果 × = ,那么m=______.
2
解析 ∵ × = ,∴ = ,
∴m+3=5,∴m=2.
8.若a+b+c=1,则(-2)a-1×(-2)2b+2×(-2)a+2c的值为_______.
-8
解析 (-2)a-1×(-2)2b+2×(-2)a+2c=(-2)a-1+2b+2+a+2c=(-2)2a+2b+2c+1=(-2)2(a+b+c)+1.
∵a+b+c=1,∴原式=(-2)2×1+1=(-2)3=-8.
9.计算:(1)-m·(-m4)·(-m7).
(2)y2n+2·y6+n+y4·y3n+4(n是正整数).
(3)a2·(-a)2·a+a4·(-a)2.
(4)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a).
解析 (1)原式=-(m·m4·m7)=-m12.
(2)原式=y2n+2+6+n+y4+3n+4=y3n+8+y3n+8=2y3n+8.
(3)原式=a2·a2·a+a4·a2=a5+a6.
(4)原式=(b-a)5+(b-a)5=2(b-a)5.
同底数幂的乘法运算的逆用
10.a14不可以写成 ( )
A.a7·a7 B.(-a)2·a3·a4·a5
C.a·(-a)2·(-a)3·(-a)8 D.a5·a9
C
解析 A.a7·a7=a14,故A不合题意;B.(-a)2·a3·a4·a5=a14,故B不合题
意;C.a·(-a)2·(-a)3·(-a)8=-a14,故C符合题意;D.a5·a9=a14,故D不合题
意.故选C.
11.(2025江苏盐城阜宁月考)若5n=3,则5n+2=________,若4m+1=6,则
4m=_________.
75
解析 ∵5n=3,∴5n+2=5n×52=3×25=75.
∵4m+1=6,∴4m+1=4m×41=4×4m=6,
∴4m= = .故答案为75; .
12.(2025江苏南京期末)若am=2,am+n=6,则am+an=_________.
5
解析 ∵am=2,am+n=6,∴am+n=am·an=2an=6,
∴an=3,∴am+an=2+3=5.
13.【新考向·代数推理】【学科特色·多解法】如果3n+m能被
13整除,试说明3n+3+m也能被13整除.
解析 【解法一】直接法:3n+3+m=3n·33+m=27×3n+m=(26+1)×
3n+m=26×3n+(3n+m).
因为26×3n和3n+m都能被13整除,所以26×3n+(3n+m)也能被13
整除,即3n+3+m能被13整除.
【解法二】作差法:因为(3n+3+m)-(3n+m)=3n+3-3n=3n×33-3n=27×3n
-3n=26×3n,26×3n能被13整除,3n+m能被13整除,所以3n+3+m能被
13整除.
14.(2025江苏南京鼓楼一模,★★☆)计算结果为23a的式子是
( )
A.2a+2a+2a B.2a×2a×2a
C.2a×2a+2a D.2a×(2a+2a)
B
解析 A.2a+2a+2a=3×2a,该选项不符合题意;B.2a×2a×2a=2a+a+a=
23a,该选项符合题意;C.2a×2a+2a=22a+2a,该选项不符合题意;D.2a
×(2a+2a)=2a×(2×2a)=2a×2a+1=22a+1,该选项不符合题意.故选B.
15.(2025江苏扬州江都期中,★★☆)若a,b是正整数,且满足5a+5a+
5a+5a+5a=5b×5b×5b×5b×5b,则a与b之间的关系正确的是
( )
A.a=b B.a+1=5b
C.a+5=b5 D.5a=5+b
B
解析 由条件可知5×5a=5b×5b×5b×5b×5b,∴5a+1=55b,
∴a+1=5b,故选B.
16.(2025江苏南京期末,★★★)已知2a=3,2b=6,2c=12,下列结
论:①c=a+2;②a+b=c+1;③2_______.
①③
解析 ∵2a=3,2b=6,2c=12,∴2a+2=2a·22=3×4=12,∵2c=12,
∴2c=2a+2,∴c=a+2,故①正确;
2a+b=2a·2b=3×6=18,2c+1=2c·2=12×2=24,
∵18≠24,∴2a+b≠2c+1,∴a+b≠c+1,故②错误;
∵2b=6,4<6<8,∴22<2b<23,∴2综上,所有正确结论的序号是①③.
17.【新考向·新定义题】(2025江苏宿迁沭阳期中,★★☆)定
义一种新运算:x※y=3x×3y.
(1)求2※5的值(结果保留幂的形式).
(2)若1※(4x-3)=9,求x的值.
解析 (1)∵x※y=3x×3y,∴2※5=32×35=37.
(2)∵x※y=3x×3y,∴1※(4x-3)=31×34x-3=34x-2,
∵1※(4x-3)=9=32,∴4x-2=2,解得x=1.
方法解读 解决定义新运算问题需要理解定义的运算符号和
运算顺序,将待求式子中数字或字母按照所定义的运算符号
和运算顺序分别代入即可.
18.(2025安徽安庆怀宁期中,★★★)已知:x2a+b·x3a-b·xa=x12,求-a100
+2101的值.
解析 ∵x2a+b·x3a-b·xa=x12,∴x2a+b+3a-b+a=x12,
∴2a+b+3a-b+a=12,解得a=2.当a=2时,
-a100+2101=-2100+2101=2101-2100=2×2100-1×2100=2100.
19.【新课标·推理能力】阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22 024的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22 023+22 024,①将等式两边同时乘2,
得2S=2+22+23+24+25+…+22 024+22 025.②
将②式减去①式,得2S-S=22 025-1,即S=22 025-1,可得1+2+22+23+24
+…+22 023+22 024=22 025-1.
请仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+210.
(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n>4,且n为正整数).
解析 (1)设S=1+2+22+23+24+…+210,①
将等式两边同时乘2,
得2S=2+22+23+24+25+…+211,②
将②式减去①式,得2S-S=211-1,即S=211-1,
所以1+2+22+23+24+…+210=211-1.
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,①
将等式两边同时乘3,
得3S=3+32+33+34+…+3n+1,②
将②式减去①式,得3S-S=3n+1-1,
即2S=3n+1-1,则S= ,
所以1+3+32+33+34+…+3n= .
20.【新课标·抽象能力】定义A(1)=-2,A(2)=(-2)×(-2),A(3)=(-2)
×(-2)×(-2),……,A(n)=(-2)×(-2)×…×(-2)×(-2)(n个-2相乘).
(1)计算:A(3)+A(4).
(2)计算:2A(2 025)+A(2 026).
(3)探究2A(n)与A(n+1)之间有什么数量关系并说明理由.
解析 (1)由题意,得A(3)+A(4)=(-2)3+(-2)4=-8+16=8.
(2)由题意,得2A(2 025)+A(2 026)=2×(-2)2 025+(-2)2 026=
-(-2)×(-2)2 025+(-2)2 026=-(-2)2 026+(-2)2 026=0.
(3)2A(n)+A(n+1)=0.理由如下:
由题意,得2A(n)=2×(-2)n=-(-2)×(-2)n=-(-2)n+1,A(n+1)=(-2)n+1,
所以2A(n)+A(n+1)=0.
