(共21张PPT)
第8章 整式乘法
8.1 单项式乘单项式
单项式乘单项式
1.(2025陕西中考)计算2a2·ab的结果为 ( )
A.4a2b B.4a3b
C.2a2b D.2a3b
D
解析 2a2·ab=2a3b.故选D.
2.下列计算错误的是 ( )
A.3x2·2x3=6x5
B.-ac2·(-7ab2)=7ab2c2
C.5x2y·(-2xy5)=-10x3y6
D.34ax·2by=68abxy
B
解析 A.3x2·2x3=6x5,故A计算正确;B.-ac2·(-7ab2)=7a2b2c2,故B
计算错误;C.5x2y·(-2xy5)=-10x3y6,故C计算正确;D.34ax·2by=
68abxy,故D计算正确.故选B.
3.【新考向·过程性学习题】如图,甲、乙、丙三人合作完成
一道计算题目,规则是每人只能看到前一个人给的式子,并进
行一步计算,再将结果传递给下一个人.自己负责的一步出现
错误的是 ( )
A.只有甲 B.乙和丙
C.甲和丙 D.甲、乙、丙
C
解析 (-2x2)3·(x4÷x3)=-8x6·(x4÷x3),故甲运算错误;
-8x5·(x4÷x3)=-8x5·x,故乙运算正确;
-8x5·x=-8x6,故丙运算错误.
所以出现错误的是甲和丙.故选C.
4.(2025江苏南京秦淮期中)已知单项式3x2y3与2xy2的积为mx3yn,
则m-n=_________.
1
解析 由题意得,3x2y3·2xy2=6x3y5=mx3yn,∴m=6,n=5,
∴m-n=6-5=1.
5.若ab3=-2,则(-3ab)·2ab5=________.
-24
解析 ∵ab3=-2,∴(-3ab)·2ab5=-6a2b6=-6(ab3)2=-6×(-2)2=-24.
6.有一个长为4×109 mm,宽为2.5×103 mm,高为6×103 mm的长
方体水箱,这个水箱的容积是______________mm3.
6×1016
解析 这个水箱的容积是4×109×2.5×103×6×103=
6×1016(mm3).
7.如图,∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°,AB=2a,BC=CD=DE=a,则
图中阴影部分的面积为___________.
2a2
解析 如图,延长AB,ED交于点F,
则AF=3a,EF=2a,四边形BCDF是正方形,∴S阴影=S△AEF-
= ·3a·2a-a2=3a2-a2=2a2.
8.计算:
(1)4x·(-2x2y).
(2) a2bc· ab2c· .
(3)(-a2b3c4)2·(-3a2b)3.
(4)(-2×103)2×(-3×102)3(结果用科学记数法表示).
解析 (1)原式=(-4×2)·(x·x2y)=-8x3y.
(2)原式= · ·a·a)·(b·b2·b)·(c·c·c2)= a4b4c4.
(3)原式=a4b6c8·(-33a6b3)=-27a10b9c8.
(4)原式=4×106×(-27×106)=-108×1012=-1.08×1014.
9.光的速度大约是3×105千米/秒,从太阳系外距离地球最近的
一颗恒星(比邻星)发出的光,需要约4年时间才能到达地球.如
果1年以3.2×107秒计算,求这颗恒星与地球之间的距离.
解析 4×3.2×107×3×105=(4×3.2×3)×(107×105)
=3.84×1013(千米).
答:这颗恒星与地球之间的距离约为3.84×1013千米.
10.(2025江苏徐州铜山期中,★☆☆)计算- ·(-3a3b2)2·
(-1)2的结果为 ( )
A.4a10b10 B.-2a10b10
C.2a10b10 D.-4a10b10
D
解析 原式=- a4b6·9a6b4·1=-4a10b10.故选D.
11.【新考向·新定义题】(2025广东深圳外国语学校期中,★
★☆)若定义 表示2xyz, 表示-3abcd,则运算 ×
的结果为 ( )
A.-12m3n4 B.-6m4n3
C.12m4n3 D.12m3n4
A
解析 原式=4mn×(-3m2n3)=-12m3n4.
12.(2025江苏泰州泰兴黄桥初中教育集团月考,★★☆)
若(mx3)·(2xk)=-8x18,则m+k=__________.
11
解析 由题意可得2mx3+k=-8x18,∴2m=-8,3+k=18,∴m=-4,k=15,
∴m+k=-4+15=11.故答案为11.
13.(2025江苏泰州靖江月考,★★☆)计算:
(1)(-3a3)2·a3+(-4a)2·a7+(-5a3)3.
(2)(-x)2·x3·(-2y)3+(-2xy)2·(-x)3y.
解析 (1)原式=9a6·a3+16a2·a7-125a9=9a9+16a9-125a9=-100a9.
(2)原式=x2·x3·(-8y3)+4x2y2·(-x3)y=-8x5y3-4x5y3=-12x5y3.
14.(★★☆)已知A=2x2,B=-3xy2,C=-2x2y2,求AB2C.
解析 AB2C=2x2·(-3xy2)2·(-2x2y2)=2x2·9x2y4·(-2x2y2)=-36x6y6.
15.(2025江苏盐城盐都期中,★★☆)先化简,再求值:-10(-a3b2c)2·
a·(bc)3-(2abc)3· ,其中a=-5,b=0.2,c=2.
解析 原式=-2a7b7c5-8a7b7c5=-10a7b7c5,
当a=-5,b=0.2,c=2时,
原式=-10×(-5)7×(0.2)7×25=-10×(-5×0.2)7×32=320.
16.(2025江苏南通通州期中,★★☆)已知甲数为a×10n,乙数是
甲数的10倍,丙数是乙数的2倍,甲、乙、丙三个数的积为1.6×
1012,求a,n的值.(其中1≤a≤10,a,n均为正整数)
解析 根据题意,得a×10n×a×10n×10×a×10n×10×2=
2a3×103n+2=1.6×1012.∵1≤a≤10,a,n为正整数,∴2a3=16,
∴a=2,∴103n+2=1011,
即3n+2=11,解得n=3.
17.【新课标·运算能力】我们规定下列运算:a*b表示-3a2b,c★
d表示- cd 3.
计算:[(2m2)*n]×[m★(2n2)].
解析 由题意得[(2m2)*n]×[m★(2n2)]
=[-3(2m2)2n]×
=(-3×4m4·n)× =48m5n7.(共12张PPT)
专项突破2 巧用乘法公式进行计算
巧用乘法公式的变形求式子的值
1.(2025江苏盐城盐都期末)若(a+b)2=8,(a-b)2=6,则a2+b2的值是
( )
A.6 B.7 C.8 D.9
B
解析 因为(a+b)2=8,(a-b)2=6,
所以a2+2ab+b2=8①,a2-2ab+b2=6②,
①+②,得2a2+2b2=14,则a2+b2=7.
2.(2025江苏无锡梁溪期末)若x2+y2=10,xy=-3,则(x-y)2的值是
( )
A.4 B.7 C.13 D.16
D
解析 因为x2+y2=10,xy=-3,所以(x-y)2=x2-2xy+y2=10-2×(-3)=16.
巧用乘法公式进行简便运算
3.(2025江苏盐城大丰月考)用简便方法计算:
(1)1 1862-1 185×1 187.
(2)2 0252-4 050×2 026+2 0262.
解析 (1)原式=1 1862-(1 186-1)×(1 186+1)=1 1862-(1 1862-1)=1.
(2)原式=2 0252-2×2 025×2 026+2 0262
=(2 025-2 026)2=1.
巧用乘法公式解决整除问题
4.【新考向·代数推理】请你证明:当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2
能被24整除.
证明 原式=(n+7+n-5)(n+7-n+5)=24(n+1),
故当n为自然数时,(n+7)2-(n-5)2能被24整除.
5.【新考向·代数推理】对任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-
(3-n)(3+n)是不是10的倍数 为什么
解析 对任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是10的倍数.
理由:(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10
=10(n2-1),
所以对任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)是10的倍数.
巧用乘法公式进行计算
6.计算:(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解析 原式=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y2+2yz-z2.
巧用乘法公式解决规律问题
7.(2025江苏盐城亭湖月考)某同学在计算3×(4+1)×(42+1)时,把
3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:3×(4+1)×(42+
1)=(4-1)×(4+1)×(42+1)=(42-1)×(42+1)=162-1=255.请借鉴该同
学的经验,计算: × × × + .
解析 原式=2× × × × × + =2× × × × + =2× × × + =2× × + =2× +
=2- + =2.
方法解读 本题巧妙地添加因式2× ,将它与原式中的第一个因式结合,可利用平方差公式进行化简.
巧用乘法公式解决实际问题
8.【学科特色·分类讨论思想】王老师在一次团体操队列队形
设计中,先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队
形,且总人数不少于25),人数正好够用,然后进行各种队形变
化,其中一个队形需分为5人一组,手执彩带变换图形,在讨论
分组方案时,有人说现在的全体队员按5人一组分将多出3人,
你认为这可能吗 请说明理由.
解析 不可能.理由如下:
因为全体队员可排成方阵,所以总人数为完全平方数,设排成
方阵时每行m人,则总人数为m2,
根据队形变化时5人一组,可考虑m为5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4
中的某个,n为正整数,
从而m2可能为(5n)2=5×5n2,
(5n+1)2=25n2+10n+1=5(5n2+2n)+1,
(5n+2)2=25n2+20n+4=5(5n2+4n)+4,
(5n+3)2=25n2+30n+9=5(5n2+6n+1)+4,
(5n+4)2=25n2+40n+16=5(5n2+8n+3)+1,
由此可得,无论哪种情形,全体队员按5人一组分,要么正好,要
么多出1人或4人,不可能多3人.(共28张PPT)
第8章 整式乘法
8.4 乘法公式
第2课时 平方差公式
平方差公式
1.(2025江苏镇江期末)下列各式可以用平方差公式计算的是
( )
A.(-x+2)(x-2) B.(x+2)(x-2)
C.(x+2)(x-3) D.(x-2)(x-2)
B
解析 (x+2)(x-2)是两个数的和与这两个数的差相乘,可以用
平方差公式计算.故选B.
2.(2025江苏常州金坛期中)下面的计算正确的是 ( )
A.(x+2)(x-2)=x2-2
B.(x+y)(y-x)=x2-y2
C.(x-y)2=x2-y2
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
D
解析 (x+2)(x-2)=x2-4,故A不符合题意;(x+y)(y-x)=y2-x2,故B不
符合题意;(x-y)2=x2-2xy+y2,故C不符合题意;(-x+y)2=x2-2xy+y2,故
D符合题意.故选D.
3.【学科特色·教材变式P39活动】(2025江苏徐州期末)我们
可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.
观察下图,通过面积的计算,可以验证的恒等式是 ( )
C
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.a(a+b)=a2+ab
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
解析 题图中左边图形的面积为(a+b)(a-b),右边图形的面积
为a2-b2,所以(a+b)(a-b)=a2-b2.
4.(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=__________.
b2-a2
解析 (a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2.故答案为b2-a2.
5.(2024四川凉山州中考)已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b=______.
-6
解析 ∵a2-b2=12,∴(a+b)(a-b)=12.
∵a-b=-2,∴a+b=-6.故答案为-6.
6.(2025江苏淮安金湖月考)计算: =_________.
2 025
解析 原式=
= =2 025.
故答案为2 025.
7.【学科特色·整体思想】(2025江苏扬州江都期中)如果(a2+b2+
1)(a2+b2-1)=120,那么a2+b2的值为__________.
11
解析 ∵(a2+b2+1)(a2+b2-1)=120,
∴(a2+b2)2-1=120,∴(a2+b2)2=121,
∴a2+b2=11(负值舍去).故答案为11.
方法解读 本题中含有结构比较复杂的式子a2+b2,把它看成
一个整体,使复杂的问题简单化,但需注意这个整体(即换元后
的新元)有新的范围,本题中a2+b2的值为非负数.
8.(2025江苏无锡江阴期中)一个正方形的边长增加了3 cm,面
积相应增加了39 cm2,则原来这个正方形的边长为______cm.
5
解析 设原来正方形的边长是x cm.
根据题意,得(x+3)2-x2=39,
∴(x+3+x)(x+3-x)=3(2x+3)=39,
解得x=5.∴原来正方形的边长为5 cm.
9.(2025江苏镇江月考)如图,大正方形与小正方形的面积之差
是48,则阴影部分的面积是__________.
24
解析 设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,
∵大正方形与小正方形的面积之差是48,∴a2-b2=48,
由题图可得S阴影=S△ACE+S△AED= AE·BC+ AE·BD=
AE(BC+BD)= (a-b)(a+b)= (a2-b2)= ×48=24.故答案为24.
10.利用乘法公式计算:
(1)(a+1)(a-1)+1.
(2)(2x+1)2-(2x+3)(2x-3).
(3)(a+2)(a-2)-a(a-3).
(4)(2x-3y)(2x+3y)-(2x-3y)2.
解析 (1)原式=a2-1+1=a2.
(2)原式=4x2+4x+1-4x2+9=4x+10.
(3)原式=a2-4-a2+3a=3a-4.
(4)原式=4x2-9y2-4x2+12xy-9y2=12xy-18y2.
方法解读 学习了乘法公式后,遇到计算题时应先观察能否
运用乘法公式.若能运用公式,则直接运用公式写出结果,这样
既可以简化计算过程,减少解题步骤,又可以避免错误,缩短做
题的时间.
11.(2024山东济宁中考)先化简,再求值:x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),
其中x= ,y=2.
解析 原式=xy-4x2+(4x2-y2)
=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2.
当x= ,y=2时,
原式= ×2-22=1-4=-3.
12.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏镇江句容期中,★
★☆)在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分
裁剪下来重新拼成一个图形,下图的4种拼法中,能够验证平方
差公式的是 ( )
C
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②④
答案 C
解析 ①左边阴影部分的面积为a2-b2,右边平行四边形的底
边长为a+b,高为a-b,面积为(a+b)(a-b),可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能
够验证平方差公式,符合题意;②左边阴影部分的面积为a2-b2,
右边大长方形的长为a+b,宽为a-b,面积为(a+b)(a-b),可得(a
+b)·(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式,符合题意;③左边阴影部
分的面积为a2-b2,右边平行四边形的底边长为a+b,高为a-b,面
积为(a+b)(a-b),可得(a+b)(a-b)=a2-b2,能够验证平方差公式,符
合题意;④左边阴影部分的面积为(a+b)2-(a-b)2,右边大长方形
的面积为2a·2b=4ab,不能验证平方差公式,不符合题意.
∴能够验证平方差公式的是①②③.故选C.
13.【新考向·代数推理】(2024江苏南京中考,★★★)任意两
个奇数的平方差总能 ( )
A.被3整除 B.被5整除
C.被6整除 D.被8整除
D
解析 设这两个奇数分别为2m+1和2n+1,
则(2m+1)2-(2n+1)2=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)
=(2m+2n+2)(2m-2n)
=2(m+n+1)×2(m-n)
=4(m+n+1)(m-n),
∵m-n和m+n+1中必有一个为偶数,
∴(2m+1)2-(2n+1)2是8的倍数,即任意两个奇数的平方差总能
被8整除.故选D.
方法解读 本题应用乘法分配律逆运算进行代数推理.可以
通过对m,n的奇偶性进行分类讨论得出m-n和m+n+1中必有一
个为偶数的结论.
14.(2025江苏无锡积余教育集团期中,★☆☆)利用平方差公
式计算 + + +…+ 的结果为
___________.
-1 012
解析 原式= + + +…+
=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)
=(-1)×1 012=-1 012.
15.【新考向·规律探究题】(2025江苏无锡期中,★★★)观察
下列各式,回答相关问题:
(x-1)(x+1)=x2-1.
(x-1)(x2+x+1)=x3-1.
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1.
……
(1)计算:(x-1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=_______.
(2)根据规律可得(x-1)(xn-1+xn-2+…+x2+x+1)=_______(其中n为
正整数).
(3)求22 022+22 021+22 020+…+22+2+1的值.
解析 (1)x6-1.
(2)xn-1.
(3)根据(2)中的公式,可得22 022+22 021+22 020+…+22+2+1=
(2-1)×(22 022+22 021+22 020+…+22+2+1)=22 023-1.
16.【新课标·抽象能力】(2025江苏苏州高新区一中月考)
【观察】(2+3)2-22=7×3.(4+3)2-42=11×3.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能
被3整除.
【验证】
(1)(6+3)2-62的结果是3的_____倍.
(2)设偶数为2n(n为整数),试说明比2n大3的数与2n的平方差
能被3整除.
【延伸】
(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数
是几
解析 (1)15.
详解:原式=81-36=45=3×15,
∴(6+3)2-62是3的15倍.
(2)根据题意可知,比偶数2n大3的数为2n+3,
由题意得(2n+3)2-(2n)2
=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3).
∵4n+3为整数,∴3(4n+3)能被3整除.
∴比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
(3)根据题意可设这个整数为n,则比n大3的数为n+3,
由题意得(n+3)2-n2
=(n+3+n)(n+3-n)
=6n+9=6n+6+3,
∵6n+6能被6整除,
∴6n+6+3被6除的余数为3.(共24张PPT)
第8章 整式乘法
8.3 多项式乘多项式
多项式乘多项式
1.(2025江苏常州金坛期中)下列多项式相乘的结果是x2-2x-8
的为 ( )
A.(x-2)(x+4) B.(x+2)(x-4)
C.(x-8)(x+1) D.(x+8)(x-1)
B
解析 (x-2)(x+4)=x2+2x-8;(x+2)(x-4)=x2-2x-8;(x-8)(x+1)=x2-7x-
8;(x+8)(x-1)=x2+7x-8.故选B.
2.(2025江苏宿迁期中)若(x-1)(x+3)=x2+mx+n,则2m+n=_______.
1
解析 (x-1)(x+3)=x2+3x-x-3=x2+2x-3=x2+mx+n,则m=2,n=-3,所
以2m+n=4-3=1.故答案为1.
3.(2025江苏宿迁宿豫期中)已知mn=2m+2n,则(m-2)(n-2)=______.
4
解析 ∵mn=2m+2n,∴(m-2)(n-2)=mn-2m-2n+4=mn-(2m+2n)+
4=mn-mn+4=4.故答案为4.
4.计算:
(1)(2025江苏扬州期中)(3x-1)(x-2).
(2)(x-1)(x+2)-3(x-1).
解析 (1)原式=3x2-6x-x+2=3x2-7x+2.
(2)原式=x2+2x-x-2-3x+3=x2-2x+1.
5.(2025江苏无锡锡山模拟)现有一长方形地块,长比宽多20米.
若将该地块的长增加10米,宽缩短5米,则所得长方形地块与原
长方形地块的面积相等,求原长方形地块的长.
解析 设原长方形地块的长为x米,则宽为(x-20)米,∴变化后
的长方形地块的长为(x+10)米,宽为(x-25)米.由题意,得x(x-20)
=(x+10)(x-25),解得x=50.
答:原长方形地块的长为50米.
6.(2025江苏苏州高新区期末)如图,某中学校园内有一块长为
(x+2y)米,宽为(2x+y)米的长方形地块,学校计划在中间留下一
个“T”形的地块(阴影部分)来修建一个文化广场.
(1)用含x,y的式子表示“T”形地块的面积并化简.
(2)若x=2,y=3,预计修建文化广场的费用为50元/平方米,求修
建文化广场所需要的费用.
解析 (1)由题意,得“T”形地块的面积为(2x+y)(x+2y)-2y2=
2x2+4xy+xy+2y2-2y2=(2x2+5xy)平方米.
(2)当x=2,y=3时,2x2+5xy=2×22+5×2×3=38,
∴所需费用为38×50=1 900(元).
答:修建文化广场所需要的费用为1 900元.
方法解读 求图形面积问题,当不能直接用面积公式计算时,
可以通过面积的和、差进行计算.
7.(2025江苏扬州中学文昌教育集团期中,★★☆)如图,用A
类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张,拼一个长为
(a+4b),宽为(a+3b)的大长方形,需要C类卡片的张数为 ( )
A.12 B.10 C.7 D.6
C
解析 由题图得,1张A类卡片面积为a2,1张B类卡片面积为b2,
1张C类卡片面积为ab,∵拼成大长方形的面积为(a+4b)(a+3b)=
a2+7ab+12b2,∴需要A类卡片1张,B类卡片12张,C类卡片7张.故
选C.
8.【新考向·数学文化】(2025江苏淮安金湖月考,★★★)如
图,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,
介绍了(a+b)n的展开式的系数规律,称为“杨辉三角”.如第5
行的5个数是1,4,6,4,1,恰好对应着(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+
b4展开式中的各项系数.利用上述
规律计算关于x的多项式(3x2+2x+
1)(x2+1)5中x6项的系数为 ( )
C
A.80 B.60C.40 D.20
解析 根据“杨辉三角”的规律,得(x2+1)5=x10+5x8+10x6+10x4
+5x2+1,∴(3x2+2x+1)(x2+1)5=(3x2+2x+1)(x10+5x8+10x6+10x4+5x2+
1),∵3x2×10x4=30x6,1×10x6=10x6,∴x6项的系数为30+10=40.故
选C.
9.(2025江苏宿迁泗阳期中,★★☆)已知a,b满足4a+4a=2b×2b×2b
×2b,则代数式4b(2a+1)-4a(a+1)+5 的值为_________.
6
解析 ∵4a+4a=2b×2b×2b×2b,
即2×4a=(2b)4,∴2×(22)a=24b,
∴21+2a=24b,∴2a+1=4b,
∴4b(2a+1)-4a(a+1)+5
=(2a+1)(2a+1)-4a(a+1)+5
=4a2+4a+1-4a2-4a+5=6.故答案为6.
10.(2025江苏泰州姜堰期中,★★☆)若等式(x-s)(3x+t)=3x2+mx
-n恒成立,且无论t为何值,2m+3n的值始终为一个定值,则这个
定值为_________.
4
解析 (x-s)(3x+t)=3x2+tx-3sx-st
=3x2+(t-3s)x-st=3x2+mx-n,
则m=t-3s,n=st,
∴2m+3n=2t-6s+3st=(3s+2)t-6s,
∵无论t为何值,2m+3n的值始终为一个定值,
∴3s+2=0,解得s=- ,则(3s+2)t-6s=0-6× =4,
∴这个定值为4.故答案为4.
11.(2025江苏盐城亭湖月考,★★☆)在月历上,我们可以发现
其中某些数满足一定的规律,下图是某年1月份的月历,用方框
任意框住其中4个数,将每个方框中4个位置上的数交叉相乘,
再相减,结果都是7,例如:4×10-3×11=7,14×20-13×21=7.
(1)设月历中一方框左上角的数为x,则上面发现的规律用含x
的式子可表示为______________.
(2)利用整式的运算对(1)中的规律
加以证明.
解析 (1)月历中一方框左上角的数为x,则其余三个数从小到
大依次是x+1,x+7,x+8,
∴将发现的规律用含x的式子可表示为(x+1)(x+7)-x(x+8)=7.
故答案为(x+1)(x+7)-x(x+8)=7.
(2)证明:(x+1)(x+7)-x(x+8)=(x2+7x+x+7)-(x2+8x)=x2+7x+x+7-x2-
8x=7.
12.(2025江苏徐州模拟,★★☆)在计算(2x+a)(x+b)时,甲错把b
看成了6,得到的结果是2x2+8x-24,乙错把a看成了-a,得到的结
果是2x2+14x+20.
(1)求a,b的值.
(2)求(2x+a)(x+b)的正确结果.
解析 (1)∵甲错把b看成了6,
∴(2x+a)(x+6)=2x2+(12+a)x+6a=2x2+8x-24,
∴6a=-24,∴a=-4.
∵乙错把a看成了-a,
∴(2x-a)(x+b)=2x2+(2b-a)x-ab=2x2+14x+20,
∴2b-a=14,∵a=-4,∴b=5.故a=-4,b=5.
(2)由(1)得a=-4,b=5,
∴(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5)=2x2+6x-20.
13.【新课标·运算能力】(2025山东济南期中)规定:对于依次
排列的多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d是常数),当它们满足(x+
a)(x+d)-(x+b)·(x+c)=M(M为常数)时,称a,b,c,d是一组平衡数,M
是该组平衡数的平衡因子.下面四个结论:①对于多项式x+3,x
+2,x+5,x+4,3,2,5,4是一组平衡数;②已知1,2,5,6是一组平衡数,
则该组平衡数的平衡因子M=4;③已知a,b,c,d是一组平衡数,
若a=-5,d=4,则b+c=1;④当a,b,c,d之间满足a+d-b+c=0时,它们
是一组平衡数.其中正确的有 ( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 ①(x+3)(x+4)-(x+2)(x+5)=x2+7x+12-x2-7x-10=2,∴3,2,5,4
是一组平衡数,故①正确;
②(x+1)(x+6)-(x+2)(x+5)=x2+7x+6-x2-7x-10=-4,故M=-4,故②错误;
③(x+a)(x+d)-(x+b)(x+c)=M,当a=-5,d=4时,(x-5)(x+4)-(x+b)(x+c)
=M,即x2-x-20-[x2+(b+c)x+bc]=M,∴-(b+c)=1,∴b+c=-1,故③错误;
④(x+a)(x+d)-(x+b)(x+c)=x2+(a+d)x+ad-[x2+(b+c)x+bc]=(a+d-b-
c)x+ad-bc,∴当a+d-b-c=0时,原式的值与x的取值无关,则a,b,c,d
不是一组平衡数,故④错误.故选A.
14.【新课标·几何直观】阅读下面的材料并解答问题.
一些代数恒等式可以用几何图形的面积表示.例如,(2a+b)(a+
b)=2a2+3ab+b2可以用图1中图形的面积表示.
(1)请写出图2中图形的面积所表示的代数恒等式:________
_________.
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示代数恒等式(a+b)
(a+3b)=a2+4ab+3b2.
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与
之对应的几何图形.
解析 (1)(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2.
(2)答案不唯一,如图.
(3)答案不唯一,a(a+2b)=a2+2ab,如图.(共23张PPT)
第8章 整式乘法
8.2 单项式乘多项式
单项式乘多项式
1.(2025江苏苏州吴江期中)计算2a(5a+3b)的结果是 ( )
A.10a2+6b B.10a2+6ab
C.10a2+3ab D.10a+6ab
B
解析 原式=2a·5a+2a·3b=10a2+6ab.
2.(2025江苏盐城月考)下列说法正确的是 ( )
A.单项式乘多项式的积可能是一个多项式,也可能是单项式
B.单项式乘多项式的积仍是一个单项式
C.单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数相同
D.单项式乘多项式的结果的项数与原多项式的项数不同
A
解析 一个非零单项式乘多项式的积是一个多项式且与原多
项式的项数相同,而0乘多项式的积是0,是一个单项式,故A选
项说法正确,B,C,D选项说法错误.
3.若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4,则m,n,k的值分别为 ( )
A.6,3,1 B.3,6,1
C.2,1,3 D.2,3,1
B
解析 原式=3a3+n-2a3+m+4a3+k=3a9-2a6+4a4,∴3+n=9,3+m=6,3+k
=4,解得n=6,m=3,k=1.故选B.
4.(2025四川南充中考)计算:a(a-3)-a2=________.
-3a
解析 原式=a2-3a-a2=-3a.
5.计算:
(1)(2025江苏南京玄武期中)3a·(4a2b-1)=________________.
(2)(2025江苏徐州铜山期中)(4x-3)·(-3x2)=______________.
-12x3+9x2
12a3b-3a
解析 (1)原式=3a·4a2b-3a·1=12a3b-3a.
(2)原式=4x·(-3x2)-3·(-3x2)=-12x3+9x2.
6.【学科特色·教材变式P33练习T3(2)】(2025江苏徐州邳州
期中)用合适的式子填空:x2·(___________)=x3-2x2.
x-2
解析 x2·(x-2)=x3-2x2.故答案为x-2.
7.(2025江苏盐城阜宁期中)如果一个长方形的长是2x2y-y2,宽
是3xy,则这个长方形的面积为______________.
6x3y2-3xy3
解析 长方形的面积为(2x2y-y2)·3xy=6x3y2-3xy3.
8.计算:
(1) ·(-6ab).
(2)(-2ab)2·(3a-2b-1).
解析 (1) ·(-6ab)= ab2·(-6ab)- a2b·(-6ab)=-3a2b3
+2a3b2.
(2)(-2ab)2·(3a-2b-1)=4a2b2·(3a-2b-1)=12a3b2-8a2b3-4a2b2.
方法解读 计算时有乘方的先算乘方,然后再运用单项式与
多项式相乘的法则进行计算,计算时还要注意符号问题.
9.解方程:2x(x+1)-x(3x-2)+2x2=x2+1.
解析 原方程整理,得2x2+2x-3x2+2x+2x2=x2+1,即x2+4x=x2+1,
∴4x=1,解得x= .
10.一段防洪堤坝,其横断面是梯形,上底长a米,下底长(a+2b)米,坝高 a米.
(1)求防洪堤坝的横断面面积.
(2)如果防洪堤坝长100米,那么这段防洪堤坝的体积是多少立
方米
解析 (1) [a+(a+2b)]· a= a(2a+2b)= 平方米.
故防洪堤坝的横断面面积为 平方米.
(2) ×100=(50a2+50ab)立方米.
故这段防洪堤坝的体积是(50a2+50ab)立方米.
11.(2025江苏徐州期中,★★☆)如果a2-2a-1=0,那么代数式
2a(a-2)+3的值为_________.
5
解析 原式=2a2-4a+3=2(a2-2a)+3,
∵a2-2a-1=0,∴a2-2a=1,
∴原式=2×1+3=5.故答案为5.
12.(2025江苏扬州邗江期中,★★☆)某同学计算一个多项式
乘-3x2时,因抄错符号,算成了加上-3x2,得到的答案是x2- x+1,
那么正确的计算结果是__________________.
-12x4+ x3-3x2
解析 这个多项式是 -(-3x2)=4x2- x+1,所以正确的
计算结果是 ·(-3x2)=-12x4+ x3-3x2.
13.【新考向·新定义题】(2025浙江嘉兴期末,★★☆)已知a,b,
c,d是有理数,我们把符号 称为二阶行列式,并规定其运算
法则为 =ad-bc,例如: =2×3-1×4=2.
(1)计算二阶行列式 的值.
(2)若二阶行列式 的计算结果中不含x的一次项,求a的
值.
解析 (1)由题意得 =3×6-5×(-4)=18+20=38.
(2)由题意得 =ax-2(x+1)=ax-2x-2=(a-2)x-2,∵ 的
计算结果中不含x的一次项,∴a-2=0,∴a=2.
14.【新课标·几何直观】(2025江苏泰州兴化期中改编)如图,
正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a,b,连接EC,GC,若
阴影部分CEFG的面积为10,求证:当a,b的值发生变化时,代数
式b(a-b)的值不变.
证明 S阴影=a2- a(a-b)- a(a-b)-b2=10,即a2-a(a-b)-b2=10,
∴a2-a2+ab-b2=10,∴ab-b2=10,
∵b(a-b)=ab-b2=10,
∴当a,b的值发生变化时,代数式b(a-b)的值不变.
微专题 多项式中的“不含”问题
方法归纳 (1)多项式中“不含”某项即该项不存在,则该项
系数为0;(2)多项式的值与某字母的取值无关即多项式中不存
在该字母,则该字母所有次项系数均为0;(3)两个多项式恒相
等(等式恒成立)即等号两边对应项完全相同.
1.(2025江苏无锡新吴期中)若关于x,y的多项式(x2-mx+3)x-(m+
4)x2的结果中不含x2项,则m的值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.-5
C
解析 因为多项式(x2-mx+3)x-(m+4)x2=x3+(-2m-4)x2+3x中不含
x2项,所以-2m-4=0,解得m=-2.故选C.
2.(2025江苏淮安金湖期末)代数式3a(a2+ab)-6a3b+5a2+3ab(2a2
-a)的值 ( )
A.与字母a,b的值都有关
B.只与字母a的值有关
C.只与字母b的值有关
D.与字母a,b的值都无关
B
解析 3a(a2+ab)-6a3b+5a2+3ab(2a2-a)=3a3+3a2b-6a3b+5a2+6a3b
-3a2b=3a3+5a2,所以代数式3a(a2+ab)-6a3b+5a2+3ab(2a2-a)的值
只与字母a的值有关.故选B.
3.【新考向·代数推理】小明在计算代数式x(3x+2)-3x +
6 的值时,发现当x=2 025和x=2 026时,它们的值是相等
的.小明的发现正确吗 说明你的理由.
解析 小明的发现是正确的.理由如下:
x(3x+2)-3x +6 =3x2+2x-3x2-8x+6x-8=-8,
由计算可知,题目中代数式的结果与x的取值无关,所以小明的
发现是正确的.(共25张PPT)
第8章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题5分,共40分)
1.(2025江苏徐州邳州期中)计算3a·(-2a)的结果是 ( )
A.5a2 B.-5a2 C.6a2 D.-6a2
D
解析 3a·(-2a)=[3×(-2)]·(a·a)=-6a2,故选D.
2.(2025山西中考)下列运算正确的是 ( )
A.2a+3b=5ab B.m2·m4=m6
C.(a-b)2=a2-b2 D.(2m2)3=6m6
B
解析 2a与3b不是同类项,不能合并,故A选项不符合题意;m2·
m4=m6,故B选项符合题意;(a-b)2=a2-2ab+b2,故C选项不符合题
意;(2m2)3=8m6,故D选项不符合题意.故选B.
3.【学科特色·教材变式P43T8】两个连续偶数的平方差一定
是 ( )
A.3的倍数 B.4的倍数
C.5的倍数 D.6的倍数
B
解析 设两个连续偶数为2n,2n+2,则(2n+2)2-(2n)2=4n2+8n+4-
4n2=8n+4.因为n为整数,所以8n+4=4(2n+1),是4的倍数,故两个
连续偶数的平方差一定是4的倍数.故选B.
4.(2025江苏宿迁期中)在下列多项式乘法中,可以用平方差公
式计算的是 ( )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
C.(a+1)(-a-1)
D.(a2-b)(a+b2)
B
解析 根据组成平方差公式的前提是两式必须有一项相同,
另一项互为相反数,可知可以用平方差公式计算的只有B选项.
5.(2025江苏无锡锡山月考)如果m2+m=3,那么m(m-2)+(m+2)2的
值为 ( )
A.10 B.9 C.4 D.-6
A
解析 m(m-2)+(m+2)2=m2-2m+m2+4m+4
=2m2+2m+4=2(m2+m)+4,
∵m2+m=3,∴原式=2×3+4=10.故选A.
6.【学科特色·作差法】 (2025江苏无锡宜兴期末)若M=(x-3)(x
-4),N=(x-1)(x-6)+4,则M与N的大小关系是 ( )
A.M>N B.M=N
C.M A
解析 M=(x-3)(x-4)=x2-7x+12,
N=(x-1)(x-6)+4=x2-7x+10,
∴M-N=x2-7x+12-x2+7x-10=2>0,
∴M>N.故选A.
方法解读 作差法比较代数式大小
对两个代数式A,B进行大小比较,可以作差和0比,若A-B>0,
则A>B,若A-B<0,则A7.(2025江苏无锡江阴期中)若(x2+ax)(x-b)中不含x2项,则a,b满
足的数量关系是 ( )
A.a+b=0 B.a-2b=0
C.a=b D.a= b
C
解析 (x2+ax)(x-b)=x3-bx2+ax2-abx=x3+(a-b)x2-abx,∵不含x2项,
∴a-b=0,∴a=b.故选C.
8.【新考向·新定义题】在数学中,为了书写简便,数学家欧拉
引进了求和符号“ ”.如:记 k=1+2+3+…+(n-1)+n, (x+k)=
(x+3)+(x+4)+…+(x+n),已知 [(x+k)(x-k+1)]=4x2+4x+m,则m的
值是 ( )
A.40 B.-70 C.-40 D.-20
C
解析 因为x2项的系数是4,所以n=5,所以(x+2)(x-1)+(x+3)(x-2)
+(x+4)(x-3)+(x+5)(x-4)=(x2+x-2)+(x2+x-6)+(x2+x-12)+(x2+x-20)=
4x2+4x-40.因为 [(x+k)(x-k+1)]=4x2+4x+m,所以m=-40.故选C.
二、填空题(每题5分,共20分)
9.(2025江苏南京鼓楼期末)把4a2-2a+1加上一个单项式
___________可以成为一个二项多项式的平方.
-2a或6a
解析 ∵4a2-4a+1=(2a-1)2,4a2+4a+1=(2a+1)2,∴把4a2-2a+1加
上一个单项式-2a或6a,可以成为一个二项多项式的平方.故答
案为-2a或6a.
10.(2025江苏南京秦淮月考)课本上,公式(a-b)2=a2-2ab+b2是由
公式(a+b)2=a2+2ab+b2推导得出的.已知(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+
4ab3+b4,则(a-b)4=__________________________.
a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4
解析 ∵(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,
∴(a-b)4=[a+(-b)]4
=a4+4a3(-b)+6a2(-b)2+4a(-b)3+(-b)4
=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4.
11.【新考向·新定义题】定义a※b=a(b+1),例如:2※3=2×(3+
1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为____________.
x2-1
解析 根据题意得(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-1.
12.(2025江苏南京鼓楼月考)有两个正方形A,B,现将正方形B
放在正方形A的内部得图甲,将正方形A,B并列放置后构造新
的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和
35,则图乙的面积为__________.
75
解析 设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,可得(a-b)2=
a2-2ab+b2=5,
(a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab=35,
∴题图乙的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=
(a-b)2+2ab×2=5+35×2=5+70=75.
故答案为75.
三、解答题(共40分)
13.(2025江苏南京月考)(8分)先化简,再求值:(x-2y)2+(2x-y)(2x+
y)-x(x-4y),其中x=-1,y=2.
解析 原式=x2-4xy+4y2+4x2-y2-x2+4xy=4x2+3y2.
当x=-1,y=2时,原式=4×(-1)2+3×22=4+12=16.
14.【新考向·过程性学习题】 (8分)
阅读例题的解答过程,并解答(1)(2)中的问题.
例:计算(a-2b+3)(a+2b-3).
原式=[a-(2b-3)][a+(2b-3)] ①
=a2-(2b-3)2 ②
=a2-(4b2-12b+9) ③
=a2-4b2+12b-9.
(1)例题求解过程中,利用了整体思想,其中①→②的运算依据
是__________,②→③的运算依据是__________.(填整式乘法
公式的名称)
(2)用此方法计算:(a+2x-y-b)(a-2x+y-b).
解析 (1)平方差公式;完全平方公式.
(2)(a+2x-y-b)(a-2x+y-b)
=[(a-b)+(2x-y)][(a-b)-(2x-y)]
=(a-b)2-(2x-y)2
=a2-2ab+b2-4x2+4xy-y2.
15.(2025江苏扬州期末改编)(10分)定义 =ad-bc,如 =
1×4-3×2=-2.
(1)若 =8,求x的值.
(2)若 的化简结果中不含x的一次项,求(2m+2n)-2的
值.
解析 (1)由题意得(x+1)2-(x-1)2=8,
∴4x=8,
解得x=2.
(2) =(x+m)(x+1)-nx(x-1)
=(1-n)x2+(m+n+1)x+m,
∵不含x的一次项,∴m+n+1=0,
∴m+n=-1,∴(2m+2n)-2=(-2)-2= .
16.【新考向·项目式学习题】(2025江苏苏州高新区月考)(14分)
【知识回顾】
我们在学习代数式求值时,遇到这样一类题:代数式ax-y+6+3x
-5y-1的值与x的取值无关,求a的值.
通常的解题思路:把x,y看作字母,a看作系数,合并同类项.
因为代数式的值与x的取值无关,所以含x项的系数为0.
具体解题过程:原式=(a+3)x-6y+5,
∵代数式的值与x的取值无关, ∴a+3=0,解得a=-3.
【理解应用】
(1)若关于x的代数式mx-4x+3的值与x的取值无关,则m的值为
_______.
(2)已知A=(2x+1)(x-2),B=x(m-x),且A+2B的值与x的取值无关,
求m的值.
【能力提升】
(3)将7张如图1所示的小长方形(长为a,宽为b)按照图2的方式
不重叠地放在大长方形ABCD内,大长方形中未被覆盖的两个
部分都是长方形.设右上角长方形的面积为S1,左下角长方形
的面积为S2,当AB的长变化时,S1-S2的值始终保持不变,求a与b
的等量关系.
解析 (1)mx-4x+3=(m-4)x+3,
∵关于x的代数式mx-4x+3的值与x的取值无关,∴m-4=0,解得
m=4,故答案为4.
(2)∵A=(2x+1)(x-2)=2x2-4x+x-2=2x2-3x-2,2B=2x(m-x)=2mx-2x2,
∴A+2B=2x2-3x-2+2mx-2x2
=2mx-3x-2=(2m-3)x-2,
∵A+2B的值与x的取值无关,
∴2m-3=0,解得m= .
(3)设AB=x,
由题图可知S1=a(x-3b),S2=2b(x-2a),
∴S1-S2=a(x-3b)-2b(x-2a)
=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab,
∵当AB的长变化时,S1-S2的值始终保持不变,
∴S1-S2的值与x的取值无关,
∴a-2b=0,∴a=2b.(共16张PPT)
第8章 整式乘法
8.4 乘法公式
第3课时 乘法公式的综合运用
乘法公式及其综合运用
1.【学科特色·教材变式P42例6(2)】(2025江苏扬州江都期中)
为了运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),下列变形正确的是
( )
A.[x-(3y+z)]2 B.[(x-3y)+z][(x-3y)-z]
C.[x-(3y-z)][x+(3y-z)] D.[(x+3y)-z][(x-3y)+z]
C
解析 运用平方差公式计算(x+3y-z)(x-3y+z),应变形为[x+(3y-
z)][x-(3y-z)].故选C.
2.(2025江苏无锡宜兴外国语学校月考)一个长方形(长大于
宽)的长增加2,宽减少2,得到的新长方形与原长方形相比面积
( )
A.增加了 B.减少了
C.不变 D.无法确定
B
解析 设原长方形的长为x,宽为y,则新长方形的长为x+2,宽
为y-2,由题意得(x+2)(y-2)-xy=xy-2x+2y-4-xy=2y-2x-4.
∵x>y,∴2y-2x<0,∴2y-2x-4<0,
∴新长方形与原长方形相比面积减少了.故选B.
3.(2025江苏扬州仪征期中)若(x+3)(x2+9)(x-3)=xn-81,则n=_____.
4
解析 (x+3)(x2+9)(x-3)=(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81,则
n=4.故答案为4.
4.计算:
(1)(3x-2y)2-(3x-2y)(3x+2y).(2)(2x-1)2-(x-2)2.
(3)(2x+y-3)(2x-y+3).(4)(2a-1)2(2a+1)2.
解析 (1)原式=9x2-12xy+4y2-9x2+4y2=-12xy+8y2.
(2)原式=(2x-1+x-2)(2x-1-x+2)=(3x-3)(x+1)=3x2+3x-3x-3=3x2-3.
(3)原式=[2x+(y-3)][2x-(y-3)]=4x2-(y-3)2=4x2-(y2-6y+9)=4x2-y2+6y
-9.
(4)原式=[(2a-1)(2a+1)]2=(4a2-1)2=16a4-8a2+1.
5.(2025江苏无锡滨湖期末)先化简,再求值:(2x-1)2-(3x+1)(3x-
1)+4x(x-1),其中x2+8x-3=0.
解析 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+4x(x-1)
=4x2-4x+1-9x2+1+4x2-4x=-x2-8x+2,
∵x2+8x-3=0,∴x2+8x=3,
∴原式=-(x2+8x)+2=-3+2=-1.
6.(2025浙江温州期中,★★☆)在化简(1-3x)2-(-3x-1)(1-3x)的过
程中,小明有以下两种方法:
解法一:原式=1-6x+9x2-9x2-1(第一步)
=-6x.(第二步)
解法二:原式=1-9x2-(9x2-1)(第一步)
=1-9x2-9x2+1(第二步)
=2-18x2.(第三步)
小明发现两种解法的结果不同,请你帮小明判断上述解法是
否正确,如果错误,请指出小明是从哪一步开始出现错误的.若
两种解法都错误,请你写出正确的解答过程.
解析 解法一中,从第一步开始出现错误,
解法二中,从第一步开始出现错误,
正确的解答过程:原式=1-6x+9x2+(1-9x2)=1-6x+9x2-9x2+1=2-6x.
7.【新考向·新定义题】(2025江苏扬州广陵期中,★★☆)我们
定义:如果两个多项式M与N的差为常数,则称M与N互为恒定
差多项式,这个常数称为它们的恒定差值,如2x2+2x+1与2x2+2x
+5互为恒定差多项式,它们的恒定差值为-4.
(1)下列各组多项式互为恒定差多项式的是_______(填序号).
①(x-1)2与(-x-1)2;②2(x-1)与(x-1)(x+1);③(x-1)2与(x-3)(x+1).
(2)多项式(x-a)2与多项式-2bx2+2x+b(a,b为常数)互为恒定差多
项式,求a,b的值,并写出恒定差值.
解析 (1)①(x-1)2-(-x-1)2=x2-2x+1-x2-2x-1=-4x,∴该组多项式不
互为恒定差多项式.
②2(x-1)-(x-1)(x+1)=2x-2-x2+1=-x2+2x-1,∴该组多项式不互为
恒定差多项式.
③(x-1)2-(x-3)(x+1)=x2-2x+1-x2+2x+3=4,∴该组多项式互为恒
定差多项式.故答案为③.
(2)(x-a)2-(-2bx2+2x+b)=x2-2ax+a2+2bx2-2x-b=(1+2b)x2+(-2a-2)x+
a2-b.
∵两个多项式互为恒定差多项式,
∴1+2b=0,-2a-2=0,∴a=-1,b=- .
∴a2-b= ,∴恒定差值为 .
8.【新课标·几何直观】(2025江苏宿迁泗阳期中)数学家波利
亚说过:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不
同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立相等关系.”
这就是“算两次”原理.“算两次”原理也称富比尼原理,它
是一种重要的数学思想.换句话说,“算两次”的思想是对一
个具体的量用方法甲来计算,得到的答案是A,而用方法乙计
算得到的答案是B,那么等式A=B成立.
例如:计算图1的面积,把图1看作一个大长方形,它的面积是c(a
+b),如果把图1看作是由两个长方形组成的,那么它的面积为
ac+bc,由此可得到公式:c(a+b)=ac+bc.
除此之外,在“整式乘法”的学习探究中,我们还利用“算两
次”的思想探索得到了三个公式:
公式①:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
公式②:(a+b)2=a2+2ab+b2.
公式③:(a+b)(a-b)=a2-b2.
(1)请根据图2、图3、图4从上述三个公式中选出对应的序号
填空:
图2对应公式______,图3对应公式______,图4对应公式______.
(2)将三边长分别为a,b,c的两个直角三角形和一个两条直角
边的长都是c的直角三角形拼成如图5所示的图形,请利用
“算两次”的方法,探究a,b,c之间的数量关系.
(3)请利用图6,通过构图表示(a-2b)2(在图中用阴影部分表示),
并利用“算两次”的方法说明(a-2b)2的计算结果.(要求:构图
时请标注出相应的数据)
解析 (1)②;①;③.
(2)∵ ab+ ab+ c2= (a+b)(a+b),
∴2ab+c2=a2+2ab+b2,∴c2=a2+b2.
(3)(a-2b)2=a2-4ab+4b2,如图所示(构图不唯一).(共25张PPT)
第8章 整式乘法
8.4 乘法公式
第１课时 完全平方公式
完全平方公式
1.【学科特色·教材变式P38例2】运用完全平方公式计算79.82
的最佳选择是 ( )
A.(79+0.8)2 B.(70+9.8)2
C.(80-0.2)2 D.(100-20.2)2
C
解析 79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22,运算更简单,故选C.
2.(2025江苏苏州工业园区期中)化简(x+2)2的结果为 ( )
A.x2+4 B.x2+4x+4
C.x2-4 D.x2-4x+4
B
解析 原式=x2+2·x·2+22=x2+4x+4.
3.(2025江苏盐城盐都月考)下列运算:①(3x+y)2=9x2+y2;②(a-
2b)2=a2-4b2;③(-x-y)2=x2+2xy+y2;④ =x2-2x+ .其中运算
错误的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ①(3x+y)2=9x2+6xy+y2,故①运算错误;②(a-2b)2=a2-4ab+
4b2,故②运算错误;③(-x-y)2=x2+2xy+y2,故③运算正确;
④ =x2-x+ ,故④运算错误.所以运算错误的有①②④,
共3个.故选C.
4.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏无锡锡山期中)将图
1中的阴影部分移动位置得到图2,根据两个图形中阴影部分
的关系,可以验证下列哪个公式 ( )
A.2(a+b)(a+b)=a2-b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
解析 根据题图1可知阴影部分的边长为a-b,故阴影部分的
面积为(a-b)2,根据题图2可知阴影部分的面积为a2-2ab+b2,所
以可以得到(a-b)2=a2-2ab+b2.
5.(2025北京昌平期中)若(y+n)2=y2-my+9,则m的值为__________.
±6
解析 由完全平方公式,得(y+n)2=y2+2ny+n2=y2-my+9=y2-my+
(±3)2,∴n=±3,∴-m=2×(±3)=±6,∴m=±6.
6.(2024四川乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2=__________.
29
解析 ∵a-b=3,ab=10,∴a2+b2=(a-b)2+2ab=9+20=29.故答案为
29.
7.小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小芳将(5x-19)2展开后
得到a2x2+b2x+c2.若两人计算过程均无误,则b1+b2的值为_____.
0
解析 小红将(5x+19)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小芳将(5x-19)2
展开后得到a2x2+b2x+c2,则b1与b2互为相反数,∴b1+b2=0.
8.计算:(1)a(1+a)-(a-1)2.
(2)(2x+1)2-(4x+1)(x+1).
解析 (1)原式=a+a2-(a2-2a+1)=a+a2-a2+2a-1=3a-1.
(2)原式=4x2+4x+1-(4x2+4x+x+1)=4x2+4x+1-4x2-4x-x-1=-x.
9.(2024陕西中考A卷)先化简,再求值:(x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y
=-2.
解析 原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,
当x=1,y=-2时,原式=2×12+(-2)2=6.
10.设 是一个两位数,其中a是十位上的数字(1≤a≤9).例如,
当a=4时, 表示的两位数是45.
【尝试】
①当a=1时,152=225=1×2×100+25;
②当a=2时,252=625=2×3×100+25;
③当a=3时,352=1 225=__________;
……
【归纳】 =__________.
【论证】请证明【归纳】中所得到的结论.
解析 【尝试】由①②可得352=1 225=3×4×100+25.
【归纳】通过观察可知, =a(a+1)×100+25=100a(a+1)+25.
【论证】证明:因为 =(10a+5)2=100a2+100a+25,
100a(a+1)+25=100a2+100a+25,
所以 =100a(a+1)+25.
11.【新考向·代数推理】(2025江苏南京外国语学校期中,★
★☆)两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的
( )
A.和 B.差 C.积 D.商
A
解析 设这两个连续自然数分别为n,n+1,其中n≥0,
则|n2-(n+1)2|=|n2-n2-2n-1|=2n+1=n+n+1,
即两个连续自然数的平方差的绝对值等于这两个数的和.
故选A.
12.【学科特色·换元法】(2025江苏南京联合体期中,★★☆)
已知(x-2 021)2+(x-2 025)2=34,则(x-2 023)2的值是 ( )
A.5 B.9 C.13 D.17
C
解析 令t=x-2 023,则原式可化简为(t+2)2+(t-2)2=34,则t2+4t+4
+t2-4t+4=34,解得t2=13,即(x-2 023)2=13.故选C.
方法解读 对结构比较复杂的式子,若把其中某些部分看成
一个整体,用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化.
13.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏徐州期末,★★☆)
若关于x的二次三项式4x2+mx+36是完全平方式,则m的值为
________.
±24
解析 ∵二次三项式4x2+mx+36是完全平方式,4x2+mx+36=
(2x)2+mx+62,∴m=±2×2×6,∴m=±24.故答案为±24.
方法解读 互为相反数的两个数的平方相等,故完全平方式
中给出平方项求乘积项时应注意分类讨论.
14.【学科特色·代入法】(2025江苏宿迁宿城期中,★★★)已
知2a+b=6,则代数式4a2-b2+12b的值为__________.
36
解析 ∵2a+b=6,∴b=6-2a,
∴4a2-b2+12b=4a2-(6-2a)2+12(6-2a)=4a2-4a2+24a-36+72-24a=
36.故答案为36.
方法解读 本题将条件中的等式2a+b=6进行变形,转化成用
含a的式子表示b的形式,代入待求代数式中消掉字母b,从而化
简代数式.
15.【新考向·规律探究题】(2025安徽合肥四十五中三模,★
★☆)观察下列等式:
① =1+1;② =1+2;
③ =1+3;④ =1+4;
⑤ =1+5;……
(1)请按以上规律写出第⑥个等式:_________.
(2)猜想并写出第 个等式:_________,并证明猜想的正确性.
(3)利用上述规律,计算: + + +…+
=_______.
解析 (1) =1+6.
(2)第 个等式为 =1+n.证明如下:
∵ = = =1+n,
∴等式成立.
(3)4 950.
详解:原式=(1+1-1)+(1+2-1)+(1+3-1)+…+(1+99-1)=1+2+3+…
+99= =4 950.
16.【新课标·抽象能力】(2025江苏连云港东海期中)【阅读思考】
我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思
想,其中谈到“数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百
般好,隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决
以下问题:图1是一个长为4b,宽为a的长方形,沿图中虚线用剪
刀平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成如图2所
示的图形.
【归纳证明】观察图2中阴影部分面积的不同计算方法,请你
写出(a+b)2,(a-b)2,ab三者之间的一个等量关系式:___ _____,并说明理由.
【理解内化】应用【归纳证明】中的结论,尝试解决以下问题:
已知2m+n=10,mn=7,求(n-2m)2的值.
【迁移应用】我市某公园有一块空地,如图3所示,其中四边形
ABCD,四边形MEDQ,四边形MFNP,四边形DGNH都是正方形,
为了改善环境,增加绿化效果,吸引更多的市民前来观光游览,
公园管理员决定在每块区域都种上不同的花草.经测量,AE=
50 m,CG=150 m,正方形MFNP的面积=30 000 m2,求图中阴影区
域的面积.
解析 【归纳证明】(a+b)2=(a-b)2+4ab.
理由:题图2从整体上看是一个边长为a+b的正方形,面积为(a+
b)2,中间阴影小正方形的边长为a-b,面积为(a-b)2,4个小长方形
的面积和为4ab,所以有(a+b)2=(a-b)2+4ab.
【理解内化】∵2m+n=10,mn=7,
∴(n-2m)2=(n+2m)2-4n·2m=(n+2m)2-8mn=100-56=44.
【迁移应用】设DE=a m,EF=b m,则阴影区域的面积为
2ab m2,正方形MFNP的面积为(a+b)2=30 000 m2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,即50+a=150+b,
∴a-b=100,
∵(a+b)2=(a-b)2+4ab,∴30 000=10 000+4ab,
∴2ab=10 000,
∴阴影区域的面积为10 000 m2.
