(共24张PPT)
第9章 图形的变换
9.1 平移
第2课时 平移的基本性质
平移的基本性质
1.【学科特色·教材变式P54讨论】(2025江苏徐州新沂期中)如图,
将△ABC平移到△DEF的位置,下列说法错误的是 ( )
D
A.BE=CF
B.AD∥CF
C.∠ABC=∠DEF
D.平移距离为线段BD的长
解析 平移前后的两个图形中,对应角相等,两组对应点的连
线段平行(或在同一条直线上)且相等,∴BE=CF,AD∥CF,
∠ABC=∠DEF,平移距离为线段BE的长,故选项A,B,C中的
说法正确,不符合题意,选项D中的说法错误,符合题意.故选D.
2.将如图所示的三角形沿数轴的正方向平移,平移后的图形被
墨水覆盖了一部分,请根据图中数据确定点A平移后的对应点
表示的数是_________.
4
解析 由题图可知平移的距离是3,点A表示的数是1,所以点A
平移后的对应点表示的数是1+3=4.故答案为4.
3.(2025江苏常州溧阳期中)如图,AB=6 cm,BC=10 cm,AC=8 cm,
将△ABC沿BC向右平移a cm(0
则阴影部分的周长为__________cm.
24
解析 ∵将△ABC沿BC向右平移a cm得到△DEF,∴AD=BE,
AB=DE,∴阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC+AB+
AC=BC+AB+AC=10+6+8=24(cm).故答案为24.
4.(2025江苏无锡梁溪期末)如图,已知△ABC中,AB=7 cm,∠B=
80°,BC=6 cm,将△ABC沿射线BC方向平移5 cm后得到
△A'B'C',连接AA'.
(1)求B'C'的长度.
(2)若AC恰好平分∠BAA',求∠ACB的度数.
解析 (1)由平移可知,B'C'=BC=6 cm.
(2)由平移可知,AA'∥BB',
∴∠BAA'+∠ABC=180°.
∵∠B=80°,
∴∠BAA'=100°.
∵AC平分∠BAA',
∴∠A'AC=50°.
∴∠ACB=∠A'AC=50°.
平移作图
5.如图,已知线段AB的端点A平移到点C的位置,作出线段AB平
移后的图形.
作法1:连接AC,再过点B作线段BD,使BD满足______和_____,
连接CD,则线段CD为所求作的图形.
作法2:过点C作线段CD,使CD满足条件______和______,
则线段CD为所求作的图形.
解析 作法1:BD=AC;BD∥AC.
作法2:CD=AB;CD∥AB.
6.按要求画图:
(1)如图1,网格内每个小正方形的边长都为1个单位长度,试画
出小船向右平移4个单位长度,向上平移4个单位长度后的图形.
(2)如图2,将字母A按箭头方向平移3 cm,作出平移后的图形.
解析 (1)平移后的图形如图1所示.
(2)平移后的图形如图2所示.
方法解读 平移作图时,通常先平移关键点,再组合图形,平移
作图的关键是找出平移的方向和距离.
7.(2025江苏苏州工业园区期中,★★☆)如图,将直角△ABC沿
边AC的方向平移到△DEF的位置,连接BE,若CD=5,AF=13,则
BE的长为 ( )
C
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
解析 设BE=x,
∵将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置,
∴BE=AD=CF=x.
∵CD=5,AF=13,∴x+5+x=13,
解得x=4,∴BE=4.故选C.
8.(2025江苏无锡惠山期中,★★☆)如图,长方形ABCD中,AB=
5,第1次将长方形ABCD沿AB向右平移4个单位长度,得到长方
形A1B1C1D1,第2次将长方形A1B1C1D1沿A1B1向右平移4个单位
长度,得到长方形A2B2C2D2,……,第n次将长方形An-1Bn-1Cn-1Dn-1
沿An-1Bn-1向右平移4个单位长度,得到长方形AnBnCnDn(n>2).若
ABn的长度为2 025,则n的值为 ( )
B
A.504 B.505
C.2 021 D.2 025
解析 ∵AB=5,第1次将长方形ABCD沿AB向右平移4个单位
长度,得到长方形A1B1C1D1,∴BB1=4,AB1=AB+BB1=5+4,
第2次平移后B1B2=4,AB2=AB1+B1B2=5+4+4,
……,依此类推,第n次平移后,ABn=5+4n.
∵ABn的长度为2 025,∴5+4n=2 025,
解得n=505.故选B.
9.(2025江苏苏州高新区实验初中月考,★★☆)如图,将△ABD
沿BD所在直线向右平移,得到△A'B'D',点C为BD延长线上一
点,连接AC,交A'B' 于点E,AD平分∠BAC,∠A'=40°,则∠B'EC
的度数为___________.
80°
解析 由平移的基本性质可得,∠BAD=∠A'=40°,A'B'∥AB,
∴∠B'EC=∠BAC,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=80°,
∴∠B'EC=∠BAC=80°,故答案为80°.
10.(2025江苏苏州高新区期末节选,★★☆)如图,网格中每个
小正方形的边长都为1个单位长度,△ABC的顶点都在正方形
网格的格点上.平移△ABC,使点B移动到点B'的位置.
(1)画出平移后的△A'B'C'.
(2)【学科特色·易错题】连接AA',BB’,
则这两条线段之间的关系是_________.
(3)求平移结束后,四边形ACC'A'的面积.
解析 (1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)平行且相等.
(3)如图,四边形ACC'A'的面积=S△A'CC'+S△A'CA= ×7×4+ ×7×4=
28.
易错警示 两条线段的关系分为位置关系和数量关系,在没
有指明的情况下两种关系均需要说明.
11.【新课标·应用意识】图形的操作(本题中四个长方形的水
平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b):
【探究证明】在图1中,将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1
B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分),则空白部分的面积S1=
_______.
在图2中,将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到B1B2B3,得到封
闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分),则空白部分的面积S2=_____.
【结论应用】在图3中,请你类似地画一条有两个折点的线,同
样向右平移1个单位长度,从而得到一个封闭图形,并画出阴
影,则除去阴影后剩余部分的面积S3=_______.
【联系拓展】如图4,在一块长方形草地上,有一条弯曲的小路
(小路的水平宽度都是1个单位长度),请你猜想空白部分表示
的草地面积是多少,并证明你的猜想.
解析 【探究证明】ab-b;ab-b.
【结论应用】画图如下(画法不唯一):
S3=ab-b.故答案为ab-b.
【联系拓展】猜想:空白部分表示的草地面积是ab-b.
证明:(1)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;
(2)将左侧的草地向右平移1个单位长度,得到一个新的长方
形.在得到的新长方形中,竖直方向的边长仍然是b,水平方向
的边长变成了a-1,所以空白部分表示的草地面积是b(a-1)=
ab-b.(共9张PPT)
综合与实践 设计美丽的图案
素材1 图形变换在艺术设计中起着不容忽视的作用.图形变换的主要类型有平移、旋转、轴对称以及任意两种或多种变换方法的组合
素材2 分析图案的形成过程的方法:首先确定图案中的
“基本图形”,然后分析图案中的各组成部分之间的内在联系,从平移、旋转和轴对称的变换角度,用运动的观点、整体的思想分析各个组成部分是如何通过“基本图形”变换成“其他图形”的,进而分析“整体图案”的形成过程
素材3 设计图案的步骤:
(1)确定设计图案的表达意图;
(2)分析设计图案所给定的基本图形;
(3)对基本图形综合运用平移、旋转和轴对称,力求设计的图案形式清晰,寓意明确
任 务 解 决 任务1:已知网格中每个小正方形的边长都是1,图1中的阴影图案是由大正方形的一条对角线和以格点为圆心,2为半径的圆弧围成的.请你在图2中以图1中阴影图案为基本图案,通过轴对称、平移或旋转等图形变换方式设计一个是轴对称图形的花边图案(要求至少运用两种图形变换).
任 务 解 决 任务2:利用图3中所给的基本图案,通过平移、旋转或轴对称等图形变换方式设计图案,所设计的图案要包括四个基本图案(要求至少运用两种图形变换).
任 务 解 决 任务3:某公司为了节约开支,购买了质量相同、颜色不同的两种残缺地砖,准备用来装饰地面.现在已经把它们加工成如图4所示的同样大小的等腰直角三角形地砖若干块,李兵同学设计了图5中①②③④四种图案.
任 务 解 决 (1)选择其中一个图案简述其形成过程.
(2)请你通过平移、旋转或轴对称等图形变换方式,再设计一种与上述四种图案不同的图案
解析 任务1:如图1所示(答案不唯一).
任务2:如图2所示(答案不唯一).
任务3:(1)图案④的形成过程:以白色的小三角形的斜边所在
直线为对称轴作轴对称图形,这样就得到一个白色的正方形,
平移到左上方,重复操作得到白色正方形,平移到右下方;黑色
的小三角形经过同样的步骤可以得到两个黑色的小正方形,
再将黑色的小正方形平移到右上方和左下方各一个,最后就
形成了图案④.(答案不唯一)
(2)如图所示(答案不唯一).(共16张PPT)
第9章 图形的变换
9.2 轴对称
第3课时 轴对称的基本性质
轴对称的基本性质
1.(2025江苏南京期中)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,
连接AA',BB',CC',其中BB'分别交AC,A'C'于点D,D',下列结论:
①AA'∥BB';②∠ADB=∠A'D'B';③直线l垂直平分 AA';④直线
AB与A'B'的交点不一定在直线l上.其中正确的是 ( )
A.①②③ B.②③④
A
C.①②④ D.①③④
解析 ∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,∴AA'∥BB',故①正确;
由题意得D与D'是一组对称点,
∴∠ADB=∠A'D'B',故②正确;
∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,
∴对应点所连线段AA'被直线l垂直平分,故③正确;
∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,
∴线段AB,A'B'所在直线上任意一组对称点都被l垂直平分,所
以这两条直线的交点一定在直线l上,故④错误.故选A.
归纳总结 成轴对称的两个图形,对应边(非平行)所在直线的
交点一定在对称轴上,可以通过反证法证明.这一方法也可以
用于作出成轴对称的图形的对称轴.
2.【学科特色·教材变式P63T2】把如图所示的图形补成关于
直线m成轴对称的图形.
解析 如图所示.
3.【新考向·尺规作图】(2025江苏泰州海陵期中节选)如图,已
知点P为△ABC的边BC上一点,请用直尺和圆规作一条直线l,
使得点A关于l的对称点为P.
解析 如图所示.
提示:由轴对称的基本性质可知,作点A和点P的对称轴l,也就
是作线段AP的垂直平分线.
4.(2025江苏常州溧阳期中,★★☆)如图,在△ABC中,已知∠ACB=
90°,AC=4,BC=3,AB=5,将△ABC沿AB翻折得到△ABD,连接CD,则CD的长为 ( )
A.3.6 B.4.8 C.6.4 D.8
B
解析 设CD交AB于点H,如图,
∵将△ABC沿AB翻折得到△ABD,
∴点C与点D关于直线AB对称,
∴AB垂直平分CD,
∴CH⊥AB,CH=DH,
∵∠ACB=90°,
∴S△ABC= AB·CH= AC·BC,
∵AC=4,BC=3,AB=5,
∴ ×5CH= ×4×3,∴CH=2.4,
∴CD=2CH=4.8.故选B.
5.(2025江苏宿迁泗洪期中,★★☆)如图,四边形ABCD和四边
形A'B'C'D'关于直线l成轴对称.
(1)在图1中用直尺和圆规作出对称轴l.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)猜想:延长线段AB与A'B',交点P______对称轴l上.(填“在”
或“不在”)
(3)如果只有一把无刻度的直尺,请你在图2中画出对称轴l.
解析 (1)如图,连接BB',作线段BB'的垂直平分线l,则直线l即
为所求.
(2)在.
(3)如图,延长AB,A'B'相交于点E,延长DC,D'C'相交于点F,连接
EF,则直线EF即为所求作的对称轴l.
6.(2025江苏无锡锡山期中,★★★)如图,在正方形网格中,每
个小正方形的边长均为1,网格中有一个△ABC,该三角形的三
个顶点均在格点上.
(1)△ABC的面积为_______.
(2)在图中作出△ABC关于直
线l对称的△A1B1C1.
(3)【学科特色·线段和最值问题】若点P为
直线l上的一点,请在图中标出使PA+PB的值最小时点P的位置.
解析 (1)△ABC的面积为 ×(2+4)×3- ×2×2- ×4×1
=9-2-2=5.故答案为5.
(2)如图,△A1B1C1即为所求.
(3)∵对于直线l上任意一点P都有PB=PB1,
∴PA+PB=PA+PB1,
∵两点之间,线段最短,∴当A,P,B1三点共线时,PA+PB1有最小
值,即PA+PB有最小值.
如图,连接AB1,交直线l于点P,连接BP,此时PA+PB的值最小,点
P即为所求.(共12张PPT)
第9章 图形的变换
9.2 轴对称
第2课时 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB
的垂直平分线
B.直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线
C.若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线
D.经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直
平分线
D
解析 A说法中没有说明平分;B说法中没有说明垂直;C说法
中只有l经过点P时,l才是线段AB的垂直平分线.故选D.
2.如图,点E,F,G,Q,H在一条直线上,且EF=GH,直线l为线段FG
的垂直平分线.下列说法正确的是 ( )
A.l是线段EH的垂直平分线
B.l是线段EQ的垂直平分线
A
C.l是线段FH的垂直平分线
D.直线EH是l的垂直平分线
解析 设线段FG与直线l的交点为O,
∵直线l为线段FG的垂直平分线,
∴FO=GO,l⊥FG.
∵EF=GH,∴EF+FO=GO+GH,即EO=OH,
∴l为线段EH的垂直平分线,
故A选项说法正确,B,C选项说法错误;
∵l为直线,直线没有垂直平分线,
∴D选项说法错误.故选A.
3.如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,大于 AB长为半径
画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN.已知点P在直线MN上,连
接PA,PB,若PA=5,则PB=_________.
5
解析 由作图可知,直线MN是线段AB的垂直平分线,线段PA
和PB关于直线MN对称,所以PB=PA=5.
4.(2025江苏徐州丰县期中)如图,直线EF是线段AB的垂直平
分线,垂足为O,若AO=5,则AB=__________.
10
解析 ∵直线EF是线段AB的垂直平分线,垂足为O,∴OB=AO
=5,∴AB=2AO=10.故答案为10.
5.一张锐角三角形纸片ABC如图所示,小明想要通过折纸的方
式折出如下线段:①BC边上的中线AD;②∠BAC的平分线AE;
③BC边上的高AF.根据所学知识与相关活动经验可知,上述三
条线段中,能够通过折纸折出的是________.(填序号)
①②③
解析 动手操作可知能够通过折纸折出的有①②③.
故答案为①②③.
6.如图,用直尺和圆规过点A作△ABC中BC边上的高AE,垂足
为点E.(保留作图痕迹,不写作法)
解析 如图,线段AE即为所求.
7.(2025江苏南京玄武期中,★★☆)如图,在△ABC中,分别以
点B和点C为圆心,大于 BC长为半径画弧,两弧交于点M,N,作
直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD,若AB=8,BC=6,AC=
9,则△ABD的周长为 ( )
A.14 B.15
C.17 D.23
C
解析 由尺规作图可知,直线MN为线段BC的垂直平分线,所
以BD=CD,所以△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=
AB+AC=17.故选C.(共22张PPT)
第9章 图形的变换
9.3 旋转
第3课时 中心对称与中心对称图形
中心对称的概念与性质
1.如图,如果甲、乙两图关于点O成中心对称,则乙图中不符合
题意的一块是 ( )
C
解析 观察甲、乙两图,选项C中的图案在绕点O旋转180°后,
不能与甲图中的图案重合,因此乙图中不符合题意的一块是C
中的图案.故选C.
2.(2025江苏连云港灌云期中)如图,已知△ABC和△A'B'C'关于
点O成中心对称,则下列结论错误的是 ( )
D
A.∠ABC=∠A'B'C' B.∠AOC=∠A'OC'
C.AB=A'B' D.OA=OB'
解析 由中心对称定义可得,成中心对称的两个图形旋转180°后能完全重合,∴∠ABC=∠A'B'C',AB=A'B',故选项A,C正确;
由中心对称的性质可得,成中心对称的两个图形对应点连线
过对称中心且被对称中心平分,∴∠AOC=∠A'OC',OA=OA',
OB=OB',故选项B正确,选项D错误.故选D.
3.(2025江苏无锡天一实验学校期中)如图所示的是某公园中
心对称的观赏鱼池,阴影部分为观赏喂鱼台,已知OA=OB=
2米,则阴影部分的面积为__________平方米.
8π
解析 由题图可得,题图中四个阴影部分相对的两个成中心
对称,如图所示,①②两部分成中心对称,
∵OA=OB=2米,
∴题图中阴影部分相当于2个以点O为圆心,OA长为半径的圆,
∴题图中阴影部分的面积为2×π×22=8π(平方米),
∴题图中阴影部分的面积为8π平方米.故答案为8π.
中心对称图形
4.(2025山西中考)科技创新型企业的不断涌现,促进了我国新
质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标
中,为中心对称图形的是 ( )
D
解析 选项D中的图形能找到这样的一个点,使图形绕该点旋
转180°后与原来的图形重合.故选D.
5.【新课标·中华优秀传统文化】(2024江苏淮安中考)中国古
典建筑中的镂空砖雕图案精美,下列砖雕图案中不是中心对
称图形的是 ( )
A
解析 选项A中的砖雕图案不能绕某点旋转180°后和原图形
重合,故不是中心对称图形.故选A.
6.(2025山东枣庄中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心
对称图形的是 ( )
B
解析 A,C,D中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形,
故A,C,D不符合题意;B中的图形既是轴对称图形又是中心对
称图形,故B符合题意.故选B.
7.(2025江苏徐州邳州期中)如图所示,在3×3的正方形网格中,
已有三个小正方形被涂上阴影,再任意选择一个剩余的白色
小正方形涂上阴影,则所得阴影图案是中心对称图形的情况
有_________种.
3
解析 根据中心对称图形的定义,可知再任意选择一个剩余
的白色小正方形涂上阴影,使阴影图案是中心对称图形的情
况共有3种(如图所示).
8.【学科特色·教材变式P76T5】下列图形中,哪些是中心对称图
形 哪些是轴对称图形 画出它们的对称中心或所有的对称轴.
解析 正三角形是轴对称图形,对称轴有三条,如图①;正五边
形是轴对称图形,对称轴有五条,如图②;正六边形是中心对称
图形,也是轴对称图形,对称中心为点O,对称轴有六条,如图③;
题图④中的图形是轴对称图形,对称轴有三条,如图④;题图⑤
中的图形是中心对称图形,对称中心为点P,如图⑤.
9.(2025江苏徐州期末,★☆☆)如图,在由边长为1个单位长度
的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的
交点).
(1)平移△ABC得到△A1B1C1,其中点A的对应点为点A1,请画出
△A1B1C1.
(2)以点O为旋转中心,将△A1B1C1旋转180°得到△A2B2C2,请画
出△A2B2C2.
(3)已知△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称,则该点为_____.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)如图,连接AA2,BB2,CC2相交于点N,∴△A2B2C2与△ABC关于
点N成中心对称,∴该点为N.故答案为N.
10.(2024江苏扬州江都月考,★☆☆)图1、图2都是由边长为1
的小菱形构成的网格,已有两个小菱形被涂上了阴影,请你再
将两个小菱形涂上阴影,使得整个阴影部分图形满足下列条件:
(1)图1中,整个阴影部分图形为轴对称图形,但不是中心对称
图形.
(2)图2中,整个阴影部分图形为中心对称图形,但不是轴对称
图形.
解析 (1)如图1,阴影部分图形是轴对称图形,但不是中心对
称图形(答案不唯一).
(2)如图2,阴影部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形
(答案不唯一).
11.【新课标·几何直观】(2025江苏盐城大丰期中节选)【综
合实践】如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点
称为格点,A,B均在格点上,在给定的网格中按要求画图.
(1)图1中点O在格点上,画出线段AB关于点O成中心对称的线
段CD(点A的对应点为C).
(2)图2中点P在格点上,画出线段AB绕点P逆时针旋转90°所得
到的线段EF(点A的对应点为E).
(3)图3中,若每个小正方形的边长均为1,找出格点G,H,使四边
形ABGH既是轴对称图形,又是中心对称图形,此时四边形
ABGH的面积是_______.
解析 (1)如图1,线段CD即为所求.
(2)如图2,线段EF即为所求.
(3)如图3,四边形ABGH即为所求,四边形ABGH的面积=4×4-4
× ×1×3=10,故答案为10.(共17张PPT)
第9章 图形的变换
9.2 轴对称
第4课时 轴对称图形
轴对称图形
1.【跨语文·汉字】(2025天津中考)在一些美术字中,有的汉字
是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是
( )
B
解析 B选项中的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线折
叠,直线两旁的部分能够完全重合,是轴对称图形.故选B.
2.用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻
度画的是 ( )
A.①②③④ B.②③
C.③④ D.①②
A
解析 题图①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴,
如图所示.故选A.
尺规作角平分线
3.【新考向·尺规作图】(2025江苏宿迁泗阳期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,在边AC上作一点D,点D不与点A重合,使
△BCD的三个内角分别为30°,60°,90°,请用直尺和圆规
完成作图,并保留作图痕迹.
解析 如图,作∠ABC的平分线,交AC于点D,
则点D即为所求.
4.(2025江苏徐州贾汪期中,★☆☆)如图,在3×3的正方形网格
中,有2个小正方形已经涂上阴影.若在图中剩余的小正方形中
再选择一个涂上阴影,使整个阴影部分成为轴对称图形,则共
有_________种涂法.
5
解析 如图,有5种涂法.
方法解读 此类问题可以通过一一尝试进行求解,注意不重
不漏.
5.(2024甘肃中考,★☆☆)围棋起源于中国,古代称为“弈”.
如图所示的是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋
盘,白方如果落子于点_____________(填写“A”“B”“C”
“D”中的一处即可,“A”“B”“C”“D”位于棋盘的格
点上)的位置,则所得的对弈图是轴对称图形.
A(或C)
解析 白方如果落子于点A或C的位置,则所得的对弈图是轴
对称图形.故答案为A(或C).
6.(2025江苏无锡江阴长泾二中月考,★★☆)如图,在△ABC
中,BC=8 cm,△ACE是轴对称图形,ED所在直线是它的对称轴.
若△BCE的周长为18 cm,则AB=__________cm.
10
解析 因为△ACE是轴对称图形,ED所在直线是它的对称轴,
所以AE=CE,所以AE+BE=CE+BE.
因为△BCE的周长为18 cm,BC=8 cm,
所以CE+BE=10 cm,
所以AE+BE=AB=10 cm.
故答案为10.
7.【新课标·几何直观】【新考向·尺规作图】(2025江苏南京
联合体期中节选)已知∠AOB,点M在OB上.
(1)如图1,点N在OA上,且OM=ON,在∠AOB内部作一点P,使四
边形OMPN是轴对称图形.
(2)如图2,点Q在∠AOB的内部,作四边形OMPN,使四边形
OMPN为轴对称图形,且点N在OA上,点P在∠AOB内部,点Q在
四边形OMPN的一边上.
要求:①用直尺和圆规作图;②保留作图的痕迹,写出必要的文
字说明.
解析 (1)如图,以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别与OA,
OB交于点C,D;分别以点C,D为圆心,大于 CD长为半径作弧,
两弧交于点E,作射线OE,在OE上任取一点P,连接MP,NP,则四
边形OMPN即为所求.
(2)如图,作射线MQ,在射线MQ上取点P,使MP=MO.以点M为
圆心,任意长为半径作弧,分别交MO,MQ于点G,H;分别以点G,
H为圆心,大于 GH长为半径作弧,两弧交于点F,连接MF交OA
于点N,连接NP,则四边形OMPN即为所求.(共30张PPT)
第9章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题6分,共42分)
1.【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏扬州中考)窗棂是
中国传统木构建筑的重要元素,既散发着古典之韵,又展现了
几何之美.下列窗棂图案中,是轴对称图形但不是中心对称图
形的是 ( )
C
解析 选项A,B中的图案既是轴对称图形,也是中心对称图
形,不符合题意;选项C中的图案是轴对称图形,但不是中心对
称图形,符合题意;选项D中的图案不是轴对称图形,是中心对
称图形,不符合题意.故选C.
2.(2025江苏无锡惠山期中)下列说法中,正确的是 ( )
A.“丽丽把教室的门打开”属于平移现象
B.能够互相重合的两个图形成轴对称
C.“小明在荡秋千”属于旋转现象
D.“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象
C
解析 A.“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象,故A选项错
误,不符合题意;B.能够互相重合的两个图形不一定成轴对称,
故B选项错误,不符合题意;C.“小明在荡秋千”属于旋转现
象,故C选项正确,符合题意;D.“钟表的钟摆在摆动”属于旋
转现象,故D选项错误,不符合题意.故选C.
3.(2025江苏泰州靖江联考)下列说法错误的是 ( )
A.平移前后每组对应点之间的距离相等
B.旋转前后对应点到旋转中心的距离相等
C.两个图形关于某条直线对称,对应点一定在该直线的两侧
D.两个图形关于一条直线对称,由这两个图形所组成的图形
是轴对称图形
C
解析 A.由平移的基本性质可得A选项说法正确,不符合题
意;B.由旋转的基本性质可得B选项说法正确,不符合题意;
C.若两个图形关于某条直线对称,对应点可能在该直线两侧,
也可能在该直线上,故C选项说法错误,符合题意;D.两个图形
关于一条直线对称,则组合图形沿该直线对折可重合,是轴对称
图形,故D选项说法正确,不符合题意.故选C.
4.(2025湖南长沙中考)如图,将△ABC沿AD折叠,使点B落在
AC边上的点E处,若AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE的周长为
( )
A.5 B.6
C.6.5 D.7
D
解析 由折叠可得AE=AB=4,DE=BD,∴CE=AC-AE=6-4=2,
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+BD+CE=BC+CE=5+2=7.
故选D.
5.(2025江苏宿迁宿城新区期中)如图,在6×4的方格纸中,格点
三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则其旋转中心是
( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
B
解析 如图,连接两组对应点,作对应点连线段的垂直平分线,
则交点N即为所求.
6.如图,∠AOB=45°,点P在∠AOB的内部,OP=4,点P1与点P关
于OB对称,点P2与点P关于OA对称,那么以P1,O,P2为顶点的三
角形的面积是 ( )
A.4 B.8 C.16 D.无法确定
B
解析 如图,
因为OP=4,点P1与点P关于OB对称,点P2与点P关于OA对称,所
以OP1=OP2=OP=4,∠P2OA=∠AOP,∠POB=∠BOP1,因为∠AOB
=45°,所以∠P2OA+∠AOP+∠POB+∠BOP1=90°,即∠P2OP1=
90°,所以 = OP1·OP2= ×4×4=8.故选B.
7.(2025江苏宿迁期中)如图,3×3的正方形网格中,△ABC的顶
点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在
网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
D
解析 如图所示,共8种情况,故选D.
二、填空题(每题6分,共18分)
8.(2025四川凉山州中考)如图,将周长为20的△ABC沿BC方向
平移2个单位长度得△DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长为
__________.
24
解析 由平移可得DF=AC,AD=CF=2,∴四边形ABFD的周长
=AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=△ABC的周长+AD+
CF=20+2+2=24.
9.如图,有一张四边形纸片ABCD,AD∥BC,将它沿GH折叠,使
点D落在AB边上的点E处,点C落在点Q处,若∠GHB=80°,则
∠AGE=__________°.
20
解析 ∵AD∥BC,∠GHB=80°,
∴∠DGH=∠GHB=80°,
由折叠可得,∠EGH=∠DGH=80°,
∴∠AGE=180°-∠EGH-∠DGH=180°-80°-80°=20°.
10.【新考向·规律探究题】(2025江苏无锡期中)如图,已知直
角三角形ABC,AC=3,BC=4,AB=5,点C,A在直线l上,将△ABC绕
点A顺时针旋转到位置①,得到点P1,点P1在直线l上,将位置①
的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,得到点P2,点P2在直线l
上,……,按照此规律继续旋转,直到得到点P2 025,则AP2 025=
________.
8 100
解析 在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴将△ABC绕着点A顺时针旋转到位置①,得到点P1,此时AP1=5,
将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,得到点P2,此
时AP2=5+4=9,
将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,得到点P3,此
时AP3=5+4+3=12,……,可得每旋转3次为一组循环,
∵2 025÷3=675,∴AP2 025=675×12=8 100.
故答案为8 100.
三、解答题(共40分)
11.(2025江苏苏州外国语学校月考)(12分)如图,网格中每个小
正方形的边长均为1,将四边形ABCD进行平移后,使点A的对
应点为点A'.
(1)请你画出平移后所得的四边形A'B'C'D'.
(2)连接 AA',CC',则这两条线段之间的关系是_________.
(3)直线CD上有一点P,△ADP的面积是四边形ABCD的 ,请在
图中作出△ADP.
解析 (1)如图,四边形A'B'C'D'即为所求.
(2)平行且相等.
(3)四边形ABCD的面积为 ×3×2+ ×3×3=3+ = ,
∴△ADP的面积为 × =5,
即 DP×2=5,解得DP=5.如图,△ADP即为所求.
12.【新考向·尺规作图】(2025江苏淮安开明中学期中)(12分)
如图,已知△ABC.
(1)用直尺和圆规按下列要求作图:作CD⊥AB交AB于点D,作
∠BAC的平分线交CD于点E(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若∠B=60°,∠AEC=125°,求∠ACB的度数.
解析 (1)如图所示.
(2)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∵∠AEC=125°,∴∠AED=55°,
∴∠DAE=180°-90°-55°=35°,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE=70°,
∵∠B=60°,∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=50°.
13.(2025江苏泰州海陵期中)(16分)将一副直角三角尺(分别含
45°,45°,90°和30°,60°,90°的角)叠放在量角器上,OE,OF分别平分∠AOB和∠COD.
【特例感知】
(1)如图1,如果点A,O,D在同一直线上,边AO与量角器的0°刻度
线重合,边OD与量角器的180°刻度线重合,那么∠EOF=_____.
【规律探究】
(2)如图2,如果两个直角三角尺绕点O旋转一定角度.
①当∠BOC=60°时,求∠EOF的度数.
②当∠BOC=α(α<90°)时,求∠EOF的度数(用含α的式子表示).
解析 (1)∵OE,OF分别平分∠AOB和∠COD,
∴∠EOB=∠EOA= ∠AOB=45°,∠FOC=∠FOD= ∠DOC=
45°,∴∠EOF=∠EOB+∠FOB=90°,
故答案为90°.
(2)由旋转的性质可知,旋转后的直角三角尺可以与旋转前的
完全重合.
①∵∠BOC=60°,
∴∠BOD=90°-60°=30°,
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=45°+30°=75°,
∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=75°-45°=30°.
②∵∠BOC=α,
∴∠BOD=90°-α,
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=45°+90°-α=135°-α,
∴∠EOF=∠EOD-∠FOD=135°-α-45°=90°-α.(共12张PPT)
第9章 图形的变换
9.3 旋转
第１课时 旋转的概念
旋转的概念
1.(2025江苏宿迁泗洪期末)下列生活现象中,可以看作是图形
旋转的是 ( )
A.钟表上的时针运动
B.升国旗的上升过程
C.月亮在水中形成的影子
D.电梯的升降
A
解析 A.钟表上的时针运动,可以看作图形的旋转,故本选项
符合题意;B.升国旗的上升过程,可以看作图形的平移,故本选
项不符合题意;C.月亮在水中形成的影子,可以看作轴对称,故
本选项不符合题意;D.电梯的升降,可以看作图形的平移,故本
选项不符合题意.故选A.
2.(2025吉林中考)如图,风力发电机的叶片在风的吹动下转动,
使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中
心旋转角α后,能够与它本身重合,则角α的大小可以为 ( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
B
解析 由题意可得360°÷3=120°,
∴角α的大小为120°的整数倍.故选B.
3.(2025江苏扬州广陵期中)将数69旋转180°,得到的数是______.
69
解析 将数“69”旋转180°,得到的数是“69”.故答案为69.
4.如图,△AOB绕点O旋转得到△COD,在这个旋转过程中:
(1)旋转中心是什么 旋转角是什么
(2)经过旋转,点A,B分别移动到什么位置
(3)指出图中相等的线段、相等的角.
解析 (1)由题图可知,旋转中心是点O,旋转角为∠BOD(或
∠AOC).
(2)经过旋转,点A,B分别移动到点C,D的位置.
(3)题图中相等的线段有AB=CD,OB=OD,OA=OC;相等的角有
∠A=∠C,∠B=∠D,∠AOB=∠COD,∠BOD=∠AOC.
5.(2025江苏苏州月考)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶
点都在格点上.
(1)在图1中画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1B1C1.
(2)在图2中画出△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的△A2B2C2.
解析 (1)如图1,△A1B1C1即为所求.
(2)如图2,△A2B2C2即为所求.
6.(2025山东青岛市北期中,★☆☆)如图,时钟的时针从上午8
时转动到上午10时,时针绕表盘中心旋转的角度为 ( )
A.30° B.50° C.60° D.70°
C
解析 观察题图可得时针绕表盘中心旋转的角度为360°÷12×2=60°.故选C.
7.(★★☆)如图所示的是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个
图形,照此规律闪烁,第2 026次闪烁呈现出来的图形是 ( )
B
解析 观察图形的变化可知,每旋转一次,旋转角为90°,
即每4次旋转一周.因为2 026÷4=506……2,
所以第2 026次与第2次的图形相同.故选B.(共12张PPT)
第9章 图形的变换
9.1 平移
第１课时 平移的概念
平移的概念
1.(2025江苏无锡期中)下列运动属于平移的是 ( )
A.冷水加热过程中小气泡变成大气泡
B.电梯从一楼到十楼
C.随风飘动的树叶在空中的运动
D.钟表上走动的分针
B
解析 平移是指沿直线的某个方向平行移动一定的距离,电
梯从一楼到十楼符合平移的定义,故属于平移,故选B.
2.在下列由运动项目的图标组成的图形中,能将其中一个图形
只经过平移得到另一个图形的是 ( )
C
解析 A,B,D中两个图标虽然形状、大小完全相同,但是都不
能沿直线的某个方向平行移动得到,故不是平移.C中两个图
标可以由其中一个通过平移得到另一个,因此选项C符合题
意.故选C.
3.如图,△ABC平移到了△DEF的位置,下列说法错误的是
( )
A.∠ABC与∠E是对应角
B.BC与EF是对应边
C.点A的对应点是B
C
D.平移的距离是线段BE的长度
解析 点A的对应点是D,故选项C说法错误,故选C.
4.如图,在5×5的方格纸中,将图1中的三角形甲平移到图2所示
的位置,与三角形乙拼成一个长方形,那么各选项的平移方法
中,正确的是 ( )
A.先向下平移3格,再向右平移1格
B.先向下平移2格,再向右平移1格
C
C.先向下平移3格,再向右平移2格
D.先向下平移2格,再向右平移2格
解析 如图,找一组对应点A与A',观察图形可知,点A先向下平
移3格,再向右平移2格后到点A'的位置,即三角形甲先向下平
移3格,再向右平移2格后与三角形乙拼成一个长方形.
故选C.
方法归纳 已知图形平移前后的位置,要确定图形的平移方
式,可选择平移前图形的一个关键点,并找到其在平移后图形
中的对应点,分析这个关键点平移的方式.这个图形的平移方
式与这个关键点的平移方式相同.
5.(2024江苏连云港中考,★★☆)如图,正方形中有一个由若干
个长方形组成的对称图案,正方形的边长是80 cm,则图中阴影
部分的周长是 ( )
A.440 cm B.320 cm C.280 cm D.160 cm
A
解析 根据题图可知,阴影部分纵向所有线段平移到正方形
左、右两边上,其长度和为正方形边长的2倍,横向所有线段平
移到正方形上、下两边上,其长度和为正方形边长的4倍减去
40 cm,故阴影部分的周长为80×6-40=440(cm),故选A.
6.(2025江苏南京秦淮月考改编,★☆☆)如图所示的网格由边
长为1个单位长度的小正方形组成,点O,A,B,C,D为网格格点,
平移△AOB.
(1)若点A平移后的对应点为C,指出怎样在网格中进行平移,并
作出平移后的三角形.
(2)若点B平移后的对应点为D,作出点O的对应点.
解析 (1)点A平移后的对应点为C,由网格可得△AOB向上平
移1个单位长度,向右平移5个单位长度,平移后的图形为△ECF,如图所示.
(2)如图,若点B平移后的对应点为D,则点O的对应点为M.
(共18张PPT)
专项突破3 轴对称及其性质的应用
识别轴对称图形及图形成轴对称
1.(2025江苏镇江期中)如图,在相同的小正方形拼成的网格中,
两个小正方形已涂色,请你在图中再将剩余的小正方形任选
两个涂色,并满足:①4个涂色的小正方形中,每个小正方形至
少与其余3个小正方形中的1个有公共点;②连同空白小正方
形一起构成轴对称图形,即阴影部分呈轴对称,空白部分也呈
轴对称,且共用一条对称轴.
(1)在正方形网格中画出你的3种涂法.
(2)共有_____种涂法.(8个图不一定全用到)
解析 (1)如图所示.
(2)共有7种涂法.故答案为7.
方法解读 由正方形的轴对称性可得,在正方形网格中,对称
轴的位置有三种情况:水平、竖直、沿对角线,按此分类逐个
尝试即可.
求线段的长或角的度数
2.如图,P是∠ACB外一点,D,E分别是∠ACB两边上的点,点P
关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上,点P关于CB的对称点
P2恰好落在ED的延长线上.若PE=3,PD=4,ED=5,则线段P1P2的
长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
解析 由题意可知EP=EP1,DP=DP2,
∵PE=3,PD=4,
∴DP2=4,EP1=3,
∵ED=5,
∴P1D=ED-EP1=5-3=2,
∴P1P2=P1D+P2D=2+4=6.
故选C.
3.(2025江苏盐城盐都期末)如图,直线l1,l2交于点O,点P关于l1,l2
的对称点分别为P1,P2,若OP=8,P1P2=14,则△P1OP2的周长是
_______.
30
解析 ∵点P关于l1,l2的对称点分别为P1,P2,
∴OP1=OP=OP2=8.
∵P1P2=14,∴△P1OP2的周长=8+8+14=30.
4.如图,△ABC和△ADE关于直线MN成轴对称,BC与DE的交
点F在直线MN上.
(1)图中点D的对应点是点_______,∠E的对应角是_______.
(2)若CF=3,DF=2,则DE的长为_______.
(3)若∠DAE=108°,∠EAF=39°,求∠DAC的度数.
解析 (1)B;∠C.
(2)5.
(3)因为∠EAF=39°,所以∠CAF=∠EAF=39°,
因为∠DAE=108°,
所以∠DAC=∠DAE-∠CAF-∠EAF=108°-39°-39°=30°.
解决有关折叠问题
5.(2025江苏苏州外国语学校月考)如图,长方形ABCD的长和
宽分别为5 cm,3 cm,E,F分别是AB,CD上的点,将四边形AEFD
沿直线EF折叠,使点A落在点A'处,则阴影部分的周长为
_______cm.
16
解析 ∵将四边形AEFD沿直线EF折叠,使点A落在点A'处,
∴AE=A'E,DF=D'F,AD=A'D',
∴题图中阴影部分的周长为BE+EA'+BC+A'D'+CF+FD'=AB+
BC+AD+CD,
∵长方形ABCD的长和宽分别为5 cm,3 cm,
∴题图中阴影部分的周长为5+3+5+3=16 cm.
故答案为16.
6.(2025江苏泰州靖江外国语学校月考)将一张长方形纸条按
如图所示的方式折叠,若已知∠1=130°,则∠2=__________°.
65
解析 如图,
由题意可得AB∥CD,∴∠1+∠4=180°,
∵∠1=130°,∴∠4=50°,由折叠可得∠2=∠3,
∵∠4+∠2+∠3=180°,∴∠2=65°.故答案为65.
7.【学科特色·分类讨论思想】(2025江苏无锡江阴月考)如图,
在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=70°,D是AB的中点,点E是边AC
上一动点,将△ADE沿DE翻折,使点A落在点A'处,则∠A'的度
数为_______;当A'E∥BC时,∠ADE的度数为_____________.
115°或25°
20°
解析 由翻折可知,∠A'=∠A=180°-∠C-∠ABC=20°.
当点A'在AC上方时,如图1,
∵A'E∥BC,∴∠A'EA=∠C=90°,
由翻折可知,∠A'ED=∠AED= ∠A'EA=45°,
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-20°-45°=115°.
当点A'在AC下方时,如图2,
由A'E∥BC,易证∠A'EA=∠C=90°,
由翻折可知,∠A'ED=∠AED= ×(360°-90°)=135°,
∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-135°-20°=25°.
故答案为20°;115°或25°.
(共25张PPT)
第9章 图形的变换
9.3 旋转
第2课时 旋转的基本性质
旋转的基本性质
1.(2024江苏无锡中考)如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,
将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时,
∠BAC'的度数为 ( )
A.65° B.70°
C.80° D.85°
B
解析 由旋转可得∠B'AC'=∠BAC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-80°-65°=35°,
∴∠B'AC'=∠BAC=35°,
∴∠BAC'=∠BAC+∠B'AC'=70°.故选B.
2.(2024天津中考)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺
时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA
交DE于点F,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE C.AB=EF D.BF⊥CE
D
解析 设BF与CE相交于点H,图略.因为将△ABC绕点C顺时
针旋转60°得到△DEC,所以∠BCE=60°.因为∠B=30°,所以
在△BHC中,∠BHC=180°-∠BCH-∠B=90°,所以BF⊥CE.
故选D.
3.【学科特色·教材变式P71例2】(2025江苏无锡梁溪二模)如图,
△ABC中,∠B=28°,将△ABC绕点A顺时针旋转52°得△AB'C',
AB'交BC于D,则∠ADC=__________°.
80
解析 ∵△ABC绕点A顺时针旋转52°得△AB'C',
∴∠BAB'=52°.∵∠B=28°,
∴∠ADB=180°-∠BAB'-∠B=100°,
∴∠ADC=180°-∠ADB=80°.故答案为80.
4.如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将
△AOB绕点O顺时针旋转75°得到△A1OB1,边A1O交直线a于
点C,则∠1=__________°.
50
解析 如图.
因为将△AOB绕点O顺时针旋转75°得到△A1OB1,所以∠AOA1
=75°,又因为∠AOB=55°,所以∠2=180°-55°-75°=50°.因为直线a∥b,所以∠1=∠2=50°.
5.(2025江苏宿迁沭阳期中)如图,将△ABC逆时针旋转一定角
度α(0°<α<360°)后得到△DEC,点D恰好为BC的中点.
(1)若∠ACE=130°,指出旋转中心,并求出α的值.
(2)若CE=9,求AC的长.
解析 (1)∵∠ACE=130°,
∴∠ACB+∠DCE=360°-∠ACE=230°.
∵△ABC逆时针旋转一定角度α(0°<α<360°)后得到△DEC,
∴旋转中心为点C,α=∠ACD=∠BCE,
∴α= ×230°=115°.
(2)由旋转得,AC=CD,BC=CE=9,
∵点D恰好为BC的中点,∴CD= BC= ,∴AC= .
旋转作图
6.(2025江苏宿迁期中)如图,△ABC的三个顶点都在边长为1
个单位长度的正方形网格的格点上,点O为△ABC外一点.
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,作出平移后
的图形.
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到
△A2B2C2,作出旋转后的图形.
(3)△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1经过
什么变换得到的
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)如图所示,连接A1A2,B1B2,C1C2交于一点D,
∴△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1绕点D顺时针旋转180°得到的.
7.【学科特色·8字型】(2025江苏南京外国语学校期中,★★
☆)如图,把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应
点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,图中与
∠CAE相等的角有(不包含∠CAE) ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
解析 如图,设BE与AD交于点O,由旋转可得,∠BAC=∠DAE,
∠ABC=∠ADE,∴∠CAE=∠BAO.∵∠AOB=∠EOD,∴∠BAO=∠BED,
∴∠CAE=∠BED.故与∠CAE相等的角有2个.故选B.
模型解读 8字型角度模型
条件:如图,AD,BC相交于点O,连接AB,CD.
结论:∠A+∠B=∠C+∠D.特殊地,若∠A=∠C,则∠B=∠D.
8.(2025江苏苏州吴江月考,★★☆)如图,在正方形网格中,线
段A'B'是由线段AB绕某点逆时针旋转α得到的,则α的大小为
___________.
90°
解析 如图,连接AA',BB',作线段AA',BB'的垂直平分线交于点
O,因为旋转前后对应点到点O的距离相等,所以点O为旋转中
心.连接OA,OA',∠AOA'即为旋转角,所以旋转角为90°.
9.【新课标·几何直观】在一次课外活动中,小明将一副直角
三角尺按如图所示的方式放置,E在AC上,∠C=∠DAE=90°,
∠B=60°,∠D=45°.小明将△ADE从图中位置开始,绕点A按每秒6°的速度顺时针旋转一周,在旋转过程中,当边AB与边DE平行时,求旋转时间.
解析 ①当DE在AB的上方时,如图,
∵∠C=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=45°,
∴∠BAC=30°,∠E=45°.
∵AB∥DE,∴∠BAE=∠E=45°,
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°,
∴旋转的时间为 = (秒).
②当DE在AB的下方时,如图,
∵∠C=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=45°,
∴∠BAC=30°,∠E=45°.
∵AB∥DE,∴∠BAE+∠E=180°,
∴∠BAE=180°-∠E=135°,
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°,
∴旋转的角度为360°-∠CAE=255°,
∴旋转的时间为 = (秒).
综上所述,在旋转过程中,第 秒或 秒时,边AB与边DE平行.
10.【新课标·推理能力】(2025江苏苏州中学期中)如图,在△ABC
中,AB=AC,∠ABC=∠ACB,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),将△ABD绕着点A逆时针旋转至△ACE的位置,连接DE.
设∠BAC=α,∠BCE=β.
(1)探究:当点D在BC边上移动时,α,β之间的数量关系
为_____________.
(2)【学科特色·代入法】若AB∥EC,
求∠BAC的度数.
解析 (1)由题意得∠ABC=∠ACB=
= (180°-α)=90°- α,
∵△ABD绕着点A逆时针旋转至△ACE的位置,
∴∠ACE=∠ABC=90°- α,
∵∠BCE=∠ACB+∠ACE,∴β=2 ,
整理得α+β=180°,故答案为α+β=180°.
(2)∵AB∥EC,
∴∠ABC+∠BCE=180°,即90°- α+β=180°,
∵β=180°-α,∴90°- α+180°-α=180°,
解得α=60°,即∠BAC的度数为60°.
方法解读 代入法常用于求代数式的值和式子的化简,本题中由(1)得到关于α,β的等式,在化简90°- α+β=180°时,将已知等式转化成等号左边为β的形式,并代入新等式化简求解.(共24张PPT)
第9章 图形的变换
9.2 轴对称
第１课时 轴对称的概念
轴对称
1.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面各种组
合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是 ( )
A
解析 A选项中,两个字母“E”不能沿某直线翻折后互相重
合,故这两个字母不成轴对称.故选A.
2.(2025江苏淮安涟水期中)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l
对称,∠B=35°,∠C'=50°,则∠A= ( )
A.90° B.85° C.95° D.105°
C
解析 ∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,
∴∠C=∠C'=50°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-35°-50°=95°.故选C.
3.如图,直线AB左边是数字“5”,若以AB为对称轴,则它的对
称图形是数字_________.
2
解析 如图,数字“5”的对称图形是数字“2”.
4.【跨英语·单词】有一个英语单词,其四个字母都关于直线l
对称,下图是该单词各字母的一部分,请写出补全后的单词所
指的物品:______.
书
解析 补全字母,如图,
这个单词所指的物品是书.故答案为书.
5.(2025江苏无锡天一实验学校期中改编)如图,梯形AEFB和
梯形DEFC关于EF所在直线对称,AD∥BC.若∠D=122°,则∠B
的度数为___________.
58°
解析 ∵AD∥BC,∴∠D+∠C=180°,
∴∠C=180°-∠D=180°-122°=58°,
∵梯形AEFB和梯形DEFC关于EF所在直线对称,
∴∠B=∠C=58°.故答案为58°.
6.如图,OE平分∠AOB,BD⊥OA于点D,AC⊥BO于点C,则关于
直线OE对称的三角形共有_________对.
4
解析 关于直线OE对称的三角形有△ODE和△OCE,△OAE
和△OBE,△ADE和△BCE,△OCA和△ODB,共4对.故答案为4.
7.【学科特色·转化思想】(2025江苏苏州工业园区月考)如图,
△ABD和△ACD关于AD所在直线对称,B,D,C三点共线,且AD
⊥BC于点D,点E,F是AD上的两点.若BD=2,AD=3,则图中阴影
部分的面积是_________.
3
解析 因为△ABD和△ACD关于AD所在直线对称,B,C为对
称点,E,F是AD上的两点,所以△BEF和△CEF关于AD所在直
线对称,所以△BEF和△CEF的面积相等,所以题图中阴影部
分的面积等于△ABD的面积,所以阴影部分面积= BD·AD=
×2×3=3.故答案为3.
方法解读 本题利用轴对称进行图形变换,将△CEF的面积
转化为△BEF的面积,进而将阴影部分面积转化成规则的直
角三角形面积进行求解.
画轴对称图形
8.【学科特色·教材变式P58T2】如图,在小正方形网格中,分
别以直线l为对称轴,作出和阴影部分图形成轴对称的图形.
解析 如图所示.
9.(2025江苏连云港赣榆期中,★★☆)如图,在2×4的正方形的
网格中,网格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为
格点三角形,图中的△ABC为格点三角形,在网格中最多能画
出_______个与△ABC成轴对称的格点三角形 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B
解析 如图,在网格中最多能画出3个与△ABC成轴对称的格
点三角形.故选B.
10.【学科特色·方程思想】(2025江苏苏州中学期中,★★★)
如图,点E在△ABC的边AC上,将△ABE沿BE折叠得到△A'BE,
A'B交AC于点D,又将△BCD沿BA'折叠,点C落在BE上的C'处,
其中∠A=16°,∠C'DE=44°,则∠C的度数为 ( )
A.86° B.82°
C.76° D.68°
A
解析 设∠CBD=x°,由折叠可得∠ABE=∠A'BE=∠CBD=x°,
∠CDB=∠C'DB,∠BC'D=∠C,∠A=∠A'=16°,∴∠ABC=3x°,
∵∠C'DE=44°,∴∠C'DB=∠CDB= =68°,
∴在△C'BD中,∠BC'D=180°-∠DBC'-∠C'DB=180°-x°-68°=(112-x)°,△ABC中,∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-16°-3x°
=(164-3x)°,∴164-3x=112-x,∴x=26,∴∠C=(164-78)°=86°,
故选A.
11.(2025江苏无锡江阴月考,★★☆)如图,△ABC是边长为1的
等边三角形,D,E分别是边AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE
折叠,点A落在点A'处,则阴影部分的周长为_________.
3
解析 ∵等边△ABC的边长为1,∴AB=BC=AC=1,
由折叠可得,△ADE和△A'DE关于直线DE对称,
∴AD=A'D,AE=A'E,
则阴影部分的周长为BC+BD+CE+A'D+A'E=BC+BD+CE+AD
+AE=BC+AB+AC=3.故答案为3.
12.(2025江苏泰州兴化期中改编,★★☆)如图,△ABC与△ADE
关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.若ED=4 cm,
FC=1 cm,∠BAC=76°,∠EAC=58°.
(1)求出BF的长度.
(2)求∠CAD的度数.
解析 (1)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称,ED=4 cm,
∴BC=ED=4 cm,
∵FC=1 cm,
∴BF=BC-FC=3 cm.
(2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称,∠BAC=76°,
∴∠EAD=∠BAC=76°,
∵∠EAC=58°,
∴∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18°.
13.【新课标·几何直观】【新考向·类比探究题】(2025江苏
苏州外国语学校月考)利用折纸可以作出角平分线,如图1,折
叠纸片,使OA与OB重合,得到折痕OC,则OC为∠AOB的平分
线,如图2,图3,折叠长方形纸片,OC,OD均是折痕,折叠后,点A
落在点A'处,点B落在点B'处.
(1)如图2,若点B'恰好落在OA'上,且∠AOC=32°,则∠BOD=___.
(2)如图3,当点B'在∠COA'的内部时,若∠AOC=44°,∠BOD=
61°,求∠A'OB'的度数.
解析 (1)58°.
详解:由题意知∠AOC=∠A'OC,∠BOD=∠B'OD,
∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD=180°,∠AOC=32°,
∴∠BOD= × =58°,
故答案为58°.
(2)由题意知∠AOC=∠A'OC,∠BOD=∠B'OD,∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD=180°+∠A'OB',∠AOC=44°,∠BOD=61°,
∴∠A'OB'=2×(44°+61°)-180°=30°.
