(共26张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程
二元一次方程
1.(2025江苏扬州邗江月考)下列方程中,是二元一次方程的是
( )
A.xy=1 B.x+y2=2
C.y=3x-1 D.x+y+z=1
C
解析 A.xy=1中,含两个未知数,但乘积项的次数为2,不是二
元一次方程,不符合题意;B.x+y2=2中,含两个未知数,但y的次
数为2,不是二元一次方程,不符合题意;C.y=3x-1,整理得3x-y=
1,含两个未知数,且次数均为1,是整式方程,是二元一次方程,
符合题意;D.x+y+z=1中,含三个未知数,不是二元一次方程,不
符合题意.故选C.
2.(2025江苏泰州兴化期末)若方程mx-2y=3x+4是关于x,y的二
元一次方程,则m的取值范围是 ( )
A.m≠0 B.m≠3
C.m≠-3 D.m≠2
B
解析 移项、合并同类项,得(m-3)x-2y=4,
∵mx-2y=3x+4是关于x,y的二元一次方程,
∴m-3≠0,解得m≠3.故选B.
3.一瓶牛奶的营养成分中,碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,
碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的
含量分别为x g,y g,可列出方程为 ( )
A. x+y=30
B.x+ y=30
C. x+y=30
D.x+ y=30
A
解析 因为碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍,且蛋白质的含
量为x g,所以碳水化合物的含量是1.5x g.根据题意,得1.5x+x+
y=30,所以 x+y=30.故选A.
二元一次方程的解
4.【学科特色·教材变式P88练习T1】下列选项中,是二元一次
方程2x-y=5的解的是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 把 代入方程2x-y=5,等号左边=2×4-3=5=等号右
边,所以 是二元一次方程2x-y=5的解,把
分别代入方程2x-y=5,均不成立,故选C.
5.(2025江苏盐城期中)若 是关于x,y的方程ax+y=1的解,
则a=_________.
2
解析 把 代入方程ax+y=1,得2a-3=1,解得a=2,故答案
为2.
6.(2025江苏南通如皋期末)若关于x,y的二元一次方程的一个
解为 则这个方程可以是____________________.
x+y=4(答案不唯一)
解析 关于x,y的二元一次方程x+y=4的一个解为 则这
个方程可以是x+y=4(答案不唯一).
方法归纳 根据方程的解的定义知这对数值能够使方程的
左、右两边相等,把这对数值代入方程,得到一个含有未知数a
的一元一次方程,从而求出a的值.
7.已知 是关于m,n的二元一次方程3m+an=18的一个解.
(1)求a的值.
(2)请用含有m的代数式表示n.
解析 (1)将 代入3m+an=18,得3×2+3a=18,解得a=4.
(2)因为a=4,所以原方程为3m+4n=18,
所以4n=18-3m,
所以n= = - m.
求二元一次方程的部分解
8.(2025江苏南京期中)3x+2y=11的正整数解有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
B
解析 由3x+2y=11,得y= ,
当x=1时,y=4;
当x=2时,y=2.5;
当x=3时,y=1;
当x=4时,y=- ;……,
∴方程3x+2y=11的正整数解为 共2个.
9.(2025黑龙江龙东地区中考)为促进学生德、智、体、美、
劳全面发展,某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活
动,其中足球80元/个,篮球120元/个,则购买方案共有 ( )
A.6种 B.7种
C.4种 D.5种
C
解析 设购买x个足球,y个篮球.
由题意,得80x+120y=1 200,∴y=10- x.
∵x,y均为正整数,
∴ 或 或 或
∴共有4种购买方案.故选C.
10.已知二元一次方程5x+3y=18.
(1)把方程写成用含x的代数式表示y的形式.
(2)填表,使x,y的值是方程5x+3y=18的解.
x 0 1 2 3 4
y 6
(3)根据表格,请直接写出方程5x+3y=18的非负整数解.
解析 (1)因为5x+3y=18,所以y=- x+6.
(2)填表如下:
x 0 1 2 3 4
y 6 1 -
(3)方程5x+3y=18的非负整数解为
11.(2025江苏扬州中学文昌教育集团期中,★☆☆)若(m+4)·x|m|-3-
(n-2)yn-3=0是关于x,y的二元一次方程,则|m-n|的值为_________.
0
解析 ∵(m+4)x|m|-3-(n-2)yn-3=0是关于x,y的二元一次方程,
∴m+4≠0,n-2≠0,|m|-3=1且n-3=1,
解得m=4,n=4,∴|m-n|=|4-4|=0.
12.(2025江苏宿迁泗洪期中节选,★★☆)已知关于x,y的二元
一次方程ax+y=3b(a,b均为常数,且a≠0).
(1)当a=-2,b=1时,用含x的代数式表示y.
(2)若 是该二元一次方程的一个解,探索a与b的数量
关系,并说明理由.
解析 (1)当a=-2,b=1时,二元一次方程ax+y=3b可化为-2x+y=
3,所以y=2x+3.
(2)a=b.理由:把x=a-2b,y=b2+3b代入二元一次方程ax+y=3b,得
a(a-2b)+b2+3b=3b,整理,得a2-2ab+b2=0,所以(a-b)2=0,所以a=b.
13.(2025江苏无锡滨湖期末,★★☆)某班级用200元购买笔记
本和笔作为奖品(钱数无剩余),笔记本的价格为5元/本,笔的价
格为3元/支,要求笔的数量不多于笔记本的数量,设购买笔记
本x本,笔y支(x,y均为正整数).
(1)写出x,y的关系式.
(2)求出所有可能的购买方案.
(3)若希望奖品总数最多,应选择哪种方案 说明理由.
解析 (1)由题意得,x,y的关系式为5x+3y=200,且y≤x.
(2)由(1)得5x+3y=200,∴y= ,
∵x,y均为正整数,
∴ 或 或 或 或
方案一:购买笔记本25本,笔25支.
方案二:购买笔记本28本,笔20支.
方案三:购买笔记本31本,笔15支.
方案四:购买笔记本34本,笔10支.
方案五:购买笔记本37本,笔5支.
(3)应选择方案一.
理由:由(2)可得,方案一中奖品总数为25+25=50,
方案二中奖品总数为28+20=48,
方案三中奖品总数为31+15=46,
方案四中奖品总数为34+10=44,
方案五中奖品总数为37+5=42.
∵50>48>46>44>42,∴方案一中奖品总数最多,应选择方案一.
14.【新课标·运算能力】(2025江苏南通海安期中)关于x,y的
二元一次方程均可以变形为ax+by=c的形式(其中a,b,c均为常
数且a≠0,b≠0),规定:(a,b,c)为方程ax+by=c的“关联系数”.
(1)二元一次方程 + =1的“关联系数”为_______.
(2)已知关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),若
为该方程的一个解,且m,n均为正整数,求m,n的值.
解析 (1)整理方程,得12x+10y=23,
∴二元一次方程 + =1的“关联系数”为(12,10,23).
(2)∵关于x,y的二元一次方程的“关联系数”为(1,2,-1),
∴二元一次方程是x+2y=-1.
∵ 为该方程的一个解,
∴m-15+2(m+n)=-1,
∴3m+2n=14,∴n= =7- m.
∵m,n都为正整数,
∴当m=2时,n=4;当m=4时,n=1.
∴ 或 (共25张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.5 用二元一次方程组解决问题
第3课时 行程问题及其他问题
用示意图分析实际问题
1.甲、乙两人分别从相距20 km的A,B两地出发,相向而行.下
图是小华绘制的甲、乙两人运动两次的情形,设甲的速度是
x km/h,乙的速度是y km/h,则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 甲的速度是x km/h,乙的速度是y km/h,由第一次运动的
图可知,甲共走了2.5 h,乙走了2 h,所以2.5x+2y=20;
由第二次运动的图可知,甲、乙各走1 h,相距11 km,
所以x+y+11=20.
联立可得方程组为 故选D.
2.(2025江苏连云港海州期中)小明在超市帮妈妈买回一袋纸
杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图所示,若小明把50个纸杯
整齐地叠放在一起,则高度约是__________cm.
56
解析 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高
x cm,单独一个纸杯的高度为y cm.
根据题意,得 解得
则n个纸杯叠放在一起时的高度为(n-1)x+y=n-1+7=(n+6)cm,
当n=50时,其高度为50+6=56(cm).故答案为56.
用表格分析实际问题
3.某地现有人口42万人,预计一年后该地城镇人口将增加0.8%,
农村人口将增加1.1%,该地总人口将增加1%,求该地现有
城镇人口和农村人口.设该地现有城镇人口x万人,农村人口
y万人,根据题意填写下表,并列出方程组求x,y的值.
城镇 农村 总人口
现有人口/万人 x y 42
一年后增加的人口/万人
解析 依题意得,表格中依次填入0.008x;0.011y;0.42.
列方程组为 解得
4.(2025江苏南通海门月考,★☆☆)轮船顺流航行时,速度为
m千米/小时,逆流航行时,速度为(m-6)千米/小时,则水流速度为
( )
A.2千米/小时 B.3千米/小时
C.6千米/小时 D.不能确定
B
解析 设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时,水流速度为
y千米/小时.
根据题意,得
①-②,得2y=6,∴y=3.
即水流速度为3千米/小时.故选B.
D
5.(2025江苏南京鼓楼期末,★★☆)作业本中有这样一道题:小
明去郊游,上午8时30分从家中出发,先走平路,然后登山,中午
12时到达山顶,原地休息1 h后沿原路返回,正好下午3时到家.若
他平路每小时走4 km,登山每小时走3 km,下山每小时走6 km,
求小明家到山顶的路程.小李查看解答过程时发现解答过程
中的方程组有污损: 则解答过程中另一个方程应为
( )
A.3a+b=12 B. + =3
C. = D.a-b=
解析 由题意知,3a=6b表示上山的路程等于下山的路程,
∴a表示上山用的时间,b表示下山用的时间,
由题意知,小明从家到山顶所用时间为3.5 h,从山顶到家所用时间为2 h,
∴上山比下山多用3.5-2=1.5(h),
∴a-b= ,故选D.
6.(2025江苏苏州期中,★★☆)兄弟俩的对话如下:弟弟对哥哥
说:“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半.”哥哥对弟弟说:
“现在我比你大4岁,再过18年,我俩的年龄加起来就等于妈妈
的年龄了.”则哥哥今年的年龄是__________岁.
11
解析 设哥哥今年的年龄是x岁,弟弟今年的年龄是y岁.根据
“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”,可得妈妈的年龄
为2(x+y)岁,再根据“现在我比你大4岁,再过18年,我俩的年龄
加起来就等于妈妈的年龄了”可列方程组为
解得 即哥哥今年的年龄是
11岁.
7.(2025江苏泰州海陵六校期中联考,★★☆)小明和小亮在隧道
两端进行观察:火车从开始进入隧道到完全出隧道共用时24 s,
整列火车完全在隧道内的时间为16 s,整列火车长240 m.请
你根据小明和小亮获得的数据,求隧道的长度和火车过隧道
的速度.
解析 设隧道的长度为x m,火车过隧道的速度为y m/s.
根据题意,得 解得
答:隧道的长度为1 200 m,火车过隧道的速度为60 m/s.
8.(2024江苏徐州期末,★★☆)A,B两地相距12 km,甲骑电动
自行车从A地出发到B地,与此同时,乙骑摩托车从B地出发到
A地,两人均保持匀速行驶.已知第10分钟时两人相遇,又经过
4分钟,甲剩余路程是乙剩余路程的8倍.求甲、乙两人的骑行
速度.
解析 设甲的骑行速度为x km/h,乙的骑行速度为y km/h.
根据题意,得
解得
答:甲的骑行速度为24 km/h,乙的骑行速度为48 km/h.
9.(2025河北石家庄月考,★★☆)A,B两家电器商场出售同样
的空气净化器和过滤网,空气净化器和过滤网在两家商场的
售价一样.已知买1个空气净化器和2个过滤网要花费2 440元,
买2个空气净化器和3个过滤网要花费4 760元.
(1)求1个空气净化器与1个过滤网的销售价格分别是多少元.
(2)为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,A商场规定:这两
种商品都打九五折;B商场规定:买1个空气净化器赠送2个过
滤网.若某单位想要买10个空气净化器和30个过滤网,如果只能在一家商场购买,请问选择哪家商场购买更合算 请说明理由.
解析 (1)设1个空气净化器的销售价格为x元,1个过滤网的销
售价格为y元,
由题意得 解得
答:1个空气净化器的销售价格为2 200元,1个过滤网的销售价
格为120元.
(2)选择B商场购买更合算.理由如下:
在A商场购买所需费用为0.95×(2 200×10+120×30)=24 320(元),
在B商场购买所需费用为2 200×10+(30-10×2)×120=23 200(元),
∵24 320>23 200,∴选择B商场购买更合算.
10.【新课标·应用意识】一家商店进行门店升级,需要装修,装
修期间暂停营业,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完
成,需付费用3 520元;若先请甲装修组单独做6天,再请乙装修
组单独做12天可以完成,需付费用3 480元.
10.【新课标·应用意识】一家商店进行门店升级,需要装修,装
修期间暂停营业,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完
成,需付费用3 520元;若先请甲装修组单独做6天,再请乙装修
组单独做12天可以完成,需付费用3 480元.
(1)甲、乙两个装修组工作一天,商店应各付多少钱
(2)已知甲装修组单独完成需12天,乙装修组单独完成需24天,
商店应单独请哪个装修组,所需费用更少
(3)装修完毕第二天即可正常营业,且每天可盈利200元(装修
前后每天盈利不变),你认为该商店如何安排施工更有利 说说
你的理由.(可用(1)(2)中的条件及结论)
解析 (1)设甲装修组工作一天商店应付x元,乙装修组工作一
天商店应付y元.
根据题意,得 解得
答:甲装修组工作一天商店应付300元,乙装修组工作一天商店
应付140元.
(2)单独请甲装修组所需费用为300×12=3 600(元),
单独请乙装修组所需费用为140×24=3 360(元).
因为3 600>3 360,所以单独请乙装修组所需费用更少.
(3)商店请甲、乙两个装修组同时施工更有利.
理由:单独请甲装修组施工,损失钱数为200×12+3 600=6 000
(元),单独请乙装修组施工,损失钱数为200×24+3 360=8 160(元),
请甲、乙两个装修组同时施工,损失钱数为200×8+3 520=
5 120(元).
因为8 160>6 000>5 120,
所以该商店请甲、乙两个装修组同时施工更有利.(共27张PPT)
第10章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题5分,共40分)
1.(2025江苏扬州期中)下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.x+y=1 B.x2+y2=1
C.xy=1 D.x+ =1
A
解析 二元一次方程是指含有两个未知数,并且含有未知数
的项的次数都是1的整式方程,由定义可得选项A中的方程是
二元一次方程,选项B,C,D中的方程不是二元一次方程.故选A.
2.【学科特色·易错题】(2025河北邯郸期末)若(R-2)x|R|-1-3y=2
是关于x,y的二元一次方程,那么3R-2的值为 ( )
A.4 B.-8 C.8 D.4或-8
B
解析 根据题意得 解得R=-2,∴3R-2=-6-2=-8,故
选B.
易错警示 容易忽略含未知数的项的系数不能为0.
3.已知方程组 下列解法中比较简便的是( )
A.利用①,用含x的式子表示y,再代入②
B.利用①,用含y的式子表示x,再代入②
C.利用②,用含x的式子表示y,再代入①
D.利用②,用含y的式子表示x,再代入①
B
解析 观察方程组,①中x的系数为1,∴利用①,用含y的式子
表示x,再代入②比较简便.故选B.
4.(2025江苏无锡江阴期中)已知 是方程ax+y=4的一个
解,则a的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-6 D.6
D
解析 将 代入方程ax+y=4,得a-2=4,∴a=6.
5.(2025江苏连云港海州期末)我国古代数学著作《孙子算
经》记载:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳
量之,不足一尺.木长几何 ”意思是现有一根长木,不知道其
长短.用一根绳子去量长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量
长木,长木还剩余1尺.问长木长多少尺 设长木长x尺,绳长y尺,
四位同学根据题意列出以下方程,其中错误的是 ( )
A.y-x=4.5 B. y=x+1
C. =x-1 D. y=y-4.5-1
B
解析 A.根据用一根绳子去量长木,绳子还剩余4.5尺,可列方
程为y-x=4.5,该选项正确,不符合题意;
B.根据将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,可列方程为 y=
x-1,该选项错误,符合题意;
C.由y-x=4.5得y=4.5+x,代入 y=x-1,得 =x-1,该选项正确,
不符合题意;
D.由y-x=4.5得x=y-4.5,代入 y=x-1,得 y=y-4.5-1,该选项正确,
不符合题意.故选B.
6.已知方程组 则x+y+z的值是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.无法确定
B
解析
①+②+③,得4x+4y+4z=8,
解得x+y+z=2.故选B.
7.【跨物理·声速】(2025河北沧州南皮四中期中)声音在某介
质中传播的速度随着温度的变化而变化,若用v表示声音在该
介质中的传播速度,t表示温度,则v,t满足公式:v=at+b(a,b为常
数).当t=10时,v=337;当t=-10时,v=325,则a,b的值分别为 ( )
A.-0.6,331 B.0.6,331
C.6,33 D.-6,33
B
解析 将t=10,v=337和t=-10,v=325分别代入v=at+b,得
解得 故选B.
8.(2025黑龙江齐齐哈尔中考)神舟二十号发射窗口时间恰逢
第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,
学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用45座
和60座两种客车(两种客车都要租),若每名学生都有座位且每
辆客车都没有空座位,则租车方案有 ( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
B
解析 设租用45座客车x辆,租用60座客车y辆,
由题意,得45x+60y=900,
整理,得x=20- y,
∵x,y均为正整数,
∴ 或 或 或
∴租车方案有4种.故选B.
二、填空题(每题5分,共20分)
9.(2025江苏连云港东海期中)已知x-y=3,用含x的式子表示y,
则y=________.
x-3
解析 x-y=3移项得y=x-3.
10.(2025江苏南京秦淮期末改编)在下列方程:①x-y=-1,②2x+y
=0,③x+2y=-3,④3x+2y=1中,任选两个组成二元一次方程组,若
是该方程组的解,则选择的两个方程是_______.(填序
号)
②④
解析 把 分别代入方程①②③④中,得方程②④成立,
方程①③不成立,∴只能由方程②和方程④组合.
11.(2025江苏淮安期末)已知关于x,y的方程组 若x-y
=2k-1,则k的值为_________.
5
解析
①+②,得x-y=9,
∵x-y=2k-1,∴2k-1=9,解得k=5.
12.(2025江苏无锡滨湖二模)古代一歌谣:栖树一群鸦,鸦树不
知数;三个坐一棵,五个地上落;五个坐一棵,闲了一棵树.意思
是有一群乌鸦到树林休息,如果每棵树上有3只乌鸦,则有5只
落在地上;如果每棵树上有5只乌鸦,则有一棵树上没有乌鸦,
则共有__________只乌鸦.
20
解析 设乌鸦有x只,树有y棵.
根据题意,得 解得 故答案为20.
三、解答题(共40分)
13.(2025江苏无锡江阴期中)(8分)解方程组:
(1) (2)
解析 (1)
把①代入②,得3x+2(2-x)=4,解得x=0,
把x=0代入①,得y=2,
∴原方程组的解为
(2)将原方程组整理,得
①×2,得4x+6y=4③,
②-③,得-15y=-5,解得y= ,
把y= 代入①,得2x+1=2,解得x= ,
∴原方程组的解为
14.(2025河北廊坊期中)(10分)已知关于x,y的方程组
和方程组 的解相同.
(1)求这两个方程组的解.
(2)求(2a+b)2 025的值.
解析 (1)∵关于x,y的方程组 与方程组
的解相同,
∴联立
①+③,得5x=10,解得x=2,
把x=2代入①,解得y=-2,
∴方程组 的解为
即方程组 和 的解为
(2)把 代入②和④,得
⑤+⑥,得4b=-12,解得b=-3,
把b=-3代入⑤,得2a-6=-4,解得a=1,
∴(2a+b)2 025=(2-3)2 025=-1.
方法解读 本题属于同解问题.先将两个不含参数的二元一
次方程联立组成一个新的二元一次方程组,求出x,y的值;再将
求出的x,y的值代入含有参数的两个二元一次方程中,得到一
个关于参数的二元一次方程组,求解即可.
15. 【新考向·新定义题】(2025北京海淀期中节选)(10分)定
义:对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c(其中a≠b≠c),将其x
的系数a与常数c互换,得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+
by=c的“对称方程”.例如方程3x+2y=7的“对称方程”为7x
+2y=3.
(1)方程2x-3y=-1的“对称方程”为_________,它们组成的
方程组的解为_______.
(2)若关于x,y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组
成的方程组的解为 求m,n的值.
解析 (1)由题意可知方程2x-3y=-1的“对称方程”为-x-3y=2,
联立 解得
(2)由题意可得方程组为
①-②,得-5x=5,解得x=-1,
∵方程组的解为 ∴m=-1,
把x=-1,m=-1代入①,得3×(-1)-y=8,解得y=-11,∴n=-11.
16.(2025广西中考)(12分)自2025年5月9日起至2025年12月31
日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通
行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到
广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境 内路段 广西境内 特定路段 广西境内
其他路段
周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、
广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元,b元
和c元.求此行程的高速费实付多少元,比原价优惠了多少元.
(用代数式表示)
(2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55
元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程
中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费
原价分别是多少元.
解析 (1)此次行程高速费原价为(a+b+c)元,
实付0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元,
优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元.
(2)设此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的
单程高速费原价分别为x元和y元,
由题意得 解得
答:此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单
程高速费原价分别是45.9元和55.1元.(共22张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.5 用二元一次方程组解决问题
第１课时 和差倍分问题
和差倍分问题
1.(2025山东中考)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》
中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是有3个头6只手的哪吒若
干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.
问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件
可列方程组为 ( )
A. B. C. D.
D
解析 由题意得头数的等量关系为3x+y=36,手数的等量关系
为6x+8y=108,联立可得方程组为 故选D.
2.(2025浙江中考)手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需
要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表.
类别 材料 彩色纸/张 细木条/捆
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,则他们制作的两种
手工艺品各有多少个 设制作的手工艺品A有x个,制作的手工
艺品B有y个,则x和y满足的方程组是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 根据“制作x个手工艺品A和y个手工艺品B,一共用了
17张彩色纸”,可得方程5x+2y=17,根据“制作x个手工艺品A
和y个手工艺品B,一共用了10捆细木条”,可得方程3x+y=10,
联立可得
3.(2025四川自贡中考)某小区人行道地砖铺设图案如图所示.
用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形,若
大平行四边形较短边的长为40 cm,则小平行四边形地砖的较
短边的长为 ( )
A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
B
解析 设小平行四边形地砖的较长边的长为x cm,较短边的
长为y cm.
根据题意,得 解得
即小平行四边形地砖的较短边的长为8 cm.故选B.
4.【新考向·数学文化】(2025江苏苏州工业园区期末)古希腊
数学家丢番图是代数学创始人之一,他对算术理论有较深入
的研究,著有《算术》一书,在书中,他提出以下一个有趣的问
题:“有大、中、小三个数,其中大数比中数多小数的 ,中数
比小数多大数的 ,若大数为45,求中数和小数.”设中数为x,
小数为y,根据题意,可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵中数为x,小数为y,大数比中数多小数的 ,中数比小
数多大数的 ,大数为45,
∴45-x= y,x-y= ×45.
联立可得方程组为 故选B.
5.【新课标·中华优秀传统文化】(2025江苏徐州铜山二模)算
盘是我国优秀文化遗产.它以排列成串的算珠作为计算工具,
中间横梁把算珠分为上、下两部分,每个上珠代表5,每个下珠
代表1.如图,小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠,然后对小
明说:“我将要拨的三位数,个位数字与十位数字之和是百位
数字的2倍;个位数字减2等于十位数字加2.”请求出这个三位
数.
解析 设个位数字为x,十位数字为y.
由题意可得百位数字为6,
所以 解得
答:这个三位数为648.
6.【学科特色·数形结合思想】(2025河北中考,★★☆)甲、乙
两张等宽的长方形纸条,长分别为a,b.如图,将甲纸条的 与乙
纸条的 叠合在一起,形成长为81的纸条,则a+b=__________.
99
解析 由题意得 解得
所以a+b=99.
7.(2025江苏常州武进月考,★★☆)随着冬季的来临,某商场准
备购进一批冬装进行销售.若3件甲品牌冬装和1件乙品牌冬
装的进价为210元;2件甲品牌冬装和3件乙品牌冬装的进价为
280元.
(1)求甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为多少元.
(2)若甲品牌冬装每件的售价为80元,乙品牌冬装每件的售价
为110元,该商场同时购进甲、乙两种品牌的冬装共25件,总进
价恰好为1 400元,求该商场销售完这批冬装共盈利多少元.
解析 (1)设甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为x元,y
元.
根据题意,得 解得
答:甲、乙两种品牌的冬装每件的进价分别为50元,60元.
(2)设该商场分别购进甲、乙两种品牌的冬装m件,n件,
根据题意,得 解得
∴商场销售完这批冬装共盈利(80-50)m+(110-60)n=(80-50)×
10+(110-60)×15=1 050(元).
答:该商场销售完这批冬装共盈利1 050元.
8.【新课标·应用意识】【跨化学·蒸馏】(2025江西中考)某文
物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.
用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒,需要的原材料与
出酒率 出酒率= ×100% 如下表:
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏
水) 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16千克;第二
次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36千克,且所用的粮食
糟醅量是第一次的2倍,芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅.
(2)受限于当时的生产条件,古代青铜蒸馏器的出酒量约为现
代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为 ,请问,在古代
要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量,需要准备多少千
克大米
解析 (1)设第一次实验用了x千克粮食糟醅和y千克芋头糟
醅,则 解得
答:第一次实验用了40千克粮食糟醅和20千克芋头糟醅.
(2)设需要准备m千克大米,
根据题意得m÷ ×0.3×0.8=0.3×3×40,
解得m=37.5.
答:需要准备37.5千克大米.(共16张PPT)
第10章 二元一次方程组
* 10.4 三元一次方程组
三元一次方程(组)的概念
1.下列方程组是三元一次方程组的是 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 三元一次方程组中含有三个未知数,未知数的次数都
是1,且方程都是整式方程,故选项D中的方程组是三元一次方
程组,符合题意.故选D.
2.若(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是关于x,y,z的三元一次方程,
则(a+b)2 025的值为 ( )
A.1 B.-1 C.±1 D.2 025
A
解析 因为(a+1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是关于x,y,z的三元一次方程,
所以a+1≠0,b+1=1,2-|a|=1,解得a=1,b=0,所以(a+b)2 025=(1+0)2 025
=1.故选A.
解三元一次方程组
3.【学科特色·多解法】解方程组:
解析
【解法一】③-①,得x-2y=-8④.
由②④组成方程组 解得
把 代入①,得10+9+z=26,解得z=7.
所以原三元一次方程组的解为
【解法二】由②,得x=1+y④.
把④代入①,得1+y+y+z=26,即2y+z=25⑤.
把④代入③,得2(1+y)-y+z=18,即y+z=16⑥.
由⑤⑥组成方程组 解得
把y=9代入④,得x=10.
所以原三元一次方程组的解为
4.【学科特色·教材变式P99T2】在等式y=ax2+bx+c(a,b,c是常
数)中,当x=1时,y=-2;当x=-1时,y=20;当x= 时y的值与x= 时y
的值相等,求a-2b+3c的值.
解析 因为当x= 时y的值与x= 时y的值相等,所以 a+ b
+c= a+ b+c,整理得11a+6b=0.因为当x=1时,y=-2,所以a+b
+c=-2.因为当x=-1时,y=20,所以a-b+c=20,
联立
①-②,得2b=-22,解得b=-11,
将b=-11代入③,得11a-66=0,解得a=6,
将 代入①,得6-11+c=-2,解得c=3,
所以a-2b+3c=6-2×(-11)+3×3=37.
5.(2025江苏苏州姑苏期中,★★☆)已知 是方程组
的解,则a+b+c的值是 ( )
A.3 B.2
C.1 D.无法确定
A
解析 将 代入方程组得
①+②+③,得4a+4b+4c=12,则a+b+c=3.故选A.
方法点拨 本题使用了叠加法,观察原方程组中字母系数的
关系,进行三式相加,可以不用求出a,b,c的值直接得出a+b+c的值.
6.(2025江苏宿迁一模,★★★)若数x,y,m满足x+y+m=6,3x-y+m
=4,则代数式4xy的值可以是________________(写出一个即可).
8(答案不唯一)
解析
①-②,得-2x+2y=2,∴y=x+1,令x=1,则y=2,∴4xy=4×1×2=8(答案
不唯一).
7.【新课标·运算能力】阅读材料:我们把多元方程(组)的非负整数解叫作这个方程(组)的“好解”.例如: 就是方程3x+y=
11的一个“好解”; 是方程组 的一个“好解”.
(1)求方程x+2y=5的所有“好解”.
(2)关于x,y,k的方程组 有“好解”吗 若有,请求
出对应的“好解”;若没有,请说明理由.
解析 (1)当y=0时,x=5;当y=1时,x+2=5,解得x=3;当y=2时,x+4=
5,解得x=1.所以方程x+2y=5的所有“好解”为
(2)有.
②-①,得4y+2k=12,则k=6-2y.
①×3-②,得2x-2y=18,则x=9+y.
因为x,y,k为非负整数,所以y=0或1或2或3.
当y=0时,x=9,k=6;当y=1时,x=10,k=4;当y=2时,x=11,k=2;当y=3
时,x=12,k=0.
所以关于x,y,k的方程组 的“好解”为
(共11张PPT)
专项突破5 二元一次方程组的
实际应用
图表信息问题
1.(2025四川广元中考)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹
时代的“洛书”中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是
一个三阶幻方(如图1),将9个数填在3×3(三行三列)的方格中,
如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之
和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一
些数字和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则xy=_________.
1
6 1 8
7 5 3
2 9 4
y -4
-2 2 x
图1 图2
解析 设三阶幻方中第三行的第一个和第三个数字分别为a,
b,如图,
y -4
-2 2 x
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上三个数字之和都
相等”,得
由①,得b=4,由②,得y=0,则y+2+b=6,
所以b+x-4=4+x-4=6,所以x=6,
所以xy=60=1.故答案为1.
数字问题
2.佳佳坐在匀速行驶的车上,将每隔一段时间看到的里程碑上
的数描述如下:
时刻 12:00 13:00 14:00
里程 碑上 的数 是一个两位数,数字之和为7 十位数字与个位数字相比12:00时看到的刚好颠倒 比12:00时看到的两位数中间多了一个0
则12:00时看到的两位数是 ( )
A.15 B.16 C.25 D.34
B
解析 设12:00时看到的两位数的十位数字为x,个位数字为y,
依题意得
解得 ∴10x+y=16.故选B.
几何问题
3.(2025江苏南通启秀中学月考)将一副三角尺按如图所示的
方式摆放,∠1的度数比∠2大28°,则∠1的度数为_________.
59°
解析 设∠1=x°,∠2=y°.根据题意,得 解得
即∠1=59°.
4.(2025浙江湖州期中)某厂要制作一些玻璃窗,一扇窗户由
甲、乙、丙型玻璃片组成(如图1),厂家购置了一批相同的长
方形大玻璃片(如长方形ABCD),并按如图2所示的两种方案进
行无废料切割,同种型号玻璃片大小、形状都一样.
(1)若大玻璃的长AD为2米,则乙型玻璃片的边AE=_______米,
AF=_______米.
(2)若厂家已有足够多的甲型玻璃片,再购入26块大玻璃片,并
按以上两种方案切割成乙、丙两种型号玻璃片.设其中有x块
大玻璃片按方案一进行切割,y块大玻璃片按方案二进行切割.
若所购大玻璃片无剩余,且恰好可以与甲型玻璃片搭成若干
扇窗户,请求出x与y的值.
图1 图2
解析 (1)AE=2÷5=0.4(米),
AF=AB-AE=AD÷2-AE=2÷2-0.4=0.6(米).
故答案为0.4;0.6.
(2)由题图可知,丙型玻璃片数量是乙型玻璃片的2倍,
可得 解得 (共14张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.2 二元一次方程组的概念
二元一次方程组
1.(2025江苏南通海安月考)下列方程组中,是二元一次方程组
的是 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 A.第一个方程中含未知数的项的最高次数是2,不是二
元一次方程组,故不符合题意;B.含有3个未知数,不是二元一
次方程组,故不符合题意;C.第一个方程不是整式方程,不是二
元一次方程组,故不符合题意;D.是二元一次方程组,故符合题
意.故选D.
2.如图,直线a∥b,∠1的度数比∠2的度数大56°,若设∠1=x°,
∠2=y°,则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
B
解析 由∠1的度数比∠2的度数大56°可得x=y+56,由直线a
∥b可得x+y=180,故可列方程组为 故选B.
二元一次方程组的解
3.(2025江苏无锡一模)下列方程组的解为 的是( )
A. B.
C. D.
D
解析 能够使D选项方程组中的每一个方程成立,不能
使A,B,C选项方程组中的每一个方程成立,故D选项符合题意.
故选D.
4.(2025江苏泰州兴化期中)已知 是关于x,y的方程组
(m,n是常数)的解,则m-n=_______.
-4
解析 把x=-2,y=1代入方程组,得
解得 ∴m-n=-2-2=-4.
5.(★★☆)《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔
同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何 ”设有x只
鸡,y只兔,依题意可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
C
6.(2025江苏盐城东台第五教育联盟期中,★★☆)小亮求得关
于x,y的方程组 的解为 由于不小心,滴上了
两滴墨水,刚好遮住了两个数●和★,则“●”“★”表示的
数分别为 ( )
A.5,2 B.-8,2
C.8,-2 D.5,4
C
解析 把x=5代入方程2x-y=12,得10-y=12,
解得y=-2,即★=-2.
把x=5,y=-2代入方程2x+y=●,得2×5-2=●,
∴●=8,则“●”“★”表示的数分别为8,-2.
故选C.
7.【新课标·运算能力】已知关于x,y的方程组 的
解是 求关于x,y的方程组 的解.
解析 关于x,y的方程组
可化为
因为关于x,y的方程组 的解是
所以 解得
所以关于x,y的方程组 的解是 (共6张PPT)
综合与实践 膳食结构与热量平衡
项目主题 膳食结构与热量平衡
项目背景1 一份400克营养早餐中,蛋白质总含量为10%,包括一份粮谷类食品,一份牛奶和一个鸡蛋(一个鸡蛋的质量约为50克,蛋白质含量占12%)
项目背景2 每100克粮谷类食品营养成分表
每100克牛奶营养成分表
问题解决 (1)若一份营养早餐中粮谷类食品为150克,牛奶为200克,则粮谷类食品中所含的蛋白质的质量为 克,牛奶中所含的蛋白质的质量为 克.
(2)请求出一份营养早餐中,粮谷类食品和牛奶的质量分别为多少克
解析 (1)根据题意得粮谷类食品中所含的蛋白质的质量为
12.4× =18.6(克);牛奶中所含的蛋白质的质量为3× =
6(克).故答案为18.6;6.
(2)设一份营养早餐中,粮谷类食品的质量为x克,牛奶的质量
为y克,
根据题意得
解得
答:一份营养早餐中,粮谷类食品的质量为250克,牛奶的质量
为100克.(共24张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.3 解二元一次方程组
第１课时 代入消元法
用代入消元法解二元一次方程组
1.(2025江苏徐州沛县月考)用代入法解二元一次方程组
时,将方程①代入方程②,得 ( )
A.x-2+4x=4 B.x+2-4x=4
C.x+2+2x=4 D.x+2-2x=4
B
解析 将方程①代入方程②,得x+2(1-2x)=4,去括号得x+2-4x=
4.故选B.
2.【学科特色·教材变式P93例1】用代入法解方程组
下列变形中最简单的是 ( )
A.由①,得x= - y
B.由①,得y= - x
C.由②,得x= +
D.由②,得y=2x-5
D
解析 观察两方程的特点可知,②中-y的系数为-1,故把②变
形为y=2x-5代入①计算最简单.故选D.
3.(2024江苏无锡中考)二元一次方程组 的解为
________.
解析
由①,得y=3x-1③,把③代入②,得2x+3(3x-1)=8,解得x=1,
把x=1代入③,得y=2,
∴方程组 的解为
4.若5a=2b,且2a+b=18,则a的值为_________.
4
解析 由②,得b=-2a+18③.
把③代入①,得5a=-4a+36,解得a=4.
5.(2025江苏盐城东台期中)下面是张亮同学的一道作业题,请
认真阅读并完成相应任务.
解:
第一步:由①,得x=2y+1③,
第二步:将③代入②,得2×2y+1+2y=5,
第三步:解得y= ,
第四步:将y= 代入③,得x= ,
第五步:所以原方程组的解为
任务一:张亮解方程组用的方法是_______消元法.
任务二:仔细检查后,发现张亮的答案是错误的,他从第______步开始出现错误.
任务三:请写出正确的解答过程.
解析 任务一:代入.
任务二:二.
任务三:正确的解答过程如下.
由①,得x=2y+1③,
把③代入②,得2(2y+1)+2y=5,解得y= ,
把y= 代入③,得x=2,∴原方程组的解为
6.用代入法解方程组:
(1) (2)
解析 (1)
把①代入②,得2x+3×3x=22,解得x=2,把x=2代入①,得y=6,所以
原方程组的解为
(2) 由①,得2x=7-y③,
把③代入②,得7-y-3y=3,解得y=1,把y=1代入③,得2x=6,
解得x=3,所以原方程组的解为
7.(2025江苏苏州期中)解方程组:
解析 将原方程组进行整理得
由①,得x=-2y+11③,
把③代入②,得2(-2y+11)+y=13,解得y=3,
把y=3代入③,得x=5.
所以原方程组的解为
8.(★★☆)已知关于x,y的方程组 给出下列结论:
①当a=3时,该方程组的解是 ②无论a取何值,x,y的值都
不可能互为相反数;③当a=-3时,方程组的解也是关于x,y的方
程2x+y=15+a的解.其中正确结论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析 ①当a=3时,原方程组整理为
解得 故①正确;
②若x,y的值互为相反数,则y=-x,
把y=-x代入 得
由两个方程分别解得的x的值相等,得- = ,解得a=1,
故当a=1时,x,y的值互为相反数,故②错误;
③当a=-3时,原方程组整理为 解得 把
代入方程2x+y=15+a,
得12+6=15+a,解得a=3,矛盾,故③错误.
综上所述,正确结论的个数为1.故选B.
9.(2025江苏徐州贾汪期末,★★☆)下图是一个正方体的表面
展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面,如果正方体相
对两个面上的代数式的值相等,那么y-x的值为_______.
-2
解析 由题意,得 解得 故y-x=-2.
10.(2025河南南阳期末,★★☆)【问题情景】已知关于x,y的
二元一次方程组 在解该方程组时,小明把方程
①抄错了,得到的解是 小亮把方程②抄错了,得到的解
是 根据以上信息,如何才能得到原方程组 原方程组的
正确解是什么
【解决问题】
(1)请阅读下面解答过程,并将解答过程补充完整.
解:小明把方程①抄错了,则他得到的解满足方程②,
把小明得到的解代入方程②,得_______③,
小亮把方程②抄错了,则他得到的解满足方程①,
把小亮得到的解代入方程①,得_______④,
由方程③和④联立,得__________,
解这个方程组,得________,
原方程组为_____________.
(2)请你写出原方程组的解答过程.
解析 (1)b+6a=9;5a+2b=11;
(2)由(1)得原方程组为
由①得,x=11-3y③,
把③代入②,得3(11-3y)+y=9,解得y=3,
把y=3代入③,得x=2,
∴原方程组的解为
11.【新课标·抽象能力】【新考向·新定义题】(2025江苏南
通海安期中)如果一对数m,n满足 + = ,我们称这对数m,
n为“伴随数对”,记为(m,n);如果一对数a,b满足a+b=7,我们
称这对数a,b为“和谐数对”,记为[a,b].
(1)若(m,4)是“伴随数对”,则m=______.
(2)若(m,n)是“伴随数对”,则m=______.
(用含n的代数式表示)
(3)若有一对数x,y既是“伴随数对”,又是“和谐数对”,求x,y
的值.
(4)若(m,n)是“伴随数对”,[a,b]是“和谐数对”,求3m- -
[4(a-n)-m]-4b的值.
解析 (1)- .
详解:∵(m,4)是“伴随数对”,
∴ + = ,解得m=- .
(2)- n.
详解:∵(m,n)是“伴随数对”,∴ + = ,∴m=- n.
(3)由题意得
由①,得x=- y③,
把③代入②,得- y+y=7,解得y=16,把y=16代入③,得x=-9,
∴x,y的值分别为-9,16.
(4)∵(m,n)是“伴随数对”,[a,b]是“和谐数对”,
∴ + = ,a+b=7,∴m=- n,b=7-a,
∴3m- -[4(a-n)-m]-4b
=3m- -4a+4n+m-4b
=4m+ -4a-4(7-a)
=- + -28
=-28.(共22张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.3 解二元一次方程组
第2课时 加减消元法
用加减消元法解二元一次方程组
1.已知方程组 下列步骤可以消去未知数x的是
( )
A.①×2+②×2 B.①×3-②×2
C.①-②×2 D.①+②×2
C
解析 ①-②×2,得8y=16,可以消去x,符合题意.选项A,B,D中变
形均不能消去x,故选C.
2.(2025浙江宁波期末)小丽在用“加减消元法”解二元一次
方程组 时,利用①×a+②×b消去x,则a,b的值可能
是 ( )
A.2,5 B.3,2
C.-3,2 D.2,-5
D
解析 ∵要消去x,∴可以用①×2+②×(-5),得10x-4y-10x-15y=
8-45,即-19y=-37,则a,b的值可能是2,-5.故选D.
3.【学科特色·教材变式P96T3】在方程y=kx+b中,当x=2时,y=
1;当x=3时,y=4,则当x=5时,y= ( )
A.8 B.10 C.-10 D.12
B
解析 根据题意,得 ②-①,得k=3,将k=3代入①,得
b=-5,所以原方程为y=3x-5,将x=5代入y=3x-5,得y=3×5-5=10.故
选B.
4.(2025四川凉山州中考改编)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+
y的值是_________.
8
解析 ∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,
∴
①-②,得x+y-8=0,∴x+y=8.故答案为8.
5.解下列方程组:
(1)(2025山西中考)
(2)(2025江苏扬州期中)
(3) (4)
(5)
解析 (1)①+②,得4x=12,解得x=3,
将x=3代入②,得3+2y=1,解得y=-1,所以原方程组的解为
(2)①×2,得6x-4y+40=0③,
②×3,得6x+45y-9=0④,
④-③,得49y-49=0,解得y=1.
将y=1代入①,得3x-2+20=0,解得x=-6.
所以原方程组的解为
(3)原方程组可化为
①×4+②×5,得23x=92,解得x=4,
将x=4代入②,得12+4y=32,解得y=5,
所以原方程组的解为
(4)原方程组可化为
①×3+②×2,得17x=153,解得x=9,
将x=9代入②,得36-3y=18,解得y=6,
所以原方程组的解为
(5)原方程组可化为
①×2-②,得9y=0,解得y=0,
将y=0代入②,得4x=4,解得x=1,
所以原方程组的解为
6.(2025江苏南通期中,★★☆)已知关于x,y的方程组
若x-2y=-3,则k的值为 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
解析 ②-①,得2x-4y=-3k,
∵x-2y=-3,∴2x-4y=-6,∴-3k=-6,解得k=2.故选D.
7.(2025江苏盐城大丰实验初中月考,★★☆)阅读下面这道题
的解答过程,并回答问题.
关于x的多项式(x2+ax+b)(2x2-3x-1)化简后三次项的系数为-5,
二次项的系数为-6,求a,b的值.
解:(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3+2ax3+3ax2+2bx2-3bx ①
=2x4-(3-2a)x3-(3a-2b)x2-3bx. ②
根据对应系数相等,有 ③
解得 ④
(1)解答过程是否正确 若不正确,是从哪一步开始出现错误
的
(2)写出正确的解答过程.
解析 (1)不正确,是从第①步开始出现错误的.
(2)(x2+ax+b)(2x2-3x-1)
=2x4-3x3-x2+2ax3-3ax2-ax+2bx2-3bx-b
=2x4+(2a-3)x3+(-3a+2b-1)x2-(3b+a)x-b,
根据题意,得 解得
8.【新课标·创新意识】阅读下面解方程组的方法,然后回答
并解决有关问题.
解方程组 时,如果我们直接考虑消元,求解会
很麻烦,但是采用下面的解法会简便很多.
解:②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1③,
③×21,得21x+21y=21④,
①-④,得y=2,将y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,所以原方程组的
解为
(1)请你用上述方法解方程组:
(2)猜想关于x, y的方程组 (a,d是常
数,a,d≠0)的解,并说明理由.
解析 (1)
①-②,得2x+2y=2,即x+y=1③,
②-③×2 023,得x=-1,
把x=-1代入③,得-1+y=1,解得y=2,
所以原方程组的解为
(2)原方程组的解为
理由:
②-①,得3dx+3dy=3d,即x+y=1③,
③×a,得ax+ay=a④,①-④,得dy=2d,解得y=2.
把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1,
所以原方程组的解是
微专题 二元一次方程(组)的特殊解问题
1.(2025江苏泰州泰兴期末)已知关于x,y的二元一次方程x-y+3
+m(2x+y-6)=0,无论m取何值,方程总有一个固定不变的解,则
这个解为 ( )
A. B. C. D.
B
解析 由题意得 解得 故选B.
2.(2025江苏连云港灌云期末)若关于x,y的方程组 和
的解相同,则mn=_______.
-1
解析 ∵方程组 和 的解相同,∴该解
能使方程组中每一个等式都成立,联立 解得
联立 并将 代入,
得 解得
∴mn=(-1)4 051=-1.
3.(2025山东潍坊期末)王老师让同学们解关于x,y的方程组
(a,b为常数),由于甲看错了方程①中的a,得到方
程组的解为 乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为
则这个方程组的正确的解为_________.
解析 由题意得 是方程②的解,把 代入bx-y=7,
得b+4=7,解得b=3.
由题意得 是方程①的解,把 代入2x+ay=1,得-2+a
=1,解得a=3.
把 代入原方程组,得 解得
所以原方程组的解为 (共18张PPT)
第10章 二元一次方程组
10.5 用二元一次方程组解决问题
第2课时 分段计费、盈不足问题
分段计费问题
1.【学科特色·教材变式P102例2】为响应国家节能减排的号
召,鼓励居民节约用电,各省市先后出台了“阶梯价格”制度,
即每月用电量在一档的部分按a元/千瓦时收费,超出一档的部
分按b元/千瓦时收费,超出二档的部分按0.9元/千瓦时收费,具
体收费标准如下表所示:
阶梯 月用电量x/千瓦时 电费价格/(元/千瓦时)
一档 0二档 180三档 x>350 0.9
(1)已知小明家5月份用电252千瓦时,缴纳电费158.4元,6月份
用电340千瓦时,缴纳电费220元,请你根据以上数据,求出表格
中的a,b的值.
(2)7月份开始用电增多,小明家缴纳电费285.5元,求小明家7月
份的用电量.
解析 (1)依题意得
解得
(2)若一个月用电量为350千瓦时,电费为180×0.6+(350-180)×
0.7=227(元),∵285.5>227,∴小明家7月份用电量超过350千瓦时.
设小明家7月份的用电量为m千瓦时,依题意得180×0.6+(350-
180)×0.7+(m-350)×0.9=285.5,解得m=415.
答:小明家7月份的用电量为415千瓦时.
盈不足问题
2.【新考向·数学文化】(2025江苏扬州期末)我国古代数学著
作《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈
三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”意思是几个人一
起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4
钱.问人数、物品的价格分别是多少 设该问题中的人数为x,
物品的价格为y钱,则可列二元一次方程组为_________.
3. (2025江苏盐城阜宁一模)中国古代数学名著《孙子算经》
中有一个问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.
问人与车各几何 译文为今有若干人乘车,若每3人共乘一车,
则最终剩余2辆车,若每2人共乘一车,则最终剩余9人无车可
乘,请问共有多少人,多少辆车 请解答这个问题.
解析 设共有x人,y辆车.
由题意得 解得
答:共有39人,15辆车.
4.(2025江苏镇江句容期末,★★☆)如图,在长方形ABCD中放
置9个形状、大小都相同的小长方形,尺寸如图.
(1)求小长方形的长与宽.
(2)求阴影部分的面积.
解析 (1)设小长方形的长为x,宽为y,
根据题意得 解得
答:小长方形的长为10,宽为3.
(2)S阴影=22×(7+3×3)-9×10×3=82.
答:阴影部分的面积为82.
5.(2025江苏常州溧阳期末,★★☆)我国明代数学家程大位编
撰的《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题:“一条竿子
一条索,索比竿子长一托,折回索子却量竿,却比竿子短一托,问
索、竿各几何 ”译文为有一根竿和一条绳,若用绳去量竿,则
绳比竿长5尺;若将绳对折后再去量竿,则绳比竿短5尺,问绳和
竿各有多长 请你用二元一次方程组的知识解决该问题.
解析 设绳长x尺,竿长y尺,
根据题意得 解得
答:绳长20尺,竿长15尺.
6.(2025浙江杭州滨江期末,★★☆)某校为了让学生感受祖国
的大好河山,计划组织学生参观某景点,该景点面向学生团队
出游推出以下优惠活动:
人数x 0200
收费标准/(元/人) 50 45 40
经核算,若七年级、八年级学生单独组团共需花费11 200元;
若两个年级学生联合组团只需花费9 600元,其中,该校七年级
参加人数多于100人,少于200人,八年级参加人数少于100人,
求该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少.
解析 设该校七年级参观该景点的学生人数是m,八年级参观
该景点的学生人数是n,
因为45×200=9 000(元),9 000<9 600,
所以m+n>200.
由题意,得 解得
答:该校七年级参观该景点的学生人数是160,八年级参观该景
点的学生人数是80.
7.【新课标·应用意识】(2025江苏南通启东月考)根据以下素
材,探索解决任务.
购买方案的设计 素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行.某校30位同学计划周末去现场观看比赛,门票分为A,B,C三个档次,购买1张A档门票和3张B档门票需要820元;购买2张A档门票和1张B档门票需要740元;购买1张C档门票需要80元
素材2 购票平台有优惠活动,每购买1张A档门票就赠送1张C档门票 问题解决 任务1 求A档门票和B档门票的价格
任务2 初步统计,有8人需要A档门票,12人需要B档门票,其余同学需要C档门票,请计算购买门票至少需要多少元
任务3 最终,购买门票共花了3 600元,且购买的C档门票数多于A档门票数.请你求出所有符合条件的购买方案
解析 任务1:设A档门票的价格为a元/张,B档门票的价格为
b元/张.
根据题意,得 解得
答:A档门票的价格为280元/张,B档门票的价格为180元/张.
任务2:280×8+180×12+(30-12-8-8)×80=4 560(元).
答:购买门票至少需要4 560元.
任务3:设购买A档门票x张,购买B档门票y张,则购买C档门票
(30-x-y-x)张.
根据题意,得280x+180y+80(30-x-y-x)=3 600,
化简得6x+5y=60,∴y= ,
∴方程的非负整数解为
∴30-x-y-x=18或14或10.
∵购买的C档门票数多于A档门票数,
∴ 不符合题意,舍去.
∴有两种购买方案,如下:
方案一:购买A档门票0张,B档门票12张,C档门票18张;
方案二:购买A档门票5张,B档门票6张,C档门票14张.(共19张PPT)
专项突破4 解方程组的
五种常用方法
消元法
1.用代入法解方程组 正确的解法是 ( )
A.先将①变形为x= ,再代入②
B.先将①变形为y= ,再代入②
C.先将②变形为x= -1,再代入①
D.先将②变形为y=9(4x-1),再代入①
B
解析 A.先将①变形为x= ,再代入②,故此选项不正
确;B.先将①变形为y= ,再代入②,故此选项正确;C.先将
②变形为x= ,再代入①,故此选项不正确;D.先将②变形
为y= ,再代入①,故此选项不正确.故选B.
2.用加减消元法解二元一次方程组 时,下列做法
中无法消元的是 ( )
A.①×2+② B.①×5-②×3
C.①×3-②×5 D.①×(-5)+②×3
C
解析 A.①×2+②,得11x=25,能消元,故本选项不符合题意;B.
①×5-②×3,得-11y=-20,能消元,故本选项不符合题意;C.①×3-
②×5,得-16x-13y=-60,不能消元,故本选项符合题意;D.①×(-5)
+②×3,得11y=20,能消元,故本选项不符合题意.故选C.
3.【学科特色·多解法】解方程组:
解析 【解法一】利用代入消元法求解:由①,得x=5-2y③,将
③代入②,得2(5-2y)+y=-2,解得y=4.将y=4代入③,得x=-3.所以
原方程组的解是
【解法二】利用加减消元法求解:①×2,得2x+4y=10③,③-②,
得3y=12,解得y=4.将y=4代入②,得2x+4=-2,解得x=-3.所以原方
程组的解是
叠加、叠减法
4.(2025江苏连云港东海期中)已知关于x,y的二元一次方程组
则x+y= ( )
A.-4 B.-6 C.2 D.4
B
解析
①-②,得2x+2y=-12,∴x+y=-6.故选B.
5.(2025江苏苏州工业园区期中)已知关于m,n的二元一次方程
组 则m+2n=_________.
4
解析 ①-②,得m+2n=4.故答案为4.
6.解方程组:
解析 ①+②,得30x+30y=60,∴x+y=2③,
①-②,得-2x+2y=10,∴-x+y=5④,
③+④,得2y=7,解得y= ,③-④,得2x=-3,解得x=- .
∴原方程组的解是
构造法
7.(2025江苏苏州立达中学校期中)若关于x,y的二元一次方程
组 的解x,y互为相反数,求m的值.
解析 ∵x,y互为相反数,∴x+y=0,
则 解得
∴2×2-2=m-18,解得m=20.
8.【学科特色·易错题】(2025江苏宿迁期中)对于未知数为x,y
的二元一次方程组,如果方程组的解x,y满足|x-y|=1,我们就说
方程组的解x与y具有“邻好关系”.
(1)关于x,y的二元一次方程组 的解x与y是否具有
“邻好关系” 说明你的理由.
(2)若关于x,y的二元一次方程组 的解x与y具有
“邻好关系”,求m的值.
解析 (1)具有“邻好关系”.理由如下:
∵x-y=1,即满足|x-y|=1,
∴方程组 的解x与y具有“邻好关系”.
(2)方程组 ①+②,得6x=6+6m,即x=1+m.
把x=1+m代入①,得2(1+m)-y=6,解得y=2m-4,∴x-y=1+m-2m+4=5-m.
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”,
∴|x-y|=1,即|5-m|=1,∴m=6或m=4.
易错警示 遇到含绝对值的代数式化简,需要进行分类讨论,
若a≥0,则|a|=a,若a<0,则|a|=-a.
换元法
9.(2025江苏无锡江阴期中)阅读材料,解答问题:
材料:解方程组 时,我们可以设x+y=a,x-y
=b,则原方程组可以变形为 解得 再将a,b还原,
即 解得 这种解方程组的过程,就是把某个式子
看作一个整体,用一个新的字母(即新元)代替它,这种解方程
组的方法叫作换元法.请用换元法解决下面问题:
(1)若关于x,y的方程组 的解是 则关于x,y的
方程组 的解是_______.
(2)已知关于x,y的方程组 的解是 求关于x,y
的方程组 的解.(其中a1,c1,a2,c2都为常数)
解析 (1)
(2)∵ ∴
设m=x-1,n=2y,
则方程组 可变形为
∵关于x,y的方程组 的解是
∴关于m,n的方程组 的解为
∴ 解得
即关于x,y的方程组 的解为
整体代入法
10.(2025江苏扬州期末节选)
【观察发现】
(1)材料:解方程组 将①整体代入②,得3×4+y
=14,解得y=2,把y=2代入①,得x+2=4,解得x=2,所以原方程组的
解为 这种解法称为“整体代入法”.有很多方程组可以
采用此方法解答,请直接写出方程组 的解:_____.
【实践运用】
(2)请用“整体代入法”解方程组
(3)若x2-2y=1,求2x2-4y-3的值.
解析 (1)
(2) 由①,得2x+y=2③,
把③代入②,得 +y=3,解得y=1,把y=1代入③,解得x= ,
所以原方程组的解为
(3)因为x2-2y=1,所以2x2-4y-3=2(x2-2y)-3=2×1-3=-1.
