(共25张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.4 一元一次不等式组
第2课时 解一元一次不等式组
解一元一次不等式组
1.(2025山西中考)不等式组 的解集是 ( )
A.x<2 B.x≥3 C.2
C
解析 解不等式①,得x>2,解不等式②,得x≤3,所
以不等式组的解集为22.(2025江苏连云港灌南一模)下列各数满足1<2x-3≤3的是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 由1<2x-3≤3,得
解不等式①,得x>2,解不等式②,得x≤3,故2故选C.
3.(2025吉林长春中考)下列不等式组无解的是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 选项A中不等式组的解集为x>2;选项B中不等式组无
解;选项C中不等式组的解集为x<-1;选项D中不等式组的解集
为-14.(2025新疆中考)不等式组 的解集是___________.
x≥1
解析 由①得x>-2,由②得x≥1,
∴不等式组的解集为x≥1.
5.(2025上海中考)不等式组 的解集是___________.
x>2
解析 解不等式 -1>0,得x>2.解不等式2x+3≥x,得x≥-3.所以
不等式组的解集为x>2.
6.(2025江苏宿迁沭阳模拟)已知关于x的不等式组 的
解集是-1 1
解析 解不等式x-a>1,得x>a+1.
解不等式x+1∵不等式组的解集为-1∴a+1=-1,b-1=0,解得a=-2,b=1,
则(a+b)2 026=(-2+1)2 026=(-1)2 026=1.
7.(2024江苏南京玄武期末)点A,B在数轴上的位置如图所示,
若点A,B表示的数分别是2x-1,3-2x,则x的取值范围为_________.
解析 由题中数轴可得 由①,得x> ,由②,得x
<1,所以x的取值范围为 8.(2024天津中考)解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得_______.
(2)解不等式②,得_______.
(3)把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来.
(4)原不等式组的解集为_________.
解析 (1)x≤1.
(2)x≥-3.
(3)如图.
(4)-3≤x≤1.
9.解下列不等式组:
(1)(2025江苏连云港中考)
(2)(2025甘肃中考)
解析 (1)
解不等式①得x<2,解不等式②得x>-4,
所以不等式组的解集为-4(2)
解不等式①得x≥-4,解不等式②得x<5,
所以不等式组的解集为-4≤x<5.
10.(2025湖北武汉中考)求满足不等式组 的自然数解.
解析
解不等式①得x<4,解不等式②得x≤2,
∴不等式组的解集为x≤2,
∴这个不等式组的自然数解为0,1,2.
11.(2025重庆中考)求不等式组 的所有整数解.
解析 解不等式①,得x<2,
解不等式②,得x≥-1,
∴原不等式组的解集为-1≤x<2,
∴不等式组的所有整数解为-1,0,1.
12.(2025江苏扬州期末,★★☆)如图,有一个运算程序,若需要
经过两次运算才能输出结果,则x的取值范围为 ( )
A.x<5 B.x>1 C.1 D
解析 由题意得 解得1≤x<5.故选D.
13.(2025四川南充中考,★★☆)不等式组 的解集是
x>2,则m的取值范围是___________.
m≤3
解析 由x-3>-1,得x>2,由-x<-m+1,得x>m-1,因为不等式组的
解集为x>2,所以m-1≤2,解得m≤3.
14.(2025江苏镇江句容期末,★★★)当b≥a时,若关于x的不等
式组的解集为a≤x≤b,则称b-a为该不等式组的“解集长
度”,如不等式组 的解集为1≤x≤3,则其“解集长
度”为3-1=2.
(1)不等式组 的“解集长度”是_______.
(2)已知关于x的不等式组 的“解集长度”为
0,求m应满足的条件及此时不等式组的解集.
(3)已知关于x的不等式组 的“解集长度”小于
9,求m的取值范围.
解析 (1)
解不等式①得x≤ ,解不等式②得x≥ ,
∴原不等式组的解集为 ≤x≤ ,
∴原不等式组的“解集长度”是 - = .
(2)
解不等式①得x≤m+3,解不等式②得x≥ ,
∵原不等式组的“解集长度”为0,
∴原不等式组的解集为 ≤x≤m+3,且m+3- =0,
解得m=1,
∴原不等式组的解集为x=4.
(3)
解不等式①得x≥- ,解不等式②得x≤m+3,
∵原不等式组的“解集长度”小于9,
∴原不等式组的解集为- ≤x≤m+3,
且0≤m+3- <9,解得-2≤m<4.
15.【新课标·运算能力】(2025北京石景山期末)已知不等式
(组)M 和不等式(组)N都有解,若不等式(组)M的解集中的任何
一个值都是不等式(组)N的解,则称不等式(组)N “包围”不
等式(组)M.例如,x-1>0的解集是x>1,x+1>0的解集是x>-1,所以
不等式x+1>0 “包围”不等式x-1>0.
(1)已知不等式Q:x+2>0,则以下不等式(组)能“包围”不等式
Q的有_______.(填序号)
①x≤-2; ②x≥-2;
③ ④
(2)已知不等式A:3x+2m<5x-3m,不等式B:x-1≥3,若不等式B
“包围”不等式A,则m的取值范围是_______.
(3)已知关于x的不等式3x-2a>3a+2 “包围”不等式组
若T=3a-2b-4c且a+b+3c=18,3a-2b-c=-11,求T的取
值范围.
解析 (1)∵不等式Q为x+2>0,∴x>-2.
①不等式x≤-2不能“包围”不等式Q.
②不等式x≥-2能“包围”不等式Q.
③解不等式组 得-2∴此不等式组不能“包围”不等式Q.
④解不等式组 得x≥-3,
∴此不等式组能“包围”不等式Q.故答案为②④.
(2)∵不等式A:3x+2m<5x-3m,∴x> m.
∵不等式B:x-1≥3,∴x≥4.
∵不等式B“包围”不等式A,∴ m≥4,∴m≥ .
故答案为m≥ .
(3)∵3x-2a>3a+2,∴x> .
解不等式组 得
∴该不等式组的解集为 ∵关于x的不等式3x-2a>3a+2“包围”不等式组
∴ ≤ < ,∴a≤-7.
∵a+b+3c=18,3a-2b-c=-11,
∴b=3+2a,c=5-a,
∴T=3a-2b-4c=3a-2(3+2a)-4(5-a)=3a-6-4a-20+4a=3a-26.
∵a≤-7,∴3a-26≤-47,即T≤-47.(共26张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.1 不等式
第2课时 不等式的基本性质
不等式的基本性质
1.(2025江苏宿迁沭阳期末)若m ( )
A.m-1C.mc
A
解析 A.若m则-m>-n,故选项B不成立,不符合题意;C.若m0,则mc<
nc,故选项C不成立,不符合题意;D.若m成立,不符合题意.故选A.
2.(2025江苏扬州期末)从图甲到图乙体现的不等关系是 ( )
A.a-10>b-10 B.a+10>b+10
C.10a>10b D.a+10B
解析 题图甲体现的不等关系为a>b,题图乙体现的不等关系
为a+10>b+10,∴只有选项B符合题意.故选B.
3.(2025江苏西交大苏州附中月考)已知a+1)b.(用“>”“<”或“=”填空)
<
解析 ∵k2+1>0,a4.(2025江苏常州中考)若 > ,则x-y______0.(填“>”“<”或
“=”)
>
解析 ∵ > ,∴x>y,∴x-y>0,故答案为>.
5.(2025山西吕梁期中)
(1)已知x>y,比较3x-2与3y-2的大小.
解:∵x>y,且3>0(已知),
∴3x______3y(依据:_______________________),
∴3x-2______3y-2(依据:__________________).
(2)若x解析 (1)>;不等式的两边都乘同一个正数,不等号的方向不
变;>;不等式的两边都加上同一个数,不等号的方向不变.
(2)5-2x>5-2y.理由如下:
∵x-2y(不等式的两边都乘同一个负数,不等
号的方向改变).
∴5-2x>5-2y(不等式的两边都加上同一个数,不等号的方向不
变).
用不等式的基本性质化简不等式
6.【学科特色·教材变式P120例4】将下列不等式化成x>c或x<
c(c为常数)的形式.
(1)- x>50. (2)-3x+2<2x+3.
(3)- x+1< x. (4) >-1.
解析 (1)不等式- x>50两边同时乘- ,
可得x<-75.
(2)不等式-3x+2<2x+3两边同时减去2x,
可得2-5x<3,
不等式2-5x<3两边同时减去2,可得-5x<1,
不等式-5x<1两边同时除以-5,可得x>- .
(3)不等式- x+1< x两边同时减去1得,- x< x-1,
不等式- x< x-1两边同时减去 x得,-x<-1,
不等式-x<-1两边同时除以-1得,x>1.
(4)不等式 >-1两边同时乘3得,1-2x>-3,
不等式1-2x>-3两边同时减去1得,-2x>-4,
不等式-2x>-4两边同时除以-2得,x<2.
7.(★★☆)若b<0,则a-b,a,a+b的大小关系是 ( )
A.a-bC.a+b D
解析 ∵b<0,∴-b>0,∴-b>0>b,
三个式子同时加上a,不等号的方向不变,
∴a-b>a>a+b,故选D.
8.【新考向·代数推理】(2024江苏扬州广陵二模,★★☆)阅读
感悟:
代数证明题是数学中的一种常见题型,它要求运用逻辑推理
和代数知识来证明某个数学命题的正确性.
例:已知有理数x,y满足x>y>0,试说明:x2>y2.
解:因为x>y>0,
所以x2>_______,xy>_______(不等式的两边都乘同一个正
数,不等号的方向不变),
所以x2>y2(不等式的传递性).
解决问题:
(1)请将证明过程填写完整.
(2)尝试说明:若a解析 (1)因为x>y>0,
所以x2>xy,xy>y2(不等式的两边都乘同一个正数,不等号的方
向不变),
所以x2>y2(不等式的传递性).
故答案为xy;y2.
(2)因为a9.(★★☆)已知关于x,y的二元一次方程组
(1)试列出使不等式x(2)运用不等式的基本性质,将(1)中的不等式化为m>a或m的形式(a为常数).
解析 (1)【解法一】由①+②得3x=5m,解得x= m,将x= m代
入①,得y=- m+1,因为x【解法二】由②得x=y+2m-1③,将③代入①,解得y=- m+1,将y
=- m+1代入③,得x= m.因为x(2)由(1)得 m<- m+1,不等式两边同时乘3,得5m<-m+3,两边
同时加上m,得6m<3,两边同时除以6,得m< .
10.【新课标·推理能力】【阅读】根据等式和不等式的基本
性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a反之也成立.
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”.
【理解】若a-b+2>0,则a+1_______b-1.(填“>”“=”或“<”)
【运用】若M=a2+3b,N=2a2+3b+1,试比较M,N的大小.
【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.
制作某产品有两种用料方案:
方案一:用5块A型钢板,6块B型钢板.
方案二:用4块A型钢板,7块B型钢板.
每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一的总面
积记为S1,方案二的总面积记为S2,试比较S1,S2的大小.
解析 【理解】因为a+1-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2>0,所以a+1>b
-1.故答案为>.
【运用】因为M=a2+3b,N=2a2+3b+1,
所以M-N=(a2+3b)-(2a2+3b+1)=a2+3b-2a2-3b-1=-a2-1,
因为-a2-1<0,所以M【拓展】设一块A型钢板的面积为a,一块B型钢板的面积为b,
因为方案一的总面积记为S1,方案二的总面积记为S2,
所以S1=5a+6b,S2=4a+7b,
所以S1-S2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b,
因为每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即a所以a-b<0,所以S1微专题 利用不等式的基本性质确定字母的取值范围
1.若关于x的不等式(1-m)x>m-1化成x>c或x为x>-1,则m必须满足 ( )
A.m<0 B.m<1 C.m<-1 D.m>-1
B
解析 根据不等式在系数化为1时,不等号的方向不变,可知x
的系数大于0,
即1-m>0,所以m<1,故选B.
2.若x>y,且(m-1)x>(m-1)y,则m的取值范围是___________.
m>1
解析 ∵x>y,且(m-1)x>(m-1)y,
∴m-1>0,∴m>1.
3.(2025江苏南京鼓楼期末)若关于x的不等式(2-a)x<3可化
为x> ,则a的取值范围是___________.
a>2
解析 ∵关于x的不等式(2-a)x<3可化为x> ,
∴2-a<0,∴a>2.
4.(2025江苏苏州工业园区期末)已知不等式ax-b<0可化为x<2,
则关于x的不等式bx+a>0化为x>c或x x>-
解析 ∵关于x的不等式ax-b<0可化为x<2,不等号方向没有发
生改变,∴a>0, =2,∴b>0, = ,∴关于x的不等式bx+a>0可化
为x>- ,即x>- .故答案为x>- .
方法指导 求解此类问题的关键是判断不等号的方向是否发
生改变,若没有改变,则所乘(或除以)的式子为正;若发生改变,
则所乘(或除以)的式子为负.(共27张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.2 一元一次不等式的概念
一元一次不等式的概念
1.(2025江苏徐州沛县月考)下列不等式中是一元一次不等式
的是 ( )
A.2x+1>0 B.2>0
C.2x+y>3 D.x2-2>1
A
解析 A.2x+1>0是一元一次不等式,故此选项符合题意;B.2>0
是不等式,但不含有未知数,不是一元一次不等式,故此选项不
符合题意;C.2x+y>3中含有两个未知数,不是一元一次不等式,
故此选项不符合题意;D.x2-2>1的未知数的次数是2,不是一元
一次不等式,故此选项不符合题意.故选A.
2.若(a-1)x+3>5是关于x的一元一次不等式,则a满足的条件是
___________.
a≠1
解析 根据题意,得a-1≠0,则a≠1.
3.已知4-x3m<0是关于x的一元一次不等式,则m=_________.
解析 ∵4-x3m<0是关于x的一元一次不等式,
∴3m=1,解得m= .
不等式的解与不等式的解集
4.(2025吉林中考)不等式x-3>2的解集为 ( )
A.x>5 B.x<5
C.x>-1 D.x<-1
A
解析 x-3>2,由不等式的基本性质得x>2+3,即x>5,故选A.
5.(2025上海闵行期中)已知某个不等式的解集是x<-2,下列说
法正确的是 ( )
A.0是这个不等式的解
B.-3不是这个不等式的解
C.小于-3的数都是这个不等式的解
D.小于-1的数都是这个不等式的解
C
解析 不等式的解集是x<-2,A.因为0>-2,所以0不是这个不等
式的解,故不符合题意;B.因为-3<-2,所以-3是这个不等式的解,
故不符合题意;C.小于-3的数都小于-2,所以小于-3的数都是这
个不等式的解,故符合题意;D.小于-1的数不一定是这个不等
式的解,如-1.5不是这个不等式的解,故不符合题意.故选C.
6.请写出一个关于x的不等式,使-2,1都是它的解:
___________________.
x-2<0(答案不唯一)
解析 符合条件的不等式可以是x-2<0.(答案不唯一)
7.如果关于x的不等式x_______.
-3
解析 不等式2x<4的解集是x<2.∵关于x的不等式x<4的解集相同,∴a+5=2,解得a=-3.
不等式解集的表示方法
8.(2025江苏无锡新吴期末)用不等式表示如图所示的数轴上
的解集,正确的是 ( )
A.x<-1 B.x>-1
C.x≤-1 D.x≥-1
B
解析 由题中数轴可得,x>-1.故选B.
9.(2025福建中考)不等式 x+1≤2的解集在数轴上表示正确
的是 ( )
C
解析 x+1≤2,不等号两边同时减去1得 x≤1,不等号两边
同时乘2得x≤2,所以不等式的解集为x≤2,
将解集表示在数轴上如图所示.故选C.
10.(2025江苏镇江句容期末)如果关于x的不等式3x-a≤1的解
集如图所示,则a的值是_______.
-4
解析 3x-a≤1,由不等式的基本性质,
得3x≤a+1,所以x≤ ,由题中数轴知x≤-1,
∴ =-1,解得a=-4,故答案为-4.
11.【学科特色·教材变式P123例】在数轴上表示下列不等式
的解集:
(1)x>-1.
(2)x≤3.
(3)x>0.
(4)x≤3且x≠0.
解析 (1)如图.
(2)如图.
(3)如图.
(4)如图.
12.(2025河北中考节选)
(1)解不等式2x≤6,并在如图所示的数轴上表示其解集.
(2)解不等式3-x<5,并在如图所示的数轴上表示其解集.
解析 (1)解不等式2x≤6,得x≤3.
将不等式的解集在数轴上表示如图.
(2)解不等式3-x<5,得x>-2.
将不等式的解集在数轴上表示如图.
13.(2025江苏徐州丰县联考,★☆☆)若(m+1)x|m+2|+4<0是关于x
的一元一次不等式,则m的值为 ( )
A.-1 B.-3
C.-2 D.-3或-1
B
解析 根据题意,得m+1≠0且|m+2|=1,解得m=-3.故选B.
14.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏镇江句容期末,★
★☆)数轴是认识数形结合的重要工具.如图,完整的数轴上有
A,B两点,分别表示 和1-x,且点A在点B左侧,则x的值可以
是 ( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
A
解析 由题中数轴可知 <1-x,将-3,-2,-1,0分别代入不等式
可知,当x=-3时,不等关系成立,∴x的值可以是-3.故选A.
15.(2025江苏淮安金湖一模,★★☆)如图,数轴上表示了某个
关于x的不等式的解集,若x=m-4是该不等式的一个解,则m的
取值范围是____________.
m<-6
解析 由题图得不等式的解集为x>3m+8,∵x=m-4是该不等式
的一个解,∴m-4>3m+8.由不等式基本性质化简得m<-6.
16.(2025江苏常州溧阳实验初中月考改编,★★☆)在有理数
范围内规定新运算“△”,其规则是a△b=2a-b.已知不等式x
△k≥1的解集在数轴上表示如图,求k的值.
解析 由题意得x△k=2x-k,∵x△k≥1,∴2x-k≥1,不等式两边
同时加上k得2x≥1+k,不等式两边同时除以2得x≥ ,由题
中数轴可知不等式的解集为x≥-1,∴ =-1,解得k=-3.
17.【新课标·抽象能力】(2024江苏无锡梁溪期末)
(1)【阅读理解】“|a|”的几何意义是数a在数轴上对应的点
到原点的距离.所以“|a|≤2”可理解为“数a在数轴上对应
的点到原点的距离不大于2”.
则①“|a|>2”可理解为_______.
②使不等式|a|<2成立的整数a的值是_______.
我们把形如“|x|≤m”“|x|≥m”“|x|>m”“|x|负数)的不等式称为绝对值不等式.能使一个绝对值不等式成
立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集.
(2)【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值
不等式.
如图1,绝对值不等式|x|≤3的解集是-3≤x≤3;如图2,绝对值不
等式|x|>4的解集是x<-4或x>4.
则①绝对值不等式|x|<5的解集是_______.
②绝对值不等式 ≥3的解集是___________.
(3)【灵活运用】解不等式|-x+4|≤1.
(1)①“|a|>2”可理解为“数a在数轴上对应的点到原点的距
离大于2”.
②1,0,-1.
(2)①根据题意可知|x|<5的解集为-5②根据题意可知 x≥3或 x≤-3,
所以x≥6或x≤-6.
(3)因为|-x+4|≤1,所以-1≤-x+4≤1,
解得3≤x≤5.(共9张PPT)
专项突破7 不等式中的跨学科问题
数学跨生物学科
1.研究表明,运动时将心率p(次)控制在最佳燃脂心率范围内,
能起到燃烧脂肪并保护心脏功能的作用.最佳燃脂心率最高
值不应该超过(220-年龄)×0.8,最低值不低于(220-年龄)×0.6.
以40岁为例计算,220-40=180,180×0.8=144,180×0.6=108,所以
40岁的最佳燃脂心率的范围为 ( )
A.108≤p≤144 B.108C.108≤p≤180 D.108 A
解析 由题意知(220-年龄)×0.6≤p≤(220-年龄)×0.8,
所以108≤p≤144.故选A.
2.(2025安徽合肥四十五中月考)已知A种菌群的生长温度t1 ℃
的取值范围是-4≤t1≤5,B种菌群的生长温度t2 ℃的取值范围
是-5≤t2≤3,将两种菌群在一个实验室培育,求实验室适合的
温度t ℃的取值范围.
解析 两种菌群生长适合的温度的共同范围是-4≤t≤3,故实
验室适合的温度t ℃的取值范围是-4≤t≤3.
数学跨体育与健康学科
3.(2025北京期末)立定跳远是体育测试项目之一,若女生成绩
超过1.85 m获得满分,超过1.95 m获得额外加分,某女生的成绩
为l m,且她获得了满分但未获得额外加分,则该女生的成绩l
的取值范围是________________.
1.85 数学跨物理学科
4.(2025江苏淮安涟水期末节选)环球飞车是一种特技表演,其
中多辆摩托车在一个球形的铁笼里高速骑行.表演者会垂
直、倒置或倾斜骑行,而且不会相撞.
(1)物理学原理:摩托车手能在球形铁笼内骑行而不下落需满
足旋转产生的离心力F>重力G.已知离心力F= ,重力G=mg,
其中m为车手及摩托车的总质量(单位:kg),v为骑行速度(单位:
m/s),r为半径(单位:m),g为重力加速度且g=10 m/s2,摩托车手
以6 m/s的速度在半径为3 m的铁笼内表演,则_______(填
“有”或“无”)掉落的危险.
(2)如图,两位摩托车手在周长为16 m的水平圆形轨道上匀速
顺时针进行骑行表演(最低安全速度为5 m/s),开始计时时两
位摩托车手分别位于图中A,B两点的位置(A,B关于球心中心
对称),已知位于点A处的摩托车手速度为6 m/s,要使安全表演
时间超过16 s(即16 s内两位摩托车手无掉落危险且不发生碰
撞),求位于B处的摩托车手的速度v(m/s)的取值范围.
解析 (1)由题意得v=6,r=3,
则F= = =12m,G=mg=10m,
∵12m>10m,∴F>G,∴无掉落的危险.
(2)∵要使安全表演时间超过16 s,
∴16 s内两位摩托车手不相遇,
∵开始计时时两位摩托车手分别位于题图中A,B两点的位置
(A,B关于球心中心对称),周长为16 m,
∴16 s内两位摩托车手的路程差小于8,
当v<6时,位于点A处的摩托车手速度大于位于点B处的摩托车
手速度,
则16(6-v)<8,解得v>5.5,
∴5.5当v≥6时,同理,16(v-6)<8,
解得v<6.5,∴6≤v<6.5.
综上所述,要使安全表演时间超过16 s,则位于B处的摩托车手
速度v(m/s)的取值范围为5.5第11章 一元一次不等式
11.4 一元一次不等式组
第１课时 一元一次不等式组及其解集
一元一次不等式组的概念
1.(2025上海浦东新区期中)下列不等式组中,是一元一次不等
式组的是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 选项A中含有2个未知数,不是一元一次不等式组;选项
B中未知数的最高次数为2,不是一元一次不等式组;选项C符
合一元一次不等式组的定义;选项D中分母含有未知数,不是
一元一次不等式组.
2.有一个两位数,它的个位数字比十位数字的2倍小1,并且这
个两位数不大于35,设十位数字为x,那么可列不等式组为
_________________.
解析 因为这个两位数的十位数字为x,所以个位数字是2x-1,
所以这个两位数是10x+(2x-1),因为这个两位数不大于35,所以
10x+(2x-1)≤35,所以可列不等式组为
一元一次不等式组的解集
3.(2025四川宜宾中考)满足不等式组 的解是 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
C
解析 不等式组 的解集为0 的解是1.故选C.
4.【学科特色·教材变式P131T1】一个不等式组中两个不等
式的解集在同一数轴上的表示如图所示,这个不等式组的解
集为 ( )
A.x<-1 B.x≤1 C.-1 A
解析 观察题中数轴可得,这个不等式组的解集为两个不等
式解集的公共部分,即x<-1.故选A.
5.(2025内蒙古中考)不等式组 的解集在数轴上表示
正确的是 ( )
A. B.
C. D.
C
解析 由x-1≥0,得x≥1,又x<3,所以不等式组的解集为1≤x<
3,故选C.
6.(2025江苏徐州新沂月考,★★☆)关于x的不等式组 恰
好有3个整数解,则a满足 ( )
A.a=5 B.5≤a<6
C.5 B
解析 由题意可得不等式组的解集为2好有3个整数解,∴不等式组的3个整数解为3,4,5,∴5≤a<6.故
选B.
7.【学科特色·数形结合思想】(2024江苏淮安涟水期末,★★
☆)利用数轴可以直接看出不等式组中各个不等式的解集的
公共部分,从而确定不等式组的解集,如果不等式组中有三个
或更多个不等式,其解集也可以利用数轴直观求得.例如,不等
式组 中的三个不等式的解集在数轴上表示如图所示,
从而可得该不等式组的解集为1≤x<4.
尝试利用数轴解决下列问题:
已知不等式组
(1)当k=1时,不等式组的解集是_______;当k=5时,不等式组的
解集是_______;当k=-4.5时,不等式组的解集是_______.
(2)由(1)可知,不等式组的解集随k值的变化而变化,当k为任意
数时,写出不等式组的解集.
解析 (1)当k=1时,不等式组的解集是-3组的解集是-31;-3(2)当k≤-3时,不等式组无解,当-3-32时,不等式组的解集为-3专项突破6 不等式(组)中的
含参数问题
根据不等式的概念确定字母的值
1.(2025上海浦东新区期中)已知(m+3)x|m|-2+2>0是关于x的一元
一次不等式,则m的值为_________.
3
解析 由题意得|m|-2=1且m+3≠0,解得m=3.
2.已知2m-3x2+2m>1是关于x的一元一次不等式,解这个不等式.
解析 ∵2m-3x2+2m>1是关于x的一元一次不等式,
∴2+2m=1,解得m=- .将m=- 代入原不等式,得-1-3x>1,解不
等式,得x<- .
已知不等式(组)的解求字母的取值范围
3.已知 是不等式kx+3y≤4的一个解,则整数k的最小值
为 ( )
A.6 B.5 C.-6 D.-5
A
解析 由题意得-2k+15≤4,解得k≥ ,∴整数k的最小值是6.
故选A.
4.【学科特色·易错题】(2025江苏泰州姜堰南苑学校月考改编)
若不等式组 的解集中任意一个x的值均不在3≤x
≤6的范围内,求a的取值范围.
解析
解不等式①得x>a,解不等式②得x则不等式组的解集为a∵解集中任意一个x的值均不在3≤x≤6的范围内,
∴a+1≤3或a≥6,解得a≤2或a≥6.
∴a的取值范围是a≤2或a≥6.
方法解读 不等式中含参数问题借助数轴可以直观理解和求
解,如图,本题中不等式解集a≤6的范围内,即存在数轴上a+1对应的点在3对应的点左侧和
a对应的点在6对应的点右侧两种情况,当点重合,即a+1=3或a
=6时,观察数轴可得等号可以成立.
已知不等式组的解集求字母的取值范围
5.(2025江西萍乡一模)若关于x的不等式组 的解集为x>
2,则a的取值范围是 ( )
A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2
D
解析 ∵关于x的不等式组 的解集为x>2,∴a的取值范
围是a≤2.故选D.
方法解读 根据“同大取大”可得a不大于2,即a≤2.
6.若不等式组 有解,则m的取值范围是___________.
m<5
解析 ∵不等式组 有解,
∴两个不等式的解集有公共部分,∴m<5.
7.若不等式组 无解,则m的取值范围是___________.
m≤8
解析
解不等式 < -1,得x>8.
∵不等式组无解,∴m≤8.
方法归纳 求不等式组中字母参数的取值问题,可以先将字
母参数当成已知处理,求出解集,与已知不等式组的解或解集
进行比较,进而确定字母参数的取值或取值范围.
已知不等式(组)的特殊解求字母的取值范围
8.(2025江苏苏州中学期中)若关于x的不等式x恰有两个,则a的最大值为 ( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
D
解析 ∵正整数解恰有两个,最小的正整数是1,∴这两个正整
数解为1和2.要使正整数解是1和2,那么a要大于2(如果a=2,则
x<2的正整数解只有1),同时a不能大于3(如果a>3,则x整数解有1,2,3,不满足恰有两个正整数解),∴2大值为3.故选D.
9.(2025江苏宿迁钟吾初中期末)已知不等式组 只有
两个整数解,则a的取值范围为_____________.
4解析
解不等式①得x>2,解不等式②得x∵不等式组 只有两个整数解,
∴不等式组的解集为2∴410.(2025江苏南通能达中学月考改编)关于x的不等式组
有且只有四个整数解,求a的取值范围.
解析 解不等式①得x<3,解不等式②得x≥a+2,
∵不等式组有且只有四个整数解,
∴不等式组的解集为a+2≤x<3,四个整数解为2,1,0,-1,
∴-2 不等式(组)与方程(组)结合求字母的值或取值范围
11.(2025江苏连云港海州期末)若关于x的方程x-2+3k=0的解
不大于-1,则k的取值范围是___________.
k≥1
解析 解方程x-2+3k=0得x=2-3k,
由题意知2-3k≤-1,解得k≥1.
12.(2025江苏无锡新吴期末)若关于x,y的二元一次方程组
的解满足不等式x+y≤2,则m的取值范围是
______.
m≤1
解析
①+②得3x+3y=3m+3,
∴x+y=m+1,
∵x+y≤2,∴m+1≤2,解得m≤1.
13.(2025江苏扬州江都期末改编)已知关于x,y的方程组
的解满足不等式组 求满足条件的m
的整数值.
解析 由②-①×2,解得y= ,
将y= 代入①得x=m+ ,把x=m+ ,y= 代入不等式组,
得
∴不等式组的解集为-4∴满足条件的m的整数值为-3,-2.
14.(2025江苏宿迁沭阳期末)已知关于x,y的二元一次方程ax+
2y=a-1.
(1)若 是该二元一次方程的一个解,求a的值.
(2)当x=2时,y>0,求a的取值范围.
(3)不论a(a≠0)取何值,方程ax+2y=a-1总有一个公共解,试求
出这个公共解.
解析 (1)∵ 是ax+2y=a-1的一个解,∴2a-2=a-1,解得a=1.
(2)x=2时,原方程可变形为2a+2y=a-1,∴y= >0,解得a<-1.
(3)ax+2y=a-1变形为(x-1)a+2y=-1,
∵不论a(a≠0)取何值,方程总有一个公共解,
∴x-1=0,即x=1,此时2y=-1,即y=- ,
∴这个公共解为
用代入法构造不等式求字母的取值范围
15.(2024安徽中考)已知数a,b满足a-b+1=0,0判断正确的是 ( )
A.- C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0
C
解析 ∵a-b+1=0,∴b=a+1,
∵0∴-1∵b=a+1,-1由-1由0故选项C正确,选项D错误.故选C.
16.(2024江苏盐城响水二模)已知三个数a,b,c满足a+3b+c=0,
5a-3b+c<0,则以下结论错误的是 ( )
A.2a<3b B.3a+c<0
C.9b+2c<0 D.9b+2c>0
C
解析 ∵a+3b+c=0,∴-3b=a+c.
∵5a-3b+c<0,∴5a+a+c+c<0,
整理,得6a+2c<0,即3a+c<0,
故B选项结论正确.
∵a+3b+c=0,∴c=-a-3b.
∵5a-3b+c<0,∴5a-3b-a-3b<0,
整理,得4a<6b,即2a<3b,
故A选项结论正确.
∵a+3b+c=0,∴a=-3b-c.
∵5a-3b+c<0,∴5(-3b-c)-3b+c<0,
整理,得-18b-4c<0,即9b+2c>0,
故C选项结论错误,D选项结论正确.故选C.
方法解读 用代入法进行消元的关键是消去哪个字母,就用
含其他字母的代数式表示这个字母,并用该代数式替代原式
中的消去字母,即可实现消去一个元的目的.
17.(2025江苏苏州中学期中)若数a,b,s满足3a+5b=7,s=2a-3b,a
≥0,b≥0,求s的取值范围.
解析 ∵3a+5b=7,∴a= ,b= ,
∵s=2a-3b,∴s=2× -3b=2a-3× ,
整理得b= ,a= ,
∵a≥0,b≥0,∴ 解得- ≤s≤ .(共26张PPT)
第11章 自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每题5分,共40分)
1.下列式子中,不等式有 ( )
①-3<0;②4x+3y>0;③x=5;④x2+xy+y2;
⑤m≠3;⑥x-1<2y-7.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
解析 根据不等式的定义,得①②⑤⑥是不等式,共4个,故
选C.
2.(2025江苏无锡新吴期末)若m>n,则下列不等式不一定成立
的是 ( )
A.3m>3n B.m-5>n-5
C.- m<- n D.m2>n2
D
解析 已知m>n,A.不等式两边同时乘3,得3m>3n,故一定成立;
B.不等式两边同时减去5,得m-5>n-5,故一定成立;C.不等式两
边同时乘- ,得- m<- n,故一定成立;D.当m=-2,n=-3时,m>n,m2
=4,n2=9,m23.一盒牛奶的包装盒上标有质量为(200±2)g,则这盒牛奶的实
际质量x满足 ( )
A.x=200 g B.x=202 g
C.x=202 g或198 g D.198 g≤x≤202 g
D
解析 ∵一盒牛奶的包装盒上标有质量为(200±2)g,
∴(200-2)g≤x≤(200+2)g,即198 g≤x≤202 g.
故选D.
4.下列说法中,正确的是 ( )
A.x=1是不等式-x<2的解集
B.x=1是不等式-x<2的解
C.x=-2是不等式-x<2的解
D.不等式-x<2的解是x=1
B
解析 x=1是不等式-x<2的一个解,而不是全部的解,故选项A,
D错误,选项B正确;当x=-2时,-x=2,所以x=-2不是不等式-x<2的
解,故选项C错误.
5.(2024宁夏中考)已知|3-a|=a-3,则a的取值范围在数轴上表示
正确的是 ( )
A
解析 ∵|3-a|=a-3,∴a-3≥0,∴a≥3.故选A.
6.(2024江苏南京中考)某商场促销方案规定:单笔消费金额每
满100元立减10元.例如,单笔消费金额为208元时,立减20元.甲
在该商场单笔购买2件A商品,立减了20元;乙在该商场单笔购
买2件A商品与1件B商品,立减了30元.若B商品的单价是整数
元,则它的最小值是( )
A.1元 B.99元
C.101元 D.199元
A
解析 设A商品原来的单价为a元,B商品原来的单价为b元,
由甲在该商场单笔购买2件A商品,立减了20元,得2件A商品原
来的价格满足200≤2a<300.
由乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品,立减了30元,得
2件A商品与1件B商品原来的价格满足300≤2a+b<400,
∴当2a取最大值,2a+b取最小值时,b有最小值,
又∵b为正整数,
∴当2a=299时,b的最小值为1.故选A.
7.若关于x的不等式组 的整数解仅有1,2,3,则a+b的
最大值为 ( )
A.25 B.26 C.27 D.28
B
解析 解不等式①得x≥ ,解不等式②得x< ,
∴不等式组的解集为 ≤x< ,∵关于x的不等式组 的
整数解仅有1,2,3,∴0< ≤1,3< ≤4,解得0∴a的最大值为6,b的最大值为20,∴a+b的最大值为6+20=26.
8.(2024四川攀枝花中考)P,Q,R,S四人的体重(单位:kg)分别
为p,q,r,s,他们去公园玩跷跷板,示意图如图所示,则四人体重
的大小关系为 ( )
A.qC.p A
解析 由题意,得
由③得r=p+s-q④,
把④代入②,得p+p+s-q>q+s,
∴2q<2p,∴q由③,得q-p=s-r,
∴s-r<0,∴s二、填空题(每题5分,共20分)
9.(2025江苏扬州仪征月考)已知(m+4)x|m|-3+6>0是关于x的一元
一次不等式,则m的值为_________.
4
解析 由题意得|m|-3=1且m+4≠0,
解得m=4.
10.(2025江苏淮安开明中学期末)代数式x+3的值是正数,则x
的取值范围为____________.
x>-3
解析 由题意得x+3>0,解得x>-3.
11.(2025江苏镇江句容期末改编)若a,b满足a2+b2=2+ab,则代
数式10-7ab的最小值为_______.
-4
解析 ∵ ≥0,∴a2+b2-2ab≥0,
∴a2+b2≥2ab,∵a2+b2=2+ab,
∴2ab≤ab+2,∴ab≤2,
当ab取最大值2时,10-7ab有最小值,为10-7×2=-4.
12.小明从家坐公交车上学,每天7:00准时上车,全程6 400米,7:20到校.某天小明照常出发,但因交通事故导致交通堵塞,从7:14到
7:22,公交车都未能前行,小明决定7:22下车骑共享单车去学校,
小明骑车的平均速度至少为___________米/分钟,才能保证在
7:30之前(含7:30)到校.
240
解析 根据题意,公交车的速度是6 400÷20=320(米/分钟),
设小明骑车的平均速度是x米/分钟,
根据题意得320×14+8x≥6 400,解得x≥240,故答案为240.
三、解答题(共40分)
13.(8分)解不等式组:
(1)(2025陕西中考)
(2)(2025北京中考改编)
解析 (1)
解不等式①得x<2,解不等式②得x>-3.
∴原不等式组的解集为-3(2)
解不等式①,得x<-4,解不等式②,得x<1,
∴不等式组的解集为x<-4.
14.(2025江苏扬州江都期末)(10分)已知关于x,y的方程组
(m是常数).
(1)若x+y=2,求m的值.
(2)若-3≤x-y≤7,求m的取值范围.
(3)在(2)的条件下,化简:|m+1|-|m-5|.
解析
(1)①+②得3(x+y)=6m+3,
将x+y=2代入,得6m+3=6,解得m= .
(2)①-②得x-y=2m-3,∵-3≤x-y≤7,
∴-3≤2m-3≤7,解得0≤m≤5.
(3)当0≤m≤5时,|m+1|-|m-5|=m+1+m-5=2m-4.
15.(2025江苏淮安开明中学月考节选)(10分)我们定义:如果两
个一元一次不等式有公共整数解,那么称这两个不等式互为
“和谐不等式”,其中一个不等式是另一个不等式的“和谐
不等式”.
(1)下列不等式与x<2互为“和谐不等式”的是_______.(只
填序号)
①x≥1;②x≥ ;③x>3.
(2)若关于x的不等式x+m>0是3x-1<2x+5的“和谐不等式”,求
m的取值范围.
解析 (1)①.
(2)解不等式x+m>0,得x>-m,
解不等式3x-1<2x+5,得x<6.
∵关于x的不等式x+m>0是3x-1<2x+5的“和谐不等式”,
∴-m<5,∴m>-5.
16.(2025江苏连云港海州期末)(12分)某快递企业为提高工作
效率,拟购买A,B两种型号智能机器人进行快递分拣,相关信
息如表:
信息一 信息二
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用 /万元 A型机器人每台每天可分
拣快递22万件;
B型机器人每台每天可分
拣快递18万件
1 3 260 3 2 360 (1)求A,B两种型号智能机器人的单价.
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A,B两种型号智能机
器人共10台,则该企业选择怎样的购买方案,能使每天分拣快
递的件数最多 最多是多少万件
解析 (1)设A型智能机器人的单价为x万元,B型智能机器人
的单价为y万元,
根据题意得 解得
答:A型智能机器人的单价为80万元,B型智能机器人的单价为
60万元.
(2)设购买A型智能机器人m台,则购买B型智能机器人 台,
根据题意得80m+60 ≤700,
解得m≤5,
∵m,10-m均为正整数,∴m的值可以为1,2,3,4,5,
∴该企业共有5种购买方案,如下:
方案一:购买A型智能机器人1台,B型智能机器人9台,每天可
分拣快递22×1+18×9=184(万件);
方案二:购买A型智能机器人2台,B型智能机器人8台,每天可
分拣快递22×2+18×8=188(万件);
方案三:购买A型智能机器人3台,B型智能机器人7台,每天可
分拣快递22×3+18×7=192(万件);
方案四:购买A型智能机器人4台,B型智能机器人6台,每天可
分拣快递22×4+18×6=196(万件);
方案五:购买A型智能机器人5台,B型智能机器人5台,每天可
分拣快递22×5+18×5=200(万件).
∵184<188<192<196<200,
∴该企业选择购买方案五,即购买A型智能机器人5台,B型智能
机器人5台时,能使每天分拣快递的件数最多,最多为200万件.(共22张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.5 用一元一次不等式解决问题
第2课时 用一元一次不等式解决问题（2）
用一元一次不等式解决较复杂问题
1.(2025江苏南京鼓楼期中)某批电子产品的进价为200元/件,
售价为350元/件.为提高销量,商店准备将这批电子产品降价
销售,若要保证单件利润率不低于5%,则该批电子产品每件最
多可降价 ( )
A.120元 B.132.5元
C.140元 D.142.5元
C
解析 设这批电子产品每件降价x元.根据题意,得
×100%≥5%,解得x≤140,
所以该批电子产品每件最多可降价140元.故选C.
2.某商店出售茶壶和茶杯,茶壶的价格为每只20元,茶杯的价
格为每只5元,商店有两种优惠方法:
(1)买一只茶壶送一只茶杯.
(2)按总价的92%付款.
现有一顾客需购买4只茶壶,x只(不少于4只)茶杯,要使方法(2)
比方法(1)更省钱,则x的最小值为 ( )
A.33 B.34 C.35 D.36
C
解析 根据题意,得20×4+5(x-4)>92%×(20×4+5x),
解得x>34.∵x为正整数,∴x的最小值为35.故选C.
3.(2025江苏连云港赣榆三模)某工地需要实施爆破,操作人员
点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400 m以外的安全区域,已
知导火线的燃烧速度是0.8 cm/s,人跑步的速度是5 m/s,问:导
火线必须超过多长,才能保证操作人员的安全
解析 设导火线的长度为x cm.
根据题意,得 > ,解得x>64.
答:导火线必须超过64 cm,才能保证操作人员的安全.
4.(2025贵州中考)贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”,这
里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求,某抹
茶车间准备安装A,B两种型号生产线.已知,同时开启一条A型
和一条B型生产线每月可以生产抹茶共200吨,同时开启一条
A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280吨.
(1)求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨.
(2)为扩大生产规模,若另一车间准备同时安装相同型号的A,B
两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶
不少于2 000吨,至少需要安装多少条A型生产线
解析 (1)设一条A型生产线每月生产抹茶x吨,一条B型生产
线每月生产抹茶y吨,由题意得 解得
答:一条A型生产线每月生产抹茶120吨,一条B型生产线每月
生产抹茶80吨.
(2)设需要安装m条A型生产线,则安装(5-m)条B型生产线,
由题意得4×[120m+80(5-m)]≥2 000,解得m≥2.5,
∵m为正整数,∴m的最小值为3.
答:至少需要安装3条A型生产线.
5.(2025陕西延安志丹二模,★★☆)某非遗传承人出售手工刺
绣手帕,每条的价格为15元,若一次性购买超过8条,超出部分
按每条10元的价格出售.小悦有150元,准备购买这种刺绣手
帕,她最多能购买的手帕条数为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
A
解析 设购买刺绣手帕x条,当0这与08时,15×8+10(x-8)≤150,解得x≤
11,则最多能购买11条,故选项A正确,故选A.
6.(2025上海闵行期末,★★☆)某城市一种共享单车的收费标
准是前15分钟收费1.5元,往后每15分钟收费1元,不满15分钟
按15分钟算.一位同学的电话手表中现有5元钱,在不欠费的前
提下,他用这些钱最多能骑行这种共享单车________分钟.
60
解析 设在不欠费的前提下,他用这些钱能骑行这种共享单
车15x(x为正整数)分钟,
根据题意得1.5+1× ≤5,解得x≤4.5,
∵x为正整数,∴x的最大值为4,
∴15x的最大值为60,∴在不欠费的前提下,他用这些钱最多能
骑行这种共享单车60分钟.
7.(2024四川成都中考,★★☆)推进中国式现代化,必须坚持不
懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村
水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元从农
户处购进A,B两种水果共1 500千克进行销售,其中A种水果的
收购单价为10元,B种水果的收购单价为15元.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克.
(2)已知A种水果运输和仓储过程中的质量损失为4%,若合作
社计划A种水果的利润率不低于20%,不计其他费用,求A种水
果的最低销售单价.
解析 (1)设A种水果购进x千克,B种水果购进y千克.
根据题意,得 解得
答:A种水果购进1 000千克,B种水果购进500千克.
(2)设A种水果的销售单价为m元.
根据题意,得1 000×(1-4%)·m-10×1 000≥10×1 000×20%,
解得m≥12.5,∴m的最小值为12.5.
答:A种水果的最低销售单价为12.5元.
8.(2025安徽合肥四十五中月考,★★☆)某中学百草园社团准
备带学生种植A,B两种绿色植物共50棵,其中A种绿色植物数
量不超过B种绿色植物的3倍.
(1)社团最多购买A种绿色植物多少棵
(2)已知种植A种绿色植物每棵需要40 cm2,种植B种绿色植物
每棵需要60 cm2,若种植绿色植物总面积不超过2 300 cm2,百
草园社团购买绿色植物的方案有几种 哪种方案的占地面积
最少
解析 设购买A种绿色植物x棵,则购买B种绿色植物(50-x)棵.
(1)根据题意,得x≤3(50-x),解得x≤37.5,
又因为x为正整数,所以x的最大值为37.
答:社团最多购买A种绿色植物37棵.
(2)根据题意,得40x+60(50-x)≤2 300,
解得x≥35,又因为x≤37.5,且x为正整数,
所以x的值可以为35,36,37,
所以百草园社团共有3种购买绿色植物的方案:
方案一:购买A种绿色植物35棵,B种绿色植物15棵;
方案二:购买A种绿色植物36棵,B种绿色植物14棵;
方案三:购买A种绿色植物37棵,B种绿色植物13棵.
选择方案一时,种植绿色植物的占地面积为40×35+60×15=
2 300(cm2),
选择方案二时,种植绿色植物的占地面积为40×36+60×14=
2 280(cm2),
选择方案三时,种植绿色植物的占地面积为40×37+60×13=
2 260(cm2),
因为2 300>2 280>2 260,
所以方案三的占地面积最少.
9.【新课标·应用意识】(2025江苏淮安清江浦一模)
背景 学校体艺文化周期间,小艾所在的班级开展各种竞赛活动,需要去商店购买A,B两种款式的运动徽章作为奖品
素材1 某商店在无促销活动时,若买15枚A款徽章,10枚B款徽章,共需230元;若买25枚A款徽章,25枚B款徽章,共需450元
素材2 该商店搞促销活动,有线上、线下两种促销方式:
线下:用35元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折出售(已知小艾在此之前不是该商店的会员);
线上:购买商店内任何商品,一律按商品价格的9折出售且包邮
问题解决 任务1 商店在无促销活动时,求A款徽章和B款徽章的销售单价分别是多少元
任务2 小艾计划在促销期间购买A,B两款徽章共40枚,其中A款徽章t枚(0若在线上购买,共需要 元(用含t的代数式表示)
任务3 请你帮小艾算一算,在任务2的条件下,两种购买方式只能选一种,选择哪种购买方式更合算
解析 任务1:设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元,y元.
根据题意,得 解得
答:A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元,8元.
任务2:若小艾在线下购买会员卡后参与促销活动,需要0.8×
[10t+8(40-t)]+35=(1.6t+291)元;
若小艾在线上购买,需要0.9×[10t+8(40-t)]=(1.8t+288)元.
故答案为(1.6t+291);(1.8t+288).
任务3:由题意得0当1.6t+291<1.8t+288,即15当1.6t+291>1.8t+288,即0当1.6t+291=1.8t+288,即t=15时,
两种促销方式所需费用相等,故t=15时选择线上或线下购买
均可.(共24张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.3 解一元一次不等式
第2课时 较复杂的一元一次不等式的解法
去括号解不等式
1.(2024陕西中考)不等式2(x-1)≥6的解集是 ( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
D
解析 去括号,得2x-2≥6,移项、合并同类项,得2x≥8,系数化
为1,得x≥4.故选D.
2.(2025上海闵行月考)不等式2(x+4)≤12的自然数解是________.
0,1,2
解析 2(x+4)≤12,去括号,得2x+8≤12,移项、合并同类项,得
2x≤4,系数化为1,得x≤2,∴不等式的自然数解有0,1,2.
3.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)2x+1≥-3(x-2).
(2)3(6x+7)≥8-2(5x-9).
解析 (1)去括号,得2x+1≥-3x+6,移项,得2x+3x≥6-1,合并同
类项,得5x≥5,系数化为1,得x≥1,将不等式的解集在数轴上表
示如下:
(2)3(6x+7)≥8-2(5x-9),去括号,得18x+21≥8-10x+18,移项,得
18x+10x≥8+18-21,合并同类项,得28x≥5,系数化为1,得x≥ ,
将不等式的解集在数轴上表示如下:
去分母解不等式
4.(2025江苏南通如东模拟)解不等式 >1- 时,去分母后
结果正确的为 ( )
A.2(x+2)>1-3(x-3)
B.2x+4>6-3x-9
C.2x+4>6-3x+3
D.2(x+2)>6-3(x-3)
D
解析 不等式两边同时乘6,得2(x+2)>6-3(x-3).故选D.
5.(2024江苏泰州兴化期末)关于x的不等式 +n< 的最小整
数解为n,则n的值为_______.
-1
解析 解不等式 +n< ,得x>2n.
∵关于x的不等式的最小整数解为n,
∴2n为整数且n=2n+1,解得n=-1.
6.(2024江苏淮安中考)解不等式: ≥ +2.
解析 ≥ +2,去分母,得3x≥2(x-3)+2×6,
去括号,得3x≥2x-6+12,
移项、合并同类项,得x≥6.
7.(2025江苏南京模拟)解不等式 ≥ +1,并在数轴上表
示解集.
解析 去分母,得2(x-1)≥x-3+4,去括号,得2x-2≥x+1,
移项,得2x-x≥1+2,合并同类项,得x≥3.将解集表示在数轴上如下:
8.(2025江苏盐城二模)求不等式x-2≤ 的正整数解.
解析 去分母,得3x-6≤2x-3,
移项,得3x-2x≤-3+6,
合并同类项,得x≤3,
所以不等式的正整数解为1,2,3.
9.(2025江苏徐州期末)已知关于x的方程4x+2m+3=2x+9的解
是负数.
(1)求m的取值范围.
(2)在(1)的条件下,解关于x的不等式x-1> (结果保留m).
解析 (1)4x+2m+3=2x+9,解得x=3-m,∵关于x的方程4x+2m+3
=2x+9的解是负数,∴3-m<0,∴m>3.
(2)去分母,得3x-3>mx+1,移项、合并同类项,得(3-m)x>4,由(1)
知3-m<0,∴x< .
10.【新考向·新定义题】(2025江苏镇江丹徒月考,★★☆)对
于数对(a,b),定义偏左数Pl= ,偏右数Pr= .对于数对
(x-1,3),若Pl-Pr>1,则x的最小整数值是_________.
8
解析 对于数对(x-1,3),偏左数Pl= = ,偏右数Pr=
= ,
∵Pl-Pr>1,∴ - >1,解得x>7,
∴x的最小整数值是8.故答案为8.
11.【学科特色·易错题】(2025江苏扬州梅岭中学教育集团月
考,★★☆)关于x的不等式 -1> 的任意一个解都比关于x
的不等式2x-1≤x+m的解大,则m的取值范围是___________.
m≤7
解析 解 -1> ,得x>8,解2x-1≤x+m,得x≤1+m,由题意可
得1+m≤8,∴m≤7.
易错警示 本题中不等式 -1> 的解集不包含x=8,故不
等式 -1> 的任意一个解都比关于x的不等式2x-1≤x+m
的解大时,不等式2x-1≤x+m的解集包含x=8,即1+m≤8中等号
成立.
12.(2025江苏苏州期末,★★☆)已知关于x,y的二元一次方程
组 (k为常数).
(1)若方程组的解也满足方程x+3y=2,求k的值.
(2)若方程组的解也满足不等式x+y>8,求k的取值范围.
解析 (1)由题意得 解得
将 代入4x+y=6-4k中,
得32-2=6-4k,解得k=-6.
(2)
①-②,得3x+3y=-4k-6,则x+y= ,
因为x+y>8,所以 >8,解得k<- .
13.(2025安徽宿州十一中月考,★★☆)已知任意数a,b,定义
min{a,b}的含义为当a≥b时,min{a,b}=b,当a(1)若min =-1,求x的取值范围.
(2)求min{2x-1,-x+5}的最大值.
解析 (1)因为min =-1,
所以 ≥-1,所以x≥-3.
(2)①当2x-1≥-x+5,即x≥2时,
min{2x-1,-x+5}=-x+5≤3;
②当2x-1<-x+5,即x<2时,
min{2x-1,-x+5}=2x-1<3.
综上所述,min{2x-1,-x+5}≤3,
所以min{2x-1,-x+5}的最大值为3.
14.【新课标·运算能力】(2025江苏盐城东台月考)我们把关
于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种
特殊组合,且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式
的解时,我们把这种组合叫作“梦想解”;当一元一次方程的
解不是一元一次不等式的解时,我们把这种组合叫作“无缘
解”.
(1)组合 是_______.(填“梦想解”或“无缘解”)
(2)若关于x的组合 是“梦想解”,求a的取值范围.
(3)若关于x的组合 是“无缘解”,则m的取值
范围为_______.
解析 (1)解方程2x-4=0得x=2,
当x=2时,5x-2=8>3,
即x=2不是不等式5x-2<3的解,
∴组合 是无缘解.
故答案为无缘解.
(2)解方程3x-6=0得x=2,
解不等式 >a得x>3a.
∵关于x的组合 是“梦想解”,
∴2>3a,解得a< ,
即a的取值范围为a< .
(3)解关于x的方程2-x=x-2m得x=m+1,
解关于x的不等式 +1 ,
∵关于x的组合 是“无缘解”,
∴m+1≤ ,解得m≤ .
故答案为m≤ .(共21张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.5 用一元一次不等式解决问题
第１课时 用一元一次不等式解决问题（1）
用一元一次不等式解决简单的实际问题
1.(2024江苏南通启东期末)如图1,一个容量为500 cm3的杯子
中装有200 cm3的水,将四颗相同的玻璃球放入这个杯中,结果
水没有满,如图2.设每颗玻璃球的体积为x cm3,根据题意可列
不等式为 ( )
A.200+4x<500 B.200+4x≤500
C.200+4x>500 D.200+4x≥500
A
解析 水的体积为200 cm3,四颗相同的玻璃球的体积为4x cm3,
根据水的体积+4个玻璃球的体积<500 cm3,得200+4x<500.故
选A.
D
2.(2025安徽合肥一六八中学月考)小明同学早上7:40前要到达班
级,出家门时是7:20,已知他家到学校的距离为1 600 m,他跑步
的速度为130 m/min,走路的速度为60 m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到 设小明同学跑步时间为x min,根据
题意可列不等式为 ( )
A.130x+60(20-x)<1 600 B.130x+60(x-20)>1 600
C. +x<20
D. +x<20
解析 因为小明同学跑步时间为x min,所以剩余的路程为
(1 600-130x)m,则走路的时间为 min,由题意可得
从家到学校所用时间应小于20 min,可列不等式,得
+x<20.故选D.
3.(2025四川宜宾中考)某校举办“科学与艺术”主题知识竞
赛,共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.
若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要
答对的题数是 ( )
A.14道 B.13道 C.12道 D.11道
C
解析 设小明答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题意,
得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,
所以他至少要答对的题数是12道.
4.(2025安徽淮北期末)一种荔枝的进价是每千克12.6元,销售
中估计有10%的荔枝正常损耗(包含剪枝),商家把售价至少定
为每千克__________元,才能避免亏本.
14
解析 设商家把售价定为每千克x元,根据题意,得x(1-10%)≥
12.6,解得x≥14,即商家把售价至少定为每千克14元,才能避免
亏本.
5.(2025吉林长春一模)一个工程队原计划在10天内至少要挖
土600立方米,在前两天一共完成了120立方米,由于整个工程
调整工期,要求提前两天完成挖土任务.以后6天内平均每天至
少要挖土多少立方米
解析 设以后6天内平均每天挖土x立方米.
根据题意,得6x≥600-120,解得x≥80.
答:以后6天内平均每天至少挖土80立方米.
6.(2024江苏宿迁宿豫期末)甲的钱包里只有面值为50元和20
元的两种人民币,总共有51张.
(1)如果甲的钱包里总金额为2 190元,那么这两种面值的人民
币各有多少张
(2)如果甲的钱包里人民币总额不超过2 250元,那么面值为50
元的人民币最多有多少张
解析 (1)设面值为50元的人民币有x张,则面值为20元的人民
币有(51-x)张.
根据题意,得50x+20(51-x)=2 190,解得x=39,则51-x=51-39=12.
答:面值为50元的人民币有39张,面值为20元的人民币有12张.
(2)设面值为50元的人民币有y张,则面值为20元的人民币有
(51-y)张.
根据题意,得50y+20(51-y)≤2 250,解得y≤41,则y的最大值为41.
答:面值为50元的人民币最多有41张.
7.(2024江苏常州溧阳期末,★☆☆)某种服装的进价为200元/件,
出售时标价为300元/件,由于换季,商店准备打折销售,但要
保持利润率不低于20%,那么至多打 ( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
C
解析 设该服装打x折销售,根据题意,得300× -200≥200×
20%,解得x≥8.故选C.
8.【学科特色·教材变式P135T2】(2025江苏常州溧阳实验初
中月考,★★☆)如图,第1个图形中有8根火柴棒,可以搭1条
“小鱼”,第2个图形中有14根火柴棒,可以搭2条“小鱼”,第
3个图形中有20根火柴棒,可以搭3条“小鱼”,……,按此方法,
用少于50根的火柴棒最多可以搭_________条“小鱼”.
7
解析 第1个图形需要火柴棒6+2=8根;
第2个图形需要火柴棒6×2+2=14根;
第3个图形需要火柴棒6×3+2=20根;
……
则第n个图形需要火柴棒的根数是6n+2,
令6n+2<50,解得n<8,
∵n为正整数,∴n的最大值为7,
∴用少于50根的火柴棒最多可以搭7条“小鱼”.
9.(★★☆)某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,
共有50元和70元两种门票,某公司需购买100张门票,且票价为
70元的门票数量不少于票价为50元的门票数量的2倍,则购买
这些门票最少需要__________元.
6 340
解析 设购买票价为50元的门票x张,则购买票价为70元的门
票(100-x)张.
根据题意,得100-x≥2x,解得x≤33 .
由题意可知x为正整数,故x的最大值为33.
此时100-x=67,故购买这两种门票最少需要50×33+70×67=
6 340(元).
10.(2025江苏南通启东期末,★★☆)如图,某天早晨,八年级的
小明同学想到A站乘公交车去学校上学,发现他与公交车的距
离为720 m.假设公交车的速度是小明步行速度的5倍,若要保
证小明不会错过这辆公交车,则小明与A站之间的距离最大为
_________m.
120
解析 设小明与A站之间的距离为x m,小明步行的速度为
v m/s,则公交车与A站之间的距离为(720-x)m,公交车的速度为
5v m/s,
根据题意得 ≤ ,解得x≤120,
∴小明与A站之间的距离最大为120 m.
11.【新课标·推理能力】(2025江苏南京鼓楼月考)有人问一
位教师所教班级有多少人,教师说:“一半学生在学数学,四分
之一学生在学音乐,七分之一学生在读外语,还剩下不足六位
学生在操场踢足球.”则这个班有________名学生.
28
解析 设这个班有x名学生,
根据题意,得x- x- x- x<6.
整理,得 x<6,解得x<56.
因为一半学生在学数学,四分之一学生在学音乐,七分之一学
生在读外语,
所以该班学生人数一定是2,4,7的整数倍,
所以x=28.故答案为28.
12.【新课标·应用意识】某校暑假准备组织该校的“三好学
生”参加夏令营,由1名老师带队.
甲旅行社说:“若老师买全票一张,则学生可享受半价优惠.”
乙旅行社说:“包括老师在内都6折优惠.”
若全票价是1 200元,“三好学生”的人数为x.
(1)选择甲旅行社的费用是________元;选择乙旅行社的费
用是_________元.
(2)当学生人数在什么范围内时,选择甲旅行社比较合算
解析 (1)选择甲旅行社的费用是1 200+1 200×0.5x=(1 200+
600x)元;
选择乙旅行社的费用是1 200×0.6(x+1)=720(x+1)=(720x+
720)元.
故答案为(1 200+600x);(720x+720).
(2)由题意得1 200+600x<720x+720,
解得x>4.
答:当学生人数大于4时,选择甲旅行社比较合算.(共12张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.1 不等式
第１课时 不等式的概念
不等式的概念
1.(2025陕西西安碑林月考)若x-3y□2是不等式,则符号“□”
不能是 ( )
A.+ B.> C.≠ D.≤
A
解析 用不等号表示数量之间关系的式子叫作不等式,“+”
是运算符号不是不等号.故选A.
2.给出下列各式:①-5<0;②a+b≥0;③2x=5;④x2-xy+y2;⑤x+2y>
y-7;⑥a≠3.其中不等式的个数是 ( )
A.5 B.2 C.3 D.4
D
解析 ③2x=5是等式,④x2-xy+y2是代数式,没有不等关系,不是
不等式.①②⑤⑥都是用不等号表示数量之间关系的式子,是
不等式.故选D.
3.对于有理数m,n,若m<-2,n”或
“=”)
<
解析 m<-2,n-2.故答案为<.
列不等式
4.食盐是人们膳食中不可缺少的调味品,但摄入过多是引起高
血压的重要原因.中国营养学会建议正常成人每日食盐摄入
量不超过6克,则正常成人每日摄入食盐的质量x(克)应满足的
不等关系为 ( )
A.x>6 B.x<6 C.x≥6 D.x≤6
D
解析 根据正常成人每日食盐摄入量不超过6克,可得x≤6.故
选D.
5.【学科特色·教材变式P118T1】下列说法正确的是 ( )
A.a不是负数,则a>0
B.m不小于-1,则m>-1
C.a+b是负数,则a+b<0
D.b是不大于0的数,则b<0
C
解析 A.a不是负数,则a≥0,故该选项说法不正确,不符合题
意;B.m不小于-1,则m≥-1,故该选项说法不正确,不符合题
意;C.a+b是负数,则a+b<0,故该选项说法正确,符合题意;D.b是
不大于0的数,则b≤0,故该选项说法不正确,不符合题意.故选C.
6.小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞
每月存15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个月后小
霞的存款超过小明,可列不等式为 ( )
A.52+15n>70+12n B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n
A
解析 根据“小霞原有存款数+15×月数n>小明原有存款数+
12×月数n”列出不等式即可.
7.(2025江苏徐州沛县月考)语句“x与y的一半的和是非负
数”用不等式表示为______________.
x+ y≥0
8.(2025江苏南通通州期末,★☆☆)某校拟用不超过3 600元的
资金在新华书店购买《九章算术》和《几何原本》共40本供
学生借阅,其中《九章算术》每本72元,《几何原本》每本60
元,学校最多可以购买《九章算术》多少本 设学校可以购买
《九章算术》x本,根据题意得 ( )
A.72x+60(40-x)=3 600 B.72x+60(40-x)<3 600
C.72x+60(40-x)≥3 600 D.72x+60(40-x)≤3 600
D
9.(2025江苏泰州泰兴期末,★★☆)小七同学骑自行车上学、
放学,已知他上学的平均速度是10 km/h,放学回家的平均速度
是12 km/h,来回一趟的时间不少于1 h,设小七家和学校的距离
是x km,根据题意,列出不等式是_____________.
+ ≥1
解析 由时间= ,依题意得 + ≥1.
10.【学科特色·教材变式P118T3(2)】(★★☆)按如图所示的
方式用火柴棒搭三角形,搭1个三角形需3根火柴棒,搭2个三角
形需5根火柴棒,搭3个三角形需7根火柴棒,……,照这样的规
律搭下去,用少于80根的火柴棒最多可以搭n个三角形,用不等
式表示上述数量关系为_______________.
2n+1<80
解析 结合题图发现,搭n个三角形,需要火柴棒3+2(n-1)=(2n+
1)根.
∴用少于80根的火柴棒最多可以搭n个三角形用不等式表示
为2n+1<80.(共7张PPT)
综合与实践 生活中的不等式
实践主题 生活中的不等式
实践背景 2024年6月国家卫生健康委联合多部门发起的为期三年的全民健康行动,旨在提升全民体重管理意识,将健康体重作为全民健康的核心指标
查阅资料 决定体重变化的核心公式:每日热量缺口=每日热量消耗-每日热量摄入.
当热量消耗大于热量摄入时,体重会下降;当热量消耗小于热量摄入时,体重就会上升.
其中,每日热量消耗=基础代谢×活动系数,每日热量摄入即每日饮食的总热量,基础代谢(单位:千卡)是指维持生命的最低能耗,计算公式如下:
男性:10×体重(kg)+6.25×身高(cm)-5×年龄+5;
女性:10×体重(kg)+6.25×身高(cm)-5×年龄-161.
活动系数由运动强度决定(久坐的系数为1.2;轻度运动的系数为1.375;中强度运动的系数为1.55;高强度运动的系数为1.725)
数据收集 小亮的爸爸妈妈为了身体健康都准备开始减重,两个人的各项情况如下表:
问题解决 (1)小亮爸爸的基础代谢等于 千卡,小亮妈妈的基础代谢等于 千卡.
(2)小亮的爸爸妈妈准备通过调整饮食一起减重.已知他俩每日的热量摄入总和为3 122.8千卡,若两人的活动系数都为1.2,则他们每日的热量缺口相同.求小亮的爸爸、妈妈每日热量摄入分别为多少千卡.
(3)有数据表明:在一个月中,每减重1 kg,平均每日的热量缺口为260千卡.小亮的爸爸想通过增加运动强度达到减重的目的.若他每日热量摄入为1 800千卡,计划一个月减重超过4 kg,那他至少应达到什么运动强度
解析 (1)1 950;1 459.
详解:小亮爸爸的基础代谢=10×100+6.25×180-5×36+5=
1 950(千卡);
小亮妈妈的基础代谢=10×80+6.25×160-5×36-161=
1 459(千卡).
(2)设小亮的爸爸、妈妈每日热量摄入分别为x千卡,y千卡,
根据题意得
解得
∴小亮的爸爸、妈妈每日热量摄入分别为1 856千卡,
1 266.8千卡.
(3)设他应达到的活动系数为m,
根据题意得1 950m-1 800>4×260,
解得m> .又∵1.375< <1.55,
∴他至少应达到中强度运动.(共13张PPT)
第11章 一元一次不等式
11.3 解一元一次不等式
第１课时 一元一次不等式的解法
移项解不等式
1.(2024四川内江中考)不等式3x≥x-4的解集是 ( )
A.x≥-2 B.x≤-2
C.x>-2 D.x<-2
A
解析 ∵3x≥x-4,∴3x-x≥-4,∴2x≥-4,∴x≥-2.故选A.
2.(2025江苏苏州二模)不等式21-5x>4的非负整数解有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
解析 21-5x>4,移项、合并同类项,得-5x>-17,系数化为1,得x<
,所以不等式的非负整数解有3,2,1,0,共4个.
3.(2025江苏宿迁泗阳二模)不等式2x-1<3的解集是_________.
x<2
解析 移项、合并同类项得2x<4,解得x<2.
4.【学科特色·教材变式P126讨论】a分别取什么值时,代数式
4a+2的值满足下列要求
(1)大于1. (2)等于1. (3)小于1.
解析 (1)∵4a+2>1,∴4a>-1,∴a>- .
(2)∵4a+2=1,∴4a=-1,∴a=- .
(3)∵4a+2<1,∴4a<-1,∴a<- .
5.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)8-7x>2-5x. (2)5x+4≤9x-1.
解析 (1)8-7x>2-5x,移项得5x-7x>2-8,合并同类项得-2x>-6,系
数化为1得x<3,所以不等式的解集为x<3,将不等式的解集在数
轴上表示如下:
(2)5x+4≤9x-1,移项得5x-9x≤-1-4,合并同类项得-4x≤-5,系数
化为1得x≥ ,所以不等式的解集为x≥ ,将不等式的解集在
数轴上表示如下:
6.(2024江苏盐城滨海一模,★★☆)关于x,y的方程组
的解中x-y≥5,则k的取值范围为 ( )
A.k≥3 B.k≤3 C.k≥8 D.k≥9
C
解析
①+②得4x-4y=3k-4,∴x-y= k-1.
∵x-y≥5,∴ k-1≥5,解得k≥8.故选C.
7.(2025江苏扬州高邮期末,★★☆)若不等式bx>b的解集为x<
1,则不等式b(x+1)>b的解集为___________.
x<0
解析 ∵不等式bx>b的解集为x<1,∴b<0,∵b(x+1)>b,∴x+1<
1,解得x<0,故答案为x<0.
8.【学科特色·代入法】(2025江苏无锡江阴高新区月考,★★☆)
已知x+y=1,若3y-1>0,则x的取值范围是___________.
x<
解析 ∵x+y=1,∴y=1-x,
∵3y-1>0,∴3(1-x)-1>0,解得x< .
9.(2024江苏徐州邳州月考,★★☆)现定义一种新的运算:a*b=
a2-2b,例如:3*4=32-2×4=1.解不等式(-2)*x≥0.
解析 因为a*b=a2-2b,
所以不等式(-2)*x≥0可变形为4-2x≥0,
解得x≤2.
10.【新课标·运算能力】【探究归纳】
解下列不等式:(1)x-3<0;(2)x-5<0,总结发现不等式(1)的解都是
不等式(2)的解,我们称不等式(1)的解集是不等式(2)的解集的
“子集”.
【问题解决】
(1)不等式x+3<-13的解集_______不等式x+3<-3的解集的
“子集”(填“是”或“不是”).
(2)若关于x的不等式2x-3≤a的解集是3x≤9的解集的“子
集”,且a是正整数,求a的值.
解析 (1)解不等式x+3<-13得x<-16,
解不等式x+3<-3得x<-6,
所以不等式x+3<-13的解集是不等式x+3<-3的解集的“子
集”,故答案为是.
(2)解不等式2x-3≤a得x≤ ,解不等式3x≤9得x≤3,
因为不等式2x-3≤a的解集是3x≤9的解集的“子集”,
所以 ≤3,解得a≤3.因为a是正整数,
所以a的值为1或2或3.
