专题1.1函数核心性质与导数基础应用——2026届高考数学二轮复习专题突破
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2026高三上·张家口期末）已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·彭山月考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·贵港期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026高一上·贵港期末）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·会东期中）已知函数在处的导数为，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
6．（2025高二下·广州期中）已知某物体在运动过程中，其位移S（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则该物体在时的瞬间速度为（ ）
A． B． C． D．
2 / 5
7．（2025高二上·长沙期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高三上·岳阳期末）下列函数在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2026高一上·成都期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为4
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于点中心对称
10．（2026高三上·张家口期末）已知动圆的圆心在曲线上运动，是原点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在两个不同的实数满足圆经过点
B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为
C．当时，存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等
D．若点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为
11．（2026高二上·沧州期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象在的切线的斜率为0
B．函数在上单调递减
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值
二、填空题（共3题；共15分）
12．（2025高一上·上海月考）若函数为R上的奇函数，则实数 .
13．（2025高二下·嘉兴期中）设曲线的图象在点（1，）处的切线斜率为2，则实数a的值为 ．
14．（2026高三上·广州期末）已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则 若，对于任意都成立，则的最大值为 .
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2024高三上·深圳月考）已知且，函数是指数函数，且．
（1）求和的值；
（2）求的解集．
16．（2025高二上·西湖期末）已知函数
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值.
17．（2025高二下·会东期中）设函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求证：在时，．
18．（2025高三上·甘肃期末）已知函数
（1）若在处取得极值，求实数的值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
19．（2025高二下·澄海期中）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
（1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明；
（2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（3）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】解：由于函数的对称轴为直线，
令，解得，
因为，取，可得，则的最小值为
故答案为：A．
函数为偶函数，可得对称轴为直线，令，并令k=1得解.
2．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】解：，
函数在R上单调递增，
，则，所以；
，函数在上单调递增，
，则，所以，
．
故答案为：C．
利用指数函数的单调性和幂函数的单调性，从而比较出的大小关系．
3．【答案】B
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】解：因为，，
，，
故答案为：B
根据指数函数、对数函数运算得，，由余弦函数的性质，得解.
4．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】解：因为，，且为增函数，
所以的零点所在的区间为
故答案为：C.
确定函数零点所在区间，需结合零点存在定理和函数单调性.
5．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】解：因为，
又函数在处的导数为，所以，
故答案为：A.
根据导数的定义，将所求极限式变形，与已知导数f'（x0 ）=6建立联系.
6．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】解：由，
得，
所以，
则该物体在时的瞬间速度为
故答案为：B.
根据导数的物理意义对函数求导，再将代入得出该物体在时的瞬间速度.
7．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】解：A、，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不合题意；
D、，该选项错误，不合题意；
故答案为：B．
代入基本初等函数的导数公式计算可判断A；同理，可判断BCD.
8．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】解：A，，，A错误；
B，在上恒成立，B正确；
C，，，C错误；
D，，，D错误.
故答案为：B.
通过求函数的导数，判断导数在上是否恒大于0，以此确定函数的单调性.
9．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】解：由函数为奇函数，
令，可得，
所以，
则函数关于点对称，
由，
可得，
则函数关于对称，
由且，
可得，
所以，
则，
所以，
可得函数的周期为
对于A，由关于点对称，可得，
由函数的周期为，
可得，故A正确；
对于B，由，
可得函数的周期为，故B正确；
对于C、D，由且，
可得，
将中的代换为，
可得，
所以，
则，
所以关于原点对称，不一定关于对称，故C错误、D正确.
故答案为：ABD.
根据题意和函数的奇偶性、对称性、周期性，从而得出函数的周期，则判断出选项B；再利用函数的周期性得出函数的值，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法一定正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的图象与性质；导数的几何意义；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】解：A、若圆经过原点，则，即，
由函数的性质得出有两个不同的交点，即存在两个不同的实数满足圆经过点，该选项正确，符合题意；
B、当且仅当直线经过圆心时平分圆，所以，解得，圆心为，该选项正确，符合题意；
C、当时，，圆的方程中令，得，
则被轴截得的弦长为；令，得，
则被轴截得的弦长为；
方程等价于，即，但，
所以方程无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，该选项错误，不合题意；
D、设，则，令可得，圆心在（0，1）处时的切线的斜率为1，
圆心到直线的距离，此时圆上的点到直线的距离的最小值是，该选项正确，符合题意
故答案为：ABD．
假设圆经过原点，则，即，由函数的性质得出有两个不同的交点，可判断A正确；直线平分圆则圆心必定在直线上，得，解得可得圆心，可判断B正确；当时，及时，分别求得被、y轴截得的弦长分别为和；经检验方无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，可判断C不正确； 根据圆心到直线距离计算 ，可判断D正确，
11．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】解：由图可知，
所以函数的图象在的切线的斜率为0，故A正确；
由图可知时，，
所以函数在上单调递增，故B错误；
由图可知时，，
所以函数在上单调递增，不是函数的极小值点，故C错误；
由选项C可知函数在上单调递增，
由图可知时，，
所以函数在上单调递减，
则是函数的极大值点，是函数的极大值，故D正确．
故答案为：AD.
根据导函数的图象与原函数的关系，再结合导数的几何意义、导数判断函数单调性的方法、导数求极值点和极值的方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】解：因为函数，
可得，
所以，切线的斜率为，
解得
故答案为：3.
先对函数求导，再根据导数的几何意义求解即可.
13．【答案】0；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】解：函数定义域为，求导可得，
函数定义域为，求导可得，
依题意得，即，，
则；
，
即时，对于任意都成立，
令，，则在上单调递增，
又因为，所以，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，则，
即的最大值为
故答案为：
分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值.
14．【答案】（1）解：由题意知，，
所以，
则，
所以
（2）解：由（1）知，，
得函数在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
则恒成立，
设，
则，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，
则实数a的取值范围是
（3）解：因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
又因为在上单调递增，
所以，当时，，
又因为的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，
则，
解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）根据和函数的解析式，再利用代入法计算可得k的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据函数单调性得，再分离参数结合函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（3）对任意的，存在，使得，等价于，先求出函数的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于或等于1的条件，从而求解得出实数m的取值范围.
（1）由题意知，，
即，所以，
故
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是
15．【答案】（1）解：因为函数为指数函数，且，所以，解得，
又因为，所以，解得；
（2）解：由（1）可得：函数，不等式，即，
设，则原不等式化为，解得或，
因为，所以，所以，则，
故原不等式的解集为．
【知识点】指数函数的概念与表示；指数式与对数式的互化；一元二次不等式及其解法
【解析】（1）根据函数为指数函数，求解m的值；再由求a的值即可；
（2）由（1）可知，不等式转化为，利用换元法，结合二次不等式的解法求解即可.
（1）由题意得，，解得或 （不符合题意，舍去），由，且，得．
（2）由（1）得，，即为，
设，则原不等式化为解得或，
∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为．
16．【答案】（1）解：当时，，
则，
由，
可得或，
则函数 的单调递增区间为和
（2）解：由，
求导得：，
依题意，得，
解得
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】（1）利用a的值得出函数的解析式，利用导数的运算法则求出导函数，再由导函数大于0解出不等式，从而得出函数 的单调递增区间.
（2）先求出，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由得出实数 a 的值.
（1）当时，，则，
由可得或，
故函数 的单调递增区间为和；
（2）由求导得，，
依题意，，解得
17．【答案】（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得
（2）解：由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3）证明：，
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
即
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】（1）先求导得到切线斜率表达式，代入已知斜率解方程.
（2）根据导数的符号，对 分区间讨论函数单调性.
（3）构造辅助函数 ，利用常见不等式 和 证明
（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得
（2）由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3），
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.
18．【答案】（1）解：因为在处取得极值，所以为的变号零点，
函数的定义域为，导函数，
所以，得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为
（2）解： 因为，所以可转化为，即恒成立.令，则，
令，可得，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，所以，所以，故实数的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】（1）先求导函数，利用极值点处导数为0且左右导数变号的性质，求解参数；
（2）将恒成立问题转化为参数分离后的函数最值问题，构造新函数，通过导数分析其单调性，进而求出参数的取值范围.
（1）因为在处取得极值，所以为的变号零点，
函数的定义域为，导函数，
所以，得
，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意，故实数的值为
（2）因为，所以可转化为，即恒成立.
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，
故实数的取值范围为
19．【答案】（1）解：导数：，
，；
，
则
（2）解：构造函数，，由（1）可知，
当时，由，，函数在上单调递增，
对，，即恒成立，因此；
当时，令，，求导得，
而函数在上都单调递增，函数在上单调递增，
因此，函数在上单调递增，
而，，则存在唯一，使得，
当时，，函数在内单调递减，
对任意，，即，不符合题意，
故实数a的取值范围为
（3）解：令函数，求导得，
令，求导得，
令，求导得，
当时，由（2）知，，则，
令，求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
于是，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
又，
函数为偶函数，在内单调递减，因此，
故函数的最小值为0.
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】（1） 类比三角函数的导数关系 ，结合双曲余弦、正弦函数化简证明即可；
（2）构造函数，，由（1）可知，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，结合基本不等式，隐零点，求解即可；
（3）构造函数，多次求导，结合（2）中结论，先得到在上单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出，即可得的最小值.
（1）导数：，
，；
依题意，
，
所以
（2）构造函数，，由（1）可知，
当时，由，，函数在上单调递增，
对，，即恒成立，因此；
当时，令，，求导得，
而函数在上都单调递增，函数在上单调递增，
因此，函数在上单调递增，
而，，则存在唯一，使得，
当时，，函数在内单调递减，
对任意，，即，不符合题意，
所以实数a的取值范围为．
（3）令函数，求导得，
令，求导得，
令，求导得，
当时，由（2）知，，则，
令，求导得，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
于是，函数在上单调递增，
则，函数在上单调递增，
又，
函数为偶函数，在内单调递减，因此，
所以函数的最小值为0.
2 / 15专题1.2 基本初等函数与导数的基础综合——2026届高考数学二轮复习专题突破
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2025高三上·西青月考）函数在上的图象是
A． B．
C． D．
2．（2026高三上·广州期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2026高三上·张家口期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·西青月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025·嘉兴模拟）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
6．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
7．（2025高三上·中山期中）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·湖南月考）若曲线与圆恰有一个公共点，则实数m的值为（ ）
A．e B．2 C． D．1
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线的对称中心为
B．若关于的方程有三个实数解，则
C．若在上有两个极值点，则的最小值为2
D．过点作曲线的切线，切线一共有两条
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
11．（2026高三上·张家口期末）已知动圆的圆心在曲线上运动，是原点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在两个不同的实数满足圆经过点
B．若圆被直线平分，则圆心的坐标为
C．当时，存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等
D．若点在圆上运动，点在直线上运动，则的最小值为
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2025高三下·诸暨月考）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则 ；设是函数的零点，，则数列的前项和 .
13．（2025高三上·张家口期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角的终边按顺时针方向旋转后与单位圆交点的纵坐标为，则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标是 .
14．（2025高三上·长沙期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，则的解析式可以为 （写出一个满足条件的解析式即可）
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2025高三上·河北期中）已知，函数的最大值为3，最小值为.
（1）求的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
16．（2026高三上·广州期末）已知点，，为坐标原点，函数
（1）求的解析式及最小正周期
（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积
17．（2025·湖南模拟）已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若为函数的极值点，求a的值；
（3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
18．已知函数．
（1），求函数的最小值；
（2）若在上单调递减，求的取值范围．
19．（2026高三上·张家口期末）已知函数．
（1）当时，
（i）求的图象在点处的切线方程；
（ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程；
（2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围．
2 / 6
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】解：因为，可排除选项B和选项C；
因为，可排除选项.
故答案为：.
利用和以及排除法，从而找出函数的图象.
2．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为，
若，则，
设，则，即，，
，
函数单调递增，当取最小值时，有最小值，
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故答案为：B.
先求函数的定义域，设，由，结合对数的运算求得，化简根据可得，由指数函数的单调性可知：当取最小值时，有最小值， 利用基本不等式求的最小值即可求得的最小值.
3．【答案】D
【解析】解：由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，
所以，
又直线绕点顺时针方向旋转得到直线，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，令，可得，所以.
故答案为：D
由直线方程得，顺时针方向旋转得到直线得，用两角差的正切公式可得，又过点A，得直线方程，代入y=0得解.
4．【答案】B
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以函数在上至多1个零点，
又因为，.
所以函数在上有零点.
综上所述，函数只在有1个零点.
故答案为：B.
先根据函数的单调性和零点存在性定理，从而判断出函数在区间上的零点个数，进而得出n的值.
5．【答案】B
【解析】解：由，则，
因为，所以，
则
，
又因为，
则当时，有最小值.
故答案为：B.
由正弦型函数的最小正周期公式和的取值范围，从而可得的值，再利用诱导公式与二倍角的余弦公式，从而将转化为，再结合正弦函数的值域和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
6．【答案】A
【解析】解：当时，
若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点，
令，则或，
所以、且，解得且，则且符合要求；
当时，令，则，
所以在时有1个零点，则需在时有1个零点，
令，则或，
由，则，则需满足，解得，
则当时，符合要求，
综上所述，，
则实数有最大值，没有最小值.
故答案为：A.
分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数， 从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项.
7．【答案】D
【解析】解：因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时，，设，
则，，，
所以即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，又因为为偶函数，
所以在上单调递增，
又因为，，
又因为，
因为，，所以，
所以，即，所以，
所以，
即.
故答案为：D.
函数f（x）为R上的偶函数，再利用其导函数得到其单调性，将b和c转化成，，利用单调性得，要证需利用幂函数性质，两边同时取对数得到，得，再利用单调性即可得到大小关系.
8．【答案】D
【解析】解：因为曲线与圆恰有一个公共点，
所以曲线与圆相切.
设切点横坐标为，
由，得；
由，结合图象，得，
则，可得．
故答案为：D.
将问题转化为与圆相切，再利用直线与圆相切位置关系判断方法，从而列出关于切点横坐标与实数的方程组，解方程组得出实数m的值.
9．【答案】B，D
【解析】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误；
B、，令，解得，令，
解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增，
则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解，
则曲线与直线有三个交点，即，故B正确；
C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误；
D、设切点为，则切线方程为，
由切线过点，得，即，
，解得或，则切线共有两条，故D正确.
故答案为：BD.
求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D.
10．【答案】A，B，D
【解析】解：A、函数的定义域为，
求导可得，令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
，在上单调递增，故A正确；
B、由知在上单调递增，由，可得，
则当时，，令，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即的最小值为，故B正确；
C、的定义域为，令，
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
，在上单调递增，无极值点，故C错误；
D、若，则，
因为，由知：均为定义域上的增函数，所以，
由，可得，所以，所以，令，则，则当时，；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD.
11．【答案】A，B，D
【解析】解：A、若圆经过原点，则，即，
由函数的性质得出有两个不同的交点，即存在两个不同的实数满足圆经过点，该选项正确，符合题意；
B、当且仅当直线经过圆心时平分圆，所以，解得，圆心为，该选项正确，符合题意；
C、当时，，圆的方程中令，得，
则被轴截得的弦长为；令，得，
则被轴截得的弦长为；
方程等价于，即，但，
所以方程无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，该选项错误，不合题意；
D、设，则，令可得，圆心在（0，1）处时的切线的斜率为1，
圆心到直线的距离，此时圆上的点到直线的距离的最小值是，该选项正确，符合题意
故答案为：ABD．
假设圆经过原点，则，即，由函数的性质得出有两个不同的交点，可判断A正确；直线平分圆则圆心必定在直线上，得，解得可得圆心，可判断B正确；当时，及时，分别求得被、y轴截得的弦长分别为和；经检验方无解，当时，不存在某个位置使得圆被两条坐标轴截得的弦长相等，可判断C不正确； 根据圆心到直线距离计算 ，可判断D正确，
12．【答案】2；
【解析】根据题意由，求导得.
又，即有，
则在点处的切线方程：.
取，化简得，所以.
又，则.
并且，则.
由于，
解得，，即有.
又因为，所以，
并且，所以为等比数列，并且首项为1，公比为2，
则，所以.
故答案为：
先对题意分析求导化简得到，接下来利用求出，结合的递推关系可得的递推关系，结合等比数列的定义可求的通项，最后求出.
13．【答案】
【解析】解：由题意，可得，
则角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标为：.
故答案为：.
由已知条件和三角函数的定义，从而得出的值，再利用诱导公式得出的值，从而得出角的终边按逆时针方向旋转后与单位圆交点的横坐标.
14．【答案】（答案不唯一）
【解析】解：当时，，且，
当时，；当时，；
可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
通过构造对勾函数，利用导数分析其单调性，同时验证的条件。
15．【答案】（1）解：易知，
因为，所以，，
又因为，所以，，
所以，
（2）解：由（1）知，则，即，
由题意可得：不等式在上有解，
则，不等式成立，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，则，即，
故k的取值范围是.
【解析】（1）先利用对数运算法则化简函数，再根据对数函数单调性以及二次函数性质求最值即可得的值；
（2）由（1）可得，将不等式转化为，由题意可得：，不等式成立，利用对勾函数单调性求出最大值即可.
（1）依题意，，
由，得，，又，
因此，，
所以，.
（2）由（1）知，则，
即，依题意，不等式在上有解，
因此，不等式成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则，于是，
所以k的取值范围是.
16．【答案】（1）解：，，
，
则的最小正周期；
（2）解：由（1）可得，即，
，，则或，或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得，
，在中，由正弦定理得，
，
.
综上所述：的面积为或.
【解析】（1）根据向量数量积坐标表示，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得函数，再根据正弦型函数最小正周期公式求最小正周期即可；
（2） 由（1）可得 ，结合的范围求得或；再分情况讨论，当时，利用余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，在中，根据正弦定理求得，利用两角和差正弦公式和三角形面积公式求.
（1），，
，
则的最小正周期.
（2），，
，，则或，
或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，
；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得：，
，在中，由正弦定理得：，
，
.
综上所述：的面积为或.
17．【答案】（1）解：的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）解：令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）解：由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
【解析】（1）要确定在上单调递增时的范围，需先求的导数，找到其单调递增区间，再结合已知区间建立不等式求解.
（2）已知是极值点，通过求导得出函数单调性，根据极值点与单调区间的关系列方程求.
（3）当时，先求出的最小值，再将问题转化为在上的最小值小于等于的最小值，对的对称轴位置分类讨论，求出的取值范围.
（1）的定义域为，，
令，得，故函数在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
故实数a的取值范围是．
（2）令，得；令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得．
（3）由（1）知：当时，函数有最小值，
若，则，
又因为对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当，即时，则在上单调递增，
故的最小值为，
解得，故；
当，即时，则在上单调递减，
故的最小值为，解得，故；
当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，解得或．
故或，
综上所述，实数b的取值范围是．
18．【答案】（1）因为，
所以，
令，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
因此当时，则有，
因此当时，则有，
当时， 显然，
于是有当时，函数单调递减，
当时，函数单调递增，
所以；
（2）由，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
由，
设，则有，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
要想在上恒成立，
只需，因此的取值范围为.
【解析】（1）求导根据导函数的正负值判断函数的单调性以及最值；
（2）原函数单调递减，即导函数小于零恒成立，利用分离参数得，求导判断单调性进而求出最值，即可得到参数的范围。
19．【答案】（1）解：当时，．
（i），故点（0，1）处的切线方程为.
（ii）设切点为，则，则切线方程为，代入，
可得，得，则切线方程是.
（2）解：当时，，则.
由题意得有两个变号零点，即有两个实根，
方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点.
由，解得，且是的递增区间，是的递减区间；
注意到，且时，，画出其图象如图，
当且仅当时函数有两个极值点，且
又因为，所以.令，则．
又，则，即，
两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值，
对于分子对应的函数，在时恒成立，
所以单调递减，所以，也就是在时恒成立，
所以也单调递减，所以，从而.
又在上单调递增，
所以当时，取得最大值，且，
因此实数的取值范围是.
【解析】（1）（i），由点斜式得切线方程.
（ii）设切点为，则，则切线方程为，代入，
解方程可得.
（2） 函数有两个极值点 转化为直线和曲线有两个不同的交点.，分离参数，然后利用导函数求解参数的取值范围即可
（1）当时，．
（i），故点（0，1）处的切线方程为.
（ii）设切点为，则，则切线方程为，代入，
可得，得，则切线方程是.
（2）当时，，则.
由题意得有两个变号零点，即有两个实根，
方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点.
由，解得，且是的递增区间，是的递减区间；
注意到，且时，，画出其图象如图，
当且仅当时函数有两个极值点，且
又因为，所以.令，则．
又，则，即，
两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值，
对于分子对应的函数，在时恒成立，
所以单调递减，所以，也就是在时恒成立，
所以也单调递减，所以，从而.
又在上单调递增，
所以当时，取得最大值，且，
因此实数的取值范围是.
2 / 18专题1.3 函数零点与导数单调性综合——2026届高考数学二轮复习专题突破
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2025高三上·西青月考）函数零点所在的大致区间为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025高三上·云溪期末）已知函数恰有2个零点，则实数（ ）
A．有最大值，没有最小值 B．有最小值，没有最大值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
3．（2025高三上·福田月考）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：）
A．20% B．23% C．28% D．50%
4．（2025高三上·邵东月考）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（）关系为为常量）．若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10的冰箱中保鲜时间约是（ ）
A．49h B．56h C．64h D．76h
5．（2025高三上·中山期中）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·普宁月考）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数
D．是奇函数，且在上是减函数
7．（2025高三上·普宁月考）已知函数在处取得极大值，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025高三上·中山月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
C．函数在上存在极值点
D．若，则的最大值为
10．（2025高三上·河北期中）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线的对称中心为
B．若关于的方程有三个实数解，则
C．若在上有两个极值点，则的最小值为2
D．过点作曲线的切线，切线一共有两条
11．小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2025高三下·诸暨月考）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，，，则 ；设是函数的零点，，则数列的前项和 .
13．（2024高三上·海安月考）濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为 ．
14．（2025高三上·福田月考）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2025高三上·泊头月考）设函数，.
（1）若存在大于0的零点，求a的取值范围；
（2）设点在曲线的任意一点的切线上，证明：.
16．（2024高三上·定西期中）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化 质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人（百个），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（百个）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区.请问该企业能否落户先行区，并说明理由.
17．（2024高三下·贵州模拟）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值集合.
18．（2025高三上·中山月考）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的零点个数．
19．（2025高三上·四川月考）已知函数.
（1）讨论的单调区间；
（2）若，求与的数量关系；
（3）设，是的两个极值点，证明：.
2 / 2
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：因为函数在上单调递增，
所以函数在上至多1个零点，
又因为，.
所以函数在上有零点.
综上所述，函数只在有1个零点.
故答案为：B.
先根据函数的单调性和零点存在性定理，从而判断出函数在区间上的零点个数，进而得出n的值.
2．【答案】A
【解析】解：当时，
若，则，此时在时无零点，则需在时有2个零点，
令，则或，
所以、且，解得且，则且符合要求；
当时，令，则，
所以在时有1个零点，则需在时有1个零点，
令，则或，
由，则，则需满足，解得，
则当时，符合要求，
综上所述，，
则实数有最大值，没有最小值.
故答案为：A.
分及进行讨论，即可得分别在及时的零点个数，从而可得实数的取值范围，进而得出实数a的最值，则选出正确的选项.
3．【答案】B
【解析】解：依题意，，，
则，
所以大约增加了23%.
故答案为：B
先利用可得，再利用对数的运算性质化简即可求解．
4．【答案】C
【解析】解：由题意可知，，得，，则，则当时，，即在10中的
保鲜时间约是64h.
故答案为：C
根据已知的两个温度下的保鲜时间，求出函数中的常量和的关系，进而得到保鲜时间关于储藏温度的表达式，最后代入求解保鲜时间.用给定的条件建立方程，求出相关常量的关系.
5．【答案】D
【解析】解：因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时，，设，
则，，，
所以即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，又因为为偶函数，
所以在上单调递增，
又因为，，
又因为，
因为，，所以，
所以，即，所以，
所以，
即.
故答案为：D.
函数f（x）为R上的偶函数，再利用其导函数得到其单调性，将b和c转化成，，利用单调性得，要证需利用幂函数性质，两边同时取对数得到，得，再利用单调性即可得到大小关系.
6．【答案】A
【解析】解：函数的定义域是，关于原点对称，，
故函数是偶函数，
又因为，易知其为增函数，
当时，，
故在上是增函数，
故答案为：A．
先求定义域，再根据函数的奇偶性的定义再求f（x），f（-x）判断函数的奇偶性，求导函数的单调性．
7．【答案】C
【解析】解：由题设，则，可得或，
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极小值，不符；
当时，
当或时，则在和上递增，
当时，则在上递减，
此时在处取得极大值，符合；
综上，.
故答案为：C
先根据极值点求a，再由a=1和a=3时验证，极大值点是否为1，即可得答案.
8．【答案】C
【解析】因为，则，
又因为，即，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线，
若，即，
可得，则，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：C.
构造函数，利用导数分析其单调性，结合偶函数性质，将原不等式转化为的函数值大小关系，进而求解。
9．【答案】A，B，D
【解析】解：A、函数的定义域为，
求导可得，令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
，在上单调递增，故A正确；
B、由知在上单调递增，由，可得，
则当时，，令，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
故，即，即的最小值为，故B正确；
C、的定义域为，令，
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
，在上单调递增，无极值点，故C错误；
D、若，则，
因为，由知：均为定义域上的增函数，所以，
由，可得，所以，所以，令，则，则当时，；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可判断A；构造函数，研究函数的最值即可判断BCD.
10．【答案】B，D
【解析】解：A、函数定义域为，，，令，解得，则函数的对称中心为，故A错误；
B、，令，解得，令，
解得，即函数在上单调递减，在和上单调递增，
则的极大值为，极小值为，若关于x的方程有三解，
则曲线与直线有三个交点，即，故B正确；
C、由B分析可知：函数在的极值点为0和2，则，故C错误；
D、设切点为，则切线方程为，
由切线过点，得，即，
，解得或，则切线共有两条，故D正确.
故答案为：BD.
求函数的定义域，再求导，利用二阶导等于零求对称中心即可判断A；利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，结合图象即可判断B；由B分析求得函数的极值点，再求即可判断C；设切点，利用导数的几何意义求切线方程，再根据切线过点代入求解即可判断D.
11．【答案】A，B
【解析】对于A，由函数解析式和图象可知随着的增加而减少，故A正确．
对于B，由函数图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确．
对于C，当时，，则，
即天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
对于D，因为，故D错误．
故答案为：AB.
利用函数的解析式和图象结合函数的单调性，从而判断出选项A；利用函数的图象的减少的快慢，从而结合实际意义判断出选项B；利用x的取值范围得出对应的函数的解析式，再结合代入法得出函数的值，从而结合实际意义判断出选项C；利用分段函数的解析式和赋值法以及比较法，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】2；
【解析】根据题意由，求导得.
又，即有，
则在点处的切线方程：.
取，化简得，所以.
又，则.
并且，则.
由于，
解得，，即有.
又因为，所以，
并且，所以为等比数列，并且首项为1，公比为2，
则，所以.
故答案为：
先对题意分析求导化简得到，接下来利用求出，结合的递推关系可得的递推关系，结合等比数列的定义可求的通项，最后求出.
13．【答案】
【解析】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，所以，
故答案为：.
解决年平均增长率的问题，通过设未知数，根据生产总值的增长关系建立方程，再求解得到年平均增长率.关键在于理解连续两年增长后，以平均增长率增长的结果和实际两年增长的结果是相等的.
14．【答案】
【解析】解：求导可得，
在区间上单调递增，
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，
，，
，即的取值范围是．
故答案为：
先求导，利用函数在区间上单调递增可得在上恒成立，分参可得，再利用二次函数的性质即可求解.
15．【答案】（1）解：易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，
所以.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，要使，
只需，则实数的取值范围为.
（2）证明：由题意，易知，设切点为，
则切线为，
因为是切线上一点，所以，
要证，即证，
等价于证明，
设，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
又因为，所以，
则.
【解析】（1）由函数的单调性结合零点存在性定理，从而得出，再构造函数，再根据函数的单调性得出实数a的取值范围.
（2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线的斜率，结合点斜式方程得出曲线的切线方程，再将问题转化为证明，构造函数，证明函数的最小值大于等于0即可.
（1）易知函数在R上单调递增，且时，，
若存在大于0的零点，则，即.
令，易知函数在R上单调递增，
因为，所以要使，只需，
即的取值范围为.
（2）易知，设切点为，
则切线为，
由于是切线上一点，故，
要证，即证，
等价于证明，
设，则.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
又，故，
也即得证.
16．【答案】解：（1）当时，；
当时，
所以
（2）当时，
所以，
所以当时，；
当时，
所以，
当且仅当，即时，
所以.
故该企业能落户新旧动能转换先行区.
【解析】（1）根据“利润=销售额-成本”，分别针对和两个区间，结合给定的成本函数，推导出利润函数的分段表达式.
（2）在区间内，利用二次函数的顶点式求最值；在区间内，利用基本不等式（均值定理）求最值.最后比较两个区间的最大利润，判断是否超过万元，从而确定企业能否落户.
17．【答案】（1）解：若，函数其定义域为，求导可得，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：函数定义域为，求导可得，
若，则显然，不符合题意；
若，令，解得，
则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
且，
则，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当满足时，，
则的取值集合为.
【解析】（1）将代入，先求函数的定义域，再求导，利用导数判断导函数的符号，求函数的单调区间即可；
（2）先求的单调区间，再分情况进行讨论，当时，通过举反例得到不满足题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的最值，求的取值即可.
（1）由，得，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，，得，
若，则显然，不符合题意，
若，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
则，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当满足时，，
所以的取值集合为.
18．【答案】解：（1）当时，函数，可得，所以，，
可得切线方程为，即．
所以曲线在处的切线方程为.
（2）由函数的定义域为，且，
当时，，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以函数在处取得极大值为，
当时，，恒成立，函数无零点；当时，，函数有唯一零点；
当时，，因为，所以函数在上有一个零点，
易得，令，则，
所以函数在上单调递减，则，所以，
所以函数在上有一个零点，所以函数在上有两个零点．
综上可得，当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点；当时，函数有两个零点．
【解析】（1）先求导得到切线斜率，再结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程；
（2）通过求导分析函数单调性，得到极大值，再分情况讨论极大值的符号，结合函数的极限和特殊点函数值，确定零点个数.
19．【答案】（1）解：，，
令，由，得，
此时，在上单调递增；
当，即时，方程的两根为，；
当时，，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增.
（2）解：，即，
令，，
，，
若，则存在，使得当时，，
即在上单调递增，而，所以，不符合题意，
若，则存在，使得当时，
，即在上单调递减，而，
所以，不符合题意，
若，即，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，符合题意；
综上，与的数量关系为.
（3）证明：结合（1）可得，当有两个极值点时，，
且，，，
令，由于，则，则，
则，
设，
则，
因为，则，则恒成立，
所以在上单调递减，
则时，且小于，所以，
所以.
【解析】（1）先求得，令分子为零，先讨论判别式的正负，再对进行分类讨论根的大小，可分别得的单调区间；
（2）原不等式可转化为，构造函数，问题转化为求g（x）最小值即可；
（3结合（1）可得，当有两个极值点时，，此时，，，作差得，将所证双变量不等式转化为单变量不等式，令，，求导可得单调递减，即得.
（1），，
令，由，得，
此时，在上单调递增；
当，即时，方程的两根为，；
当时，，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增.
（2），即，
令，，
，，
若，则存在，使得当时，，
即在上单调递增，而，所以，不符合题意，
若，则存在，使得当时，
，即在上单调递减，而，
所以，不符合题意，
若，即，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，符合题意；
综上，与的数量关系为.
（3）证明：结合（1）可得，当有两个极值点时，，
且，，，
令，由于，则，则，
则，
设，
则，
因为，则，则恒成立，
所以在上单调递减，
则时，且小于，所以，
所以.
2 / 2专题1.4 恒成立与能成立问题专项——2026届高考数学二轮复习专题突破
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2025·广州模拟）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（浙江省强基联盟2026年1月高三联考数学试题）已知函数恒成立，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·广州月考）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·丰台模拟）已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖北模拟）若不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025高三上·深圳月考）已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·鹿城月考）已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·嘉兴模拟）若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2025·岳阳模拟）已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·台州模拟）已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·天河开学考）设，，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2025高三上·北京月考）设函数，则使得成立的的取值范围是 .
13．（2025高三上·长沙月考）若关于x的不等式恒成立，则的最大值是 .
14．（2025高三上·望城月考）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2024高三上·桃源月考）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
16．（2025高三上·拱墅月考）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
（1）若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
（2）若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．
17．（2025·嘉兴模拟）已知函数.当时，恒成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：（i）在上存在极值点和零点；
（ii）对于（i）中的和，满足.
18．（2025·浙江模拟）若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”.
（1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由.
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）.
（2）若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数.
（3）已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性.
19．（2025高三上·云溪期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列.
（1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列；
（2）若为数列，且，求证：；
（3）若正项数列的前项和为，求证：.
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答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：设函数，作出函数图象如图所示：
设，
A、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，故A错误；
C、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，故C错误；
因为，所以，
设，
作出函数的图象如图所示：
B、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，故B正确；
D、当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，
由函数图象可知，，故D错误；
故答案为：B.
设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，分，，两种情况即可求解.
2．【答案】A
【解析】解：由题意，得是函数的最大值，
，
得，
，
又．
故答案为：A.
由题意结合正弦型函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，则根据的取值范围得出的值.
3．【答案】D
【解析】解：设，则对任意恒成立，
设，则，且，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
所以的最小值为，即的最小值为，
所以.
故答案为：D．
设，不等式可转化条件为对任意恒成立，设，则，求导可得，再利用导数和最值的关系即可求解.
4．【答案】C
【解析】解：对于选项A：因为
举反例：取，，，，
则 ，，
显然 不成立，故选项A不恒成立；
对于选项B：因为
举反例：取 ，，，，
则 ，，
显然 不成立，故选项B不恒成立；
对于选项C：因为
又因为指数函数 是严格增函数，
由 和 分别推出 和 ，
所以 恒成立，故选项C恒成立；
对于选项D：因为
举反例：取，，，，
则 ，，
显然 不成立，故选项D不恒成立.
故答案为：C.
利用举反例判断出选项A、选项B和选项D；利用指数函数的单调性结合不等式的基本性质，则判断出选项D，从而找出不等式恒成立的选项.
5．【答案】B
【解析】因为，所以，
令，则恒成立，
则恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增
所以，所以，故a的最大值为2.
故选：B.
通过变形将原不等式转化为关于的形式，再换元简化，构造函数，利用函数单调性求最值，进而确定a的最大值.
6．【答案】B
【解析】解：设，
则分别为与图象交点的横坐标，
当时，如下图所示：
此时，故A正确；
当时，且位于和交点上方时，如下图所示：
此时，故C正确；
当时，且位于和交点下方时，如下图所示：
此时，故D正确；故C不可能.
故答案为：B
先设，再同一坐标系下画出三个函数图象，再，，结合函数图象即可求解.
7．【答案】C
【解析】解：依题意，令，则，，，
则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标，
在同一坐标系中画出函数，，和的图象如图所示：
当直线为时，；
当直线为或时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为时，；
当直线为移动到左端的直线时，始终有.
综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立.
故答案为：C.
先将问题转化为函数，，和的图象的交点问题，再利用函数图象判断即可求解.
8．【答案】D
【解析】解：由，
得，
由选项知，只需要讨论及两种情况，
当时，，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即，得成立，故A正确；
因为，所以，
则，
得，所以，故B正确；
当时，，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，则，得成立，故C正确；
因为，
所以，
则，
得，则，故D错误.
故答案为：D.
分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，从而逐项判断找出结论不可能的成立的选项.
9．【答案】A，B，D
【解析】解：对于A，将替换为，则，
所以，故A正确；
对于B，由选项A，可得，则，
由题意，得，
所以，
则，故B正确；
对于C，由选项A，令，得，
则，故C错误；
对于D，因为
，故D正确.
故答案为：ABD.
将替换为结合已知条件，则可判断选项A；根据和，则取求解判断出选项B；取，得，再相加求解，则判断出选项C；利用放缩法求解，则判断出选项D，从而找出不等式正确的选项.
10．【答案】A，B，D
【解析】解：对于A：由函数是定义域为R且周期为2，
则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，
可知函数关于y轴对称，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于B：由图象可知为函数图象的对称轴，
得，故B正确；
对于C：令，
则，
又因为，
所以恒成立，则单调递增，
当时，，则，
由图象可知，当时，单调递增，则；
当时，单调递减，则，故C错误；
对于D：由函数图象可知，当时，，，
令，
则，在该区间单调递增，且，
则，满足，
则当时，，单调递减，；
当时，，单调递增，，
则，，
所以，
则，
令，该函数周期，且关于轴对称，
则在R上恒成立，故D正确.
故答案为：.
结合函数是定义域为R且周期为2，可得函数在R上的图象关于y轴对称，从而判断出函数为偶函数，则可判断选项A；由函数的图象的对称轴，则可以判断选项B；令，利用导数判断函数的单调性，从而判断出的大小，则可判断选项C；由图象可知，在时，，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，令，再结合函数的周期性和对称性，则在R上恒成立，则判断出选项D，从而找出对恒成立的选项.
11．【答案】A，C，D
【解析】由于，知，及其，
则，解得.
A，B，，设函数，
则，故在上单调递减，
则1，
故函数的值域为.
而，，A正确，B错误；
C，由于，
设，
则，故在上单调递减，
所以，
故函数的值域为，
若，则，C正确；
D，，设，
，
令，则，
则当，，则在上单调递增；
当，，在上单调递减，
，，即，D正确.
故答案为：ACD.
本题考查函数的单调性.先通过变形可得：，再结合，可求出，通过变形可得：，设函数，求出导函数，进而可确定函数的单调性，求出函数的值域，进而可判断A选项和B选项；通过变形可得：
，设，求出导函数，进而确定函数的单调性，据此可求出函数的值域，据此可判断C选项；通过变形可得：，，求出导函数，进而确定函数的单调性，据此可求出函数的值域，据此可判断D选项.
12．【答案】
【解析】解：当时，由，得，所以，
又因为，所以；
当时，由，得，所以，
又因为，所以.
则满足成立的的取值范围为.
故答案为：.
分和两种情况讨论，再利用指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而得出使得成立的的取值范围.
13．【答案】
【解析】解：由，，原不等式可化为，
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
则在处取得最大值，且；
当时，，此时的图像恒在的图像的上方，
显然不符题意，
当时，为直线的横截距，
设直线与相切的切点为，
因为切线方程为，
设，解得，
又因为与是相同的直线，
可得，
则，
得到，，
设，
得到，
令，解得或；令，解得，
则在，是单调递增函数， 在是单调递减函数，
综上可得，当时，取最大值，
则取得最大值为.
故答案为：.
由，，则原不等式可化为，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出函数的图象，再根据的图象恒在函数的图象的上方，再对进行分类讨论，从而得出ab的最大值.
14．【答案】.
【解析】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
15．【答案】解：（1）设等差数列 的公差为， 因为，，所以，
又因为，，
所以，
所以，解得，
则；
（2）由题意可得：，，
则不等式，即，整理可得：，解得或，
因为为正整数，所以的最小值为.
【解析】（1）设等差数列 的公差为，由题意求得的值，由结合等差数列的和求得数列的公差，即可得数列的通项公式；
（2）求得等差数列的首项，以及前n项和，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
16．【答案】（1）解：是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
则在区间上单调递减，
所以，
则，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，
由题意，可得对任意，，
所以，
则．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得，当时，是“上凸数列”，
由题意，可知当时，，
因为，
所以
．
则
，
当且仅当时等号成立，
所以，
综上所述，的最小值为．
【解析】（1）先构造函数，再利用导数判断其单调性，再结合“上凸数列”定义判断出数列为“上凸数列”.
（2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义和倒序相加法证出不等式.
（ⅱ）令，利用已知条件和数列求和的方法，再适当放缩计算结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出的最小值.
（1）是“上凸数列”，理由如下：
因为，
令，
则．
当时，，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以，
所以，
所以是“上凸数列”．
（2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意，
，
所以，
所以．
（ⅱ）解：令，
由（1）可得当时，是“上凸数列”，
由题意可知，当时，．
因为，
即
．
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以．
综上所述，的最小值为．
17．【答案】（1）解：因为，求导可得，
观察可知在上单调递增，
所以.
①当时，恒成立，
所以在上单调递减，，不满足题意；
②当时，在上单调递增，
所以，使得，当时，，
则在上单调递减，所以，当时，，不满足题意；
③当时，恒成立，所以在上单调递增，
则，满足题意，
综上所述，.
（2）证明：（i）因为，其中，
所以，，
当时，，
由知，成立，
所以在上无零点，则在上无极值点.
当时，令，
则在上单调递增，
所以，
由知，，
所以，使得，
当时，，则单调递减，
所以；
当时，，则单调递增，
因为，
所以，，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，则，
又因为，所以，存在，使得，
则在上存在唯一零点.
（ii）由（i）知成立，
下面证明，
由（i）知，，所以，
因为在上单调递增，要证，只需要证明.
因为，所以，
由（i）知，得，
所以，
由（1）知，当时，，
所以，
令，其中，
则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以成立，则成立，
所以，
综上所述，.
【解析】（1）由已知条件可得，再分类讨论当时，是否恒成立，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）先对函数求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而证出函数在上存在极值点，再结合零点存在性定理证出函数在上存在零点.
（ii）由（i）知成立，只需证出即可，构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出（i）中的和满足.
（1），求导可得，
观察可知在上单调递增，所以.
①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意；
②当时，在上单调递增，
所以，使得，当时，，在上单调递减，
所以时，，不满足题意；
③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意.
综上，.
（2）（i），其中，
则，，
当时，，
由知，成立，
所以在上无零点，即在上无极值点.
当时，令，
则在上单调递增，，
由知，，
所以使得，当时，，即单调递减，
所以；
当时，，即单调递增，
因为，所以，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上存在唯一极小值点.
故，又因为，
所以存在使得，
所以在上存在唯一零点，得证.
（ii）由（i）知成立，下面证明.
由（i）知，所以，
因为在上单调递增，要证，只需要证明.
因为，所以，
由（i）知，得，
所以，
由（1）知，当时，，所以，
令，其中，
则恒成立，
所以在上单调递增，所以，即成立，
所以成立，即，
综上所述，得证.
18．【答案】（1）解：（ⅰ），故不是“T函数”；
（ii）不恒为0，故不是“T函数”；
（iii）恒成立，故是“T函数”.
（2）解：由为非常值函数，得不恒为0，
因为是常值函数恒成立恒成立为“T函数.
（3）解：由（2），设（r为正常数），
令，，其中为关于x的函数，记为，
因此，
故恒成立，即（c为常数），
因此，，
因为，得，
解得，
所以，
因此
所以函数
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
【解析】（1）利用“T 函数”定义，看是否恒等于0，若恒为0就是“T 函数”，不为0就不是“T 函数”.
（2）当非常值，为常值时，其导数y'恒为 0.因为不恒为0，则能推出，即是“T 函数”，反过来也能推出，二者等价，从而证出为“T函数”的充要条件是为常值函数.
（3）由（2），设等式，用三角函数表示和，再求导得出，从而得到函数表达式，进而得到和关于、的式子，再根据确定和的值，从而得出，再根据分段得到分段形式，再根据单调函数的定义，从而讨论出函数在区间上的单调性.
（1）（ⅰ），故不是“T函数”；
（ii）不恒为0，故不是“T函数”；
（iii）恒成立，故是“T函数”.
（2）由为非常值函数，得不恒为0.
是常值函数恒成立恒成立为“T函数.
（3）由（2）设（r为正常数），
令，，其中为关于x的函数，记为，
因此，故恒成立即（c为常数），
因此，，
又，得，
进而解得，故.
因此
所以函数
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
19．【答案】（1）证明：，
因为数列为等差数列，所以，
又因为数列为等比数列，设数列的公比为，
所以，又因为，
所以，所以，
则数列为数列；
（2）证明：由为数列，可得，
设，则，
，
则，
，则，
，则，解得；
（3）证明：
由且，可得，
，
因为，所以，
所以，则.
【解析】（1）根据等差数列性质，等比数列性质化简，证明，结合新定义证明即可；
（2）由为数列，可得，设，由条件结合数列定义可得，再证明，，由此可证明结论；
（3）先证明，再证明，结合证明结论.
（1）
∵数列为等差数列，
∵数列为等比数列，设数列的公比为，
∴，又
，
∴数列为数列；
（2）由为数列则
设则，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
解得：；
（3）
由且，
∴，
∴
又
，
∴，
∴.
1 / 22专题1.5 函数不等式证明与放缩专项——2026届高考数学二轮复习专题突破
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2025·南宁模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·惠州期末）设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递减
3．（2025高三上·深圳月考）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
5．（2025高三上·开福月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·长沙月考）已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·苏州模拟）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2025·常德模拟）已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数存在极小值点
D．“”是“”的充要条件
10．（2022高三上·汕尾期末）已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，c<1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高三上·湛江月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，有两个零点
B．当时，在上单调递增
C．若关于的方程有两个不等实根，则
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2025高三上·望城月考）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2024高三下·浙江开学考）已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是 .
14．（2025高三上·杭州期末）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ．
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2026高三上·杭州期末）设，，.已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）当时，不等式是否恒成立，若是，给予证明；若否，给出反例.
（3）证明：若正实数满足，，则必有．
16．（2024高三上·广东月考）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
17．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
18．（2022·湖州模拟）已知函数 （ ）．
（I）若 ，求函数 的极小值点；
（II）当 时，讨论函数 的图象与函数 的图象公共点的个数，并证明你的结论．
19．（2025·翠屏模拟）若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间.
（1）是否存在实数m，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式.并判断是否为函数的等域区间.
1 / 19
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】解：因为，所以，
所以．
故答案为：C．
由余弦函数2在第二象限得，b=cos2<0，由对数函数单调性，可得解.
2．【答案】C
【解析】解：对于A、B，因为函数定义域为，故选项A和选项B错误；
对于C、D，由复合函数的单调性，
知在上单调递增，且在上单调递增，
则在单调递增，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：C.
先根据对数型函数的定义域和交集的运算法则，则判断出选项A和选项B；再结合对数型函数的单调性，即同增异减，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
3．【答案】D
【解析】解：易知，
指数函数单调递减，则，即，
对数函数单调递增，则，即，
则.
故答案为：D.
易知，利用指数函数、对数函数的单调性可得b，c的范围，即可判断的大小.
4．【答案】A
【解析】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
5．【答案】D
【解析】解：，，
，
，，
又，都大于，．，
故答案为：．
通过换底公式和代数变形，将对数转化为同一变量的表达式，再通过作差法比较大小。
6．【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，且
由 可得
，即由
∴，即
∴ ，当且仅当 时取等号，
，
所以
即 ．
故答案为：A．
由递推公式，先得到，进一步推导出，然后用累加法等推导出。
7．【答案】D
【解析】解：因为，
所以为偶函数，
当时，则，
所以.
令，则，
令，解得；令0，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
可得，
则在上恒成立，
所以在上单调递增。
令，则，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
又因为，所以，
则，
所以，
则，即.
故答案为：D.
先判断函数的奇偶性，再分析函数在时的单调性，同时分析函数的单调性，从而比较出自变量的大小，再根据的单调性得出函数值的大小关系，从而比较出a，b，c的大小．
8．【答案】C
【解析】解：A、因为，所以，所以，所以，故选项A错误；
B、因为，，所以，所以当时，，故选项B错误；
C、因为，所以，
所以，即，
所以当时，，
所以，所以，，故选项C正确；
D、，而，故选项D错误.
故选：C.
根据给定的递推公式，变形可知，即可判断选项A；由和递推公式求得，进而即可判断选项B；裂项可得，结合累加法可得，进而计算即可判断选项CD.
9．【答案】A，C，D
【解析】解：由题意可知，，，
A、由题意可知， 当时 ，，所以函数在上单调递增，故选项A正确；
B、当函数时，显然符合题意，此时函数，
，当时，，所以函数在上不单调，故选项B错误；
C、函数定义域为，因为，所以函数是偶函数，
令，因为函数，在上都是增函数，所以在上也是增函数，
又因为是偶函数，所以在上是减函数，
所以是函数的一个极小值点，故选项C正确；
D、当时，依题意可知，，，
令，所以，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当x=-1时，取得最小值，所以，
所以；
而当时，取，得，即，
所以“”是“”的充要条件，故选项D正确.
故选：ACD.
根据已知条件可知，，利用导数确定单调性即可判断选项A；举例如函数，利用导数判断函数的单调性即可判断选项B；利用偶函数的定义以及复合函数单调性的判断即可判断选项C；利用充要条件的定义即可判断选项D.
10．【答案】B，D
【解析】函数，因为，所以是减函数，
因为a>b，所以，A不符合题意．
函数，因为，所以在是增函数，
因为a>b，所以，B符合题意．
函数，因为，所以在是减函数，
因为a>b，所以，C不符合题意．
，当且仅当时取等号，
又因为，所以，D符合题意．
故答案为：BD
利用已知条件结合指数函数的单调性和幂函数的单调性，再利用对数函数的单调性和均值不等式变形求最值的方法，从而找出不等式一定成立的选项。
11．【答案】A，B
【解析】解：A、当时，函数，
令，解得或，故A正确；
B、当时，函数定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增，故B正确；
C、函数定义域为，，
则在上单调递减，在上单调递增，
即，且时，，，
函数图象，如图所示：
数形结合可知：要使若关于的方程有两个不等实根，则，故C错误；
D、易知，
构造函数，
，
因为，所以，，
即在上单调递增，，
即，则，
而在上单调递增，且，，
所以，故，故D错误.
故答案为：AB.
将代入，直接求函数的零点即可判断A；代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性即可判断B；求函数的定义域，再求导，利用导数判定其单调性、最值，作出函数的图象，数形结合求解即可判断C；构造差函数，利用导数研究单调性证明即可.
12．【答案】.
【解析】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
13．【答案】或
【解析】解：当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；
当时，有，可得在单调递减，在单调递增
且，，画出图象如下：
由题意，有唯一解，设，
则，（否则至少对应2个，不满足题意），
原方程化为，即，
该方程存在唯一解，且.
转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：
情形一：与相切，联立得，
由解得，此时满足题意：
情形二：与有唯一交点，其中一个边界为与渐近线平行），
此时交点坐标为，满足题意；
另一个边界为与相切，即过点的切线方程，
设切点为，则，解得，
所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以的范围为.
综上，的取值范围为或.
故答案为：或
本题考查函数与方程的综合应用.先进行换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象有唯一公共点；分两种情况进行讨论：情形一：与相切；情形二：与有唯一交点，其中一个边界为与渐近线平行）；观察图形可求出实数a的取值范围，进而求出答案.
14．【答案】
【解析】解：由已知条件，得，
构造函数，
对其求导得，
令，得，
则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
因为，，
所以，，
根据，
得到，
分离参数得对恒成立，只需
构造函数，，对其求导得，
令，得，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，
则，
因此k的取值范围是
故答案为：.
构造函数，利用函数的单调性得到，分离参数，再利用导数正负判断函数，的单调性，从而得出其最大值，结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
15．【答案】（1）解：设，
则，
所以，
则，
所以，函数在处的切线方程为，
即，
与对照，知且，
所以.
（2）解：由（1）知，，
结论：当时，不等式恒成立.
证明如下：由，
得，，
设，
则，
令，
当时，，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
所以
则
因为，
设，，
则，
令，
则，
所以在上递增，
又因为，
所以，
则在上单调递增，
又因为，
所以，
则，
所以，.
（3）证明：方法1：因为上单调递增，
则当时，必有，
由（2）知，当时，，
所以，
当时，则，
所以，
设，对称轴为，
欲证，
只需证，
即证，
即证，
即证成立，
所以，
由（2）知，
所以，
当时，则，
所以，
设，
因为在单调递增，
欲证，
只需证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证 成立，
所以，
综上所述，， .
【解析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出函数在处的切线方程，再根据已知条件得出a，b的值.
（2）当时，将不等式恒成立转化为恒成立，再构造函数和，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而分别证出不等式两侧恒成立，则得出当时，不等式恒成立.
（3）利用（2）的结论结合分析法，当时，不等式恒成立，则当时，由可证出，再由证出，从而证出成立.
（1）设，
，
则函数在处的切线方程为
即
与对照，知且
所以
（2）由（1）知
结论：当时，不等式恒成立
证明：由
推得，.
设，则，
令，当时，
所以在上单调递增，又
故， 所以.
所以在上单调递增，又
所以
而
设，
则，令
所以在上递增，又
即，
所以在上递增，又
所以，即
所以，
（3）方法1：因为上递增，
故当时，必有
由（2）知当时，
所以
当时，有，即
设，对称轴
欲证，只需证
即证，
即证，即证，成立，所以
又由（2）知
所以
当时，有，即
设，在递增
欲证，只需证
即证，
即证
即证，即证
即证，即证 成立，所以.
综上，， .
16．【答案】（1）解： 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）解：由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0，1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减.
故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.
所以当x＞0时，g（x）≤0.
从而当a＜0时，，即.
【解析】（1）核心是求导后，依据导数的符号（由参数的取值决定 ），对函数定义域内的单调区间进行分类讨论.
（2）基于（1）问得到的单调性，确定时函数的最大值点，将原不等式转化为关于该点函数值的不等式，再通过构造新函数，利用其单调性和最值证明.
17．【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ，
故所求切线方程为
（Ⅱ） ，
又 ，
故 对 成立， 在 上单调递增
（III）证明：不妨设 ，
由拉格朗日中值定理可得：
其中 ，即
，其中 ，即
由 在 上单调递增，故
∴
∴ 证毕
【解析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；
（2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性；
（3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明.
18．【答案】解：（Ⅰ）若 ，函数 ，
．
由 可得 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
所以函数 的极小值点是 ．
（Ⅱ）由 可得， ．
记 （ ），
则讨论函数 的图象与函数 的图象公共点的个数转化为讨论函数 零点的个数．
， .
（1）当 即 时，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ．
①若 即 ，则函数 在 没有零点．
②若 即 ，则函数 在 恰有一个零点．
③若 即 ，
因为 ，则函数 在 上有一个零点，
因为 ，
若 即 ，则函数 在 上没有零点．
若 即 ，则函数 在 上有一个零点．
所以当 或 时，函数 在 只有一个零点；
当 时，函数 在 有两个零点；
当 时，函数 在 没有零点．
（2）当 即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．则极小值 ，所以函数 在 上没有零点．
因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则函数 在 上有且只有一个零点．
所以当时 函数 在 只有一个零点．
综上可知，当 时，函数 的图象与函数 的图象公共点的个数情况如下：
当 时，没有交点；
当 或 或 时，只有一交点；
当 时，有两个交点．
【解析】（ I ）由a=-2，得 ， 求导得f'（x），即可判断函数f（x）的单调性与极值；
（ II ） 记 ，求导得 ， ，再对a分类讨论函数 零点的个数，即可判断函数 的图象与函数 的图象公共点的个数.
19．【答案】（1）解：因为函数是上的减函数，
所以当时，，即
两式相减得，即，
代入得，
由，且得，
故关于a的方程在区间内有实数解，
记，
则，解得.
（2）解：
由不等式的解集恰为，且为二次函数，
得，且.
所以，①，②
将代入①，，
整理得.又，a，，
从而或.所以或
当时，，
当时，，所以不是的等域区间.
当时，，.
当时，，所以不是的等域区间.
【解析】（1）利用正函数”的定义以及函数的单调性将问题转化为“方程在区间内有实数解”，再构造函数，利用零点存在定义即可求解；
（2）利用“不等式的解集”求得的可能取值，再结合“等域区间”的定义即可求解.
（1）因为函数是上的减函数，
所以当时，，即
两式相减得，即，
代入得，
由，且得，
故关于a的方程在区间内有实数解，
记，
则，解得.
（2）由不等式的解集恰为，且为二次函数，
得，且.
所以，①，②
将代入①，，
整理得.又，a，，
从而或.所以或
当时，，
当时，，所以不是的等域区间.
当时，，.
当时，，所以不是的等域区间.专题1.6 导数双变量与极值点偏移专项——2026届高考数学二轮复习专题突破
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2026高三上·湖南月考）已知函数在上恰有两个不同的零点，则的值可能为（ ）
A．0 B． C． D．1
2．（2025高三上·泊头月考）已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三下·三台月考）已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高三下·山东月考）已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021高三上·河南月考）若函数 在 上恰有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高三上·运城期中）已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2025·长沙模拟）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三上·广州月考）设是函数的三个零点，则（ ）
A．
B．
C．若成等差数列，则成等比数列
D．若成等差数列，则
11．（2025高三上·岳麓月考）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同的直线与相切
D．函数有5个零点
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2024高三上·深圳月考）已知函数有两个零点，则的取值范围为 ．
13．（2025高三上·蓟州期中）已知函数.若，且，则的取值范围是 ．
14．（2023·浦东模拟）已知，设，，其中k是整数． 若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 ．
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2024高三上·长春模拟）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
16．（2020高三上·潮州月考）已知函数 ， .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
17．（2017·福州模拟）已知函数f（x）=mex+x+1．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞0．
18．（2024高三上·澄海月考）已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
19．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
1 / 5
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】解：由，可得，
因为在上恰有两个不同的零点，
所以函数与在上恰有两个不同的交点，
又因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
作出两函数的图象，
可得，
由图可知，，
可得，则.
故答案为：C．
由题意，将问题转化为函数与在上恰有两个不同的交点，利用函数的单调性和端点、极值，从而作出函数的图象，再利用函数的图象得出实数m的取值范围，从而得到，进而得出，再结合余弦型函数的单调性，从而得出的取值范围.
2．【答案】A
【解析】解：由，
可得，
因此在区间上有两个零点，
可等价转化为与在有两个交点，
设函数，
则
，即.
由恒成立结合，
则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，的最大值为，
又因为且时，，
所以要使函数与函数在上有两个交点，
则，
故答案为：A.
利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，先将函数的零点问题转化为常函数与函数的交点问题，再通过两个函数图象在上有两个交点得出实数a的取值范围.
3．【答案】D
【解析】解：当时，，，
则，
∵在上单调递减，∴在上单调递减，
∵，满足，
∴在上单调递增，
∵，，，，，
由，得，
令，则，
令，则，
则图象如图所示，
结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间，
所以，
又∵，
∴
故答案为：D.
根据已知条件得出函数在上的解析式，判断函数单调性，从而画出分段函数的图象，令，再结合函数图象把问题转化为中需提供一个根，且该根位于之间，从而求出实数的取值范围.
4．【答案】C
【解析】解：函数，
由题意可知：有两个实数根，
当时，，令，可得；
当时，，令，可得．
在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示：
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在处的切线方程为；
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在的切线方程为；
即函数与只有一个公共点，
由图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，
则实数的取值范围为．
故答案为：C.
由题意可得有两个实数根，分解方程可得和，在同一坐标系下，作出函数，和的图象，再分别对、求导，利用导数的几何意义求切线方程，可得 函数与只有一个公共点， 结合函数图象讨论求解即可.
5．【答案】B
【解析】解：是的根，
，
则，①
是的根，
，
则，
存在函数使得，
，②
是定义在上的增函数，
在上单调递增，
由①②可得， ，
又因为，
所以，
，
则.
故答案为：B.
利用已知条件和方程根代入法，从而分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，再借助函数的单调性得出的值.
6．【答案】B
【解析】解：因为对于任意，，，的范围恒定，所以只需考虑的情况，
设对应的切点为，，，
设对应的切点为，，，
因为，所以，，
所以只需考虑，，其中的情况，
则，
，其中，
所以；
又因为，，
所以，；
令，则，
所以在上单调递增，，
设，
所以，又因为，所以，
所以；
令，则，
令，则，
因为在上单调递增，所以，
即，在上单调递减，所以，
所以，所以；
综上所述：.
故答案为：B.
根据结论恒成立只考虑的情况，假设切点坐标，则只需要考虑，，其中的情况，可将表示为，构造函数，，求导，利用导数判断函数的单调性，从而对进行放缩求范围即可.
7．【答案】B
【解析】由于 ，
所以 ，
要使 在 上恰有两个不同的极值点，
则 在 上有两个不同的解，
令 ，
即二次函数 在 上有两个不同的解，
所以 ，解得 。
故答案为：B
由于 ，再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使 在 上恰有两个不同的极值点，则 在 上有两个不同的解，令 ，即二次函数 在 上有两个不同的解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。
8．【答案】B
【解析】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ 。
故答案为：B
由已知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用 和函数 有两个不同的极值点 ， ，令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用 ，且 ，再利用代入法得出 ，从而得出 ，令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而判断出函数 为增函数，从而求出函数的值域，进而求出实数t的取值范围。
9．【答案】A，B，D
【解析】解：因为，
数形结合得到在内的大致图象为如图所示：
所以，则，故A正确；
由，得，
则
由题意，则，
所以，
，则，故B正确；
因为，故D正确；
因为，故C错误.
故答案为：ABD.
先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A；根据角之间的关系式和两角和与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出，则判断出选项B；再利用对数函数的单调性，则判断出选项D；再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
10．【答案】A，C，D
【解析】解：A、当时，，显然不符合题意；
当时，分别画出与的图像，如图所示：
显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，A正确；
B、令，可得，设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最小值为，
要使得有两个大于0的零点，则，故B错误；
C、由题意，所以，
由于成等差数列，所以，所以，
所以，所以成等比数列，故C正确；
D、由，得，所以，
由于，解得，
又，则，故，
则，又故舍去，
因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
将零点问题转化为的交点问题，结合函数单调性、数列性质分析选项：
1. 分析时与的交点，判断的范围；
2. 构造函数求的取值范围；
3. 结合等差数列条件推导等比关系及差值。
11．【答案】A，B，D
【解析】解：对于A，由函数，
可得，
因为是函数的一个极值点，
所以，
解得，经检验适合题意，所以A正确：
对于B，由，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确：
对于C，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
因为切点满足直线方程，
则，
整理得，解得，
所以只能作一条切线，所以C错误：
对于D，令，则的根有三个，如图所示，
则，
所以方程有3个不同根，
则方程和均有1个根，
所以有5个零点，所以D正确.
故答案为：ABD.
先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【解析】解：易知函数的定义域为，
令，则，
令，，作出函数的图象，如图所示：
因为函数有两个零点，由图易知，，
且，得到，
所以，令，
则，又易知在区间上单调递减，
所以，即的取值范围为，
故答案为：.
先求函数的定义域，令，得到，构造函数，作出函数的图象，数形结合得到，从而有，通过换元，得到，再求出在的取值范围即可.
13．【答案】
【解析】解：如图，
由，知，且，
得，即，得，
所以，当且仅当即时等号成立.
所以的取值范围为.
故答案为：
画出函数图象，由易得且，可以化为再判断等号成立条件即可.
14．【答案】
【解析】，
令，
则，
因为，所以，
令得或，令得，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，其中，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
且在和内下凹，在内上凸，
的几何意义是点和点连线的斜率，
当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，
因此当时，严格递增，
而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，
曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，
故需使点都在处的切线上或切线上方即可，
从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，
，，
故曲线在处的切线方程为，
令，化简得，
，因此，即，
令，则，即，
其中，画出及的图象，如下：
由图可知，，即
故答案为：
利用已知条件结合导数的运算法则得出，令，再利用，所以，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而判断出在和上单调递增，在上单调递减，再利用，，其中，再结合求导的方法判断函数W（x）的单调性，且在和内下凹，在内上凸，再利用的几何意义是点和点连线的斜率，当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，因此当时，严格递增，而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，故需使点都在处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，再结合求导的方法求出曲线在处的切线方程为，令，化简得，再利用，因此，令，则，其中，画出及的图象，由图可知t的取值范围，进而得出 的取值范围。
15．【答案】解：（1） 则，
所以当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以的极小值为，无极大值；
（2），
函数有两个零点，
相当于曲线与直线有两个交点.
，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
时，取得极小值，
又时，；时，，.
【解析】（1）对函数进行求导，判断正负，得函数的单调性即可求得极值；
（2），即函数有两个零点，即方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解，利用曲线与直线有两个交点，构造函数，求导判单调性，利用数形结合及值域求解即可
16．【答案】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时，若 时， ， 单调递增，若 时， ， 单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上： 时， 在 上单调递增，
时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
（Ⅱ）因为存在 ，使得不等式 成立，
所以存在 ，使得不等式 成立，
令 ， ，且 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 在 上递减，所以 ，满足条件；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上递增，所以 ，不满足条件；
当 时，若 ， ， 单调递增，
若 ， ， 单调递减，
所以存在 使得 ，满足条件，
综上可知： .
【解析】（Ⅰ）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
（Ⅱ）将原问题转化为函数最小值小于零的问题，然后结合导函数研究函数的性质即可确定实数m的取值范围.
17．【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=mex+1，
m≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜ln（﹣ ），
令f′（x）＜0，解得：x＞ln（﹣ ），
故f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））递增，在（ln（﹣ ），+∞）递减；
（Ⅱ）证明：若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），
由（Ⅰ）得：f（x）max=f（ln（﹣ ））=ln（﹣ ）＞0，
解得：﹣1＜m＜0，
由f（x1）=f（x2）得：m= ①，
m（ ﹣ ）+（x1﹣x2）=0②，
将①代入②整理得：
x1= +1，
故x2+x1= +1+x2，
由m= = 得：﹣1＜ ＜0，
解得：﹣1＜x2＜0，
令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），
则g′（x）=1﹣xe﹣x＞0，
故g（x）在（﹣1，0）递增，
g（x）＞g（﹣1）=0，
故x2+x1= +1+x2＞0．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出x2+x1= +1+x2，由m= = ，解得：﹣1＜x2＜0，令g（x）= +x+1，（﹣1＜x＜0），根据函数的单调性证明即可．
18．【答案】解：（1）由得，在上单调递增，，
的取值范围是.
（2）存在，使不等式成立，存在，
使不等式成立.令，从而，，
，在上单调递增， .
实数的取值范围为.
【解析】（1） 先通过导数求单调递增区间，再根据已知单调区间的包含关系确定的范围，进而求取值范围.
（2） 将存在性不等式转化为与新函数最值的关系，构造新函数后用导数研究其单调性，求出最小值，确定的取值范围.
19．【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ，
故所求切线方程为
（Ⅱ） ，
又 ，
故 对 成立， 在 上单调递增
（III）证明：不妨设 ，
由拉格朗日中值定理可得：
其中 ，即
，其中 ，即
由 在 上单调递增，故
∴
∴ 证毕
【解析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；
（2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性；
（3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明.
1 / 19专题1.7 函数导数跨模块综合与创新题型专项——2026届高考数学二轮复习专题突破
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 总分
评分
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2017·荆州模拟）设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数 没有极值点的概率是（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
2．（2023·湘豫模拟）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件
3．（2020·淮南模拟）已知 是函数 的极值点，数列 满足 ， ， ，记 表示不超过 的最大整数，则 （ ）
A．1008 B．1009 C．2018 D．2019
4．（2023·山西模拟）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．图象的一个对称中心为
D．在区间上单调递增
5．（2019高三上·北京月考）已知向量 、 满足 ，且关于 的函数 在实数集 上单调递增，则向量 、 的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·仁寿模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三上·长沙月考）对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2023·安庆模拟）牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则函数在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·佛山模拟）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2022·青浦模拟）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则 .
13．（2021高三上·怀仁期中）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为 ，其纵坐标满足 ，则当 时，函数f（t）恰有2个极大值，则m的取值范围是 ．
14．（2024高三上·广东开学考）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的最大值为 ．
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2022高三上·安徽期末）已知平面向量，函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴；
（2）将函数的图象向左平移个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图像，若函数经过点，求的值．
16．（2022·云南模拟）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．
（1）求A；
（2）若，，求△ABC的面积．
17．（2021高三上·河南月考）已知平面向量 ， ，记 在 上的投影为 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）若平面向量 ， ，且 ，求函数 的最小正周期.
18．（2024高三下·乐昌月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
19．（2025·桂林模拟）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”．
（1）判断函数的凹凸性；
（2）若，令，求的最小值；
（3）为（2）问所得结果，证明不等式：．
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答案解析部分
1．【答案】C
【解析】解：∵函数 没有极值点，
∴f′（x）=x2+2x+η2=0无解，
∴△=4﹣4η2＜0，
∴η＜﹣1或η＞1，
∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）=0.2，
∴P（η＜﹣1或η＞1）=0.2+0.5=0.7，
故选C．
函数 没有极值点，则f′（x）=x2+2x+η2=0无解，可得η的取值范围，再根据随机变量η服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．
2．【答案】D
【解析】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时，
利润；当产量不小于50万件时，
利润．
所以利润
因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则．
当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元．
故答案为：D．
依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值.
3．【答案】A
【解析】解： ， 是函数 的极值点，
可得： ，
即 ，
累加可得 ，
，
则 .
故答案为：A.
利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可.
4．【答案】D
【解析】依题可知，于是，于是，
∴，∴，∴，
对于A，由，则的最小正周期为，A不符合题意；
对于B，将的图象向右平移个单位长度后得，
则，所以不关于原点对称，B不符合题意；
对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，C不符合题意；
对于D，由，则，所以在区间上单调递增，D符合题意．
故答案为：D．
根据题意可求出，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
5．【答案】C
【解析】设向量 、 的夹角为 ，由题意可得 ，
由于函数 在实数集 上单调递增，
则不等式 在 上恒成立，即不等式 在 上恒成立，
则 ， .
， ，因此，向量 、 的夹角的取值范围是 ，
故答案为：C.
设向量 、 的夹角为 ，求出函数 的导数 ，由题意得出 ，求出 的取值范围，可得出角 的取值范围.
6．【答案】A
【解析】解：因为数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，
即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即，解得，
所以，若数列是单调递增数列，则.
故答案为：A.
由数列的单调性可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递增，且，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围.
7．【答案】B
【解析】解：因为，
令，则，
因为在R上单调递增，
所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由，得到，其中，
令，，则，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
则，
综上所述，.
故答案为：B.
利用已知条件变形得到，令，则，再根据的单调性得到，分和两种情况参变分离，从而得到，再构造，则求导判断其单调性，从而求出其最小值为，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
8．【答案】A
【解析】解： 由题意，，则 ，
设，则，
当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增；
当，，；当，；
所以在上单调递增；故，
即，
即，即，即.
故答案为：A.
先求函数的导函数，再令，求导利用导数判断其单调性，对，，取对数利用单调性进行比较大小即可.
9．【答案】A，C，D
【解析】对于A，由得，解得，A符合题意；
对于B，因为，所以，
所以由可得.
由得，，
一方面，，另一方面，，
因此，B不符合题意，
对于CD，于是，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.CD符合题意，
故答案为：ACD.
利用已知条件结合牛顿数列的定义，由得；利用，所以，所以，由可得，由得，一方面，，另一方面，，因此；再利用，即，再结合等比数列的定义判断出数列是以为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列第六项的值，从而找出结论正确的选项。
10．【答案】A，B，C
【解析】解：A、函数，，，
当时，恒成立，则为凸函数，故A正确；
B、函数，，，
当时，恒成立，则为凸函数，故B正确；
C、对于，，，
当时，，，恒成立，则为凸函数，故C正确；
对于D.对于，，，
当时，恒成立，则不是凸函数，故D错误．
故答案为：ABC．
由题意，根据凸函数的定义，求出函数的二阶导导函数，逐项判断即可.
11．【答案】B，D
【解析】解：根据 可得
根据，
解得
k为负整数时，的范围小于0，无选项；若时，，若时，
其中 ，故BD正确，AC错误。
故答案为：BD。
根据正弦函数的性质结合函数求出结论。
12．【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，∴。
故答案为：。
利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，得出向量与的夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出向量与的夹角的正弦值，再利用向量积的模求解公式，进而求出向量与的向量积的模。
13．【答案】
【解析】根据点A的坐标 ）可得圆周的半径 ，
又因为旋转一周用时6秒，所以周期 ，从而得 ，
，又点 时， 在函数图象上，
，且 ， ，
，
根据三角函数的性质， 在 内恰有两个极大值时，
，解得 ，再结合已知条件 ，从而求出实数m的取值范围为。
故答案为： 。
根据点A的坐标 ）结合勾股定理可得圆周的半径旋转一周用时6秒，所以函数周期 ，再利用正弦型函数的最小正周期公式得出 的值，再利用 ，结合当 时， 在函数图象上，再结合代入法和 ，进而求出 的值，进而求出函数，根据三角函数的性质，得出 在 内恰有两个极大值，进而求出实数t的取值范围，进而结合已知条件 ，从而求出实数m的取值范围。
14．【答案】5
【解析】由题意可知xex－exln x＋ex＞mx，即x－ln x＋1＞恒成立．
令f（x）＝x－ln x＋1，f'（x）＝1－＝.
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴ 当x＝1时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（x）min＝f（1）＝2.
令g（x）＝，则g'（x）＝＝，
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
∴ 当x＝1时，函数g（x）取得极大值，即最大值，g（x）max＝g（1）＝.
∴ {f（x）－mg（x）}min＝f（1）－mg（1）＝2－＞0，得m＜2e∈（5，6），
∴ 正整数m的最大值为5.
故答案为：5.
将ex－exln x＋ex＞mx，转化为x－ln x＋1＞恒成立． 令f（x）＝x－ln x＋1、 g（x）＝ ， 分别求导数，研究其单调性、极值、最值，即可求解.
15．【答案】（1）解：由题意，平面向量，
可得函数
，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
即函数的对称轴的方程为
（2）解：由（1）知，
将函数的图象向左平移个单位，可得，
再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，
因为函数经过点，可得，即，
又因为，可得，所以，
所以
【解析】（1）首先由数量积的坐标公式结合两角和的正弦公式，代入整理化简即可得出函数的解析式，再由正弦函数的图象和性质即可求出周期以及对称轴方程。
（2）结合函数平移的性质，由正弦函数的图和性质计算出，然后由两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
16．【答案】（1）解：∵，，，
∴．
∴，即．
∴．
∵，
∴．
（2）解：在△ABD中，由，和余弦定理，
得．
∵D是AC的中点，
∴
∴，化简得，即．
∵，
∴，解得．
∴．
∴△ABC的面积为．
【解析】（1）利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和余弦定理以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2） 在△ABD中，由，和余弦定理，再利用D是AC的中点，得出，进而化简得出，再利用，得出bc的值，再结合三角形的面积公式得出三角形△ABC的面积。
17．【答案】（1）由 ，得 ，
，
令 ， ，解得 ， ，
的单调递增区间为 .
（2）由（1）得 ，
又 ，
，即 ，
由 可得 ，故 ， ，
函数 的最小正周期为 .
【解析】（1）根据投影的性质可得 ，再利用三角恒等变形可得 ，再利用正弦函数的单调性即可得出 的单调递增区间；
（2） 由（1）得 ，利用三角恒等变形可得 ， 由 可得 ，求得 ，进而求得函数 的最小正周期.
18．【答案】解：（1）由题知，的定义域为，∴，
（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性，
当时，在上恒成立，故在上是增函数；
当时，令得，
在上有；在上有，
∴在上是减函数，在上是增函数.
（2）当时，，即（*），
令，则，
①若，由（1）知，当时，在上是增函数，
故有，
即，得，故有，
（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题），
，
（当且仅当，即，且时取等号），
（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论），
∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立；
②若，令，
则，当且仅当时等号成立，
∴函数在区间上单调递增，
∵，
，
∴，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性），
∴，即（*）式不恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f（x）的单调性.
（2）利用已知条件，将变形为，再利用对的值进行分类讨论结合求导的方法判断函数的单调性，从而由单调性得出实数的取值范围．
19．【答案】（1）解：由题，，即，
所以为的凸函数．
（2）解：设函数，则，，所以在为“凹函数”，
当时，，
即，
当且仅当时，等号成立，
最小值为．
（3）证明：即证，
两边取对数，即证：，
的导数为，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以，
累加可得：，证得不等式成立．
【解析】（1）根据定义，求得和，再判断即可求解；
（2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值；
（3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明．
（1）由题，，即，
所以为的凸函数．
（2）设函数，则，
，所以在为“凹函数”，
当时，，
即，
当且仅当时，等号成立，
最小值为．
（3）即证，
两边取对数，即证：，
的导数为，
当时，恒成立，所以在上为单调递增函数，
所以，
令，所以，
所以，
累加可得：，证得不等式成立．专题1.8 函数与导数高考仿真综合卷——2026届高考数学二轮复习专题突破
一、选择题（共8题；共40分）
1．（2025·四川模拟）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·嘉兴模拟）若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江模拟）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江模拟）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2025·成都模拟）若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·苏州模拟）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·开福模拟）函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·上海市模拟）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．数列的前项和为 D．
二、多项选择题（共3题；共18分）
9．（2025·嘉兴模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的单调递减区间是
B．若，则方程有两个不等的实根
C．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为
D．若过点可以作曲线的三条切线，则
10．（2025·娄底模拟）已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（ ）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
11．（2025·长沙模拟）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（共3题；共15分）
12．（2025·涪城模拟），，则的取值为 .
13．（2025·长沙模拟）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
14．（2025·惠州模拟）已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题（共5题；共77分）
15．（2025·嘉兴模拟）已知函数.当时，恒成立.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：（i）在上存在极值点和零点；
（ii）对于（i）中的和，满足.
16．（2025·娄底模拟）已知函数（）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）已知，为曲线上任意两点，且A，B关于点对称．
（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）若，求a的取值范围．
17．（2025·成都模拟）已知函数，数列满足：，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：对任意，；
（3）定义，证明：.
18．（2025·浙江模拟）若连续函数满足在定义域内恒成立，则称为“T函数”.
（1）判断以下函数是否为“T函数”，请说明理由.
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）.
（2）若非常值函数存在二阶导数，证明：为“T函数”的充要条件是为常值函数.
（3）已知非常值函数为“T函数”，且.记为不超过x的最大整数，讨论函数在区间上的单调性.
19．（2025·阳江模拟）某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.
（1）若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；
（2）求及其最大值；
（3）已知，，
若数列的前项和为，证明：.
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答案解析部分
1．【答案】A
【解析】解：因为，由，
可得，即．
令，可得，
则函数在上单调递增，
所以
，
由，
可得，即，
则在时恒成立，
只需，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：A.
构造函数，再利用增函数的定义，可知函数在上单调递增，从而将所求不等式变形为，进而得出在时恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出关于实数的不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
2．【答案】D
【解析】解：由，
得，
由选项知，只需要讨论及两种情况，
当时，，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，即，得成立，故A正确；
因为，所以，
则，
得，所以，故B正确；
当时，，
所以，
因为函数在上单调递增，
所以，则，得成立，故C正确；
因为，
所以，
则，
得，则，故D错误.
故答案为：D.
分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，从而逐项判断找出结论不可能的成立的选项.
3．【答案】D
【解析】解：因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
又 ，所以，所以，
因为 ，所以，所以，所以，所以，所以，，
因为，
因为，，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：D．
根据三角形内角和与诱导公式可得，进而利用正弦定理可得，利用半角公式可得，，再利用正弦定理和同角的三角函数关系可得，根据的范围求得tanB的范围，进而即可求得的取值范围 .
4．【答案】B
【解析】因为，故，故，
即，
而当时，，
故当时，，故，
故，
当时，，
而在上为减函数，在为增函数，
故在有有且只有一个实数解为；
当时，，
而，故，此时在上无解；
故当时，，则，
结合上的性质可得在上有且只有一个实数解，
且该实数解为，在无实数解，
而且，
故在上的实数解为，，，
，共4个实数解，
故共有4个不同的零点.
故答案为：B.
根据题意，得到，进而利用式子的关系求出各段的解析式，得到 接着利用不等式性质求出范围，进而得到结果.
5．【答案】D
【解析】解：已知，将等式进行移项可得.
根据对数运算法则，进一步变形为.
因为，则，
所以，
令，对求导可得，所以在上单调递增.
因为，，，
所以，
根据的单调性可知，即，
再根据对数函数的性质，所以，C错，D对；
若，此时，且，
而，
所以，则，此时，排除A，
若，此时，且，
若时，，必有，排除B；
故答案为：D.
先对等式进行变形可得，构造，利用函数单调性可得，结合对数函数的性质即可判断C，D，利用特殊值法即可判断A，即可判断B.
6．【答案】C
【解析】解：A、因为，所以，所以，所以，故选项A错误；
B、因为，，所以，所以当时，，故选项B错误；
C、因为，所以，
所以，即，
所以当时，，
所以，所以，，故选项C正确；
D、，而，故选项D错误.
故选：C.
根据给定的递推公式，变形可知，即可判断选项A；由和递推公式求得，进而即可判断选项B；裂项可得，结合累加法可得，进而计算即可判断选项CD.
7．【答案】C
【解析】解：因为，
所以有且仅有一个整数解，
设，
则，
当时，，此时单调递增；
当时，单调递减，
当时，；
当时，，
则，
作出函数的图象，如图所示，
则直线过定点，
要使不等式恰有一个正整数解，
则
解得.
故答案为：C.
根据的定义得出，令，利用导数判断函数的单调性，从而作出函数的图象，再根据直线过定点，最后由不等式恰有一个正整数解和数形结合的方法，从而得出实数k的取值范围.
8．【答案】C
【解析】解：A、设直线，
联立，消y整理得，
由题意可知，，解得（负值舍去），故选项A正确；
B、所以，
所以，故选项B正确；
C、所以，所以，
所以，故选项C错误；
D、因为，，
所以，
设，则，
可得在上单调递增，
则时，，
又，则，故选项D正确.
故选：C.
设直线，联立消元可得一元二次方程，进而由列式求得kn即可判断选项A；解一元二次方程即可求得进而求得切点横坐标，结合对数的运算法则计算即可判断选项B；利用方程求得切点纵坐标，进而可求得，结合等差数列的求和公式计算可判断选项C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断选项D.
9．【答案】A，C，D
【解析】解：对于A：因为，
由，得，又因为函数在连续，
所以的单调递减区间是，故A正确；
对于B：当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，取得最大值，
当时，；
当时，，
所以的图象大致如图所示：
当时，函数与函数图象有两个交点，
则方程有两个不等的实根，故B错误；
对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，
设点，则，解得，此时，
则点到直线的距离，故C正确；
对于D：设过点的切线切点为，
则，整理得，
若过点可以作曲线的三条切线，
则函数与函数有三个交点，
对于函数，则，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
当时，；当时，；时，；时，，
所以函数的图象大致如下：
则当时，函数与函数有三个交点，
此时过点可以作曲线的三条切线，故D正确.
故答案为：ACD.
由导数的正负判断函数的单调性和函数连续性，从而得出函数的单调递减区间，则可判断选项A；利用已知条件将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，结合图象和导数求切线的方法以及判别式法，则可判断选项B和选项D；当在点处的切线与直线平行时，则点到直线的距离最小，从而求出点的坐标，再利用点到直线距离公式判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A，B，D
【解析】解：A、对于和，有，
由，
所以，所以，得，故A正确；
B、对于和，有，
由m，n的范围，有，所以．
又，
所以，
所以，故B正确；
C、由于，所以不是常函数．若是周期函数，
设T是的一个周期，，考虑，，…，这T个函数值.
设是其中的最大值，则，，
由周期性可知的最大值也是．
取，则有，
这与的最大值是矛盾，
所以不是周期函数，故C错误；
D、令，下面证明是次可加函数．
若，成立，只需考虑．
若，，
而，成立；
只需考虑，
则，
，
故，
故其表达式不唯一，故D正确.
故答案为：ABD．
利用“次可加函数”定义结合对数函数的性质即可判断A，利用“次可加函数”定义结合三角恒等变换即可判断B，利用“次可加函数”定义结合周期函数和函数的解析式即可判断CD.
11．【答案】A，B，D
【解析】解：因为，
数形结合得到在内的大致图象为如图所示：
所以，则，故A正确；
由，得，
则
由题意，则，
所以，
，则，故B正确；
因为，故D正确；
因为，故C错误.
故答案为：ABD.
先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A；根据角之间的关系式和两角和与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出，则判断出选项B；再利用对数函数的单调性，则判断出选项D；再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．【答案】1
【解析】解：根据题意，，定义域为，
当时，，则，
令，则，
令，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，当时，，则，与题意不符；
当时，，
根据对数函数的图象特点，易知，当时，，
则，与题意不符；
当时，则且或且，
又因为在上单调递增，，
所以，当时，；当时，，
所以，当时，；当时，，
又因为为增函数，
所以.
故答案为：1.
利用，则与在同一区间内保持同号，再根据函数单调性分类判断，从而得出实数a的值.
13．【答案】
【解析】解：设函数，则，
所以是奇函数，且时，单调递增，
则单调递增，且，
所以，
即，，则不等式恒成立，，
设，，
设，，，
所以在上单调递增，，
所以恒成立，则恒成立，
则在上单调递增，
，根据洛必达法则可知，.
故答案为：.
通过构造奇函数，分析的单调性和特殊值（ ），将抽象不等式 转化为自变量的一次不等式.将含的不等式变形为，把“恒成立”问题转化为求函数的最小值（下确界 ）.通过求导判断的单调性，结合洛必达法则求时的极限，确定的下限.
14．【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，当时，函数在上单调递增，且，不合题意；
当时，，
易知，在上单调递增，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则当时，函数有极小值，也是最小值，
又因为恒成立，且，所以，
则，得，所以，
设，，令，得，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
分和进行分类讨论，易知当时，不合题意，则，对求导，利用导数判断函数的单调性，求得最小值为，从而，进而由，令，求导得到的最小值即可.
15．【答案】（1）解：因为，求导可得，
观察可知在上单调递增，
所以.
①当时，恒成立，
所以在上单调递减，，不满足题意；
②当时，在上单调递增，
所以，使得，当时，，
则在上单调递减，所以，当时，，不满足题意；
③当时，恒成立，所以在上单调递增，
则，满足题意，
综上所述，.
（2）证明：（i）因为，其中，
所以，，
当时，，
由知，成立，
所以在上无零点，则在上无极值点.
当时，令，
则在上单调递增，
所以，
由知，，
所以，使得，
当时，，则单调递减，
所以；
当时，，则单调递增，
因为，
所以，，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，则，
又因为，所以，存在，使得，
则在上存在唯一零点.
（ii）由（i）知成立，
下面证明，
由（i）知，，所以，
因为在上单调递增，要证，只需要证明.
因为，所以，
由（i）知，得，
所以，
由（1）知，当时，，
所以，
令，其中，
则恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以成立，则成立，
所以，
综上所述，.
【解析】（1）由已知条件可得，再分类讨论当时，是否恒成立，利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（2）（i）先对函数求导，利用导数的正负判断函数的单调性，从而证出函数在上存在极值点，再结合零点存在性定理证出函数在上存在零点.
（ii）由（i）知成立，只需证出即可，构造新函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而证出（i）中的和满足.
（1），求导可得，
观察可知在上单调递增，所以.
①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意；
②当时，在上单调递增，
所以，使得，当时，，在上单调递减，
所以时，，不满足题意；
③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意.
综上，.
（2）（i），其中，
则，，
当时，，
由知，成立，
所以在上无零点，即在上无极值点.
当时，令，
则在上单调递增，，
由知，，
所以使得，当时，，即单调递减，
所以；
当时，，即单调递增，
因为，所以，使得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在上存在唯一极小值点.
故，又因为，
所以存在使得，
所以在上存在唯一零点，得证.
（ii）由（i）知成立，下面证明.
由（i）知，所以，
因为在上单调递增，要证，只需要证明.
因为，所以，
由（i）知，得，
所以，
由（1）知，当时，，所以，
令，其中，
则恒成立，
所以在上单调递增，所以，即成立，
所以成立，即，
综上所述，得证.
16．【答案】（1）解：由可得，其定义域为；
易知，
记，
则，所以在单调递增．
又，因此时，；时，；
所以在区间单调递减，在单调递增．
（2）解：（ⅰ）由题意可得．
由对称性，不妨设，则．
又，即．
记，则，
又，，所以，
所以在区间上单调递增，所以，即．
下面证明，即证，有解，
记，则，
取，则，
所以，使得，所以．
（ⅱ）由题意可得，即．
记，，
则，．
记（），，
所以在区间上单调递增，所以，
即，即，即（）．
若，则，
所以在区间上单调递减，所以，符合题意．
若，时，，
所以在单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，．
【解析】（1）对函数求导可得，利用导函数的符号以及零点存在定理即可判断出的单调性即可求解；
（2）（ⅰ）由对称性可求得，构造函数可得，再证明时有解即可；
（ⅱ）由题意可得，记，求导得出函数单调性可得（），对参数a的取值范围进行分类讨论即可求解.
（1）由可得，其定义域为；
易知，
记，
则，所以在单调递增．
又，因此时，；时，；
所以在区间单调递减，在单调递增．
（2）（ⅰ）由题意可得．
由对称性，不妨设，则．
又，即．
记，则，
又，，所以，
所以在区间上单调递增，所以，即．
下面证明，即证，有解，
记，则，
取，则，
所以，使得，所以．
（ⅱ）由题意可得，即．
记，，
则，．
记（），，
所以在区间上单调递增，所以，
即，即，即（）．
若，则，
所以在区间上单调递减，所以，符合题意．
若，时，，
所以在单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，．
17．【答案】（1）解：因为（），
所以，令，
所以，令，
则，时，时，
所以时单调递减，时单调递增，
所以时，取得最小值，
所以；
（2）证明：大方向就是数列为递减的且，
，
引入待定常数，使得，
令，解得，
将这两值分别代回上式，
如此一来，就得到，
两式相除，有，
所以是以为公比的等比数列，
从而知，
又知，故上式右端，
即有，
另一方面，，
即也就是数列为递减，
有；
（3）证明：由（1）知当时，
即由（2）知，
而对任意，
从而，
于是，
注意到，
于是，
而，即，
于是．
【解析】（1）利用导数可得，构造函数，求导利用导数和函数单调性的关系即可求解；
（2）大方向就是数列为递减的且，证明是以为公比的等比数列，证明也就是数列为递减即可求解；
（3）证明，证明，证明即可求解.
（1）因为（），
所以，令，
所以，令，
则，时，时，
所以时单调递减，时单调递增，
所以时，取得最小值，
所以；
（2）大方向就是数列为递减的且，
，
引入待定常数，使得，
令，解得，
将这两值分别代回上式，
如此一来，就得到，
两式相除，有，
所以是以为公比的等比数列，
从而知，
又知，故上式右端，
即有，
另一方面，，
即也就是数列为递减，
有；
（3）由（1）知当时，
即由（2）知，
而对任意，
从而，
于是，
注意到，
于是，
而，即，
于是．
18．【答案】（1）解：（ⅰ），故不是“T函数”；
（ii）不恒为0，故不是“T函数”；
（iii）恒成立，故是“T函数”.
（2）解：由为非常值函数，得不恒为0，
因为是常值函数恒成立恒成立为“T函数.
（3）解：由（2），设（r为正常数），
令，，其中为关于x的函数，记为，
因此，
故恒成立，即（c为常数），
因此，，
因为，得，
解得，
所以，
因此
所以函数
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
【解析】（1）利用“T 函数”定义，看是否恒等于0，若恒为0就是“T 函数”，不为0就不是“T 函数”.
（2）当非常值，为常值时，其导数y'恒为 0.因为不恒为0，则能推出，即是“T 函数”，反过来也能推出，二者等价，从而证出为“T函数”的充要条件是为常值函数.
（3）由（2），设等式，用三角函数表示和，再求导得出，从而得到函数表达式，进而得到和关于、的式子，再根据确定和的值，从而得出，再根据分段得到分段形式，再根据单调函数的定义，从而讨论出函数在区间上的单调性.
（1）（ⅰ），故不是“T函数”；
（ii）不恒为0，故不是“T函数”；
（iii）恒成立，故是“T函数”.
（2）由为非常值函数，得不恒为0.
是常值函数恒成立恒成立为“T函数.
（3）由（2）设（r为正常数），
令，，其中为关于x的函数，记为，
因此，故恒成立即（c为常数），
因此，，
又，得，
进而解得，故.
因此
所以函数
可得函数在上单调递减，在上单调递增.
19．【答案】（1）解：设三次学习中学习技能Y次数为，则的取值可以为1，2，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
故的分布列为：
1 2
故.
（2）解：已知，
设，又，
所以
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故，
要使得最大，则为偶数，此时，
此时单调递减，故当时，取到最大值.
故，最大值为.
（3）证明：，
，
当，
，
，
所以
由于，
所以.
【解析】（1）思路是确定三次学习中次数的可能取值，利用独立事件概率公式计算各取值概率，列出分布列后求期望.
（2）先根据学习规则建立与的递推关系，通过构造等比数列求出通项，再分析数列单调性求最大值.
（3）先化简、，分析的结构，得出的表达式后，利用放缩法结合基本不等式证明不等式 .
（1）设三次学习中学习技能Y次数为，则的取值可以为1，2，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
故的分布列为：
1 2
故
（2）已知，
设，又，
所以
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故，
要使得最大，则为偶数，此时，
此时单调递减，故当时，取到最大值
（3），
，
当，
，
，
所以
由于，
所以
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