2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区学正中学九年级（下）开学数学试卷(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区学正中学九年级（下）开学数学试卷(含部分答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 184.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年浙江省杭州市钱塘区学正中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.五一期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人.以此计算，今年该景区五一期间门票总收入用科学记数法表示为（ ）
A. 2.016×108元 B. 2.016×107元 C. 0.2016×107元 D. 2016×104元
2.下列四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B. C. D. -π
3.若x是的算术平方根，则x的值为（）
A. 3 B. - C. ± D.
4.如图，将矩形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点A'，B'.若∠A'EB'=α，则∠NEM的大小是（ ）
A. 180°-2α
B. 180°-α
C.
D. 90°-α
5.如图，数轴上点A，B对应的实数分别为-和，以点B为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长.已知AB=30cm,BD的初始长为30cm,如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短（ ）
A. 6cm B. 8cm C. D.
7.当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤2 B. 0≤m＜4 C. 2≤m≤4 D. m≥2
8.设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ）
A. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
10.如图是一个运算程序，当输入x=30时，输出结果是147；当输入x=10时，输出结果是232.如果输入的x是正整数，输出结果是132，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
11.我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D. -2
12.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（ ）
A. B. 4 C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为______．
14.已知实数x,y满足，求x-2y的最大值 .
15.在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有______．
16.如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为______.
17.如图，直线l与y轴、x轴交于E、F两点，与双曲线交于A、B两点，且AE=AB，连接OA、OB，分别与双曲线交于D、C两点，则四边形ABCD的面积为 .
18.在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，已知A（2，2）、P（1，0）.M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 .
19.若x=--1，则x5+2x4-ax3-x2+（a+1）x-a=______．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令，当α=60°时，n= ；当时，S△ABC= .
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
计算：.
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个不相等实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数a代入求值.
23.(本小题10分)
如图，直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x=1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
24.(本小题10分)
已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
25.(本小题10分)
中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：
①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？
②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.
26.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.
（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；
（2）若b=-6a,抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.
27.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】100°
14.【答案】2
15.【答案】13
16.【答案】10
17.【答案】3
18.【答案】（，）
19.【答案】-1
20.【答案】
21.【答案】-6．
22.【答案】a＜4；
2．
23.【答案】解：（1）∵直线y=x+m经过点A（0，3），
∴m=3，
∴直线为y=x+3，
∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x=1．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积==；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
24.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=4×4=8；
（2）∵在△PDC和△FBC中，
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
25.【答案】y=20x+200（1≤x≤28） 第15天利润最大，最大利润为25000元 ①x=20；②a=6.25
26.【答案】①y=x2-4x+4；②存在，△AOP的面积的最大值为；
-16．
27.【答案】解：（1）①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴=，
∴BP=BC=6，
∴CP===8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴PD==8．
∴PC===2，
∴⊙O的半径长为PC=．
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB′E，
∵∠FB′E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB′=5，
∴MB′==7，
∴AB′=MB′-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B=6=6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x,则PE=x+6，NB′=6-x.
∵PE=BE=B′E，
∴B′E=x+6．
在Rt△NB′E中，
∵NB′2+NE2=B′E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=．
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一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.五一期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人.以此计算，今年该景区五一期间门票总收入用科学记数法表示为（ ）
A. 2.016×108元 B. 2.016×107元 C. 0.2016×107元 D. 2016×104元
2.下列四个实数中，最大的是（ ）
A. -3 B. C. D. -π
3.若x是的算术平方根，则x的值为（）
A. 3 B. - C. ± D.
4.如图，将矩形纸片ABCD的两个直角∠A和∠B分别沿直线EN，EM折叠，折叠后点A，B的位置分别是点A'，B'.若∠A'EB'=α，则∠NEM的大小是（ ）
A. 180°-2α
B. 180°-α
C.
D. 90°-α
5.如图，数轴上点A，B对应的实数分别为-和，以点B为圆心，AB长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长.已知AB=30cm,BD的初始长为30cm,如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短（ ）
A. 6cm B. 8cm C. D.
7.当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A. 0≤m≤2 B. 0≤m＜4 C. 2≤m≤4 D. m≥2
8.设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，已知矩形AEPG的面积等于矩形GHCD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（ ）
A. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之差
B. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之差
C. 矩形AEFD与矩形PHCF的面积之和
D. 矩形ABHG与矩形PHCF的面积之和
10.如图是一个运算程序，当输入x=30时，输出结果是147；当输入x=10时，输出结果是232.如果输入的x是正整数，输出结果是132，那么满足条件的x的值最多有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
11.我们把M={1，3，x}叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）.已知集合A={0，|x|，y}，集合，若A=B，则x+y的值是（ ）
A. 4 B. 2 C. 0 D. -2
12.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作⊙M，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦AB上的一个动点，延长PQ交⊙M于点E，运动过程中，始终保持∠AQP=∠APB，当AP+QB的结果最大时，PE长为（ ）
A. B. 4 C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为______．
14.已知实数x,y满足，求x-2y的最大值 .
15.在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有______．
16.如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为______.
17.如图，直线l与y轴、x轴交于E、F两点，与双曲线交于A、B两点，且AE=AB，连接OA、OB，分别与双曲线交于D、C两点，则四边形ABCD的面积为 .
18.在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，已知A（2，2）、P（1，0）.M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为 .
19.若x=--1，则x5+2x4-ax3-x2+（a+1）x-a=______．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形DEFG，GHIJ的顶点D，E，F，I，J均在△ABC的边上，∠FGH=α（0°＜α＜90°），令，当α=60°时，n= ；当时，S△ABC= .
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
计算：.
22.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个不相等实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）化简，并选择一个适合的正整数a代入求值.
23.(本小题10分)
如图，直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x=1．
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y=x+m与二次函数y=ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．
24.(本小题10分)
已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P.
（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；
（2）求证：CP=BM+2FN.
25.(本小题10分)
中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱.自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28，且x为整数）成一次函数关系且满足z=-2x+100.已知该纪念品成本价为20元/件.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来的函数关系，问：
①当第x天（20≤x≤28，且x为整数）的销售利润取到最大值，此时x的值为多少？
②若①中销售利润的最大值是20250元，求此时a的值.
26.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）.
（1）若抛物线的对称轴是直线x=2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）.
①求抛物线的表达式；
②若点A的坐标为（3，3），动点P在直线OA下方的抛物线上，连接PA，PO，试判断△AOP的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；
（2）若b=-6a,抛物线过点B（-2，0），与y轴交于点C，将点B绕点N（0，n）（n＜0）顺时针旋转（旋转角小于180°）得到点B'，当点B'恰好落在抛物线上，且满足∠BNB'+∠BCB'=180°时，求n的值.
27.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，∠B是锐角，，BC=10.在射线BA上取一点P，过P作PE⊥BC于点E，过P，E，C三点作⊙O.
（1）当时，
①如图1，若AB与⊙O相切于点P，连结CP，求CP的长；
②如图2，若⊙O经过点D，求⊙O的半径长.
（2）如图3，已知⊙O与射线BA交于另一点F，将△BEF沿EF所在的直线翻折，点B的对应点记为B′，且B′恰好同时落在⊙O和边AD上，求此时PA的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】D
13.【答案】100°
14.【答案】2
15.【答案】13
16.【答案】10
17.【答案】3
18.【答案】（，）
19.【答案】-1
20.【答案】
21.【答案】-6．
22.【答案】a＜4；
2．
23.【答案】解：（1）∵直线y=x+m经过点A（0，3），
∴m=3，
∴直线为y=x+3，
∵二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x=1．
∴，解得，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解得或，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积==；
（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．
24.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠1=∠2=22.5°，
又∵CP⊥CF，
∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°
∴∠3=∠1=22.5°
∴∠P=67.5°
又四边形ABCD为正方形，
∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°
∴∠P=∠ACP
∴AP=AC
又AC=AB=4
∴AP=4，
∴S△APC=AP CD=4×4=8；
（2）∵在△PDC和△FBC中，
∴△PDC≌△FBC
∴CP=CF
在CN上截取NH=FN，连接BH
∵FN=NH，且BN⊥FH
∴BH=BF
∴∠4=∠5
∴∠4=∠1=∠5=22.5°
又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°
∴∠HBC=∠BAM=45°
在△AMB和△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC，
∴CH=BM
∴CF=BM+2FN
∴CP=BM+2FN．
25.【答案】y=20x+200（1≤x≤28） 第15天利润最大，最大利润为25000元 ①x=20；②a=6.25
26.【答案】①y=x2-4x+4；②存在，△AOP的面积的最大值为；
-16．
27.【答案】解：（1）①∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∵AB与⊙O相切于点P，
∴PC⊥PB．
∵，
∴=，
∴BP=BC=6，
∴CP===8；
②连接CP，PD，如图，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PDC=90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=6，BC=AD=10，∠PAD=∠B，
∴∠APD+∠PDC=180°，cos∠PAD=cos∠B=，
∴∠APD=90°．
∵cos∠PAD=，
∴AP=6，
∴PD==8．
∴PC===2，
∴⊙O的半径长为PC=．
（2）过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于点M，连接CF，CP，设PE与AD交于点N，如图，
由题意得：∠B=∠FB′E，
∵∠FB′E=∠FPE，
∴∠FPE=∠B．
∵PE⊥BE，
∴∠B=∠FPE=45°．
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=∠PEC=90°，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PFC=90°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴BF=FC=BC=5，
∴AF=AB-BF=．
∵AD∥BC，
∴∠MAF=∠B=45°，
∴MF=MA=AF=1，
∵FB=FB′=5，
∴MB′==7，
∴AB′=MB′-MA=6．
∵AD∥BC，PE⊥BC，
∴PN⊥AD．
∵EN为平行四边形ABCD的高，
∴NE=AB sin∠B=6=6，
∵△PAN为等腰直角三角形，
∴设PN=AN=x,则PE=x+6，NB′=6-x.
∵PE=BE=B′E，
∴B′E=x+6．
在Rt△NB′E中，
∵NB′2+NE2=B′E2，
∴（6-x）2+62=（x+6）2，
∴x=．
∴PN=AN=，
∴PA=PN=．
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