2025-2026学年山东省聊城市东昌府区东昌中学九年级（下）开学数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年山东省聊城市东昌府区东昌中学九年级（下）开学数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年山东省聊城市东昌府区东昌中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. 2x2-y-1=0 B. 2x=1 C. x2+x（x+7）=0 D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
3.在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y=ax+b与的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
4.小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积，具体方法如下，用一个长为10m,宽为8m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（ ）
A. 32m2 B. 24m2 C. 16m2 D. 8m2
5.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. 5 B. C. D. 10
6.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（ ）
A. 1.25m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.45m
7.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要4min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C. 上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D. 在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
8.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D.若CD=6，PA=4，则cos∠ADB的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+4与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若OC=2.5，则k的值为（ ）
A. 3
B. -4
C. -3
D. 4
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）.有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12.已知a是一元二次方程x2+2x-2=0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值为 .
13.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是 .
14.已知抛物线y=-2（x-1）2+3，当0≤x≤3时，y的取值范围为 .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=1，，边BC上有一点E，作射线AE，将射线AE绕点A顺时针旋转90°，交CD的延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG，则= .
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y=x2.将x轴绕原点O逆时针旋转45°，交抛物线于点A1，将直线OA1绕点A1顺时针旋转45°，交抛物线于点A2，将直线A1A2绕点A2逆时针旋转45°，交抛物线于点A3，将直线A2A3绕点A3顺时针旋转45°，交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2025的坐标为 .
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：（3x-1）2=2（3x-1）.
18.(本小题12分)
如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1=∠2.
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD=4，AB=6，AC=5，求AE的长.
19.(本小题12分)
某公园有个观景台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观景台AM的高为3.04米，如图所示.左侧步道AB的长度为42米，倾斜角为38°，右侧步道DE的倾斜角为28°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）.
（1）求右侧步道DE的长度；
（2）两步道的底端分别为B，E，求BE的长.（结果精确到0.1.参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.78，tan38°≈0.78，sin28°≈0.46，cos28°≈0.88，tan28°≈0.52）
20.(本小题12分)
把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）.如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（3）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由.
21.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC=30°，且AC=8，求⊙O的半径.
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3（b是常数）.
（1）若a=-1，且抛物线经过点（1，4）.
①求该抛物线对应的函数表达式；
②若点M在抛物线上，横坐标为m,点N的横坐标为m+2，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m.当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连接AB，AC，BC.试说明线段BC的长度为4.
（2）若直线y=ax+c与抛物线有两个交点A（1，2c+2），B（2，1），当t≤x≤t+1时，求y=ax2+bx+3的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x＞-3
12.【答案】2030
13.【答案】
14.【答案】-5≤y≤3
15.【答案】
16.【答案】（1013，10132）
17.【答案】π-2
18.【答案】（1）证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，
∵∠ACB=∠1+∠ACD，∠AED=∠2+∠ACD，
∴∠ACB=∠AED，
∵=，
∴△ABC∽△ADE．
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴=，
∵AD=4，AB=6，AC=5，
∴AE===，
∴AE的长是．
19.【答案】约50米 约78.8米
20.【答案】9cm 5 cm或15cm 侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时正方形的边长为10cm，长方形盒子的侧面积S=4×（40-2y） y=-8y2+160y=-8（y-10）2+800，
∴当y=10时，S=800为最大值，
∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时正方形的边长为10cm
21.【答案】证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC．
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
22.【答案】①y=-x2+2x+3；②证明：∵点A关于点M的对称点为点B，点A 关于点N的对称点为点C，
∴点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC=2MN，
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为m，m+2，
∴MN=m+2-m=2，
∴BC=2MN=4 当时，最小值为t2-t+1；当时，最小值为；当时，最小值为t2-3t+3
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. 2x2-y-1=0 B. 2x=1 C. x2+x（x+7）=0 D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，，则tanA的值是（ ）
A. B. C. D.
3.在同一平面直角坐标系中，若ab＜0，则函数y=ax+b与的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
4.小亮用“频率估计概率”的方法求不规则图案的面积，具体方法如下，用一个长为10m,宽为8m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球（如图1），记录小球落在不规则图案上的次数，并将若干次试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，则被估计不规则图案的面积大约是（ ）
A. 32m2 B. 24m2 C. 16m2 D. 8m2
5.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为10，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A. 5 B. C. D. 10
6.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（ ）
A. 1.25m B. 1.3m C. 1.4m D. 1.45m
7.如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系.当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要4min
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C. 上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水
D. 在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min
8.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D.若CD=6，PA=4，则cos∠ADB的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+4与x轴和y轴分别交于A，B两点，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若OC=2.5，则k的值为（ ）
A. 3
B. -4
C. -3
D. 4
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）.有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c=1；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12.已知a是一元二次方程x2+2x-2=0的一个实数根，求2a2+4a+2026的值为 .
13.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是 .
14.已知抛物线y=-2（x-1）2+3，当0≤x≤3时，y的取值范围为 .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=1，，边BC上有一点E，作射线AE，将射线AE绕点A顺时针旋转90°，交CD的延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG，则= .
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y=x2.将x轴绕原点O逆时针旋转45°，交抛物线于点A1，将直线OA1绕点A1顺时针旋转45°，交抛物线于点A2，将直线A1A2绕点A2逆时针旋转45°，交抛物线于点A3，将直线A2A3绕点A3顺时针旋转45°，交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2025的坐标为 .
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解决下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：（3x-1）2=2（3x-1）.
18.(本小题12分)
如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1=∠2.
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD=4，AB=6，AC=5，求AE的长.
19.(本小题12分)
某公园有个观景台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观景台AM的高为3.04米，如图所示.左侧步道AB的长度为42米，倾斜角为38°，右侧步道DE的倾斜角为28°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）.
（1）求右侧步道DE的长度；
（2）两步道的底端分别为B，E，求BE的长.（结果精确到0.1.参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.78，tan38°≈0.78，sin28°≈0.46，cos28°≈0.88，tan28°≈0.52）
20.(本小题12分)
把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）.如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.
（1）要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（2）折成的长方形盒子的侧面积为600cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
（3）折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由.
21.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，弦AC平分∠BAD，过点C作CD⊥AD于点D.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）已知点E是半圆AEB上一点，连接EB，EC，若∠BEC=30°，且AC=8，求⊙O的半径.
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3（b是常数）.
（1）若a=-1，且抛物线经过点（1，4）.
①求该抛物线对应的函数表达式；
②若点M在抛物线上，横坐标为m,点N的横坐标为m+2，纵坐标与点M的纵坐标相同，点A在y轴上，纵坐标为m.当点M和点A的纵坐标不相等时，作点A关于点M的对称点B，作点A关于点N的对称点C，连接AB，AC，BC.试说明线段BC的长度为4.
（2）若直线y=ax+c与抛物线有两个交点A（1，2c+2），B（2，1），当t≤x≤t+1时，求y=ax2+bx+3的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x＞-3
12.【答案】2030
13.【答案】
14.【答案】-5≤y≤3
15.【答案】
16.【答案】（1013，10132）
17.【答案】π-2
18.【答案】（1）证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，
∵∠ACB=∠1+∠ACD，∠AED=∠2+∠ACD，
∴∠ACB=∠AED，
∵=，
∴△ABC∽△ADE．
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴=，
∵AD=4，AB=6，AC=5，
∴AE===，
∴AE的长是．
19.【答案】约50米 约78.8米
20.【答案】9cm 5 cm或15cm 侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时正方形的边长为10cm，长方形盒子的侧面积S=4×（40-2y） y=-8y2+160y=-8（y-10）2+800，
∴当y=10时，S=800为最大值，
∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时正方形的边长为10cm
21.【答案】证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴AD∥OC．
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
22.【答案】①y=-x2+2x+3；②证明：∵点A关于点M的对称点为点B，点A 关于点N的对称点为点C，
∴点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC=2MN，
∵点M，N的纵坐标相等，横坐标分别为m，m+2，
∴MN=m+2-m=2，
∴BC=2MN=4 当时，最小值为t2-t+1；当时，最小值为；当时，最小值为t2-3t+3
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